2025年高考数学第二次模拟考试（天津卷2）（全解全析）

2025年高考数学第二次模拟考试（天津卷02）

全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的）

1.已知集合/={T,0,l,2,3},3=]xeNVeN1,则/口2=（）

A.{2,3}B.{1,2,3}C.{-1,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3）

【答案】A

【分析】先求出集合8,再利用集合的交运算即可求得结果.

【详解】易知3={2,3},所以/口8={2,3},

故选：A.

2.已知向量3=（1,2）,b=（k,-\）,则“=-；”是“日〃小的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据向量的共线的坐标关系，即可根据充要条件的定义判断.

【详解】由1=（1,2）,3=（左,-1）,若至〃几则2左=-1,解得左=-；,

故"左=-:'是"3〃『’的充要条件，

故选：C

3.已知一组数据：70,72,75,76,82,83,84,a,90,其中第70百分位数是84,则该实数。的取值范

围是（）

A.（84,90）B.[84,90）C.[84,+8）D.（84,+⑹

【答案】C

【分析】根据百分位数的定义计算即可求解.

【详解】由题意知前7个数据已按从小到大排列，共有9个数据，9x70%=6.3,

又第70百分位数是84,而84刚好是第7个数，

284.即实数。的取值范围为［84,+co).

故选：C.

4.已知函数〃x)=(x-a)2+ln(e'+l)是偶函数，贝匹=()

A.；B.yC.0D.1

【答案】A

【分析】由偶函数定义可得/(力=/(-”,计算即可得解.

【详解】由题意可得/(x)=〃f),BP(x-a)2+In(e1-+1)=(-x-a)2+In(e-+1),

整理得4ax=Inj=In卜.x，

即(4a-l)x=0恒成立，即a=；.

故选：A.

5.如图，高度为我的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是

【分析】设圆锥的顶点到水面的距离为加〃，圆锥的底面半径为小根据水体积和容器容积关系得到

"3=5,再逐项检验即可.

【详解】设圆锥的顶点到水面的距离为〃仍，圆锥的底面半径为，,，

则水面半径为〃斤.当水的体积等于容器容积的一半时，

有2・；•〃?访=；乃/〃,整理得加3=；.

因为OS=0.125,0.63=0,216,0.73=0,343,0.83=0,512,则D选项更接近1.

故选：D.

6.已知a是锐角,V^sina+zV^cosa=VH,则sina=(

立「V55D.姮

A.B.叵

11111111

【答案】B

【分析】由Vasina+2A/2COS«=VH联立sin2a+cos2a=1可得.

【详解】由Vasina+2A/2COS6Z=VfT得cosa=sina,

由sin2a+cos2a=1得sin2a+=1,

化简得(VHsina-君)=0,Wsina=-

11

故选：B.

7.设等差数列｛%｝的前,项和是％前”项积是4,若Se=3,53=6,则()

A.S“无最大值，(无最小值B.S”有最大值，(无最小值

C.S“无最大值，刀,有最小值D.S“有最大值，北有最小值

【答案】D

【分析】根据等差数列前〃项和公式求基本量，进而确定为=4-〃且S”=-；(〃-1)249

十一讨论判断

8

的值，即可得答案.

3(。1+。3),

$3=--------二O

2［勾+&=4

【详解】令数列公差为"，贝!J即作差可得34=-3,

6(%+%)=3［%+&=1

$6二

2―

所以4=7,则％=3,故。*=。］+("-1)4=3_(〃_1)=4_”,

当。“>0得1W〃<4,当。,,=0得〃=4,当。,,<0得〃>4,

显然，当1W〃<4时北>0,时北=0,所以4有最小值，

且，=丛F=-;('L()2+¥，当〃=3或4时，S"有最大值.

222o

故选：D

8.如图，在高为16的圆柱型筒中，放置两个半径均为3的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底

面相切，已知平面a与两个小球也相切，平面a被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为()

【答案】D

【分析】作出截面图，由圆柱高和球的半径求出。02，。4,8的长，由勾股定理求得。耳，的长，再由

三角形全等，求得长半轴长。，由圆柱得到短半轴长b,从而求得半焦距长c,然后由离心率公式求得离心

率的值.

【详解】设平面a被圆筒所截得到的截面为椭圆「如图，作出圆柱过椭圆『的长轴的截面图，

设长轴45与两圆的切点是耳月.连接记椭圆长轴与交于点C，

过C作且8交圆柱的母线于点。，连接。山,。2月，

则。］片_148,O2F21AB.

因为圆柱的高为16,球的半径是3,所以圆柱的底面半径为3,002=16-2x3=10,0^=3,8=3.

