2025年北京高考数学二轮复习：简单几何体的表面积和体积问题（解析版）

重难点12：简单几何体的表面积和体积问题

一、知识点梳理

L棱柱、棱锥、棱台的表面积

棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和.计

算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和.棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：

名称,底面侧面

棱柱平面多边形平行四边形面积=底•高

棱锥平面多边形三角形面积=一•底・高

2

棱台平面多边形梯形面积•（上底+下底）•高

2

棱柱'棱锥’梭台的表面积

方法技巧与总结：（求多面体表面积注意事项）

1、多面体的表面积转化为各面面积之和.

2、解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱

锥，利用棱锥的有关知识来解决.

棱柱'棱锥、棱台的体积

方法技巧与总结（求棱柱'棱锥'棱台体积的注意事项）

1、常见的求几何体体积的方法

①公式法：直接代入公式求解.②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高

都易求的形式即可.③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.

2、求几何体体积时需注意的问题

柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最

后代入公式计算.

2.圆柱'圆锥'圆台的表面积

圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开

为平面图形，再去求其面积.

1/23

①圆柱的表面积

(1)圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为心母线长/,那么这个矩

形的长等于圆柱底面周长C=2^r,宽等于圆柱侧面的母线长/(也是高)，由此可得S圆柱侧=€7=2加7.

--------------

I

一—一J

2^7-------

⑵圆柱的表面积：5圆柱表=2»/+2加7=2加•&+/)・

②圆锥的表面积

(1)圆锥的侧面积：如下图(1)所示，圆锥的侧面展开图是•个扇形，如果圆锥的底面半径为r,母线长

为/,那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=仃，半径等于圆锥侧面的母线长为/,由此可得它的侧面积

是S圆锥侧=5。/=兀rl.

(2)圆锥的表面积：S圆锥表=万川+"/.

③圆台的表面积

(1)圆台的侧面积：如上图(2)所示，圆台的侧面展开图是一个扇环.如果圆台的上、下底面半径分别

为/、厂，母线长为/,那么这个扇形的面积为万(/+「)/,即圆台的侧面积为S既恻="(/+.)/.

(2)圆台的表面积：6H表="&'2+/+//+〃).

网f口衣'/

圆柱'圆锥、圆台的体积

方法技巧与总结：(求几何体积的常用方法)

(1)公式法：直接代入公式求解.

(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可.

(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等.

(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.

3.柱体'锥体'台体的体积

①柱体的体积公式

棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高/?的乘积，即「典

2/23

圆柱的体积：底面半径是r,高是人的圆柱的体积是「圆柱=$〃=42/7.

综上，柱体的体积公式为V=Sh.

②锥体的体积公式

棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S,高是鼠那么它的体积/锥.

圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S,高是〃，那么它的体积/锥=；如果底面积半径是尸，用7TF2表不

1.

S,则，।锥=—7irh.

综上，锥体的体积公式为修=工防.

3

③台体的体积公式

棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S,、S,高是那么它的体积是曝台=；〃（S+后+S'）.

圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是/、r,高是肌那么它的体积是

22

嗯台=Lh^s+4sS'+S'）=^7rh（r+rr'+r'）.

综上，台体的体积公式为「=；/z（S+回+S'）.

4.球的表面积和体积

①球的表面积

（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积.

（2）球的表面积

设球的半径为R,则球的表面积公式S球=4"2.

即球面面积等于它的大圆面积的四倍.

②球的体积

设球的半径为R,它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.

4

球的体积公式为4=飞球.

球的表面积与体积（外接球、内切球、棱切球）

方法技巧与总结：（与球有关问题的注意事项）

1、正方体的内切球

球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为过在一个平面上的四个切点

12

作截面如图（1）.

3/23

2、球与正方体的各条棱相切

球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r=孚，如图（2）.

22

3、长方体的外接球

长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直

径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a,b,c,则过球心作长方体的对角面有球的半径为r=近孚至,

32

如图（3）.

r3=2-Va2+6^-c2

a

(1)

4、正方体的外接球

正方体棱长a与外接球半径R的关系为2尺=他或

5、正四面体的外接球

正四面体的棱长。与外接球半径尺的关系为：2R=&

2

6、有关球的截面问题

常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.

