2025届河南省开封市等三地高三二模数学试题（含答案解析）

2025届河南省开封市等三地高三二模数学试题

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一、单选题

1.设复数z满足(z-l)i=-l,则2=()

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

2.抛物线y=的准线方程为（)

4

A.y=lB.y=-l

C.x=—D.x=-----

1616

—.1—._.

3.在VA5C中，BD=-BC,设AB=a,AC=b,则()

A2rIf21一

A.—a+-bB.——a+—b

3333

41一_41一

C.-a——bD.—ciH—b

3333

4.已知臬是等比数列｛风｝的前〃项和，且S3T,S6=-7f则公比q=（）

A.—B.—C.—2D.2

22

5.设则avb的一个充分不必要条件是（）

A11

A.B.a92+b29>2ab

ab

C.eb-a>1D.ln（6-a）>0

6.已知正方体的内切球的体积为46兀，则该正方体的外接球的表面积为（）

A.12TIB.36TIC.9岛D.126兀

7.将5名学生分配到3个社区当志愿者，每个社区至少分配1名学生，则不同的分配方法

种数是（）

A.24B.50C.72D.150

8.已知双曲线C:=-1=l（a>0,b>0）,圆。经过直线x=±a,y=±b的四个交点，且圆

。与C在第一象限交于点尸，与x轴分别交于点瓦厂，贝心际的面积为（）

A.a2B.b2C.a2+b2D.a2-b2

二、多选题

9.已知集合4={无|一3<2》-1<3},=贝|（）

A.-UBB.2cBC.D.2eAC|8

10.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间f（单位：s）时相对于平衡位置的高度

（单位：cm）由关系式//⑺=2sin|\+?）确定，则下列说法正确的是（）

A.小球在开始振动（即r=0s）时在平衡位置上方0cm处

B.每秒钟小球能往复振动2乃次

R

c.函数“«）的图象关于直线/=芍7r对称

7T1q兀

D.小球从/到/=^s时运动的路程是5cm

412

三、单选题

11.设xeR,[司表示不超过x的最大整数，例如：[一3.5]=7,[2.1]=2.若存在实数f,

使得口=1,[r]=2,…,p[=〃,〃eN*同时成立，则下列说法一定正确的是（）

「工口

A.若=则re+

L7

-1n

B.〃”,（”+]"c+,（〃+2）"+i

C.〃的最大值是4

D.〃的最大值是5

四、填空题

试卷第2页，共4页

12.已知cosa=1,则sin12a+.

22

13.已知经过椭圆C:二+与=1.>6>0)的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为则C

ab

的离心率为.

14.已知直线y=f+6与函数y=lnx-2,y=产?的图象分别交于A,8两点，则|好|取最

小值时，b=,最小值为

五、解答题

15.某物业公司为提高对某小区的服务质量，随机调查了该小区50名男业主和50名女业主,

每位业主对该物业公司的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表：

满意不满意

男业主4010

女业主3020

(1)依据。=0.05的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业公司服务的评价有差

异？

(2)从该小区的业主中任选一人，A表示事件“选到的人对该物业公司的服务不满意”，B表示

事件“选到的人为女业主”，利用该调查数据，给出P(叫A),P,固的估计值.

附：/=______"W-bc『_______

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.005

力a3.8416.6357.879

16.已知直线/:2了+2>+应=0与圆。:/+=1相交于A,3两点，C为圆。上不同于A,

B的一点.记VABC的内角A,B,C的对边分别为b,c

⑴求角C；

⑵若a+b=娓,求VABC的面积.

17.在四棱锥P—ABCD中，BC//AD,R4_LAD,平面PAB_L平面ABC。，ZR4D=120°,

且PA=AB=BC=—AD=2.

2

⑴求证：RI,平面ABC。；

(2)求直线依与平面PAD所成角的正弦值；

1r)y1

18.已知函数〃尤)=枇'一一---1,a>0.

⑴当4=2时，求/(X)在处的切线方程;

⑵若“X)有唯一的零点，求。的值.

19.设，为不小于3的正整数，项数为攻m的数列｛4｝是公差大于0的等差数列，若存

在项数为"的数列｛2｝同时满足：

①数列抄“｝中任意两项均不相同；

②任意正整数bi+bj从小到大排列恰好为数列｛q｝.

此时称数列｛%｝是«-可拆分等差数列.