根据对称性可知C是的中点，故CQ=5,则5=Cg=4.易得Rt/CO声RSDBC,故

BC=C01=5,则椭圆的长半轴长。=5.

由题意得椭圆的短半轴长6=3,所以半焦距长c=4,则椭圆的离心率为上=-,

a5

故选：D.

9.已知正方体-44£口的棱长为2,M是棱CG的中点，空间中的动点P满足。尸，且。『=1,

则动点尸的轨迹长度为（）

A.—B.3C.27tD.包玩

55

【答案】D

【分析】分别取4,，4G的中点区尸，连接DE,即,CF,证明瓦必，平面CDEF，从而可得点尸在平面CDEF

内，再根据。尸=1,得点P在以A为球心，半径为1的球面上，可得动点尸的轨迹为平面CD斯与球"的

球面的交线，求出平面DE尸截球2所得截面圆的半径，即可得解.

【详解】如图，分别取42出£的中点区尸，连接DE,EF,CF,

因为CD_L平面8M匚平面8。。百，所以BMLCD,

在RUBCM,RtACCjF中，BC=CC1,CM=CXF,ZBCM=NCC、F=90°,

所以RUBCM=RbCG尸，所以ZCBM=ZFCQ,

又NBCM=NBCF+NFCq=90°,所以ZBW+NCBM=90。，所以BM_LCF,

又CFcCD=C,CF,CDu平面Q)EF,所以_L平面小阴尸，

由DP_L3M,得点P在平面CAE产内，

由4尸=1,得点尸在以。为球心，半径为1的球面上，

因此动点P的轨迹为平面CDEF与球A的球面的交线，即在平面CDEF内的圆，

连接。设点，到平面。E尸的距离为〃，平面。E尸截球2所得截面圆的半径为

则由V三橇啊.DEF=匕棱锥尸㈤四得”，=]X2X]X2xl,

且SDEF=；X2X&=^，所以/，则厂=『半=9，

因此动点尸的轨迹长度为也.

5

故选：D.

【点睛】思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面

平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.

10.i是虚数单位，复数三的虚部为_______.

3-1

【答案】1/0.2

【分析】对复数z进行化简，从而得到复数z的虚部，得到答案.

22(3+i)6+2i31.

[详解]因为寻八=17T='+『，

3-i(3-i)(3+i)1055

21

所以复数不一的虚部为口

3-15

故答案为：—

11.(1+X)6-(1+X)5的展开式中，/的系数是(用数字作答)

【答案】10

【分析】由二项式展开式的通项公式可求出指定项的系数.

【详解】由(l+x)6展开式得1=C*3=20X3,再由(1+X)5展开式得；=C%3=10X3,

所以(l+x『-(l+x)5展开式中含十项是：20X3-10X3=10X3,即它的系数是：10

故答案为：10.

12.已知圆C:(X-1)2+J/=80,点P在直线/：V=h+7(丘R)上.若存在过点P的直线与圆C相交于A,8两

点，且|A8|=16,AP=^PB,则左的取值范围是.

【答案】09'+°0]

【分析】由圆C的标准方程确定圆心和半径，结合圆的垂径定理、勾股定理可以求出|。门=5,这样可以确

定点P的轨迹是圆，最后根据直线/与圆P的位置关系进行求解即可.

【详解】圆C：(X-1)2+/=80圆心C(l,0),半径为4石

设弦中点为。，连接CP,CQ,

—5—

由|力为=16,AP=-PB,可得点P在弦43上，

且|/尸|=5,|5P|=11,\PQ\=3,

又圆心C到弦23所在直线的距离为：

|CQ|=V80-82=4,

贝U|CP\=7|Ce|2+|CP|2=V42+32=5,

则点P在以C为圆心半径为5的圆上运动，

又点P在直线/：^=h+7/©R)上，

则直线/与以C为圆心半径为5的圆有公共点，

则,黑^V5,解之得左2：或左,

所以人的取值范围是，双-1"口t+s].

故答案为：f_0C，,--|Ut+e)

13.某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排5名同学到甲、乙、丙三个不同社团开展活动，要求

每个社团至少安排一人，则不同的安排方案数为,如果再加上一名同学且要求甲社团安排三人，乙、

丙至少安排一人，则不同的安排方案数为.

【答案】150120

【分析】5人时，先对学生分组，然后再把分好的组分到社团即可求解；6人时，直接按人数分配即可求解.

【详解】由题意可得，5名同学的分配方式有两种，第一种为1:1:3分配，方案数为生值.A；=60,第二

种为1:2:2分配，方案数为空G.A；=90,故要求每个社团至少安排一人，不同的安排方案数为

2:3

60+90=150.