二、题型精刷精练

【题型训练-刷模拟】

1.已知三棱锥的底面是边长为。的正三角形，则过各侧棱中点的截面的面积为（）

A.—a2B.—a2C.-a2D.—a2

481632

【答案】C

【详解】•••三棱锥的底面是边长为。的正三角形，

棱锥的底面面积S=—xaxaxsin60°=2

2

4/23

,••过各侧棱中点的截面与底面相似，且相似比为3,

•••过各侧棱中点的截面的面积及=1口~S=Lxa/=旦2.

U)4416

故选：C.

2.我国有着丰富悠久的印章文化，印章是签署文件时代表身份的信物，因其独特的文化内涵，有时作为装

饰物来使用.图1是一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何

体，如图2所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4,体积之比为3:1,且该几何体的顶点在球。的

【答案】B

【详解】

由题意，正四棱柱和正四棱锥的体积之比为3:1,且共一个底面，

所以正四棱柱和正四棱锥的高相等，则设正四棱柱和正四棱锥的高都为力,

如图所示，根据正四棱柱和一个正四棱锥的对称性可知：球心O在高线GA/上,

设该几何体外接球的半径为R,因为点G，G都在球。上，

所以OG=R,OCt=R,又GN=h,贝！=且NG=g/C=2VL

5/23

所以，在直角AONG中，由勾股定理得：（氏_犷+（2也『=旌，

在直角AOMC中，OM=2h-R,MC=-AC=2^2.,

2

又点C在球。上，所以OC=A,所以由勾股定理得：（2力-a）2+（20丁=必,

（尺-犷+（2女）仿=2

联立，、2,解得*2，

（2A-A）2+（2^）=7?2［尺_3

因此，球。的半径为3.

故选：B.

3.如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知48=10cm,44=20cm,棱台的高为12cm,先需要对该

零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（）

【答案】A

【详解】

如图所示，ACHBD=O,4Gc42=O1,连接OQ,分别是3C,4G的中点，连接,

取QN的中点“，连接

由题意，在正四棱台/8。。一4414中，0。，平面44弓2,则。。1=12,

因为O,“分别是/C,3C的中点，所以0M〃28,且OM=；/3=5,

又Q,N分别是4G，4G的中点，所以QN///#,且。囚=34月=10,

6/23

故OM//QN,则。,a四点共面;

因为。。1，平面4耳QD1，qNu平面481C]A，所以

所以四边形OMNO\为直角梯形,

在直角梯形OMNQ中，OM=；O1N,又点77是QN的中点，

所以四边形。为矩形，则且M/=OOI=12,又HN=；0、N=5,

因此，在直角AM/N中，MN7MHz+HN?=13,

所以在正四棱台/BCD-44C〃中，

侧面积岳=4义；x（2C+4G）xMV=4x：x（10+2。xl3=78（,

2

底面积52=AB+4用2=I。?+2（）2=5Q0,

表面积5=耳+邑=780+500=1280（平方厘米）,

又每平方厘米的防腐处理费用为0.5元,

所以该零部件的防腐处理费用是1280x0.5=640（元）.

故选：A

4.蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立

体模型，底面48c7）£尸是正六边形，棱NG,BH,CI,DJ,EK,也均垂直于底面/8CDE凡上顶由三个

全等的菱形尸Gm，PIJK,PKLG构成.设2C=1,ZGPI=ZIPK=ZKPG=3,则上顶的面积为()

339

A.3sin0B.~~~eC.~~eD.-e

2tan—tan—2tan—

222

【答案】D

7/23

【详解】因为NBCDE尸是正六边形，又BC=1,

则/C2=12+12_2xlx]x（_：]=3,即/C=V5，

因为四边形PGHI为菱形，连接PH,G1,则PHLGI,

又GIHAC且GI=AC,则G/=百，

设G/fW=O,

则GO=—=立,NG尸O=-，

222

也

则署"心,则尸。,

tan—

2

则菱形PGm的面积为：xG/xP"=：x6=T"^，

乙乙tan—2tan—

22

r39

4x---------—----------

则上顶菱形的面积为。一一e.

2tan—2tan—

22

故选：D.

5.将边长为1的正方形/BCD沿对角线/C折起，折起后点。记为。.若3D'=1,则四面体/BCD'的体积

为（）

A五口2桓V2

A•------D.------D.V2

1234

【答案】A

【详解】设正方形/5CD的对角线交点为O,

则可得折叠后的二面角。'-/C-8的平面角为/D'O8,

万

又BD'=1,D'O=BO=J,

2

AD'O2+BO'=BD'2,/.AD'OB=90°,

8/23

D'OJ_平面NBC,

四面体A8CD的体积为Wlx1乂2=旦.

