2025年高考数学二轮复习热点题型专项突破：平面向量重难点题型（解析版）

专题6-1向量重难点题型汇总(17类题型)

近5年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

2024年I卷第3题，5分平面向量数量积的运算、化简、证

明及数量积的应用问题，如证明垂

年甲卷(理)第题，分(1)向量的有关概念

202495直、距离等是每年必考的内容，单

独命题时，一般以选择、填空形式

2023年I卷第3题，5分(2)向量的线性运算和向量共

出现.交汇命题时，向量一般与解线定理及其推论

2023年n卷第13题，5分析几何、三角函数、平面几何等相

结合考查，而此时向量作为工具出(3)投影向量

2023年乙卷(理)第12题，5分

现.向量的应用是跨学科知识的一

(4)平面向量的坐标表示及坐

个交汇点，务必引起重视.

2022年北京卷第10题，5分标运算

预测命题时考查平面向量数量积

(5)平面向量的数量积及其几

的几何意义及坐标运算，同时与三

2020年新高考I卷，第7题,5分何意义

角函数及解析几何相结合的解答

题也是热点

模块一a热点题型解读(目录)

【题型1】向量的概念辨析易错题梳理....................................................2

【题型2】向量的垂直与共线...........................................................4

【题型3】向量的夹角与模长计算.......................................................6

【题型4】投影向量.....................................................................9

【题型5】用其他向量表示已知向量.....................................................12

【题型6】平面向量共线定理...........................................................15

【题型7】平面向量共线定理的推论.....................................................18

【题型8】极化恒等式求数量积.........................................................26

【题型9】投影法求数量积.............................................................36

【题型10】拆分向量求数量积..........................................................41

【题型11】建立坐标系解决向量问题....................................................46

【题型12］三角形四心的识别..........................................................55

【题型13】向量的四心运算............................................................63

【题型14】等和线问题.................................................................73

【题型15】通过平面向量共线定理的推论求最值.........................................84

【题型16］奔驰定理...................................................................90

【题型17】向量中的隐圆问题..........................................................98

模块二卜核心题型•举一反三

【题型1］向量的概念辨析易错题梳理

基础知识

1、零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.

2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

3、共线向量与相等向量关系：相等向量一^定是共线向量，但共线向量不一^定是相等向量.

4、若两向量共线，则两向量所在的直线有平行和重合两种可能

5、零向量是影响向量平行或共线判断的“幽灵”，要特别注意

6、向量相等具有传递性，即若a=b,b=c,则a=co而向量的平行不具有传递性，即若a〃瓦b〃c,未必有a〃c。

因为零向量平行于任意向量，当b=0时,a,c可以是任意向量，所以a与c不一定平行。但若bW0,则必有。〃

b,b//c=>a//c

1.（多选）下列结论中正确的是（）

A.若时=M,则力=Z?

B.^a=b,b=c,贝=1

C.若4,B,C,。是不共线的四点，贝『'初=皮”是“四边形NBC。为平行四边形”的充要条件

D.的充要条件是“同=%且之庞”

【答案】BC

【分析】根据平面向量的性质、平行的性质与充分必要条件的定义逐个辨析即可.

【详解】对于A,两个向量的长度相等.但它们的方向不一定相同；

对于B,由平面向量相等可得B正确；

对于C,若/,B,C,。是不共线的四点，则当存=皮时，|“同=|。。且/B//DC,故四边形/BCD为平

行四边形；

当四边形/BCD为平行四边形时，且NB//DC,故且比同向，故益=皮，故C正确；

对于D,当方〃B且方向相反时，即使同=忖，也不能得到g=B，故D错误；

故选：BC

2.有下列结论：

①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；

②若awb，则a，方不是共线向量；

③若|可=|灰”则四边形/BCD是平行四边形；

④若m=n，n=k，贝！J/"=定；

⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.

其中，错误的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】由向量的定义、有关性质逐项判定可得答案.

