2025年高考数学第一轮复习考点巩固卷：平面向量（六大考点）（原卷版+解析）

平面向量(六大考点)

匿龙蛇技巧及考点利推

考点01:共线定理

定理1：B^PC=2PA+z/Pg,^2+x/=l,B、。三点共线；反之亦然

若点A、B、。互不重合，尸是A、B、C三点所在平面上的任意一点，且满足正=》越+丁丽，则A、B、C

三点共线=X+丁=1.

证明：(1)由尤+y=lnA、B、C三点共线.由x+y=1得

PC=xPA+yPB=xPA+(l-x)PB^PC-PB=x(PA-PB)^BC=xBA.

即蓝，就共线，故A、B、C三点共线.

(2)由A、B、C三点共线nx+y=l.

--►--»---►--►­

由A、B、C三点共线得6C,&L共线，即存在实数x使得3c=434.

^BP+PC=2(fiP+PA)^PC=2PA+(l-2)PB.^x=2,y=l-2,则有x+y=l.

1.已知M,N,P,Q是平面内四个互不相同的点，①5为不共线向量，MN=2023a+2025b>

NP=2024a+2024ft,PQ=-a+b,则()

A.M,N,尸三点共线B.M,N,Q三点共线

C.M,尸，。三点共线D.MP,。三点共线

2.已知向量不共线，且"="+坂，S=a+(2A-l)S,若之与I同向共线，则实数彳的值为()

A.1B.—C.1或—D.-1或—

222

3.在AABC中，。为边AC上一点且满足AO=goC,若P为边BD上一点,且满足衣=4瓶+〃/，2,〃为

正实数，则下列结论正确的是()

A.勿的最小值为1B.•的最大值为上

12

C.J+；的最大值为12D.J+；的最小值为4

4.下列说法中不正确的是()

A.若丽=也，贝1词=|西，且4、B、C、。四点构成平行四边形

B.若加为非零实数，_&ma=nb,则M与石共线

/____、

__4D4(^k

C.在AABC中，若有血=r『+『，那么点。一定在角A的平分线所在直线上

【网MJ

D.若向量4〃B,则商与方的方向相同或相反

5.如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点。，过点。的直线与A3,AD所在直线分别交于点M,N,满

^AB=mAM，AN=nAD，(m>0,zi>0),若"?”=：,则的值为.

6.如图，已知AA8C为等边三角形，点G是AA8C内一点.过点G的直线/与线段4B交于点。，与线段AC交于

点、E.设莅=2而，AE=/JAC,且4片0,尸0.

⑴若荏+求#；

3J^AABC

⑵若点G是△ABC的重心，设△A0E的周长为9，及48。的周长为。2.

(i)求<+'的值；

A〃

(ii)设r=〃/,记/⑺=土一，求/■⑺的值域.

。2

7.设心石是不共线的两个非零向量.

(1)若市=4£-2B,OB=6a+2b,OC=2a-6b,求证：A,B,C三点共线；

(2)若2=(7,2),石=(一3,5),"=(6,7),且(Z+无)〃©-刁，求实数k的值.

8.如图，在AABC中，已知AB=2,AC=6屐,ZBAC=45°,BC边上的中点为〃，点N是边AC上的动点(不

含端点)，AM,3N相交于点尸.

(1)求NS4M的正弦值；

⑵当点N为AC中点时，求—MPN的余弦值.

(3)当丽•丽取得最小值时，设丽=彳就，求4的值.

9.设a力是不共线的两个非零向量.

⑴若丽=4。-2瓦丽=63+2反花=2165,求证：A&C三点共线;

(2)已知隆|=5,出|=4&5的夹角为不问当上为何值时，向量祢与5+3力垂直？

,2►

10.如图，在AABC中，AQ为边BC的中线，AP='AQ,过点P作直线分别交边43,4。于点跖M且值=无说,

AN=/JAC,其中几＞0,〃＞0.

