2025年高考数学第一轮复习考点专练：函数与方程（学生版+解析）

第06讲函数与方程

（5类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新I卷，第7题,5分求函数零点或方程根的个数正弦函数图象的应用

函数奇偶性的定义与判断

2024年新II卷,第6题,5分根据函数零点的个数求参数范围函数奇偶性的应用

求余弦（型）函数的奇偶性

求含sinx（型）函数的值域和最值

2024年新II卷，第9题,6分求函数零点或方程根的个数求正弦（型）函数的对称轴及对称中心

求正弦（型）函数的最小正周期

函数对称性的应用

2024年新II卷，第11题,6分判断零点所在的区间函数单调性、极值与最值的综合应用

利用导数研究函数的零点

根据函数零点的个数

2023年新I卷，第15题,5分余弦函数图象的应用

求参数范围

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定

义，难度不定，分值为5-6分

【备考策略】1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在区间及零点个

数

2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理

3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解

【命题预测】本节内容通常以函数为载体，考查函数零点，是新高考复习的重要内容

知识点1函数的零点

4、41考点3求图象的交点及交点个数

核心考点

考点4用零点存在性定理判断零点所在区间

考点5根据零点、方程的根及图象交点求参数范围

知识讲解

1、函数的零点

一般的，对于函数y=/(%),我们把方程/(x)=0的实数根/叫作函数y=/(x)的零点。

2、零点存在性定理

如果函数y=/(x)在区间可上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/(。)・/仅)<0,那么函数

y=/(x)在区间(a,。)内必有零点，即％e(a在),使得/(不)=。

注：零点存在性定理使用的前提是/(%)在区间［a,可连续，如果〃尤)是分段的，那么零点不一定存在

3、函数单调性对零点个数的影响

如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断

函数是否单调

4、几个“不一定”与“一定”(假设/(%)在区间(a力)连续)

(1)若/(。)・/伍)<0,则/(龙)“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析/(%)的性质

与图象，如果/(%)单调，则“一定”只有一个零点

(2)若/(a)―/(Z?)>0,则〃尤)“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果/(%)单调，那么

“一定”没有零点

(3)如果/(九)在区间(a,。)中存在零点，则/(a)./(/?)的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。

如果/(九)单调，则/(a)•/(/?)一定小于0

5、零点与单调性配合可确定函数的符号

/（九）是一个在（。力）单增连续函数，x=x（）是/（光）的零点，且/,则xe（a,%o）时,/（x）<0；

xe（x（）,A）时,/（x）>0

6、判断函数单调性的方法

（1）可直接判断的几个结论：

①若/（x）,g（x）为增（减）函数，则〃x）+g（x）也为增（减）函数

②若/（X）为增函数，则—/（%）为减函数；同样，若/（%）为减函数，则—/（%）为增函数

③若y（x）,g（x）为增函数，且/（x）,g（x）>0,则/（尤）-g（尤）为增函数

（2）复合函数单调性：判断y=/（8（司）的单调性可分别判断y8（"与丁=”。的单调性（注意要利

用x的范围求出『的范围），若”g（x）,y=均为增函数或均为减函数，则尸/（g（x））单调递增；

若/=g（x）,y=一增一减，则y=f（g（x））单调递减（此规律可简记为“同增异减”）

（3）利用导数进行判断一一求出单调区间从而也可作出图象

7、证明零点存在的步骤

（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数

（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数/（x）

（3）分析函数/（尤）的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间

（4）利用零点存在性定理证明零点存在

考点一、求函数的零点及零点个数

典例引领

1.（2024•山东青岛•二模）函数/（x）=a，—a（a>0,awl）的零点为（）

A.0B.1C.（1,0）D.a

2.（2024•江苏•一模）函数〃x）=sin12x+3在区间（0,2兀）内的零点个数为（）

A.2B.3C.4D.5

3.（23-24高三下•重庆,阶段练习）（多选）已知函数y=x+10'的零点为A，y=x+lgx的零点为x2,则（）

A.工1+12>。B.玉/<0

%1

C.10+lgx2=0D.4再々一2玉+2/<1

1.（2023・上海徐汇・一模）函数y=lg（2x+l）+lgx的零点是.