【详解】对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确；

对于②，若也有可能B长度不等，但方向相同或相反，即共线，②错误；

对于③，若，反则形，皮不一定相等，所以四边形/BCD不一定是平行四边形，③错误;

对于④，若加=〃，n=k,则加=不，④正确；

对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误.

综上，错误的是②③⑤，共3个.

故选：B.

【巩固练习11下列命题中，正确的个数是（）

①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；

③若方方满足|初＞/|,且乙与B同向，则彳＞3

④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；

⑤若a//b,b//c,则）〃万

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】A

【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.

【详解】单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；

模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；

向量有方向，不能比较大小，故③错误；

向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点与终点不一定相同，故④错误;

当3=6时，可满足但万与e不一定平行，故⑤错误；

综上，正确的个数是o

【巩固练习2】（多选）下列叙述中错误的是（）

A.若2=5,则方>无B.若£〃石，则£与石的方向相同或相反

C.君a/,b//c^则D.对任一非零向量之，a是一个单位向量

\a\

【答案】ABC

【分析】对于A,根据向量的概念判断，对于BCD,举例判断.

【详解】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；

由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；

对于C,若不为零向量，则々与"可能不是共线向量，故C错误；

对于D,对任一非零向量2表示与1同向的单位向量，故D正确.

故选：ABC

【题型2】向量的垂直与共线

基础知识

（1）向量共线定理：如果a=2）且。声0,则反之。〃6且。r0,则一定存在唯----个实数2,使

a=Ab.

（2）两个向量q,/7的夹角为锐角u>q・6〉0且q,6不共线；

两个向量q,6的夹角为钝角=且q,力不共线.

（3）aA-ba-b=0

（4）若a=（x,y）,则力7=（AX，ZV）

向量共线运算：已知建（士,%）%=上,%），则向量），篇工。）共线的充要条件是西乃-毛乂=。

3.向量N=Q3）,B=（3X-LX+1）,了=（5,7）,若（。+5）〃（3+万），Kc=ma+nb'则加+〃的值为（）

A.2B.-C.3D.-

22

【答案】C

【分析】先利用平面向量加减法的坐标运算和向量共线的坐标表示求出X=1,再利用向量的坐标表示得到

关于加、力的方程组进行求解.

【详解】由题意，得万+B=(3x,x+4),a+c=(6,10),

（万+不）||（万+3），所以30x=6x+24,解得x=l,

因为

则c=ma+nb=（加,3加）+（2%2几）=（加+2%3加+2〃）=（5,7）,

m+2n=5m=1

即3m+2"=7'解得_,故加+〃=3.

n=2

【巩固练习1]已知向量》=（1,1）,b=（-1,1）,c=（4,2）,若己=就+.，入〃GR,则/+〃=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】由题意，根据平面向量加法的坐标表示，可列方程，可得答案.

4=A—//2=3

【详解】由c=,则（4,2）=2（1,1）+,即2解得

〃=-1'

故4+〃=2,

故选：D.

【巩固练习2】设向量a=(cosx,亚sinx),b=(\,-41^,其中xe[0,句.

(1)若@一可〃九求实数X的值;

⑵已知c=（加,-1）且c_|_b，若/（x）=a-c,求/（x）的值域.

37r

【答案】(1)—;

4

⑵[-2,囱

【分析】(1)根据给定条件结合向量的坐标运算，向量共线的坐标表示计算得解.

(2)由向量垂直的坐标表示求出入再借助数量积建立函数关系求解作答.

【详解】(1)因向量a=(cosx,亚sinx),B=则£—B=(cosx—LJ^sinx+逝)，

又(a-g)//B,则有(-W)(cosx-l)-(V^"sinx+1=0,即逝sinx+亚COSX=0，于是得tanx=-l,

而XE[0,句，解得x=w，

3%

所以实数x的值是一.

