2025年高考数学二轮复习测试卷（新高考Ⅰ卷专用）

2025年高考数学二轮复习测试卷01（新高考I卷专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合4=,《2卜2V4卜3=则AB=（）

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{-2,-1,0,1}D.{-1,0,1,2}

【答案】B

【解析】A={xeZ|x2<4}={-2,-1,0,1,2},

由;V2'<2,解得-2?x1,故3={尤|-24x<l},

故4门8={-2,-1,0}.

故选：B

2.已知aeR,i为虚数单位，若复数（2+i/a+i）的实部与虚部相等，则（）

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】D

【尚军析】（2+i）3+i）=2a—l+（2+〃）i,

所以2a—1=2+a,解得a=3.

故选：D

3.已知向量1々1=2,〃在，方向上的投影向量为-3〃，则（）

A.-12B.-6C.6D.12

【答案】A

a•h

【解析】依题意，b在〃方向上的投影向量为丝。=-3°,则”=-3,而|。|=2,

|a|21«|2

所以。•匕=—12.

故选：A

1兀5兀

4.已知sin[a+E)=则sin2a

—,aG1，-6~

4A/624^6

A.瓜

【答案】D

【解析】由ae

故选：D.

5.已知双曲线C:左-丁=1（〃>0）,点以在。上，过点M作C两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B,

3

若=则双曲线。的离心率为（）

A.逅B.73C.巫D.也

233

【答案】D

【解析】设点Af（与,%）,贝44-尤=1，即片

a

又两条渐近线方程为y=土工x,即x土冲=0,i^\MA\-\MB\=y

=°l==-,

a4rz7^71cc4

故选:D.

6.如图，侧面展开图为扇形AOD的圆锥和侧面展开图为扇环ABCD的圆台的体积相等，且OB=九。4,则万=

C.272D.2

【答案】D

【解析】设侧面展开图为扇形A8的圆锥的底面半径为「，高为心则该圆锥的体积匕=：产力.

侧面展开图为扇形BOC的圆锥的底面半径为力,高为刀2,则该圆锥的体积匕=?〃)2助=万匕.

由题可知匕=2匕，从而万=2.

故选：D.

7.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，a“M+(-l)"%=sin£(〃eN*),则邑侬=()

A.-正B.0C.—D.72

22

【答案】C

【解析】当〃为奇数时有4+1+sing,函数y=sin;(〃eN*)的周期为8,

故有*+4+8=。“+1+。”，

44r.7iA/2.3n^2.5兀6.7兀V2

oxa2+%=sin—=2，。4+%=sin+%=sin——，/+%=sin——，

则$8=0,^<S=252x0+—+.

20222222

故选：C.

8.已知“X)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x-a.若则“的取

值范围为()

A.(-oo,0]u[2,+oo)B.y,2]

C.[0,2]D.(-oo,0]

【答案】A

【解析】当a=0时，/卜-/）4〃力显然恒成立.

当时，/■1-//了⑴可以理解为将/⑴的图象向右平移/个单位长度后，得到的/[-/）的图象

始终在〃x）的图象的下方（或重合）.

当。＞0时，由/（X）的图象可知，

-a+a2＞a1贝!J/22a,解得a＞2；

当。＜0时，作出函数/（x）的图象如下图所示:

由图可知，函数/（x）在R上为增函数,

对任意的尤eR且。＜0时，x-cr＜x,f（无一尤）恒成立

综上所述，。的取值范围为（y,0]u[2,+o＞）.

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了0份，将得分

（满分100分）进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，且竞赛成绩

落在［90,100）内的人数为10,则（）

A.m=O.Ol

B.n=100

C.估计参赛选手得分的平均分低于70分（同组数据用该组区间的中点值作代表）

D.估计参赛选手得分的中位数在［70,80）内

【答案】ABD

【解析】对于A、B,由10x(0.006+0.012+0.02+0.032+0.02+m)=l,

得机=0.01,贝心=迫=100,故A,B正确；

10m

对于C,估计参赛选手得分的平均分为x,

贝i]x=0.06x45+0.12x55+0.2x65+0.32x75+0.2x85+0.1x95=72.8,故C不正确;

对于D,因为0.06+0.12+0.2=0.38<0.5,0.06+0.12+0.2+0.32=0.7>0.5,

所以估计参赛选手得分的中位数在［70,80）内，故D正确.

故选：ABD.

10.已知函数〃x）=Asin（0x+9）（A>O,0>O,O<9<7t）,若〃x）及其导函数尸（x）的部分图象如图所示，则

A./(X+7T)=/(X)

B.函数/(X)在[I，蔡]上单调递减

C.尸(X)的图象关于点(-/o)中心对称

D.〃x)+_f(x)的最大值为g

【答案】AB

【解析】因为〃x)=Asin(<yx+0),所以/'(无)=oAcos(a)x+(p),根据图象可知，当无葭0*J时，/'(x)>。,

[A.—\[A—\

所以/(x)单调递增，故。=2'从而0=2.