2.（2024•河北•模拟预测）函数f（x）=cos3x-4sin2x在区间［-2024兀,2024句内所有零点的和为（）

A.0B.-202471C.101271D.-101271

3.（2024•河北•模拟预测）（多选）已知函数/（x）=e'+2x-2,g（x）=21nx+x-2的零点分别为占,三,贝卜）

X'

A.2再+%=2B.xxx2=e+lwc2

4

C.X]+%2>]D.2X1X2<Ve

考点二、求方程的根及根的个数

典例引领

1.（2024•浙江金华三模）若函数…后，则方程（切=3的实数根个数为（）

A.2B.3C.4D.5

入22龙+3T*〉0

（2/一’万＜0，则关于了方程/（耳=欧+2的根个数不可能

是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

1.（23-24高三下•辽宁•阶段练习）已知函数/（X）=［Y-x+jsin.,则方程=1在区间［一2,3］上的所

有实根之和为（）

A.2B.4C.6D.8

log（l-x）X<\（1\

51

2.（22-23高一上•上海•期末）已知/（%）=।2,则方程/X+--2卜“aeR）的实数根个

-（尤-2）+2X>1\xJ

数不可能为（）

A.5个B.6个C.7个D.8个

考点三、求图象的交点及交点个数

典例引领

（2024•全国•高考真题）当V[0,2菊时，曲线产sinx与，=25叩尤-2的交点个数为（

1.

A.3B.4C.6D.8

2.（2023・全国•高考真题）函数y=/（x）的图象由函数y=cos12x+£的图象向左平移B个单位长度得到,

0

则y=/（x）的图象与直线y=的交点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

1.（2024•江苏盐城•模拟预测）函数丁=85与y=lg|H的图象的交点个数是（）

A.2B.3C.4D.6

2.（2021•全国•模拟预测）已知函数/（%）=2sin（s;+e）（G>0,—J<e<1）的零点为龙轴上的所有整数，则函数/（元）

44

的图象与函数g（x）=1x的图象的交点个数为（）

A.8B.9C.10D.11

考点四、用零点存在性定理判断零点所在区间

典例引领

1.（2022高三•全国•专题练习）函数=的零点所在的大致区间是（）

X

A.B.（1,2）C.（2,e）D.（2,3）

2.（23-24高三上•浙江宁波,期末）函数〃力=2工+/-9的零点所在区间为（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

1.（23-24高三下•北京•阶段练习）函数〃尤）=ln（2x）-’的一个零点所在的区间是（）

X

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

2.（2024•陕西安康•模拟预测）函数〃"=加+/-2的零点所在区间是（）

考点五、根据零点、方程的根及图象交点求参数范围

典例引领

1.（2024•全国,高考真题）设函数+g（x）=cosx+2办，当时，曲线丫=/（尤）与

y=g。）恰有一个交点，则”=（）

A.—1B.—C.1D.2

Q|X-1|[、C

2.（2024•安徽合肥三模）设aeR,函数〃x）=2一"一，若函数y=恰有5个零点，则实

-x0

数。的取值范围为（）

A.（-2,2）B.（0,2）C.[-1,0）D.（^,-2）

3.（23-24高一上•重庆•期中）已知a>0,若关于x的方程4/一4/+20%-25=0在工2）上有解，则a的取

值范围为（）

D.MU*

C.u2

1.（2024・全国•高考真题）曲线y=V-3x与y=_（x-l『+a在（0,+动上有两个不同的交点，则。的取值范

围为•

2.（22-23高三上,河北张家口,期末）（多选）已知x>l,方程x-（x-l）2*=0,x-（x-l）log2x=。在区间（1,+co）

的根分别为a,b,以下结论正确的有（）

A.b-a-2a-\ogbB.—+-=1

2ab

C.a+Z;<4D.b-a>\

3.（2024・天津•高考真题）若函数〃3=232一依一版一2|+1恰有一个零点,贝心的取值范围为.