4

(2)因为。=(冽,一1)且0_|_力，贝I加+收=0，即相=-①，有c=1),

f(x)=ct,c=—A/2cosx—V2sinx=-2sin(xH—),因XE[0,TT],则XH—E[—^r],sin(x+—)GT------,11,即

7444442

/(%)£[-2,®所以/(x)的值域[—2,行].

【巩固练习3](多选)已知向量值=(1,G),B=(cos©sina),则下列结论正确的是()

A.若，则面1。二百

B--------------------------------------.若GJ_E，则tana=------

3

c.若万与B的夹角为三，则1万—8=3

D.若，与B方向相反，则B在益上的投影向量的坐标是(-L-3)

22

【答案】ABD

【分析】利用向量共线的坐标表示判断A;利用垂直的坐标表示判断B;利用数量积的运算律求解判断C;

求出投影向量的坐标判断D.

【详解】向量方=(1,G),B=(cosa,sina),

对于A,由,//B，得sina=gcosa,因此tana=6，A正确；

对于B,由G_/_B,得百sina+cosa=0,因此tana=—百~,B正确；

一冗—一f-*1

对于C,&与b的夹角为了，|=2,|61=1,ci'b=2xlx—=1,

因此m—2,用=j，c错误；

~]也、

对于D,。与方方向相反，则方在,上的投影向量为a=——a=——,—--,D正确.

\a\22122J

故选：ABD

【题型3】向量的夹角与模长计算

基础知识1

a4a+b

a与B夹角公式:COS。=4T7^|万与万+B夹角公式：＜：0$6=下上一彳

a5+6

模长公式:

注意：涉及卜a这类条件时一般要进行平方

4.已知向量同=3,同=2,Z与坂的夹角为则[2。-30=()

A.6B.3A/6C.3D.3亚

【答案】A

【分析】由数量积公式结合|23-3,=7(25-36)2得出答案.

【详解】解：因为向量同=3,同=2,2与石的夹角为?，

—77

所以万力=3x2xcos—=3

3

所以国一34=7(25-36)2=,4彦-12〉Z+9庐=74x9-12x3+9x4=6

5.已知向量,，B满足同=1加=3,a-b=(2,4^,贝中

【答案】3亚

【解析】同=1同=3,3-彼=(2,而)可得收-可=a+~b-2(z-6=22+^V6j=10=>e层0,

故附+同=)97+片+67石=7^^=3夜

6.已知向量3=(1,2)万=(4㈤，若1与5垂直，则万与1+5夹角的余弦值为()

【答案】A

【解析】因为万与5垂直，故H=lx4+2左=0，解得左=一2,则3=(4,—2),

一一八q・(a+B)5V5

。+H(5,0),设方与小夹角为。，则3*丽^—=丁.故选：A.

7.设向量Z=(x,-4),/J=(l,-x),向量2与9的夹角为锐角，则x的范围为.

【答案】尤>0且尤大2

【分析】根据已知可得)3>0,且Z范不共线，求解即可.

【详解】向量a=(x,-4),=(l,-x),由£〃坂得，xx(-x)-lx(-4)=0,所以x=±2.

由已知得，0〈,6<],所以3(°,力=||小>。，即n>o,且还不共线.

则=xx1+(-4)*(-%)=5x>0,所以％>0.

又a,b不共线，则xw±2.所以x的取值范围为x〉0且xw2.

故答案为：％>0且xw2.

【巩固练习1】向量5=（2/）,5=（—1,3）,若行的夹角为钝角，则/的范围是

2

【答案】，〈一且，w—6

3

一一2

【解析】若方，b的夹角为钝角，则万力＜0且不反向共线，50=一2+3/＜0,得，＜].

向量方二（2,/）,5=（-1,3）共线时，2x3=-，，得，二一6.此时值=—26.

2

所以，〈一且％w-6.

3

【巩固练习2】已知£,b为单位向量，且忸-5同=7,则£与的夹角为（）

【答案】C

【分析】设a与夹角为。，利用怔-5可=7求出在利用夹角公式计算即可.