又=所以sin][+e]=l,由0<夕<兀得"=三，

故/'(x)=sin[2x+m],/,(x)=2cos^2x+y^.

选项A：/(x)=sin(2x+^)的最小正周期为1=兀，故小+兀)=/(x),A正确.

7TTT37r7T77r

选项B：令一+2EV2x+—V-----卜2kit,keZ,解得---\-kn<x<----卜kit,keZ,

2321212

故函数〃力在法,高上单调递减，B正确.

选项C：由于r(x)=2cos(2x+",7[-胃=2cos[j+£|=2,

故/'(x)的图象不关于点中心对称，故C错误.

选项D：/(x)+/'(x)=sin[2尤+殳]+2cos[2x+工]=若sin[2x+—+0

其中6为锐角，且tan6>=2,(辅助角公式的应用)，所以/(力+/'(耳的最大值为石，D错误.

故选：AB

11.已知平面内一动点与两定点连线的斜率的乘积为定值时，若该定值为正数，则该动点轨迹是双曲线(两

定点除外);若该定值是负数，则该动点轨迹是圆或椭圆(两定点除外).如图，给定的矩形"CD中，IAB|=。，

IBC\=b（a>b>0）,E、F、G、H分别是矩形四条边的中点，M、N分别是直线EG、AB的动点，OM=2OG，

BN=pBE,其中且直线与直线NP交于点P.下列说法正确的是（）

A.若办=一1,则P的轨迹是双曲线的一部分

B.若办=T,则P的轨迹是椭圆的一部分

C.若a=〃，则尸的轨迹是双曲线的一部分

D.若4+〃=0,则尸的轨迹是椭圆的一部分

【答案】CD

刿a,呜a，o），《。，-金b，Bab

【解析】由已知可得m-

2222，-2

0，-］可得，M（0,Ab

贝I]由=WG=

2

ab硝一〃）b、

由=可得，ON=OB+/JBE=+〃-利=

2，-222J

’(1b'

所以N

I22J

所以,k

b2

所以,

a]napi~a2,

2b21b-

对于A、B项，因为切=一1,所以%MM*=—2~2―,显然心酒不是一个常数，所以此时尸

4a〃a

的轨迹既不是双曲线，也不是椭圆，A、B均错;

b2

对于C选项，kHM-kNF=,此时％“MNF的结果为一个大于。的定值，所以P的轨迹是双曲线（顶点除

外），C对;

b2

-彳,此时如“-k的结果为一个小于。的定值，所以P的轨迹为椭圆（顶点除外）,

对于D选项，kHM-kNF=NF

D对.

故选：CD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.甲、乙、丙等5人站成一排，要求甲、乙不站在丙的同一侧，则不同的站法共有种.

【答案】40

【解析】先站甲、乙、丙3人，共有A；=2种不同的站法，

再站剩余2人，先将1人排到甲、乙、丙3人之间的空位中，

最后将剩余的1人排到前面4人之间的空位中，

共有4x5=20种不同的站法，

根据分步乘法计数原理，不同的站法共有2x20=40种.

故答案为：40

13.欧拉函数研”)表示不大于正整数〃且与〃互素(互素：公约数只有1)的正整数的个数.知

1--1-—1--,其中，0是”的所有不重复的质因数(质因数：因数中的质

IR人Pi)IP,)

数).例如9(100)=100*(1-；.1一^=40.若数歹!]{4}是首项为3,公比为2的等比数列，则

。（2+。3）+。3）+,+0（4oo）=.

【答案】2m

【解析】由题意可得%=3X2"T,

贝！]"(q)=P⑶=3x(l_；j=2,

当心2时，夕(%)=3x2"Tx]l-3{1一j=2〃T,

12100

则0(q)+0(%)+°(%)++^(a100)=2+2+2++2"==2.

故答案为：2侬

14.现有质量分别为1,2,3,4,5,7千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件

货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一、二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率

是.

2

【答案】y/0.4

【解析】由于六件货物的质量之和不是3的倍数，因而不可能出现三个箱子的总重量都相同的情况.

设事件A表示存在两个箱子，它们的总质量相同且同时最小，事件B表示第一、二个箱子的总质量均不小于

第三个箱子的总质量.

9

由对称性，可得「（2|A）=§.