12.好题冲关.

一、单选题

1.（23-24高一上•河北邢台•阶段练习）函数〃x）=lm:+x-8的零点所在的区间为（）

A.（4,5）B.（5,6）C.（6,7）D.（7,8）

2.（2024高三•全国•专题练习）若函数>=0%2+2犬+1有且只有一个零点，则实数。的值为（）

A.1B.0

C.0或1D.一切实数

3.（2024•山西•模拟预测）方程41cost|-〃=0的实数根的个数为（）

A.9B.10C.11D.12

4.（2024高三上•全国•竞赛）方程log,（x+2024）=2的实数解的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

X?+xV0

5.（23-24高一下•浙江•期中）已知函数〃x）='一'则函数g（x）=〃x）-3的零点个数为（）

,%>u,

A.1B.2C.3D.4

6.（23-24高二下•安徽芜湖•期中）已知函数/（x）=3xvlnx存在两个零点，则实数/的取值范围为（）

A.1|',+00）B.1S'：）C.（3e,+co）D.（f,3e）

7.（23-24高三下•福建厦门・强基计划）/（%）=tan%sinx-sin%-tan%+l在［。,2兀］上的零点个数（）

A.1B.2C.3D.4

8.（2024•浙江绍兴三模）已知函数〃2x+l）为偶函数，若函数g（x）="x）+2i+2，T-5的零点个数为奇

数个，则/⑴=（）

A.1B.2C.3D.0

二、填空题

9.（2024高三•全国•专题练习）函数〃x）=2sinx-sin2x在［0,2无］所有零点之和为

l,x<0

10.（2024高三•全国•专题练习）已知函数/（x）=h八则使得方程尤+/（x）=机有解的实数机的取值

一,x〉0

范围是.

一、单选题

1.（2024•山东•模拟预测）已知函数〃同=广。-卓（尤21）,则使“X）有零点的一个充分条件是（）

A.a<—lB.—l<a<0C.0<«<1D.a>l

2.（2024・甘肃张掖•模拟预测）函数〃无）=叫％-1）-尤-1的所有零点之和为（）

A.0B.-1C.y/3D.2

xlnx,x>0,

3.（2024•河北衡水•模拟预测）已知函数〃x）=，-l,x=0,若关于x的方程〃司=依-1有5个不同

xln（-x）-2,x<0.

的实数根，则〃的取值范围是（）

A.（l,+oo）B.（2,+oo）C.（l,e）D.（2,2e）

YX

4.（23-24高三下•浙江•阶段练习）已知函数（无>1）,g（元）=W7-log/G>1）的零点分别为

X—LX—1

a，B,则'+J的值是（）

ap

A.1B.2C.3D.4

二、多选题

||x+l|-l|,x<0

5.（23-24高三下•云南昆明•阶段练习）已知函数〃力=<:X,若方程产(a+2毋(x)-，=。有五

-----,x>0

、x+l

个不相等的实数根，则实数。的值可以为（）

A.-3B,-2C.-1D.0

6.（2024・湖南怀化•二模）已知函数丁=犬+6*的零点为X］,y=x+lnx的零点为巧，贝I］（）

A.玉+工2>°B.玉/<0

%1

C.e+lnx2=0D.xxx2-xx+x2>\

三、填空题

7.（2024•宁夏银川•二模）函数/（%）=优-logaX（Q>l）有两个零点，求。的范围____________

8.（2024•天津•模拟预测）已知函数/（x）=V-依2_|工-4|有3个零点，则实数。的取值范围为.