【详解】因为3,坂为单位向量，

由g-55=7,

所以（315年=49<=>9。-30。0+256=49,

即9-3075+25=49=屋3=-；,设£与1_石夹角为。，

aAa-bJT

则c°s°=郦可,又。£[0,兀],所以。=—

6

【巩固练习3】（2024・高三・上海奉贤・期中）已知平面向量Z,b的夹角为:，^|«|=l,|2o-S|=Vio,贝

的值为.

【答案】3桓

【解析】由'一4=JT5两边平方得（2a-B）2=10,4a-Aa-b+l）=4-4xlx|i|-cos-^+|^|=10,

_2血-W-6=0,（忖一3四）（W+后）=0,解得%=3后

【巩固练习4】已知耳，可表示两个夹角为半的单位向量，。为平面上的一个固定点，产为这个平面上任

意一点，当方=x[+*；时，定义（xj）为点P的斜坐标.设点。的斜坐标为（2,1）,贝1]|诙卜.

【答案】币

【详解】由题知。0=26+e2,又q,g表示两个夹角为"I■的单位向量，

所以OQ-OQ=小（2%+4了=?+4,•6+e??=,4+4xcosg+1=V7

【巩固练习5】（2024•江西宜春•三模）已知£,b均为非零向量，若［2之-加■加二2|Z|,贝「b的夹角

为.

兀

【答案】一

3

【解析】由|2工—修=历|,可得②―肝旦转，即4而12Tz.2+历但钎,解得〉归32,

因为1同=2而|,所以cos伍［）=，£=上二=L

1111\'\a\\b\2|a|21

又因为04。石）（兀，所以卜,3）=（.

7T

故答案为：一.

3

【题型4】投影向量

基础知识

a-b厂ITz>bb

向量£在加上的投影向量：时出=">cos"/,其中同是与B同方向的单位向量

a-b

向量［在书上的投影向量模长：印

8.已知名石是夹角为120。的两个单位向量，若向量£+4在向量Z上的投影向量为工，则4=（)

A.-2B.2C.-空D.

33

【答案】A

__(a+Xb\a(a+A,b]-a

【详解】a+劝在向量Z上的投影向量为——J—a=2a^>y,'=2.

14间

=>伍+j-a=同一+%同.同cos120。=l-；4=2n1=-2

9.(2024•福建泉州•模拟预测)在平面直角坐标系》。、中，点2在直线》+2>>+1=0上.若向量0=(1,2),

则而在£上的投影向量为()

]__212

A.B.

5，-?555

(41_组

C.D.(-1,-2)

(55J

【答案】A

【解析】由题可设产(—2”1,。，则赤=(一，

所以加G=(-2f_I,。。,2)=T,又|<?|=Vi2+22=Vs,

故OP在z上的投影向量为

।—q/yr-八aI-OP*aaOP*a-1一

5的。，后=盛H丽不百"-"_2

-5，-5

10.已知向量Z=(-2,2)》=(1,1),则］二在B方向上的投影向量为.

【答案】

【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.

【详解】a=(-2,2),b=(l,l)^>a-b=(-3,1),

a-b^b方向上的投影向量为(］：电=言］1，1)=(_1，_1)

故答案为：(TI)

11.已知点2(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量方在西方向上的投影向量的模长为

.372口3岳「30C3岳

2222

【答案】A

【解析】=(2,1),CD=(5,5),则向量Q在向量方方向上的射影为

-八ABCD(2,1)-(5,5)2x5+lx5372

ABcos”=-—=—/=-------1=——=-------

CD,52+525V22

【巩固练习1】已知同=2,1与5的夹角为彳，e是与5同向的单位向量，则方在5方向上的投影向

量为()

A.1B.-1C.eD.4

【答案】D

【解析】］在5方向上的投影向量为同cos（）,5"=2cos,Z=-G,故选：D

【巩固练习2】己知同=3,&是与坂方向相同的单位向量.若向量。在坂方向上的投影向量是无，则

a-b=

【答案】12

【分析】先求得Z在B方向上的投影，再乘以与B方向相同的单位向量即得到投影向量，利用向量的

数量积运算即可得到£石的值.

