第11讲 圆与圆的位置关系（七大题型）（原卷版）

第11讲圆与圆的位置关系【题型归纳目录】题型一：判断圆与圆的位置关系题型二：求两圆的交点题型三：由圆的位置关系确定参数题型四：求两圆的公共弦方程、公共弦长题型五：圆的公切线条数题型六：圆的公切线方程题型七：圆系问题【知识点梳理】知识点一：圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．2、圆与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解．有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离．（2）几何法：设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为．当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆外离；当时，两圆内切；当时，两圆内含．知识点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法．3、两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．4、两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线．【典例例题】题型一：判断圆与圆的位置关系【例1】（2023·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）圆与圆的位置关系是（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【对点训练1】（2023·山东日照·高二校考阶段练习）两圆和的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【对点训练2】（2023·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）设圆，圆，则圆，的位置（

）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离题型二：求两圆的交点【例2】（2023·全国·高二专题练习）圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（

）A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0【对点训练3】（2023·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期末）平面直角坐标系xOy中，P为圆C1：上的动点，过点P引圆：的切线，切点为T，则满足的点P有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个题型三：由圆的位置关系确定参数【例3】（2023·高二课时练习）若圆与圆外切，则＝（

）A．21 B．19 C．9 D．【对点训练4】（2023·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考期中）若，，且，则r的取值范围是（

）A．(0，] B．(0，1] C．(0，] D．[0，2]【对点训练5】（2023·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）已知圆与圆有两个交点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．题型四：求两圆的公共弦方程、公共弦长【例4】（2023·福建福州·高二福建省福州高级中学校考期中）圆：与圆：的公共弦长为________.【对点训练6】（2023·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）圆与圆的公共弦所在直线方程为___________.【对点训练7】（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为________．【对点训练8】（2023·全国·高二合肥市第六中学校联考开学考试）圆与圆的公共弦长为______．题型五：圆的公切线条数【例5】（2023·高二课时练习）已知两圆，，当圆与圆有且仅有两条公切线时，则的取值范围________.【对点训练9】（2023·广东·高二统考期末）已知点，，为平面上的动直线，点A，B到直线的距离分别为1，3，则这样的直线有______条．【对点训练10】（2023·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）平面直角坐标系内，点到直线的距离分别为4和9，则满足条件的直线有__________条.【对点训练11】（2023·湖北襄阳·高二襄阳四中校考开学考试）圆与圆的公切线共有__________条题型六：圆的公切线方程【例6】（2023·江西南昌·高二校考阶段练习）如图，圆和圆的圆心分别为、，半径都为，写出一条与圆和圆都相切的直线的方程：_________【对点训练12】（2023·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程：__________．【对点训练13】（2023·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程__________．题型七：圆系问题【例7】过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______．【对点训练14】已知圆与圆相交于A、B两点．（1）求公共弦AB所在直线方程；（2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程．【对点训练15】已知圆．求证：对任意不等于的实数，方程是通过两个已知圆交点的圆的方程．【对点训练16】已知圆和圆．（1）求证：两圆相交；（2）求过点，且过两圆交点的圆的方程．【过关测试】一、单选题1．（2023·高二课时练习）若圆与圆有公共点，则满足的条件是（

）A． B．C． D．2．（2023·江苏盐城·高二统考期末）在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条3．（2023·福建宁德·高二统考期中）圆与圆的位置关系是（

）A．相切 B．相交 C．内含 D．外离4．（2023·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（2023·浙江丽水·高二统考期末）若圆与圆外切，则实数（

）A．－1 B．1 C．1或4 D．46．（2023·河南洛阳·高二统考期末）已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（

）A．5 B．3 C．2 D．17．（2023·高二课时练习）若两圆和圆相交，则a的取值范围是（

）A． B．或C． D．或8．（2023·广西河池·高二统考期末）已知点是圆上的一点，过点作圆的切线，则切线长的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）已知圆的方程为，下列结论正确的是（

）A．该圆的面积为 B．点在该圆内C．该圆与圆相离 D．直线与该圆相切10．（2023·甘肃兰州·高二兰大附中校考阶段练习）已知圆和圆，则下列结论正确的是（

）A．圆与圆外切B．直线与圆相切C．直线被圆所截得的弦长为2D．若分别为圆和圆上一点，则的最大值为1011．（2023·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）设，圆与圆的位置关系可能是（

）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离12．（2023·福建福州·高二校联考期末）已知圆，则下列说法正确的是（

）A．圆C的半径为18B．圆C截x轴所得的弦长为C．圆C与圆相外切D．若圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数m的取值范围是三、填空题13．（2023·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为______.14．（2023·高二课时练习）到点、的距离分别为和的直线有________条．15．（2023·四川资阳·高二四川省资阳中学校考期中）已知圆与圆恰有两条公切线，则实数的取值范围________．16．（2023·高二单元测试）已知圆和圆的公共弦所在直线恒过定点M，且点M在直线上，则的最小值为_____.四、解答题17．（2023·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知圆C的圆心为，且与直线相切．(1)求圆C的方程；(2)求圆C与圆的公共弦的长．18．（2023·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）过点可以作两条直线与圆相切，切点分别为(1)求实数的取值范围.(2)当时，存在直线吗？若存在求出直线方程，若不存在说明理由.19．（2023·四川成都·高二校考阶段练习）如图，圆，点为直线上一动点，动点P引圆M的两条切线，切点分别为A、B．(1)若，求两条切线所在的直线方程；(2)求线段AB的最小值；(3)求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标．20．（2023·福建莆田·高二莆田一中校考期末）（1）已知圆与圆.证明圆与圆相交；并求两圆公共弦所在直线的方程；（2）求圆心既在第一象限又在直线上，与x轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程.21．（2023·山东东营·高二统考期末）已知圆C与圆M：相外切，且圆心C与点关于直线l：对称．