(1)当曲〃/时，用而，而表示而；

(2)求＜+’的值，并求22+〃最小值.

考点02:投影向量的求算

1、投影向量的定义/B

如图：如果向量通的起点A和终点5在直线/上的投影分别为4和笈，A//

I

I

I

_______I

那么向量彳万叫做向量荏在直线/上的投影向量(简称为：投影)；i」I

A'B"

理解：一个向量B在一个非零向量Z的方向的投影，就是向量B在向量Z的任意一条所在直线上的投影，因为这些

直线都是平行的，所以，向量B在一个非零向量£的方向的投影是唯一确定的;

特殊地，如图，若两个向量共起点。；

即：OA^a,OB=b,过点5作直线Q4的垂线，垂足为2,

则。8就是向量B在向量Z上的投影向量；

2、投影向量的计算公式

以一点。为起点，；

作：OA^a,OB=b,把射线Q4、08的夹角称为向量3、向量B的夹角，记作：＜£)＞；

<a,b>e[Q,7i]；

<a,B[0,?卜

B

-~*JL—»—»_».—»―»

<a,b>=一,又称向量。，6垂直，记作Q_L。；

2

0(3)A

当＜£,B＞为锐角（如图（D）时，病与k方向相同,

---*———--►'一一一一IAIcos<C(17?>—■

2=|OB|=|b|cos<a.b>,所以OB=\b|cos<a,b>ao=---------z——-----a；

当＜£,5〉为直角（如图（2））时，2=0,所以历'=6

当＜3,坂〉为钝角（如图（3））时，。万与方向相反,

所以X=—IOB|=-1S|cosBOB=-\b\cos(乃一<a,石>)=|B|cos<a,b>

centTSoIr।_7*_Ib|COS<6Z,/?>

所以OB=|b|cos<a,b>ao=-------------------a；

当<Z,B〉=O时，X=|B|,所以砺=\b\a0=^-a；

\a\

当＜£4〉="时，4=—|自，所以砺'=历|cos71ao=网a；

综上可知，对于任意的[0,4],都有QB=|B|cos＜a,B〉募」“c°s："，〃,、

3、数量投影的定义与求法

1

据图：如果令为而为向量。的单位向量，那么

,口T>>■0-、,.,,.—,_、，-*T*—,■IbIcos<a,b>—

向量b在向量a方向上的向重投影为：|B|cos<a,B>/=-------------a；

\a\

其中，实数的cos<£,B>(*)称为向量B在向量£方向上的数量投影；

理解：(1)当<2,石〉<0,1^时；实数曲cos<2,3〉(*)大于0；

(2)当<a,B〉=一时；实数|臼cos<a,B〉(*)等于0；

2

(3)当<4,5〉€[',"]时；实数|B|cos<a,B〉(*)小于0；

特别的：零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量；而相应的数量投影的绝对值是该投影的模，因此，这个数

量投影等于0；

11.向量々=。,0),万与非零向量石的夹角为60。，则方在方上的投影数量为()

A.|B.@C.1D.—百

22

12.若a二(2,1),」二(-4,2),表二(2,左)，〃//;，则£在工方向上的投影向量为()

13.若向量£=(2,3),B=(-1,1),则B在Z上的投影向量的坐标是()

(23、(23、(23、(23、

A-B.后句C.D.[wj

14.己知向量4=(0cosa,而ina),B=(2sin/5,2cos/?),忸-可=4,则方在2上的投影向量为()

1f

A.2bB.2五C.-~^bD.——a

2

15.空间向量3=(1,0,1)在石=(0,1,1)上的投影向量为()

abcD.

---H4)I22J

16.下列关于向量的说法正确的是()

A.若5//石，bile，则商服

B.若单位向量方，5夹角为B，则向量方在向量方上的投影向量为自B

c.若日与5不共线，且的+区=0,贝Ijs=/=o

D.若互=且mwO，则五=B

17.已知向量£=(-1,5),5=(-3,4),则向量B在1/方向上的投影向量的坐标为

18.已知西二(加一1,2),b=(l,m).