当A发生时，这两个箱子的货物组合只能是｛1,4｝和｛2,3｝,｛1,5｝和｛2,4｝,｛2,5｝和｛3,4｝三种可能，故

r1A21

5C泻5

当A不发生时，彳表示仅有一个箱子的总质量最小，于是由对称性，得P仅同=，

故尸（2）=P（B⑶尸网+尸（2团尸®=gxg+gxg=|.

2

故答案为：—.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）

△ABC的内角A5,。的对边分别为〃，"j已知。=1,〃+2以）5区=2々.

（1）求。的值；

（2）求周长的最大值.

【解析】（1）（方法一）因为c=l,Z?+2cos5=2a,所以Z?+2ccos_B=24i,

贝!Jsin5+2sinCeosB=2sinA.

又sinA=sin（8+C）=sin8cosc+cosBsinC,所以sin=2sinBcosC.

因为sin区wO,所以cosC=L.

2

又Ce（O,7i）,所以C=]

^22_,2

（方法二）由余弦定理得cos8="+c，

2ac

因为c=l,所以b+2cosB=b+a——=2〃，贝1Jab="+"一i.

a

22222

厂a+b-ca+b-11

2ablab2

因为Ce（O,7i）,所以C=

(2)由(2)*SJ*彳导c?=/+/—2〃Z?cosC=a?+/?2—=(a+b)—3ab,

从而(a+Z?)2-3ab=1.

因为HW担p,当且仅当。=6时，等号成立，所以(a+b)2_3一J"；"，

从而a+6V2,则VABC周长的最大值为3.

16.(15分)

某商场为了吸引顾客，邀请顾客凭借消费金额参与抽奖活动.若抽中金奖，则可获得15元现金；若抽

中银奖，则可获得5元现金.已知每位顾客每次抽中金奖和银奖的概率分别为|■和;，且每次中奖情况相互

独立.现有甲、乙两位顾客参与该商场的抽奖活动，其中甲有2次抽奖机会，乙有1次抽奖机会.

(1)求甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率；

(2)记甲、乙两人抽奖获得的现金总金额为X,求X的分布列与期望.

【解析】(1)若甲抽中2次银奖，则由甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额，可知乙也

得抽中银奖，此时概率qJUxLL

⑶327

若甲至少抽中1次金奖，则甲抽奖获得的现金金额一定大于乙抽奖获得的现金金额，此时概率

故甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率尸=4+6=房25

(2)记甲、乙两人抽奖获得的现金金额分别为y,Z,则乂=/+2.

由题可知尸(y=io)=mP(y=20)=C^x|x|=^p(y=30)=||j=：

i2

尸(Z=5)=§,P(Z=15)=-,

贝ljP(X=15)=！x』=A,P(X=25)=-X-+-X-=-,P(X=35)=-x-+-xl=-

'79327'793939'793939

p(X=45)=-x-=—.

'79327

X的分布列为

5555

18

2727

i248

E（X）=15x—+25x-+35x-+45x—=35.

''279927

17.（15分）

如图，在三棱锥尸—ABC中，AB=BC=AC=PC=4,PA=PB=2丘,M是线段PC上的点.

5^--------

(1)求证：平面2平面4BC；

(2)若直线尸河与平面所成角的正弦值为诿，求PAf的长；

4

(3)若M2,平面ABC,。为垂足，直线P。与平面ABN的交点为N,当三棱锥河-A3。体积最大时,

求PN的长.

【解析】(1)取AB的中点。，连接OC、OP,

因为AB=4,PA=PB=2A/2.则尸O_LAB,

所以尸矛+尸^=.2,所以上4_LPB,所以P0=；AB=2,

又因为AB=3C=AC=4,所以OBJ_OC,则CO=JsC：-BO?=依-22=2代,

又因为P(?2+CO2=pcL所以尸O_LOC,

又因为POJ_AB,ABoOC=Q,AB,COu平面ABC,所以尸O_L平面ABC,

又因为POu平面APB,所以平面ABP1平面ABC.

(2)因为OP_L平面ABC,OC±AB,

以点0为坐标原点，OB、OC、。尸所在直线分别为x、丁、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

P/^M

8y

x

则人（一2,0,0）、3（2,0,0）、C（0,273,0）,P（0,0,2）,所以，5P=（-2,0,2）,

因为M为棱尸C上的点，设尸M=XPC=X（0,26,-2）=（0,2j^,—22）,其中0W4W1,

所以，BM=BP+PM=（-2,0,2）+（0,2732,-2A）=（-2,2^2,2-22）,且AB=（4,0,0）,

设平面ABM的法向量为方=（西,y”Z］）,

m-AB=4%=0

rn•BM-—2%+,2y/3Ay+（2—2X）z1=0

不妨取％=彳-1，可得根=（0"-1,&）,

因为线PM与平面ABM所成角的正弦值为好,

4

2

则厂2,i=L化简可得：4万—24—1=0,

4万一2；1+1

解得：4=上5或X=上避（舍去）.