如果再加上一名同学且要求甲社团安排三人，有两种情况，若乙社团1人,丙社团2人，方案数为C：C；C：=60,

若乙社团2人，丙社团1人，方案数为C：C；C；=60,故不同的安排方案数为60+60=120.

故答案为：150；120.

14.在△/BC中，点，E分别在边上，BC=3BD,AC=2AE,若AD,BE交于点,则更~=_______；

IE

当5。=3,4。=4,/5=2时，zX/H/的面积为.

【答案】1独1

16

—►1—►1―►BI

【分析】利用平面向量的基本定理，^^AI=-AB+-AC,用待定系数法可得二的值，再结合余弦定理

24IE

和三角函数值计算出sin4,利用三角形的面积公式可得答案.

【详解】因为4c=2NE,所以近=2次，

因为3C=38D,所以前=3而，

令号=2(2e(0,l)),所以而=彳厉，所以

AI=AB+BI=AB+——BE=AB+——(AE-AB]=-----AC+——AB

1+/L1+彳、)2(1+2)1+2'

因为3,/,£共线，所以下=/5+(1-月运=启5+宁衣，①

因为4/,。共线,

所以应=W+(l_y)而n力_方=-^方+0_y).:国_画,

--2—2V'1—V'

所以4=——^AB+—LAC®,

33

-2-2y

x二-------

31

联立①②，।：，解出kj

1-x_1-y4

.〒一丁

—、1—►1—►11BI

故4=5"+/0'所以解出八L故而二】；

222

十人.„.

r.,AB+AC-BC4+16-911

在Z\ABI中，由余弦ZE理，cosA=---------------

2AB•AC2x2x4-T6

因为"£(。,兀)，所以sin4=

11-3岳3巫

v=—Z5・ZCSHL4=—x2x4x-------=--------

Q“BC22164

AABIA£iA.D\--［，

4lo

故答案为：①1;②巫.

16

x|x-l|-l,x>0,

15.函数/(x)=,1,若函数g(x)=/(l-x)-办+l(a*o)恰有两个不同的零点，则实数。的取

-----,x<0,

U-i

值范围为

【答案】上"1或"-1

【分析】画出g(x)=/(i-X)+1,的图象，数形结合后可求参数的取值范围.

x|x-l|-l,x>0

【详解】因为/Xx)=:1

---.x<0

.x—1

(l-x)|x|,x<1

所以〃i-x)+i=1II

-----F1,X〉1

X

则函数g(x)=/(I-X)-狈+1恰有2个零点等价于/(I-X)+1=ax有两个不同的解,

故y=/(l-x)+l,>的图象有两个不同的交点，

(1-x)x,0<x<l

设g(x)=/(l-元)+1=<-x(l-x),x<0,

111

-----FI,X〉I

X

又y=g（x）,y=A的图象如图所示,

由图象可得两个函数的图象均过原点,

当a*0时,

考虑直线厅"与8（尤）=彳-/（04尤41）的图象相切,

则由ax=x-x?可得△=(a-I)：-0=0,即。=1,

考虑直线蚱"与8。）=」+1（无21）的图象相切，

X

由ax=-'+l可得ax2-x+l=0,则A=l-4“=0,即a=；.

x4

考虑直线蚱⑪与8（》）=/7（》＜0）的图象相切，

由ax=x2-x可得--（a+l）x=0,则A=（a+1『-0=0,即。=-1,

结合图象可得当］＜a＜l或。＜-1时，两个函数的图象有两个不同的交点,

4

综上，，＜。＜1或a＜-l.

4

故答案为：：＜a＜l或a＜-1.

4

【点睛】方法点睛：数形结合思想，分类讨论思想与转化思想的应用.解决本问题的方法是把方程根的问题

转化为函数g（x）与直线＞=◎交点个数问题，作出图形，结合图形求解，并注意临界值的取舍问题.

四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

16.（本小题满分14分）

在锐角△4BC中，角4B,C的对边分别为a,b,c.已知°=3,6=20,△48。的面积为3.

⑴求c的值；

⑵求sinS的值；

（3）求sin（28-C）的值.

【答案】⑴逐

⑵手

⑶噜

【分析】(1)利用三角形面积公式成smc可得角C'再用余弦定理求C；

bc

(2)根据正弦定理一玄=一二即得;

smBsinC

(3)先用二倍角公式求出sin2B,cos25,然后再用两角差的正弦公式求值.