【详解】设"与坂的夹角为。,则"在反方向上的投影为同cos。，

所以向量3在石方向上的投影向量为E•同cos6=4E,故同cosd=4,

故外BH.恸cos8=恸.Hcos8=3x4=12.

【巩固练习3】若向量Z=（X,2）,B=（2,3）I=2-4）,且2〃入则［在B上的投影向量为（）

4713

C.(8,12)

13

【答案】A

【解析】由题意知向量”=（x,2）,3=（2,3）,2=（2,-4）,

因为£〃"，所以-4x-4=0,得x=—l,所以。=（T,2）,|a|=V5,

一/、b（23、/-r\a-b-2+64

又6=（2,3）,所以同=［而，而卜°s（“，3丽=用无=府，

所以£在3上的投影向量为：卜|cos（a,力•'==,故选：A.

【巩固练习4】（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知向量还满足同=23=（3,0）,归一目二而，则向量£在

向量B方向上的投影向量为（）

A.?0B.?0C.?°D.(1,0)

【答案】C

【解析】因为同=2，W=3,归一目=）而，

所以付一31=万2一2无3+户=22—2无B+32=10,得

_3

所以向量£在向量B方向上的投影向量为三2石=23=匕3,0)=1匕01.

国96，1(2J

【题型5】用其他向量表示已知向量

基础知识

(1)基本思路：利用向量的线性运算对已知向量进行拆分，逐渐转化为只有基底向量的形式

(2)坐标表示：待定系数法

(3)常见模型补充：向量中的定比分点恒等式(爪型图)

BDm----»m-----►力—►

在中，D是BC上的点，如果——=—,则40=-------AC+--------AB

CDnm+nm+n

12.在AZ8C中，点。满足茄=3丽，则()

—1—►3—*■—>■2—*■1—*■

A.CD=-CA+-CBB.CD=-CA+-CB

4433

—,,3—,■1—►—»1—►2—>-

C.CD=-CA+-CBD.CD=-CA+-CB

4433

【答案】A

【分析】根据题意画出小Be并确定点。的位置，即可以向量为基底表示出西.

【详解】根据题意如下图所示：

________________________________________________3___

根据向量加法法则可知历=2+而，又而=3砺，所以％万=—布

即丽心+3方B)=后+。恒

44、'44

可得丽二•1+*3之臣.故选：A

44

13.若向量Z=(2,l),5=(—1,2),%=1°，£|，则之可用向量-，b表示为()

]--17

A.—a+bB.—Cl—b

22

3-13-1-

C.—a+—bD.-a——b7

2222

【答案】A

【分析】根据向量基本定理，设c=xa+yB,代入计算得到方程组，解出即可.

【详解】i^c=xa+yb,即[O,：)=x(2,l)+y(-l,2)=(2x-y,x+2y),

2x-y=01

则有，c解得《X=二—］一7

5,2,则。=-ct~\~b.

卜+2、12

14.如图所示的A45C中，点。、E分别在边BC、4。上，且BD=DC.ED=2AE,则向量次=()

1UUT1UUT1—►1—、1—►5—►1—»2—»

A.-AB+-ACB.-AB+-ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

33666633

【答案】B

【角箪析】AD='AB+JDFAD=AC+GD

又<BD=DC：,BD=-CD，:.AD=^(AB+ACy

—■1—■1—•1—.

又<ED=2AE:.AE=-AD,.•.北=一血=—JS+—/C,故选：B.

3366

15.已知A/8C的边3c的中点为。,点E在A/3C所在平面内，且诟=2而—而若

mCE+nAC=AB,则掰+〃=()

A.7B.6C.3D.2

【答案】A

—1—--.