(1)写出一个3-可拆分等差数列｛%｝及其对应的一个数列也“｝；

⑵若数列｛%｝是一个4-可拆分等差数列，A表示事件“数列也｝的前三项成等差数列"，求

事件A发生的概率P(A)；

(3)求所有满足数列｛%｝是"-可拆分等差数列的正整数”的值.

试卷第4页，共4页

《2025届河南省开封市等三地高三二模数学试题》参考答案

题号12345678910

答案AAACDBDBBCACD

题号11

答案C

1.A

【分析】根据复数除法运算求解即可.

【详解】由(z—l)i=—l,可得z=l-；=l+i,

故选：A

2.A

【分析】将抛物线的方程化成标准形式，确定其焦点位置和焦准距，即可求得.

【详解】由丫=-；/可得/=-分，抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且。=2,

故其准线方程为＞=_|=1.

故选：A.

3.A

【分析】根据平面向量的加法和减法法则，计算可得答案.

【详解】由而=;而，可得，

AD-AB=1(AC-AB),整理可得，

—.2―►1—►21一

AD=-AB+-AC=-a+-b.

3333

故选：A

4.C

【分析】根据/=专区，结合已知条件，直接计算即可.

3S-S.8c

【详解】由题可知，S6—邑=-8,故/=弋6二=—彳二—8,故乡=—2.

d31

故选：C.

5.D

【分析】利用充分性和必要性的定义逐项判断即可.

【详解】对于A,当〃=1力=-1时，满足工但是不符合故!不是。＜6的

abab

答案第1页，共10页

一个充分条件，故A错误；

对于B,cT+b2>lab,即即。#6,所以"+/>2°6是a<6的必要不充分条

件，故B错误；

对于C,eb~a>1=e°»即6>a,故e"一">1是。<6的充要条件，故C错误；

对于D,In(b-a)>0,即6-。>1,6>a+l,故ln(6-a)>0是。<6的一个充分不必要条件，

故D正确.

故选：D

6.B

【分析】利用正方体的内切球、外接球的半径与正方体边长关系可求解.

【详解】设正方体的边长为。，

则正方体内切球的半径为内切球的体积等于=4岳，解得“=26，

所以正方体的体对角线等于氐=6,

所以正方体外接球的半径等于=3,则外接球的表面积等于471x3?=36兀，

故选:B.

7.D

【分析】考虑分组为1、1、3和1、2、2两种情况，分别讨论即可得到答案.

【详解】可以分组为1、1、3,或1、2、2两种情况，

若分组为1、1、3,则有2C；C；=60；

若分组为1、2、2,则有C；C；C；=90；

则不同分法为60+90=150种.

故选：D

8.B

【分析】根据题意判断圆心位置，求得半径，判断点瓦厂即双曲线的左右两焦点，利用双

曲线的定义与勾股定理，建立方程组，求得IPEgPRI,即可求！PEF的面积.

【详解】设双曲线的半焦距为c,由题意，圆。的圆心在坐标原点，半径r=〃W=c，

点瓦产即双曲线的左右两焦点，故有|尸E|-|P尸|=2a①，

且因E尸为圆的直径，可得PELPF,则有|P£f+|尸7呼=402②，

答案第2页，共10页

将①式两边取平方，(\PE\-\PF\)2=|P£|2+|PF|2-2\PE\-\PF\=4c2-2\PE\-\PF\=4a2,

4M_4〃2__1

W1|PE|-|PF|=--—=2b2,故！尸EF的面积为字尸石川尸尸|=从.

故选：B.

【分析】根据集合交并补的运算一一分析即可/

【详解】A={x|-3<2x-l<3}={.r|-l<x<2},

对A,若-1任瓦贝卜1€为氏则根据=4有-leA,显然矛盾，故A错误;

对B,假设2gB,则根据13=4有2eA,显然矛盾，则2e3,故B正确;

对C,由A知，—leB,则-1WAU3，故C正确;

对D,显然2eA,必有2eAcB,故D错误;

故选：BC.

10.ACD

【分析】由/?（（））=也可判断A；求得周期可求频率判断B；利用“才）=-2可判断C；求

得"IT，詈]=T可判断D-

【详解】当r=O时，〃（O）=2sin[o+"=0,故A正确；

兀]

小球往复振动的周期为7=芋2=2兀，所以每秒钟小球能往复振动白次，故B错误；

12兀

因为CJ=2sin[B+：J=2sinm=-2,所以函数〃⑺的图象关于直线f对称，故C

正确;

,,19717116K4兀

由-------=----=—

124123

答案第3页，共10页

TTIMJT

所以小球从"丁到"五"s时运动的路程是2+2+1=5cm,故D正确.