⑴若快+目=2且相<0,求也在方方向上的投影向量;

⑵若日与在的夹角为钝角，求实数机的取值范围.

一（6、

19.已知向量〃二（1,百）,b=\m,一m,meR.

13,

（1）若机=3,求卜+©；

⑵若卜-1”,求石在Z上的投影向量（用坐标表示）

20.己知同=也网=1,4与5的夹角为451

⑴求行在己方向上的投影向量；

（2）求恢+目的值.

考点03:奔驰定理解决三角形面积比问题

奔驰定理一解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

已知AABC的顶点A（玉，%）,B（X2,%）,C&，%），则4ABC的重心坐标为G（士号也，*±与土&）.

注意：（1）在AABC中，若O为重心，则J西+9+反

（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1,且分的三个三角形面积相等.

重心的向量表示：・

奔驰定理：SAOA+SBOB+SCOC=Q,则八4。3、AAOC、ABOC的面积之比等于4：4：4

奔驰定理证明：如图，令4次=两，4丽=函,^oc=oc[,即满足砺1+砺1+反1=0

SAAOB_]Sj\AOC_]S^KOC_]+ho.c-.c_;.;.;

-7-7.'一9T-n;，叫•°AAOC'°ABOC一小•勺•多・

44》MOG、ABiOC]（七

.1—.2—►

21.点。在AABC的内部，且满足：AO=-AB+-ACf贝1J融。的面积与四g的面积之比是（）

75

A.—B.3C.—D.2

22

22.设点。是AABC所在平面内一点，则下列说法错误的是（）

A.^OA+OB+OC=0>则。为AABC的重心；

B.^(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=0,则。为AABC的垂心;

则AABC为等边三角形;

c-若喘+焉"喘,嘉t

D.^OA+WB+3OC=Q,则ABOC与AABC的面积之比为％BOC：SOBC=1：6.

23.已知。为445C所在平面内的一点，且次=3砺+4诙，则下列说法正确的是（）

A.若画=国=1且防,能,则网=5

―-1―•2—■

B.AO=-AB+-AC

23

C.△408与&钻。的面积之比为3:4

D.△7108与招0。的面积之比为4:3

24.AABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,其外接圆半径为R,下列结论正确的有（

A.若G是AABC的重心，则方+向+%=0

.1__.?___■

B.。是AABC所在平面内一点，^AQ^-AB+-AC,则AABQ的面积是AACQ的面积的2倍

sinB2加in。

C.若一—=b+c,则AABC是等腰三角形

cos—

2

a

D.若/=27-〃，3cos（A-B）cosC=l,则AASC的外接圆半径R=1

25.44BC的内角A,2,C的对边分别为a,6,c,其外接圆半径为尺,下列结论正确的有（）

A.若G是AAFC的重心，且+b而+£祝=6,贝UA=3O。

3

—＞1＞

B.。是AABC所在平面内一点，^AQ=-AB+-AC,则的面积是^ACQ的面积的2倍

sinB_2Z?sinC

C.若—7A=~b+T＞则AABC是等腰三角形

cos——

2

D.若"=27—62,3COS（A—B）COSC=1,则AABC的外接圆半径R=：

26.下列说法中正确的是（）

A.在AABC中，AB=c，BC=a^CA=b＜若£石＞0，贝UA4BC为锐角三角形

B.已知点。是平面上的一个定点，并且A,B,C是平面上不共线的三个点，动点?满足

/___________\

OP=0A+2|=^|+p=|（2e（0,+oo）1,则点p的轨迹一定通过AABC的内心

C.已知；=（1,2）,^=（1,1）,Z与a+/lB的夹角为锐角，实数4的取值范围是，*+②]