【解析】因为反5=2赤-瓦5,所以B4+—BC=2BE,

2

因为丽=沅+赤，所以诙+J而=2屁=2（而+之），

所以2赤=—9一。而=—万一3（衣一君）=」益一。衣，

22、'22

所以4及+VAC=~AB,

因为加屈+〃了3=彳豆，所以加=4,n=3,故冽+〃=7.故选：A.

【巩固练习。如图所示，点C在线段AD上，且BC=3C。，则通=（）

—•—.—.—.4―►1—►1--2—

A.3AC-2ABB.4AC-3ABC.-AC--ABD.-AC——AB

33

【答案】C

【分析】根据平面向量的基本定理求解即可.

—►1―►

【详解】因为BC=3CD,所以CD=—BD,

4

因为而=衣+历=就+!茄=就+!（而_君），

所以3石=衣一」益，即益=±太一」刀.故选：c.

4433

—•1—■

【巩固练习2】如图，在“BC中，NN=—ZC,P是3N的中点,^AP=mAB+nAC'则加+〃=(

2

【答案】D

【分析】利用向量的线性运算求得Q=,方+」衣，由此求得〃?，〃，进而求得加+〃.

24

—■1—•

【详解】因为尸是BN的中点，所以BP=—BN.

2

所以9=在+而=初+~1■丽=方+，（刀▽一加）=4方+工芯=」75+工就，所以加=』，〃=!，所以

22222424

3

m+n=一

4

【巩固练习3】已知在“吕。中，N是边的中点，且4月祝=前，设血/与CN交于点P.记斓="k=3.

（1）用。，B表示向量西，CN；

（2）若2|访=|司,且而，M，求（万用的余弦值.

___.31-1

【答案】（1）,=-3+—6,CN=-a-b

442

⑵cos,㈤=：

【分析】（1）根据平面向量的基底与三角形法则即可用落B表示向量而，GV；

（2）由存_）_而得函,代入向量数量积公式即可求得（万,3）的余弦值.

【详解】⑴BC=AC-AB=b-a

AM=AB+BM=AB+-BC=a+-lb-a}=-a+-b

44、,44

CN=CA+AN=-AC+-AB=-a-b

22

（2）：N,P,C三点共线，；.由中，初得次,初，

o心.罚=g力卜，即纲=兀葭

；同~=同B|cos（a,B）=2\a\2cos〈a,5）,

cos（^a,b^=—,（a,b）的余弦值为一.

【题型6】平面向量共线定理

基础知识

平面向量共线定理：三点4,B,C共线O存，式共线（功能：证明三点共线）

16.已知向量刀=（2,1）,SC=（7,m）,CD=（3,-1）,若Z,B,。三点共线,则m=,

【答案】6

【分析】根据给定条件，求出前，再利用共线向量的坐标表示计算作答.

【详解】因》=（7,优），CD=（3,-1）,则丽=前+丽=（10,a—1）,

又方=（2,1）,且/,B,。三点共线，即布〃而，因此2（m-l）-lxl0=0,解得加=6,

所以加=6.

故答案为：6

—►/—►——►—►>—►—►—►

17.已知4S=3（q+e2）,CB=e2—q,CD=2e]+e2,则下列结论中成立的是（

A.A,B,C三点共线B.A,B,。三点共线

C.A,D,C三点共线D.D,B,C三点共线

【答案】C

【分析】根据平面向量的线性运算可得藐=26，从而可求解.

［详解］解：AC=AB-CB=3（e1+e2y（e2-el）=4el+2e7=2CD,

所以4,D,C三点共线.

故选:C.

18.如图，在Y/BCD中，点M为N5的中点，点N在8。上，3BN=BD.

求证：M,N,C三点共线.

【详解】设函=Z,屈=3,

则两=/+2函d+g防=3+曲-*1+京

—►3―►

所以CM=—CN,

2

又因为由，国有公共起点C,所以M,N,C三点共线.