32212

故选：A.

6.若长方体的三条棱长分别是1,2,3,则它的外接球的表面积（）

A.28兀B.14兀C.56TID.32K

【答案】B

【详解】解：•••长方体的三条棱长分别是1,2,3,

设长方体的外接球的直径为2R,则27?即为长方体的体对角线长，

（27?）2=12+22+32=14,

该长方体的外接球的表面积为S=471A2=14兀.

故选：B.

7.沙漏是一种古代计时仪器.如图，某沙漏由上下两个相同圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm,细

沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的：2，则这些细沙的体积为（）

【答案】B

【详解】由题意可知：这些细沙的体积为&xLx6x7rx32=g7Tcm3.

2733

故选：B.

8.如图，在棱长为6的正四面体尸中，以尸为顶点的圆锥在正四面体的内部（含表面），则该圆锥体

9/23

积的最大值为（）

A.2"兀B.3"兀C.2拒TiD.3出兀

【答案】A

【详解】由题意可知当圆锥的底面与VN2C相切时，圆锥体积忆=gs”最大，

因为P-4BC是棱长为6的正四面体，

设底面圆半径为，，BC中点、为D,

则｝（|4刈++|5C|）=||^pC|sin60°,解得尸=百,

222

圆锥的高〃=尸=^|pC|-|Z）C|-r=2指，

所以圆锥体积P=-7ir2h=2几兀,

3

故选：A

9.若球。的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4（球心。在圆台的两底面之间），则圆台的

体积为（）

A.等兀B.yTtC.（25+35后）无D.（25+7后）兀

【答案】A

【详解】球和圆台的轴截面如下，。，仪分别为圆台上下底面的圆心，

由题意可知，OA=OB=5,OtA=3,O2B=4,

22

贝1JOO}=J。///=招与=4,00广,]OB-O2B=J52-42=3,

10/23

，圆台的高为4+3=7,

12597r

圆台体积为§x7x（9兀+12兀+16兀）=---.

故选：A.

10.中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环

形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的“曲池”，其高为3/4,底面，底面扇环

所对的圆心角为;，石长度为部长度的3倍，且线段NB=CD=2,则该“曲池”的体积为（）

117T

B.5兀C.D.671

~2~

【答案】D

【详解】设行对应的半径为R,前对应的半径为小曲池的高为仙

因为石，前所对的圆心角相同，设为则由弧长公式可知，

石的弧长等于。尺，病的弧长等于ar,

且行长度为前长度的3倍，所以火=3厂，

因为AB=CD=R—r=2,所以氏=3/=1,

1JT

所以曲池的体积为『=-（成”-兀r%）=—x（32-12"3=6兀.

44

故选：D

11.小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型.他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点

分别记为C，如图1所示，然后截去以V/5C为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种

方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型.若原正方体的棱长为6,则此半正多面体模

型的体积为（）

11/23

D.189

【答案】C

【详解】设此半正多面体模型的体积为z,

,11,

贝1|/=噎方体一8七三棱锥=63-8X-X-X33=180.

故选：C.

12.已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且圆锥侧面积为6兀,则该圆锥的内切球体积为（）

r4兀

A.4兀B.—C.4也兀D.6TI

3

【答案】B

【详解】设圆锥的底面半径为因为圆锥的轴截面为等边三角形,

所以圆锥的母线长为2.

依题意：兀•厂-2厂=6兀，解得r=6.

设圆锥的内切球半径为K,又圆锥的轴截面为等边三角形,

所以R=2百xsin60°><!=2A—x-=1,

323

则内切球的体积展A47r

33

13.已知四面体4-55的外接球半径为2,若BC二百,4。。=三，则四面体4-35的体积最大值为（)

993+273

A.B.-C.D.

