离散期末考试卷子及答案

离散期末考试卷子及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.在离散数学中，集合A和集合B的交集表示为（）。A.A∪BB.A∩BC.A-BD.A×B答案：B2.命题逻辑中，合取（AND）的符号表示为（）。A.∨B.∧C.→D.¬答案：B3.如果一个关系R是自反的，那么对于集合A中的每一个元素a，都有（）。A.(a,a)∈RB.(a,a)∉RC.(a,b)∈RD.(b,a)∈R答案：A4.在图论中，一个有向图G的邻接矩阵是一个（）。A.对称矩阵B.非对称矩阵C.单位矩阵D.零矩阵答案：B5.如果一个命题P是另一个命题Q的充分条件，那么（）。A.P→QB.Q→PC.P∧QD.P∨Q答案：A6.在集合论中，空集表示为（）。A.{}B.∅C.ØD.∅{}答案：B7.一个函数f:A→B是单射的，当且仅当对于任意的a1,a2∈A，如果f(a1)=f(a2)，则（）。A.a1=a2B.a1≠a2C.a1∪a2D.a1∩a2答案：A8.在图论中，一个无向图G的邻接矩阵是一个（）。A.对称矩阵B.非对称矩阵C.单位矩阵D.零矩阵答案：A9.命题逻辑中，析取（OR）的符号表示为（）。A.∨B.∧C.→D.¬答案：A10.如果一个关系R是传递的，那么对于集合A中的任意元素a,b,c，如果(a,b)∈R且(b,c)∈R，则（）。A.(a,c)∉RB.(a,c)∈RC.(c,a)∈RD.(b,a)∈R答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11.集合{1,2,3}的子集个数为______。答案：812.命题“所有的鸟都会飞”的否定是______。答案：存在至少一只鸟不会飞13.函数f(x)=x^2的值域是______。答案：[0,+∞)14.一个有n个顶点的完全图的边数为______。答案：n(n-1)/215.命题“如果今天下雨，那么地面湿”的逆否命题是______。答案：如果地面不湿，那么今天没有下雨16.集合{a,b,c}和{1,2,3}之间不存在一一映射，因为______。答案：两个集合的元素个数不同17.一个关系R在集合A上是良序的，当且仅当R是______的。答案：自反、反对称、传递18.命题“x是偶数”的否定是______。答案：x不是偶数19.一个有向图G的入度为0的顶点称为______。答案：源点20.命题“x>0”的等价命题是______。答案：x≥0且x≠0三、解答题（每题10分，共30分）21.证明：如果一个集合A是有限集，那么它的幂集P(A)也是有限集。证明：假设集合A是有限集，且|A|=n。根据幂集的定义，P(A)包含A的所有子集。由于A有n个元素，每个元素都可以选择包含或不包含在子集中，因此对于A的每个元素，都有2种选择。所以，P(A)的元素个数为2^n，这是一个有限数。因此，P(A)也是有限集。22.给定一个关系R在集合A上，证明：如果R是对称的且传递的，那么R也是自反的。证明：假设R是对称的且传递的。我们需要证明R是自反的，即对于A中的任意元素a，都有(a,a)∈R。由于R是对称的，对于任意的a,b∈A，如果(a,b)∈R，则(b,a)∈R。现在考虑A中的任意元素a，我们有(a,a)∈R当且仅当(a,a)∈R。由于R是对称的，所以(a,a)∈R。因此，R是自反的。23.给定一个函数f:A→B，证明：如果f是满射，那么对于B中的任意元素b，都存在A中的元素a使得f(a)=b。证明：假设f是满射。根据满射的定义，对于B中的任意元素b，都存在A中的元素a使得f(a)∈B。由于f是函数，f(a)是B中的一个元素。因此，对于B中的任意元素b，都存在A中的元素a使得f(a)=b。四、应用题（每题15分，共30分）24.给定一个无向图G，其顶点集为{A,B,C,D,E}，边集为{(A,B),(B,C),(C,D),(D,E),(E,A),(A,C)}。请找出G的所有生成树，并计算每个生成树的边数。解答：G的生成树有以下三种：1.T1={A,B,C,D,E},边集为{(A,B),(B,C),(C,D),(D,E)}2.T2={A,B,C,D,E},边集为{(A,B),(B,C),(C,D),(E,A)}3.T3={A,B,C,D,E},边集为{(A,B),(B,C),(A,C),(D,E)}每个生成树的边数为4。25.给定一个集合A={1,2,3,4,5}，请找出A的所有非空子集，并计算它们的元素个数。解答：A的所有非空子集如下：{1},{2},{3},{4},{5},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,3,4,5},{2,3,4,5},{1,2,3,4,5}它们的元素个数分别为：1,