3

D.在AABC中，若2幅+3丽+5反=6，则AAOC与AA05的面积之比为二

27.在“LBC中，下列说法正确的是（）

ABACn

A.若（而+而>BC=°，则AABC是等腰三角形

B.若前.衣=/丽，网，（AB-AC）.（AB+AC）=O,则AASC为等边三角形

___2_____,1__.1

C.若点M是边BC上的点，MAM=—AB+—AC,则△AMC的面积是AABC面积的§

D.若。分别是边3C中点，点尸是线段A£>上的动点，且满足丽=4丽+〃初，则人"的最大值为:

O

28.对于△ABC,有如下判断，其中正确的判断是（）

...c.cccnrb+2c2Z?+C/

A.若。=2,A=30。，贝U------------------=------------------=4

sinB+2sinC2sinB+sinC

B.若1=8,6=10,6=60。，则符合条件的AABC有两个

__,IAiiAr1

C.若点尸为AABC所在平面内的动点，且Q=a『——+『——"€（0,+8）,则点尸的轨迹经过AABC

|AB|COSB|AC|cosCj

的垂心

D.已知。是AABC内一点，若2函+砺+3岳=。,5△/血iOV,z5△/招1DVc分别表示AAOCAABC的面积，则

SAAOC'S"BC=1：6

29.若加是AABC内一点，且满足丽+配=4两，贝LAB/W与/XACM的面积之比为.

22

30.已知在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若AABC的面积S=a6c,sinA+sinC+sinAsinC=2bsinB.

⑴求角8的大小；

（2）若丽.配=T,^.2OA+OB+2.OC=0,求AQ4C的面积.

考点04:平面向量之三角形四心问题

一、四心的概念介绍：

（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：L

（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等.

（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等.

（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.

二、三角形四心与推论：

（1）。是八45。的重心：SABOC:SACOA:S^A0B=1:\:1^OA+OB+OC=6.

（2）O是AABC的内心：S^B0C:S^COA:SAAOB=a\b\c<^aOA+bOB+cOC=6.

（3）。是ZWC的外心：

SABnr::5A,OB=sin2A:sin2B:sin2C<=>sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.

(4)O是ZVIBC的垂心:

SARnr:SArn4:S^ACR=tanA:tan3:tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=6.

【方法技巧与总结】

（1）内心：三角形的内心在向量兽+昌所在的直线上.

网M

|AB|-PC+|BC|-PC+|C^-PB=OOP为"BC的内心.

（2）外心：|西卜|丽卜|因oP为△ABC的外心.

（3）垂心：⑸・丽=丽・定=无・雨oP为的垂心.

（4）重心：苏+通+前=6o尸为AABC的重心.

31.已知。为三角形ABC内一点，且满足西.屈=砺.灰文•次和丽=2函+3反，则角8为（）

兀一兀一兀一兀

A.-B.-C.-D.一

6432

32.已知。，A,B,C是平面上的4个定点，A,B,C不共线，若点尸满足初5=砺+2（而+正），其中XeR,

则点尸的轨迹一定经过AABC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

33.已知44BC,向量丽，0B,反满足条件次+历+玩=0，|西|=|砺|=|反则/^比:是（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.直角三角形

34.已知点P在44BC所在平面内，若可・（。一^）=而•（"—=）=（）,则点P是44BC的（）

\AC\\AB\\BC\\BA\

A.外心B.垂心C.重心D.内心

35.己知在AABC中，H为AABC的垂心，。是AABC所在平面内一点，S.OA+OB=CH,则以下正确的是（）

A.点。为AABC的内心B.点。为44BC的外心

C.NACB=90。D.AABC为等边三角形

36.设点。是"RC所在平面内任意一点，AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知点。不在44BC的