【巩固练习1］已知加=Z+5B，NP=-2(a-4b),PQ=Xa-b),则()

A.M,N,尸三点共线B.M,N,。三点共线

C.M,P,。三点共线D.N,P,0三点共线

【答案】B

【解析】•.•赤=—25+丽，PQ=3(a-b),

:.NQ=NP+PQ=-2a+Sb+3(a-b)=a+5b,

•：MN=a+5b-：.MN^NQ,

由平面向量共线定理可知，砺?与廊为共线向量，

又・・・痂与福有公共点N,:.M,N,。三点共线，故选：B.

【巩固练习2】已知不共线的向量且益=£+无，BC^-5a+6b＞加=7々—无，则一定共线的三点

是()

A.A,B,DB.A,B,C

C.B,C,DD.A,C,D

【答案】A

【分析】利用向量的共线定理一一判断即可.

UUULULLI1ULULUJLUII

【详解】对A,AD=AB+BC+CD=3a+6b^

所以4=3益，则48,0三点共线，A正确；

对B,4=益+沅=4+丽，

则不存在任何2eR,使得养=尢豆，所以48,C不共线,B错误；

ULAUUULUUULU1X

对c,BD=BC+CD=2a+4b，

UUHUUUL

则不存在任何〃eR,使得BD=〃BC,所以B,C,。不共线，C错误；

对D,AC=AB+BC^^a+^)，

则不存在任何feR,使得历=/元，所以4。,。不共线，D错误

【巩固练习3】如图，在中，CD^2l5B,AE=EC.

(1)用牙)，而表示4。，JE；

(2)若点〃满足商=—4方+3万，证明：B,M,E三点共线.

24

—.—.—._—.3—-

【答案】(1)/。=—2他+3加，BE^-2AB+-AD

⑵证明见解析

【分析】(1)利用向量的线性运算和基本定理求解即可.

(2)利用三点共线的判定证明即可.

【详解】⑴因为丽=2砺，屈=皮，

AC=AB+BC=AB+3BD

=AB+3(AD-AB^=-24B+3AD,

BE=BA+AE=-AB+-AC

2

----1/-------1----------,b1---»

=-AB^-\BC-BA\=——AB+-BC

2、122

=」次+工义3防=」在+工义3(而-函

2222、'

—•3—•

=-2AB+-AD.

2

(2)由而=」方+。衣，

24

可得诙=一4次+。*2荔=—1商+▲标，

2422

所以2新=—M+3益，AE-AB=2(AM-AE),即诟=2西，

所以B,M,£三点共线.

中档题型

【题型7】平面向量共线定理的推论

/核心•技巧/...............

平面向量共线定理的推论——系数和为1：

已知定=X例+〃而

①若2+4=1,则A、B、C三点共线；

②若则A、B、C三点共线，则2+〃=1.

证明

证明①：由x+y=lnA,B,c三点共线.

由x+y=l得：PC=xPA+y~PB=xPA+(1-x)~PB^PC-PB=x(PA-PB)^BC=xBA.

即前，威共线，故A,B,C三点共线―

(2)由A,B,C三点共线nx+》=l.

由A,B,C三点共线得反S威共线，即存在实数2使得数=2拓.

故而+定=4(而+方)n定=2万+(1-4)而.即x=4y=l—4,则有x+y=l.

__1_2►

19.在小吕。中，N是4C上的一点，旦AN=—NC,尸是5N上的一点，^AP=mAB+—~AC,则实数冽

311

3

【答案】一

11

【分析】根据给定条件，利用基底向量方,％表示出衣，再借助平面向量基本定理列式计算作答.

—*1—»—>1—.—►—►

【详解】在A4BC中，由AN=^NC得:AN=-AC,因为P是BN上的一点，则有防=/L8N,/leR,

______

即AP-AB=2(AN-AB),AP=(1—X)AB+AAN=(1—X)AB+—AC,

__2____________,__3

X.AP-ITIABHAC,且不共线，于是得＜X2,解得加=—,

11—=——11

1411

3

所以实数冽的值为一.

11

20.(深圳二模)已知△