JQ——一］x>0

9.（2024•江苏徐州•模拟预测）若函数/（x）=x'有两个零点，则实数。的取值范围为.

ex-a,x,,0

--|x+4|,x<1

10.（2024•天津武清•模拟预测）已知函数〃X）=2：，若函数y=/（x）-l恰有3个不同的零点，

（2X-G）",X>1

则实数a的取值范围是.

1.（2024•全国,高考真题）设函数/（幻=2%3-362+1,则（）

A.当。>1时，/（力有三个零点

B.当。<0时，x=0是的极大值点

C.存在a,b,使得X=b为曲线y=/（x）的对称轴

D.存在a,使得点为曲线y=/（x）的对称中心

2.（2023•全国•高考真题）已知函数f（x）=cos5-13>0）在区间［0,2兀］有且仅有3个零点，则。的取值范

围是.

3.（2023・天津•高考真题）设aeR,函数〃力=加_2"/一6+1］,若/（无）恰有两个零点，贝陷的取值范围

为.

4.（2022•天津・高考真题）设aeR,对任意实数x,记〃对=向11{国-2,尤?-依+3a-5}.若至少有3

个零点，则实数。的取值范围为.

5.（2022•北京・高考真题）若函数/（x）=Asinx-6cosx的个零点为不则4=；/^=.

6.（2021・北京・高考真题）已知函数〃%）=旭元|一区一2,给出下列四个结论:

①若％=0,/④恰有2个零点；

②存在负数左，使得恰有1个零点；

③存在负数左，使得了（力恰有3个零点；

④存在正数k，使得Ax）恰有3个零点.

其中所有正确结论的序号是.

COS（24X—2;TQ）.x<a,、，…，

7.（2021•天津•高考真题）设aeR,函数f（x）=r-231口+片+5,转/若小）在区间（。，+⑹内恰有

6个零点，则。的取值范围是（）

5n5n

A.5'WB.r2r

x.O,

8.（天津•高考真题）已知函数〃尤）=若函数g(x)=f(x)-|hc2-2x|（左eR）恰有4个零点，则左

x<0.

的取值范围是()

A.1-℃,-：［u(2V^,+00)

B.(0,2A/2)

C.(-8,0)U(0,2回D.(-00,0)|J(2V2,+00)

9.（全国•高考真题）函数/（x）=2sinx-sin2x在［0,2刃的零点个数为

A.2B.3C.4D.5

x,x<0

10.（浙江•高考真题）已知，力£〃，函数/（%）=<112若函数y=/(x)-ax-Z?恰有

—X3--(CL+1)X+CIX,X0

.32

三个零点，则

A.6i<-l,Z?<0B.a<-l,b>0

C.a>—l,b<0D.a>—l,b>0

第06讲函数与方程

（5类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新I卷，第7题,5分求函数零点或方程根的个数正弦函数图象的应用

函数奇偶性的定义与判断

2024年新II卷，第6题,5分根据函数零点的个数求参数范围函数奇偶性的应用

求余弦（型）函数的奇偶性

求含sinx（型）函数的值域和最值

2024年新II卷，第9题,6分求函数零点或方程根的个数求正弦（型）函数的对称轴及对称中心

求正弦（型）函数的最小正周期

函数对称性的应用

2024年新H卷,第11题,6分判断零点所在的区间函数单调性、极值与最值的综合应用

利用导数研究函数的零点

根据函数零点的个数

2023年新I卷，第15题,5分余弦函数图象的应用

求参数范围

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定

义,难度不定，分值为5-6分

【备考策略】1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在区间及零点个

数

2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理

3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解

【命题预测】本节内容通常以函数为载体，考查函数零点，是新高考复习的重要内容

知识点1函数的零点

4、41考点3求图象的交点及交点个数

核心考点

考点4用零点存在性定理判断零点所在区间

考点5根据零点、方程的根及图象交点求参数范围

知识讲解

4、函数的零点

一般的，对于函数y=/(%),我们把方程/(x)=0的实数根/叫作函数y=/(x)的零点。

5、零点存在性定理

如果函数y=/(x)在区间可上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/(。)・/仅)<0,那么函数

y=/(x)在区间(a,。)内必有零点，即％e(a在),使得/(不)=。

注：零点存在性定理使用的前提是/(%)在区间［a,可连续，如果〃尤)是分段的，那么零点不一定存在

6、函数单调性对零点个数的影响

如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断

函数是否单调

4、几个“不一定”与“一定”(假设/(%)在区间(a力)连续)