故选：ACD.

11.C

【分析】先计算[〃]="，得出，的范围/<云(〃++，设4=卜,(〃+$，〃eN*,再求

Ac&,an4nA3,An&na3nA”，直至算出交集为空集即可.

【详解】口=1，贝h<tM2；

口之]=2,则2v*<3,即2立<，v3^；

[r]=3,则3V/44,即,々〈人

]=4,贝!J4v〃<5,即4a</<5Z；

L;

[〃]=〃，贝〈〃工〃+1,即〃7+

(1「

设4=〉,neN*,则4=4，即ACI4=4

因「>2；4:3；，则4=4，即an4nA=4,

H44<3\5^<4^则an4nA04=33,54,

因5!<4；3?>65,则An^nanA4nA=0,

故使得M=1，[*]=2,…〃eN*同时成立的n的最大值是4.

故A、B、D错误，C正确.

故选：C

12.-

8

【分析】利用诱导公式和余弦的倍角公式，整理化简即可.

【详解】sin(2a+]]=cos2cr=2cos—l=2x[[]—1=^.

答案第4页，共10页

故答案为：

O

13.6

2

【分析】根据题意求出a1,c,再根据椭圆的离心率公式即可得解.

22

【详解】椭圆C:三+与=1伍>5>0)的左顶点和上顶点的坐标分别为(-冬0),(0,5),

ab

-a+0.

-----=—2

由题意可得八:，解得〃=4*=2,

0+Z?

----二I1

I2

所以H=[2—62=12,则C=2百，

所以C的离心率6=£=@.

a2

故答案为：见.

2

14.-13A/2

【分析】根据两函数的图象关于直线、=无对称，且y=r+6与、=无垂直，转化为求曲线上

一点到直线距离的最小值，利用点到直线的距离及导数即可得解.

【详解】由y=lnx-2可得，x=e"2,即尸尸,

所以函数>=lnx-2,y=e，+2互为反函数，图象关于直线>=无对称，

因直线y=x,y=-x+6互相垂直，

所以问题可转化为求y=Inx-2上点A(x0,lnx0-2)到直线y=x距离的最小值的2倍，

因为|=2d=1"胃+2|=四国一InX。+2),

f(xo)=xo-lnxo+2,xo>O9

]x—1

,

则/'(Xo)=l---=——,当0<%<1时，/(x0)<0,

X。X。

当%>1时，尸(%)>0,所以函数在(0,1)上单调递减，在(L-)上单调递增，

故当/=1时，/(%)有最小值3,

此时6=%+lnxo-2=-1,

故答案为：-1,30

答案第5页，共10页

15.⑴能认为

⑵P（冏A）=g，P（B同寿

【分析】（1）根据公式求出Jr?,再对照临界值点，即可得出结论;

（2）根据条件概率公式求解即可.

100x(40x20-10x30)2100

【详解】（1）因为/4.762>3.84b

50x50x70x30~21

所以依据。=0.05的独立性检验，能认为有差异;

(2)由题意P(A)=迎=Q.3,P(AB)=-=0.2,=—=0.7,=迎=0.3

v7100v7100\'100\>100

所以可冏力=需=m=l，p仅同=0.33

0.77

16.（l）C=60。或120。；

Q）@

4

【分析】（1）根据弦长公式得c=g,再利用正弦定理得到C的大小;

3

⑵根据余弦定理得"=而尚,再对C=6。。或12。。讨论即可.

【详解】（1）圆心。到直线/的距离1=噂=工，圆。的半径R=l,

V82

=2A/R2—d2=2Jl—；=y/3,

所以|AB|=c

又C为VABC外接圆。上一点，所以‘/=2氏=2,

sine

解之得sinC十*因为0YC<18。。,

所以C=60。或120。；

(2)由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab(l+cosC),

即3=6—2a伙1+cosC),gpab=---------------,

2(1+cosC)

33

①当C=60。时，2(l+cosC)-2(l+cos60°)-1,

止匕时S=—absinC=—sin60°=，

△ABRCr224

答案第6页，共10页

33

②当C=120。时，川=2(1+COSC)=2(1+COS1201=3,

因为c为最大边，所以漏＜6义百=3,与必=3矛盾，所以不成立，舍去，

综上所述，VABC的面积为也.