边上，则下列结论正确的是（）

A.若点。是44BC的重心，则回不+旃=祝

B.若点0是AABC的垂心，贝可而+丽）•南=0

C.^iOA+OB\AB=（OB+OC\BC=0,则点0是的外心

D.若。为AABC的外心，X为AABC的垂心，则而=应+为+又

37.在AABC中，有如下四个命题，其中正确的是（）

A.若衣.而＞0,贝UAABC为锐角三角形

B.AABC内一点G满足GX+砺+反^0，则G是AABC的重心

C.若|丽+品|=pg,则AABC的形状为等腰三角形

D.若西•而=而•无=斤・雨，则尸必为AABC的垂心

38.下列说法中，正确的是（）

A.若a\b\,则£=B或2=5

B.在平行四边形ABCD中，AB-AD=BD

C.在AABC中，若丽.而<0，贝必ABC是钝角三角形.

D.内有一点。，^SzOA+OB+OC=0,则点。是三角形的重心

39.点。是平面a上一定点，A,B,C是平面a上44BC的三个顶点，NB,NC分别是边AC,AB的对角.有以下

四个命题:

①动点尸满足而=次+而+正，则的外心一定在满足条件的点集合中;

A、ABCP

②动点尸满足无=西+力昌+当（％>。），则AA5c的内心一定在满足条件的尸点集合中;

7

(IMuun)

uunuurABAC

③动点尸满足。尸=04+4-tM—+-M-------a>o）,则“Re的重心一定在满足条件的尸点集合中;

ABsinBACsinC

(ABAC、

④动点尸满足。尸=。4+彳（2>0）,则^ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确

|AB|COSB|AC|COSC

命题的个数为

_._.A

DZ~*DA

40.AABC中，角A,B,C对边分别为a",c,点尸是AABC所在平面内的动点，满足/=丽+之河+网（2>0）.

射线BP与边AC交于点D.若a2+c2-b2=ac,BD=2,则AABC面积的最小值为.

考点05:极化恒等式解决向量数量积问题

（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和:

|a+^|2+|a-g|2=2(|a|2+|&|2)

证明：不妨设通==B,贝！J衣=£+B,DB=a-b

|AC|2=AC=^+S)2=|a|2+2a-b+\b[①

|研=帚=(力)2=同_22.5+际(2)

①②两式相加得：

(2)极化恒等式：

上面两式相减，得：：[(a+b)2-(a-4]-----------极化恒等式

①平行四边形模式：鼠B=R|AC「TZ)B|1

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的工.

4

②三角形模式：=(M为30的中点)

TT

41.在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=2,/BAD=§,点尸在CD边上，AP.AB=4＞则衣•丽=(

A.0B.——C.-1D.1

2

42.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从

窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2,若正八边形ABCDEED”的边长为2,P是正八边形⑷?CDEPG”八

条边上的动点，则万•通的最大值为()

D.2A/2

43.已知。是平面上一定点，AEC是平面上不共线的三个点，J.(OB-OC).(05+OC-204)=0,当忸。=8时,

则丽灰=()

A.64B.32C.24D.8

44.在“IBC中，已知AB=2,AC=不，若点。为&4BC的外心，点M满足加=2碇的点，则无。汨=()

13B.211

A.C.D.3

424

jr

45.已知在边长为2的菱形ABC。中，=点E满足而=3前，则衣•衣=.

46.已知复数z在复平面内对应的点为Z,且满足|z-2-2心2,。为原点，A（l,l）,求西•应的取值范围___.

47.如图，在梯形A3CD中，===1.点P在阴影区域（含边界）中运动，则福.丽的取值范围

为.