【详解】(1)S^ABC=—absinC=x3x2V2sinC=3V2sinC=3,

B

sinC=—,又△4SC是锐角三角形，

2

7T

又由三角形余弦定理得:

c2=a2+b2-2abcosC=9+8-2x3x2^2cos—=5,

4

:.c=M•

2也逐

bc

(2)由三角形正弦定理得:，即sinB.兀»

sin^sinCsin-

4

272x

275.

sinB=------/=-2

V55

(3)又•.•五"微)cosB=Vl-sin2B=

-5'

sin23=2sinScos5=2x—x—=-

555

43

cos25=cos2^-sin25=—

555

又•Q：，

(3、V2772

/.sin25-C)=sin25cosc-cos25sinC=-^xx----=-----

5210

17.(本小题满分15分)

如图所示，在几何体48coMG中，四边形4BCD和4苏E均为边长为2的正方形，ADHEG,底面

ABCD,M、N分别为。G、跖的中点，EG=l.

(1)求证：MN//平面CFG；

(2)求直线AN与平面CFG所成角的正弦值；

(3)求平面CDG与平面CFG所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵*

(3)还

5

【分析】(1)依据题意建立以工为原点，分别以方，万，下方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直

角坐标系砂z,求出加和平面BG的一个法向量，计算加.以即可得证.

(2)由(1)得直线/N的方向量京，平面C尸G的一个法向量1=(1,2,2),设直线NN与平面CFG所成

角为8,则由sind=kos4,/N|即可得解.

(3)求出平面CDG的一个法向量％,计算gs*,,,则由计算结果即可得解.

【详解】(1)如图，以/为原点，分别以方，而，下方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标

^A-xyz,

由题意可得2（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,£＞（0,2,0）,£（0,0,2）,p（2,0,2）,

G（0,l,2）,N（l,0,2）,

则丽=（0,-2,2）,西=（-2,-1,2）,7W=H,-1,1

一/、n\J-CF

设平面CFG的一个法向量为々=(再,用,2j,则」―

々±CG

嘉:即二二句则仁

令句=2,得]=(1,2,2),

所以小丽=(l,2,2>[l,-g,l]=lxl+2x[-£|+2xl=0,

所以疚_L或，又MNa平面C尸G,

所以MN//平面C尸G.

(2)由(1)得直线NN的一个方向向量为丽=(1,0,2),平面CFG的一个法向量为1=(1,2,2),

设直线/N与平面WG所成角为凡

7而|「晨网|lxl+0：2+2x2|_5，下

则sing=|

COS〃1P।同,由712+22712+22+223753，

所以直线/N与平面WG所成角的正弦值为正.

3

(3)设平面CDG的一个法向量元=(9,%,Z2),由⑴可得而=(-2,0,0),CG=(-2,-l,2),

n2J_CD古n2CD=0艮f—2x2=0fx2=0

n2J_CGn2CG-0[—2x2—y2+2z2=01%=2z2

令Z2=l,得〃2=(021),

雇稔_|0xl+2x2+lx2|6275

所以卜os/,41

时•121722+12Vl2+22+22逐x3—5

所以平面CDG与平面CFG所成角的余弦值为正.

5

18.(本小题满分15分)

已知椭圆C：M+4=l(a>6>0)的离心率为左，右焦点分别为公，居，过点片的直线与椭圆相交

ab2

于点A,B,且的周长为8.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)椭圆C的左，右顶点分别为4，4,上顶点为D,若过4且斜率为左的直线/与椭圆C在第一象限相交

于点。，与直线4。相交于点P，与〉轴相交于点“，且满足I尸4"儿@|=5|。4"〃口，求直线/的方程.

丫2

【答案】⑴土+/=1

4

⑵y=-2（x-2）

【分析】（1）根据题意，由条件可得。，再由离心率可求得C,从而求得6,即可得到椭圆的标准方程；

（2）根据题意，设出直线方程，然后与椭圆方程联立，结合韦达定理可表示出。的坐标，再由直线4。的

方程表示出点尸的坐标，再由等量关系，即可得到结果.

【详解】（1）由题设得4。=8,所以。=2,

又离心率为解得c=g,b=l,

2

丫2

所以椭圆C的标准方程为y+/=l.

（2）因为4（2,0）,所以设直线/的方程为＞=Mx-2）,且左＜-；，

y=k（x-2）

联立小,整理可得：（4/+1）/-16廿》+16左2-4=0,

—+y=1、'

[4，

则%+2=署3，故闻=8--2

4A2+1

-4k8r-2-4k｝

贝I]＞。=左（演一2）=所以。

4F<I,4r+1'4/+1'

y=k(x-2)

又直线4。的方程y=；x+i,联立＜4左+24k)

1,整理可得：P2k-l'2k—lJ'

V=-X+1

I2

4k8后2-2

PA2\MQ\_ypxQ船左则=一且满足左<一:.