4

17.(1)证明见解析

⑵如

4

【分析】(1)取A8中点E,利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理即得.

(2)取BC的中点尸，以A为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解.

【详解】(1)在四棱锥P—ABCD中，由BC/MD,=120。，得NABC=60。，连接AC,

而AB=3C,则VABC为等边三角形，取A3中点E,连接CE,则CE/AB,

由平面PAB_L平面ABCD,平面尸A5c平面ABCD=AB,CEu平面ABC。，

得CE_L平面P4B,而R4u平面Blfi,则CE_LR4,

又CE与AD相交，CE,ADu平面ABCD,

所以上4_L平面ABCD

(2)取2C的中点b，连接AF,AF=y/3,BF=CF=l,AFIBC,AF±AD,

由PA_L平面ABC。，AFu平面ABCD,得以_LAF,即AF,AD,AP两两垂直，

以A为原点，直线AEA。AP分别为x,%z轴建立空间直角坐标系，

由PA=A3=BC=gA。=2,得A(0,0,0),F(^,0,0),2(百,-1,0),尸(。,0,2),

~PB=(6-1,-2),禧=(后0,0),显然酢为平面PAD的一个法向量，

设直线PB与平面PAD所成角为。，则sin。=|cos〈丽,AF)|="竺〔=＞厂=g

\PB\\AF\2V2-V34

所以直线尸8与平面PAD所成角的正弦值是好.

4

答案第7页，共10页

18.⑴2ex-y-2=0；

(2)a=l.

【分析】(1)求导得/'(%)=2e'+学，计算出/⑴"'⑴则得到切线方程；

(2)求导得/(幻=，(加ex+lnx),令g(x)=^2e*+inx,利用导数得到其单调递增，再

利用隐零点得到生学+电切+1=°,代入运算得。=1.

尤。X。

x

【详解】(1)当。=2时，f(x)=2e-^^-l,f(x)=2e*+/,

XX

所以〃l)=2e-2,广⑴=2e,

所以了⑺在(LN))处的切线方程为>-(2e-2)=2e(尤-1),

即2ex-y-2=0.

(2)函数的定义域为(0,+8),

尸(x)=ae*=4(必次+lnx),

令g(x)=ax2e'+lnx,贝!|gr(x)=a^x2+2x)e'+—>0,

即g(x)在(0,+co)单调递增，当x30时，g(x)-T»,当x=l时，g(l)=ae>0,

所以叫e(O,l),使得g(毛)=0,即/(%)=0,

且当彳€(0,%)时，g(x)<0即/(x)<O"(x)单调递减，

且当xe(%,+oo)时，g(x)>。即/'(x)>OJ(x)单调递增，

所以在x=/处取得极小值，

又当X->0时，f(X)f+8,X->+8时，f(x)+00,

故若/(X)有唯一的零点，则必有/(尤0)=。，

小+呼=0①

%消去“可得"+3+i=o,

ln%o+

fle,°-1-1=0(2)

%

即(入o+lnXo)(Xo+l)=O,又因为％+lwO,即飞+山飞二。，

x

由②式可得：e°-Inx0-x0-1=0,即—(x°+lnxo)-l=O,

将%+In%=。代入可得a—1=0,即a=l,

答案第8页，共10页

综上可知，若/(x)有唯一的零点，则。=1.

19.⑴等差数列｛4｝：3,4,5,数列也｝:1,2,3；

(2)；

0

(3)3和4.

【分析】(1)直接根据数列新定义写出相关数列并验证即可；

(2)利用排列数计算出总情况数，再分析出满足题意的情况，利用古典概型即可得到答案；

(3)根据前面小问得“可以取3和4,再分"26和〃=5讨论即可.

【详解】(1)首先项数为*"=3,且数列｛2｝中任意两项均不相同；

仿+4=3,伪+&=4,&+&=5,满足条件②，则上述数列满足题意.

(2)数列出｝四项均不相同，故总的排列方法有A：=24种.

假设数列他,｝各项从小到大排列，即仿<%<与<%，

则两两相加后最小项6=伪+优，次小项。2=4+打，最大项。6=4+。4,次大项/=4+%.

设等差数列｛%｝公差为d,则d=伪+4-3+么)=4+%-(%+)=2-a，

又数列｛%｝第三项%