48.如图所示，在边长为3的等边三角形A3C中，AD=­AC,且点P在以AD的中点。为圆心，OA为半径的半

49.如图，在AABC中，|而+而|=|南一而BC=y[2BD,IAD|=2,则衣.布=

50.如图，已知网格小正方形的边长为1,点尸是阴影区域内的一个动点（包括边界），O,A在格点上，则万.方

考点06:等和线解决平面向量系数和问题

题型一：x+y问题（系数为1）

题型二：+问题（系数不为1）

题型三：mx-ny问题

（1）平面向量共线定理

已知丽=2砺+〃玄，若4+〃=1,则A3,C三点共线；反之亦然。

（2）等和线

平面内一组基底丽，而及任一向量/，OP=WA+&R）,若点尸在直线AB上或者在平行于他的

直线上，则彳+〃=左（定值），反之也成立，我们把直线4?以及与直线4?平行的直线称为等和线。

①当等和线恰为直线AB时，k=l；

②当等和线在O点和直线他之间时，左e（O,l）；

③当直线AB在点。和等和线之间时，^6（l,+oo）；

④当等和线过O点时，k=0；

⑤若两等和线关于。点对称，则定值左互为相反数；

__,__,__,__,3__,

51.如图，在AABC中，若标=3丽,P为CD上一点,且满足Q=x"+g题（xcR）,则X=（）

52.如图，在正方形ABC。中，CE=2D石，所和AC相交于点G,且尸为AG上一点（不包括端点），若而=2而+〃丽,

31.

则丁+一的最小值为（）

ZjU

A.5+3&B.6+2百C.8+75D.15

53.如图，在44BC中，衣=3福,P是2N上的一点，^AP=LTI+1JAB+|AC,则实数机的值为（）

54.AABC的重心为。，过点。的直线与42,8c所在直线交于点E,F,若诙=一乂痂，BF=yBC（无,y>0）,

则孙的最小值为（）

224

A.-B.-C.-D.4

399

__2_____.__.

55.在AABC中，点。是线段AC上一点，点尸是线段班）上一点，且。5=两，AP=-AB+2,AC,则4=（）

A.—B.—C.—D.—

8643

__,1__.__,__.9__.

56.已知△ABC是边长为1的正三角形，AN=§NC,尸是BN上一点且AP=^A5+§AC,贝U而•砺=（）

219

A.-B.-C.-D.1

993

57.已知口45CZ）中，点P在对角线AC上（不包括端点A,C）,点。在对角线上（不包括端点3,D）,若

12

AP=\AB-\-/i[BC,AQ=A2AB^-JLI2BC,记22；-4的最小值为加，彳厂+一的最小值为〃，则（）

1919

A.m=——,n=—B.m=——,n=—

8242

1919

C.m=——,n=—D.m=——,n=—

8444

58.如图，在三角形。尸。中，M、N分别是边。P、。。的中点，点R在直线脑V上，且砺=工而+丁丽（x,yeR）,

则代数式+产-x-y+g的最小值为（）

P

A.@B.也C.史D.也

2642

59.如图所示，区是AC的中点，丽=2砺，尸是平行四边形5CDE内（含边界）的一点，且。尸=%Q4+yO3（x,y£R）,

贝!J当y=2时，X的范围是.

60.如图，已知平行四边形ABC。的对角线相交于点0,过点。的直线与A5,所在直线分别交于点“，N,满

足=AN=nAl5,(m>0,ZJ>0),若租”=；,则根+〃的值为

考点巩固卷10平面向量(六大考点)

窿焉盛技巧及考克利依

考点01:共线定理

定理1：已知同=九两+〃两，若2+〃=1,则A、B、C三点共线；反之亦然

G面向量共线定理证Q

若点A、B、。互不重合，P是A、B、。三点所在平面上的任意一点，且满足尸。=刀尸4+丁尸5,则4、B、C

三点共线=%+J=1.

证明：(1)由尤+y=1=>A、B、。三点共线.由尤+y=1得

PC=xPA+yPB=xPA+(1—x)P5=PC-PB=x(PA-PB)nBC=xBA.

(2)由A、B、。三点共线nx+y=l.

由A、B、。三点共线得8C,朋共线，即存在实数x使得3c=生54.

^BP+PC=2(fiP+R4)^PC=2PA+(l-2)PB.^x=2,y=l-2,则有x+y=l.