424

【答案】D

【详解】如图所示，设四面体4-5CZ）的外接球球心为。，底面△5C。的外接圆圆心为

12/23

则OE，底面BCD,4。,E共线且A在OE上方时四面体的高〃最大,

最大值为/?=£/=2+OE,取8C的中点为厂，

由BC=6nBF=JOF=

2

由正弦定理可知：2BE=———=2nBE=\,

sinZBDC

底面△BCD中，显然当。,及尸共线时，。到8C距离最大，

所以(%s)皿=*C.(EF+DE)=f1]=咨，

则四面体力一BCD的体积最大值r=JS.BS•〃=/x(2+灼=?世

故选：D

14.已知正四棱台NBCD-HB'C'Z)',其高为=8,49=4,则此正四棱台外接球的直径为()

A.8B.872C.8亚D.16

【答案】B

【详解】由题意可知，正四棱台外接球的球心在正四棱台的高上，

设球心位置为O,如图所示，距离下平面距离为x,

13/23

因为高为2A/6,AB=8,A'B'=4，

所以（2"一无j+（26/=­+（4也"j,解得x=o,

即正四棱台下底面中心即为球心，则直径为80，

故选：B.

15.以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（）

A.6兀B.2兀C.2也nD.4A/3TT

【答案】D

【详解】如图，正三角形绕NB所在直线为旋转轴旋转一周，

得到几何体是两个同底的圆锥，

圆锥的底面半径为r=OC=/,

，所得几何体的表面积为5=2口./。=2*兀乂囱乂2=4百71.

故选：D.

16.如图，五面体/BCDEF,其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.已知

4B=25,BC=10,且等腰梯形所在平面，等腰三角形所在平面与平面N8C。的夹角的正切值均为巫，则

该五面体的体积为.

【详解】如图，作尸G1/3于G,HGIIDA,连接EH；同理作EWL45于MN//BC,连接EN,

取40中点P,连接。尸，再作尸0_LGH于O,

因为等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD的夹角的正切值均为正，

5

因为尸G145,房顶的底面为矩形，HG//DA,所以

14/23

又40中点P,PFLAD,且尸G=FH,所以F0_LG〃，

所以OP，/。，FP1AD,所以由二面角的定义可得NFG//=ZFP。，正切值均为恒.则

5

GO=〃O=1BC=5m.所以厂。=恒X5=AM,OP="+且=5,

255

因为FO_LG”，FO1PO,POC\GH=O,且P0,G〃u底面N3CD,

所以FO_L底面/BCD,

所以该五面体的体积为2倍的四棱锥ADHG-F的体积加上三棱柱FGH-EMN的体积，

SP-^G-G7fxf'Ox2+-G7f-FOxGAf=-x5xlOxVi4+-xlOxVL4xl5=^^，

32323

故答案为：竺叵.

3

17.如图，已知正四面体/BCD的棱长为1,过点8作截面a分别交侧棱/C,40于£,F两点,且四面体

NBEF的体积为四面体/BCD体积的g,则邑/即=，E尸的最小值为.

【答案】—/173

121233

【详解】因为%则研=:5."3=!'。'以卜£=*,

3△的3"s32212

记EF=a,AE=b,AF—c,

因为，besin60°二也，即Z?c=g。

2123

又因为/=b1+/-2bccos60°>2bc-be=be,

b=c厂

1,即6=°=也时，取等号.

当且仅当

bc=-3

3

15/23

所以。的最小值为也.

3

故答案为：—;—.

123

18.中国国家博物馆中的清代仿官窑四方委角象耳瓶向我们展示了我国古代工匠的高超技艺：瓶唇口，直

颈，颈两侧饰对称象耳，方腹委角，高圈足外撇……其中“委角”是一种工艺术语，指的是将方形器物的尖角

抹平，向内收缩，如同把角折起来.如图，该瓶的瓶身相当于是在长方体/2C。-44GA中抹去八个形状

与大小都相同的三棱锥.在长方体中，AB=BC=x,44]=2,E为的中点，F与G

分别是棱ND与棱上的点，且满足疝?=AF=NG.已知委角之后的瓶身体积是长方体N2CD-体

Q

积的9，则长方体ABCD-44GA的体对角线长度为.

【答案】4

【详解】由题长方体/BCD-44GA体积为2/,AE=4F=4G=1,

所以抹去的八个形状与大小都相同的三棱锥的体积之和为8xg*[g*1x1JX1=g,

所以=gnx=痛’

所以长方体ABCD-44的体对角线长度为寿导=4.

故答案为：4.

19.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为百，则圆锥的体积为.

【答案】3&

【详解】设圆柱的底面半径为「，则圆锥的母线长为Ei，

而它们的侧面积相等，所以2WX6=WX677，即2G二历3，

故r=3,故圆锥的体积为:兀X9XG=36TT.