44

所以PM=；lPC=l+5

（3）设M（Xo，%,Zo）,因为尸加=2尸。=仅,2百4—22）=（%,%，2（）-2）,其中0v4vl,

%=0%=°

所以，＜%=2布%,可得，%=2后，即点皿0,2⑨,2-2/Q,

ZQ—2——2XZQ=2—2Z

因为MQL平面ABC,则点以0,2履,0）,SAABQ=^-AB-y0=2y0=4y/3A,

^M-ABQ

当且仅当4=1一4（。<2<1）时，即当2时，等号成立，

故当点M为线段PC的中点时，三棱锥V-ABQ的体积取最大值正,

3

此时，点。倒,也,0）,

z」

X

由(2)可知，此时，平面ABM的一个法向量为右)，

设PN=〃尸Q=〃(0,也,一2)=(0,岛,一2〃)，其中O4〃W1,

则3N=8尸+PN=(-2,0,2)+(0,-2〃)=卜2,圆,2-2〃)，

因为BNu平面ABM,则BNJ_a，

所以，BN-it=—y/3/j+2-\/3(1—//^=>/3(2—3/z^=0,解得〃=§,

所以，PN=0,^-,--,

、33J

所以,N卜平.即PN的长为手.

18.(17分)

已知函数"x)=em.-x-L

⑴当°=1时，求函数〃x)的极值；

(2)求函数〃x)的单调区间；

(3)若对任意的实数左，b,曲线y=〃x)+丘+b与直线y=^+6总相切，则称函数“X)是“A函数”,

当。=1时，若函数g(x)=e*"(x)-x+l]+根是“A函数”，求机.

【解析】(1)函数”x)=>—x—1,/'(力=枇"-1,

当a=l时，r(x)=e'-1,.(0)=0,

当XW(F,0)时，/(x)<0,/■(%)单调递减，

当X«O,4W)时，尸⑺>0,/(%)单调递增，

故〃尤)有极小值/(0)=0,无极大值.

(2)由(1)可知：当a«0时，/'(%)=ae"'—1W—1,/(无)在(—8,+8)单调递减；

1In—

当。>0时，令ae6—1=0,得e^=—,_〃Ina,

ax=

aa

Ina

所以广=0,且r(x)=ae"-l为增函数,

a

In”

当X<-野时,f'(x)<0,/(x)在—oo,---单----调递减;

a

当x>-也时，尸(x)>0,Intz

,+8单调递增;

aa

综上,

当aWO时，/(%)的单调递减区间为(―,+e),无递增区间;

ln〃ln〃)

当。>0时，“X)的单调递减区间为—oo,---,----单调递增区间为

ak；

(3)当。=1时，函数g(x)=e[〃x)-x+l]+m=e*(e*-2x)+机是“A函数”,

求导得g'(无)=2e，(e-x—l),

设曲线〉=8(3)+区+6与直线>=丘+6切点(%,%),

2x)+根=0

y=g(xo)+kxo+b=kxo+b..g(x0)=O0

则0即

=。'

g'(x0)+k=kg'(xo)2e为-%-1)=0

设易知”(。)=0,且〃(x)=e，-1是增函数,

当xe(0,+co)时，〃(尤)>0,/?(%)单调递增，当xe(-oo,0)时,//(%)<0,/?(%)单调递减,

所以//⑺血小奴。^。，所以升=0是方程”-毛-1=0的根，且唯一,

19.(17分)

在平面直角坐标系xOy中，重新定义两点A(X],必),3(%,%)之间的“距离”为|=|x2-x1|+|y2-y1|,我

们把到两定点耳(-。,0),巴(c,O)(c>0)的“距离”之和为常数2agc)的点的轨迹叫“椭圆”.

⑴求“椭圆”的方程;

⑵根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由;

(3)设c=l,a=2,作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为CC的左顶点为A,过F?作直线交C于

M,N两点,AMN的外心为。，求证：直线。。与MN的斜率之积为定值.

【解析】(1)设“椭圆”上任意一点为P(%y),则归[+归阊=2%

即|x+c|+|^|+|x-c|+|^|=,gp|x+c|+|x-c|+2|y|=2«(«>c>0),

所以“椭圆”的方程为归+d+卜-4+2|y|=2a(a>c>0)；

(2)由方程+2H=2a,得2M=2Q_|x+d_归一C|,

因为|y|20,所以2"-卜+4—|%—4NO,即2〃之,+4+,一4,

[x<-c\-c<x<c[x>c

所以「或「或C，

\-x-c-x+c<2a[x+c-x+c<2a[x+