1.已知“，N,尸，。是平面内四个互不相同的点,为不共线向量，旃=2023^+20256,

NP=2024a+7.024b,PQ=-a+b,贝U()

A.M,N,P三点共线B.M,N,。三点共线

C.M,尸，。三点共线D.N,P,。三点共线

【答案】B

【分析】利用向量共线充要条件求出结果.

［详解］NQ=NP+PQ=-a+b+2024a+2024方=2023万+2025b，

所以丽=而，所以三点共线，即B对.

同理，其它各项对应三点均不共线.

故选：B.

2.已知向量不共线，且"=筋+Ld=a+（2A-l）b,若Z与7同向共线，则实数彳的值为（）

A.1B.--C.1或D.-1或-工

222

【答案】A

【分析】由共线定理可知存在〃（〃＞。）使得2=然后由平面向量基本定理可得.

【详解】因为之与7同向共线，所以存在〃（〃＞。）使得｝=〃，，

即24+B=〃[a+（2X-i）方]=〃万+〃（2彳-1）5,

\X=Ll1

又向量。/不共线，所以=解得X=—5（舍去）或4=L

故选：A

3.在IBC中，。为边AC上一点且满足AO=gOC,若P为边3。上一点，且满足衣=2南+〃/，2,〃为

正实数，则下列结论正确的是（）

A.物的最小值为1B.•的最大值为上

12

C.；+；的最大值为12D.；+；的最小值为4

【答案】BD

【分析】根据用2P三点公式求得丸+3〃=1,结合基本不等式判断即可.

__.1__.

【详解】因为AO=5。。，所以AC=3AQ，

又Q=X而+〃而=彳通+3〃疝，

因为P、B、。三点共线，所以几+3〃=1,

又力,〃为正实数，所以'且网]=—

当且仅当4=3〃，即2=:，〃=!时取等号，故A错误，

B正确；

2o

i+J-=[l+Xk+3//）=2+^+A＞2+2尸二

4,

23〃（X3〃743〃\23〃

当且仅当¥=事，即彳=:，〃=。时取等号，故c错误

，D正确.

23426

故选：BD

4.下列说法中不正确的是（）

A.若荏=①，贝[通|=|函，且A、B、C、。四点构成平行四边形

B.若加为非零实数，_&ma=nb，则值与万共线

/_、

__kAR.—

C.在AABC中，若有AO=t，那么点。一定在角A的平分线所在直线上

【网MJ

D.若向量万〃5,则万与方的方向相同或相反

【答案】AC

【分析】根据四点共线即可判断A,根据共线定理即可求解B,根据单位向量的定义以及向量加法的运算法则，即

可由角平分线求解C,根据零向量即可求解D.

【详解】对于A,线段AD上，B,C为线段4）的三等分点，满足荏，且网=|司，

但A8,c,r>四点不能构成平行四边形，A错误；

对于B,因为优为非零实数，S.ma=nb，所以所以M与5共线，B正确;

m

ABAC

对于C,因为分别表示向量近、/方向上的单位向量，所以+的方向与—54C的角平分

丽而\AB\|AC|

，可得向量血所在直线与NBAC的角平分线重合，所以点。一定在角A的平分线

所在直线上，C正确;

对于D,若向量商〃5,则万与B的方向相同或相反，或4与B中至少有一个为零向量，D错误.

故选：AC

5.如图，已知平行四边形ABCE）的对角线相交于点。，过点。的直线与A3,AD所在直线分别交于点M,N,满

足通=〃LW,AN=nAl5,（m>0,n>0）,若相〃=g,则加+〃的值为.

7

【答案】7

6

【分析】用向量加，瓶表示而，再利用点M,O,N共线列式计算作答.

【详解】因平行四边形ABCD的对角线相交于点。，则而:而+g而，

而丽=根说，病="正,（〃7>0,">0）,于是得％5=‘词+」-福，