(1)若/(。)・/伍)<0,则/(龙)“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析/(%)的性质

与图象，如果/(%)单调，则“一定”只有一个零点

(2)若/(a)―/(Z?)>0,则〃尤)“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果/(%)单调，那么

“一定”没有零点

(3)如果/(九)在区间(a,。)中存在零点，则/(a)./(/?)的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。

如果/(九)单调，则/(a)•/(/?)一定小于0

5、零点与单调性配合可确定函数的符号

/(九)是一个在(。出单增连续函数，x=x()是/(光)的零点，且/e(tz,Z?),则xe(a,x())时,/(x)<0；

*6国⑼时，/(X)>0

6、判断函数单调性的方法

(1)可直接判断的几个结论：

①若/(x),g(x)为增(减)函数，则〃x)+g(x)也为增(减)函数

②若/(X)为增函数，则—/(%)为减函数；同样，若/(%)为减函数，则—/(%)为增函数

③若y(x),g(x)为增函数，且/(x),g(x)>0,则/(尤)-g(尤)为增函数

(2)复合函数单调性：判断y=/岱(司)的单调性可分别判断y8("与丁=”。的单调性(注意要利

用x的范围求出『的范围)，若”g(x),y=均为增函数或均为减函数，则丁=/(g(x))单调递增；

若/=g(x),y=一增一减，则y=f(g(x))单调递减(此规律可简记为“同增异减”)

(3)利用导数进行判断一一求出单调区间从而也可作出图象

7、证明零点存在的步骤

(1)将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数

(2)判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数/(x)

(3)分析函数/(尤)的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间

(4)利用零点存在性定理证明零点存在

考点一、求函数的零点及零点个数

典例引领

1.(2024•山东青岛•二模)函数/卜)=优-阳>0,4W1)的零点为()

A.0B.1C.(1,0)D.a

【答案】B

【分析】令=。=0,解出x即可.

【详解】因为/(x)=a、'-a(a>0,awl),

令/(x)=a*—a=。，解得尤=1，

即函数的零点为1.

故选：B.

2.（2024•江苏•一模）函数〃尤）=sin（2x+；J在区间（0,2无）内的零点个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】利用三角函数的性质求解即可.

【详解】令〃x）=sinf2x+M=0,得2x+&=for,则无=一色+如,aeZ：

（362

兀5411

故上=1,%=—;左=2,%=—兀，左=3,%=一兀;左=4,兀=一71,

3636

所以“X）在（。,2兀）共有4个零点，

故选：C.

3.（23-24高三下•重庆•阶段练习）（多选）已知函数y=x+10''的零点为y=x+lgx的零点为巧,()

A.+x2>0B.x,x2<0

T1

C.10+lgx2=0D.4xtx2-+2x2<1

【答案】BCD

【分析】将零点问题转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可.

【详解】回函数y=x+10、的零点为耳，y=x+lgx的零点为巧，

回函数》=一%与函数y=10'图象的交点的横坐标为占，

函数y=-X与函数y=lgX图象的交点的横坐标为演，

作函数>=-%、函数y=10'、函数y=lg龙的图象如图6,点A的横坐标为七，点3的横坐标为X2,

图6

回函数>=10工与函数y=lgx的图象关于直线y=x对称，函数的图象关于直线>=%对称,

回点A、B关于直线y=x对称，又回点A、B在直线y=-x上，国点4、B关于原点对称，

对于A：回占+%=0,故选项A错误；

对于B：易知玉々<。，故选项B正确；

对于C：回10''=-为，lgx2=-x2,xt+x2=0,010*'+lg尤2=0,即选项C正确；

对于D：由零点存在定理易知-]<玉<0,0<x<,回[%+]][苫2—]]<。，即不%-万玉+万工2-

2<0,

4XJX2-2xx+2x2<1,故选项D正确,

故选:BCD.