所以4=1-2=5,a2,

4k+22

04\MP\yQxP-4A-

2k—14r+1

贝I直线/的方程为y=-2（x-2）.

19.（本小题满分15分）

已知数列｛%｝,也｝电是数列｛%｝的前“项和，已知对于任意“eN*,都有3%=2s,+3,数列也｝是等差数

列，4=logs%,且打+5也+1也-3成等比数列.

⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式.

b-1

(2)记4=甫—，"6N*,求数列｛""｝的前"项和7；.

unun+\u'n

为奇数2n

⑶记g=々，〃为偶数,求2。左。%+1.

k=l

【答案】(1)%=3〃,bn=2n-l

1

⑵1=52(2«+1).3"

(3)—+4°”-25.9„+i

1648

【分析】（1）首先根据。"与S"的关系得到%,再根据等比数列的性质即可得到4；

（2）利用裂项相消法即可得结果;

（3）将分组求和与错位相减法相结合即可得结果.

【详解】（1）当〃=1时，3“]=2%+3,解得%=3.

当“22时，3O“T=2S“T+3,

所以3a“一3a“_[=2a,n―2-=3,

a„-i

即｛6｝是以首先％=3,公比为3的等比数列，即%=3".

因为瓦=log33=1,打+5也+1也一3成等比数列，

所以+1)2=(%+5)(%-3),即(l+3d+l『=(l+d+5)(l+5d-3),解得d=2.

所以”=1+2(1)=21.

4+2-12(〃+2)-2

(2)由(1)得4,=

b也(2/7-1)(277+1)-3"

2«+21I___________[

-(2«-1)(2«+1)-3""2(2"1>3"T—(2〃+1).3"'

贝[]T,=d[+d)+&+,,,+*

lrz11、/1111、/11lz11

21x3°3x3“3x315x325x327x33(2n-l)-3n-1(2〃+l>3〃21x3°(2〃+l>3〃

_11

一2一2(2〃+l>3"

2n

(3)ZCkCk+\=C\C2+02c3C2nC2n+\，

k=\

221

因为，2”臼，+C2„C2„+1=C2„(C2„_,+C2„+1)=(2H-1)(3-+3-)=#(2〃-1)・9",

设d“=(2〃-l)-9",前"项和为&,

贝iJK'=lx9i+3x92+..・+(2〃-1)x9〃,

9K“=1x9?+3x93+-・+(2〃-3)x9〃+(2〃一l)x9〃+:

—8(=9+2(92+…+叫_(2”1).9向+

K=45J8"59“+i

〃3232

io7540/7-25„„

所以-9"+1

k=i31o48

20.(本小题满分16分)

已知函数/(x)=xlnx-a(x-l),其中aeR.

(1)当。=1时，求函数/卜)在点(ej(e))上的切线方程.(其中e为自然对数的底数)

(2)已知关于x的方程"+@有两个不相等的正实根占，x2,且西<9.

XX

(i)求实数。的取值范围；

(ii)设左为大于1的常数，当。变化时，若"马有最小值e，，求人的值.

【答案】(l)x-"e+l=0

(2)(i)(0,-)；(ii)2-2e.

ee

【分析】(1)对函数求导数，求出在点(e,/⑻)处的斜率，最后求切线方程即可；

(2)(i)方程""+。="+区有两个不相等的正实根，等价于函数厂(幻=皿的图象与直线了=。有两个

交点，利用函数导数求出极值，再结合图象求出。的取值范围即可；

(ii)结合(i)及指对互化得ln』=二，\nx2=^-,从而把"七最小值化为出上半的最小值，多次构

造函数，求导，研究函数的单调性及最值，利用最值即可求解.

【详解】(1)当a=l时，/(x)=xlnx-(x-l),所以尸(x)=lnx,

所以■/''(e)=lne=l,又/(e)=e-(e-l)=l,

所以函数/'(x)在点(ej(e))上的切线方程为>-l=x-e,即x-y-e+l=0；

(2)(i),3+°=办+@即Inx=ax,则有x>0,

XXx

设尸(x)=匣，x>0,则/(x)=E少，令尸(x)=0,^x=e,

XX

令尸'(x)>0,得0<x<e,令尸得x>e,

所以函数尸(X)=里Iny在(0,e)上单调递增，在(e,+a))上单调递减，

X

又X趋向于0时，尸(X)趋向负无穷，X趋向于正无穷大时，尸(X)无限趋向0,且尸(e)=L

e

x

函数尸(x)=」In的图象如下：

e

ox

由题意，方程°@有两个不相等的正实根,

X