16/23

故答案为：3百无.

20.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为。，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为,体积

为.

【答案】~na2酒商

354

【详解】根据题意条件可知三棱柱是棱长都为。的正三棱柱，

上下底面中心连线的中点就是球心，如图：

则V/8C的外接圆的半径为—J=@a,

2sin603

所以其外接球的半径为R

所以球的表面积为S=4TI/?2=47rxZ£_=—7E22

123

体积为P=d兀*=£兀（叵功3=巫兀“3.

33654

故答案为：卜2；等小

21.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已

知一木制陀螺模型内接于一表面积为167rcm2的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该

球的球面上，若圆柱的高为2cm,则该圆柱的侧面积为cm2,该陀螺的体积为cm3.

【答案】4百兀7兀

17/23

【详解】设圆柱的底面半径为小高为h,圆锥的高为人陀螺的外接球的半径为尺,

:.R=2,

•••圆柱的侧面积为S=2jirxh=4百兀，

圆柱体积为Vx=兀r之x〃二6兀；

h

圆锥的高为，二尺-鼻=2-1=1,

所以圆锥的体积为匕=;a葭1=兀；

•••该陀螺的体积为忆=匕+匕=7兀

故答案为：4人兀；7兀.

22.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍薨[chiim6ng]”的五面体（如

下图），四边形A8CD为矩形，棱£////反若此几何体中，AB=6,EF=2,V/DE和VBCF都是边长为4的

等边三角形，则此几何体的体积为.

【详解】过尸作尸。,平面N3C。，垂足为O,取3c的中点P,连结尸尸，过尸作尸。，48,垂足为。,

连结0。，延长。。交CD于点G,连接FG.

因为V/AE和VBCF都是边长为2的等边三角形，

18/23

所以OP=；(AB-EF)=2,PF=28oQ=3C=2,

因为FO_L平面/BCD,OPu平面48cD,

所以尸O,OP,

:.OF=4PF1-OP1=7(2A/3)2-22=2V2，

如图，把此“刍薨”分为两侧各一个四棱锥，中间一个三棱柱.

因为尸。，48,FO±AB,FQ,FO<=^FGQ,FQHFO=F,

所以平面FG0,

因为G0u平面厂G。，

所以/8J_G。，

所以四边形8CG0是矩形.

23.如图1,一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛

有加升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好经过点P（图2）,设正四棱

h,

柱的高为九,正四棱锥的高为刈，则/=.

«2

【详解】设棱柱的底面面积为S,

123m

在图1中，^Sh2—Sh2=^Sh2=mf所以色二三一，

332s

在图2中，可得s（4-®=机，所以九一色=2,则九=薨,

19/23

5m

所以M更=：

「3m3

一2?

故答案为：j

24.如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥.高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一,建

设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平.如图是某重器上一

零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切.设43=3,

则该模型中5个球的表面积之和为

【答案】3兀

【详解】如图所示,

设。为大球的球心，大球的半径为A,大正四面体的底面中心为E,棱长为3,高为为，CD的中点为尸,

连接OA,OB,OC,OD,OE,BF,

由8尸MBCsinNBCOuBCsinGO=—

2

正四面体/-BCD的高/z=-B守=

因为腺四面体4BC0=4嚏棱锥，所以;XSABC/=4X］义S&BCD*R,

所以R=-h=

44

20/23

设小球的半径为，，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高标="-2尺=半，同理

4J82

\2

故该模型中5个球的表面积之和为4依2+4x4/=8成2=87rx二3兀.

I4J

故答案为：3兀.

25.已知圆锥的母线长为4,轴截面,是一个顶角为7牛IT的等腰三角形，则该圆锥的体积为

【答案】8兀

【详解】

7T

由题意可得，PB=4,ZBPD=-

所以底面半径为=4xsin工=26",圆锥的高为PD=4xcos'=2,

33

所以圆锥的体积忆=：无•£»台2・尸。=；7TX（2行『x2=8兀，

故答案为：871.

26.如图1是唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似的看作是半球与圆柱的组合体（如

图2）.当这种酒杯内壁的表面积为Sen?,半球的半径为Rem时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积（厚

度忽略不计）的3倍，则叵的取值范围是.

（兀取3）

图1图2

【答案】（跖后］

【详解】设圆柱的高为〃，则