1.(2023・上海徐汇・一模)函数y=lg(2x+l)+lgx的零点是.

【答案】1/0.5

【分析】

利用对数运算及零点含义可得答案.

【详解】由题意可得函数的定义域为(。,+e).

y=lg(2x+l)+lgx=lg(2/+x),令y=0可得2尤2+.”1,解得了=1或4―1(舍)，

故答案为：■

2.(2024•河北,模拟预测)函数/Xx)=cos3尤-4sin2元在区间［-2024兀,2024句内所有零点的和为()

A.0B.-2024KC.1012TTD.-1012K

【答案】B

【分析】利用和角的余弦公式及二倍角公式化简函数/(X),由零点意义求得cosx=0或sinx=心二，再借

2

助正余弦函数图象性质求解即得.

【详解】依题意，/(%)=cos(2x+x)-4sin2x=cos2xcosx-sin2xsinx-8sinxcosx

=(1-2sin2x)cosx-2sin2xcosx-8sinxcosx=cosx(l-4sin2x-8sinx),

由"X)=。，得cosx=0或Sinx=@二或sinx=Xi二(不符合题意，舍去)，

22

函数y=cosx是偶函数，在［-2024兀,2024兀］上的所有零点关于数0对称，它们的和为0,

正弦函数，=$皿尤的周期为2兀，方程sinx=a(0<a<l)在［0,2兀］的两根和为无，

在［一2兀,0］上的两根和为-3兀，因止匕sinx=或二2在［2版,2(左+1)兀］,-1012W左41011水eZ上

2

的两根和构成首项为"4047兀，末项为40457r的等差数列，共有2024项，所有根的和为-2024兀.

故选：B

3.(2024•河北•模拟预测)(多选)已知函数f(x)=e*+2x-2,g(x)=21nx+x-2的零点分别为冷三,则C)

%,

A.2玉+%=2B.xxx2=e+lnx2

C.x1+x2>—D.2再％2<\/e

【答案】ACD

【分析】对于A,由题意得9+2%=21n/+9=2,进而得d=%即可求解判断；对于B,先明确零点取值

范围，由占取值范围再结合e'=%即％=也々即可求解判断；对于C,由炉=/即玉=ln%以及零点巧的

取值范围即可求解判断；对于D,结合AB以及将2否%转化成(2-e)炉即可判断.

［详解］对于A,由题.+2占一2=0,21n^2+x2-2=0,

所以+2芯=21nx2+W=2即+2Ine*=21nx2+x2=2,

所以e2=%2，故2玉+々=23+d=2,故A正确；

对于B,由/(x)=O,g(x)=O^#ex=-2x+2,lnx=-^x+l,

故函数尸e'与y=-2x+2图象交点横坐标和尸也了与尸-;x+1图象交点的横坐标即为函数/(x)和g⑺

的零点X，%2，

如图，由图象性质可知0<演<2,

又由A得匕西=冗2，故玉=ln%,

%lx,X1

所以再/=<e<e+玉=e+lnx2,故B错；

对于C,由上2111%2+无2—2=0即21nx2+x2=2,x1=Inx2以及Iv%<2得：

21nx+2x134心

x+x22

i2=Inx2+x2=---------=l+—x2>—>—,故C对；

X|

对于D,由AB得e*=%2，0<Xj<^,2x1=2-e<1,

所以2玉%2=2%e为=(2—9)eX1<eX1<Ve,故D对.

故选：ACD.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是由9+2占-2=0和215+/-2=0得即％=山%，二是数

形结合明确零点的取值范围为0<X1<g且接着对所判式子进行变形放缩等即可判断.

考点二、求方程的根及根的个数

典例引领

1.（2024•浙江金华•三模）若函数…百，则方程（切=3的实数根个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】求导得到函数单调性，画出函数图象，令〃力=乙则/（。=3,且代（-1,0）12«。」）小«2,+8）,

当/3=%«-1,0）时，结合图象可知，只有1个解乙，当/（司=/2«。，1）时，结合图象可知，只有1个解

4，当/（"=/3€（2,+8）时，结合图象可知，由3个解乙/7，%，从而得到答案.

XH,X>0

【详解】/(x)=x+l=<X

x—,x<0

x

"了）=尤_工

当x＜0时,，贝i"(x)=l+5>0,

X

此时〃同=尤—-在（-e,0）上单调递减，

11V2—1

当了＞0时，/（%）=%+一,贝1]7（力=1一--=——,

%xx

故当x＞l时，尸（x）＞0,当0＜》＜1时，r（x）＜0,

故"引=X+J在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增,

画出函数/（x）和＞=3的图象如下：

故玉e（-l,0）,x,e（O,l）,x,e（2,+oo）,

令=J则〃。=3,且/1G（-1,0），440,1），4«2,+8）,

当〃x）=%«T0）时，结合图象可知，只有1个解月，

当外力=/2«0,1）时，结合图象可知，只有1个解％,

当/(%)=1342,+8)时，结合图象可知，由3个解%,积超，

综上，方程/[f(x)]=3的实数根的个数为5.

故选：D

入2_2尤+3JC〉0

/'万＜0,则关于了方程/(x)=«x+2的根个数不可能

(2

是()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】将原问题转化为直线＞="+2与函数y=/(x)的图象交点的个数，作出y=/(x)的图象，分a＞0、

。=0、。＜0三种情况，结合图象求解即可.

【详解】作出函数y=/(x)的图象，如图所示：

将原问题转化为直线、="+2(过定点(0,2))与函数y=/(x)的图象交点的个数,

由图可知，当a=0时，直线＞=2与函数y=/(x)的图象只有一个交点；

当a＜0时，直线丫=办+2与函数y=/(x)的图象没有交点；

当。＞0时，直线y=6+2与函数y=/(x)的图象有三个交点;

所以直线尸"+2与函数y=/(x)的图象不可能有两个交点.

故选：C.

1.(23-24高三下•辽宁•阶段练习)已知函数”"[/r+jsinTU,则方程=1在区间[-2,3]上的所

有实根之和为()

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【分析】首先确定〃龙）的图象关于X对称，然后分X和两种情况进行讨论，利用数形结合的方

法，在同一直角坐标系中画出y=sinm、y=-’通过判断两函数在日，3］1上的交点个数即可求出

函数/（x）=l的实根和.

【详解】因为〃x）=sinjLr,

则〃l-x)=sin7Lx=/(x)，

所以/（X）的图象关于X=g对称，因为=此时〃x）=l不成立,

当工工工时，由〃龙）二1，即

2

J.

sin3兀=0<------z-=——

4,

1

y------------

在同一平面直角坐标系中画出与、=$也4，xe［-2,3］的图象如下所示:

上有且仅有2个交点，图象都关于x=g,

所以所有的实根之和为1x2=2.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题关键是判断出了（元）关于X=；对称，再将方程的解转化为函数与函数的交点横坐

标，根据对称性计算.

|log5(l-x)|X<1(1\

2.(22-23高一上•上海•期末)已知〃尤)=，,则方程，尤+—-2=a(aeR)的实数根个

-(X-2)2+2x>l\xJ

数不可能为()

A.5个B.6个C.7个D.8个

【答案】A

【分析】作出/(尤)的图象，令g(x)=x+：-2,由对勾函数的性质作出g(x)的图象，再对。分类讨论，将

问题转化为关于x的方程％+2=%(具体到每种类型时为为常数)的解的个数问题.

X

|log5(l-x)|X<1

【详解】因为了")=<