2025年北京高考数学二轮复习：几何法解决立体几何问题（讲义）解析版

专题11几何法解决立体几何问题

目录

01考情透视•目标导航............................................................1

02知识导图思维引航............................................................3

03知识梳理方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测............................................................7

05核心精讲题型突破...........................................................19

题型一：线线平行'线面平行及面面平行19

题型二：线线垂直、线面垂直及面面垂直31

题型三：线线角与线面角的求算42

题型四：简单二面角的求算54

重难点突破：线线距、点面距及体积的求算67

0

—视•一标导航

有关几何法解决立体几何的北京高考试题，立体几何总体难度有所提升，但仍然以基础性题目为主，注重

1/75

考查数学文化，社会生活实践中的数学问题,解答题以常见儿何体为载体，重点考查空间中点，线、面的位置关

系的判断与论证，以及空间角的求法，从能力上更加注重对空间想象，逻辑思维和运算求解能力的考查，题目多

为中档的综合性问题，立体几何的题目考查形式多样，且难度不定，需要学生在平时下功夫，加强对中低档题

目的训练，打好基础,在平时训练中注意提高空间想象、逻辑推理和运算求解能力。

考点要求目标要求考题统计考情分析

2024年北京卷第8题4分

2023年北京卷第9题4分

2022年北京卷第9题4分

2021年北京卷第4题4分

2024年北京卷第14题5分

熟练掌握线线、线

2019年北京理科卷第11题5分

面及面面垂直与预测2025年高考，立

2024年北京卷第17题14分

平行的几何求算体几何主要以线面、线线、

几何法解决立体几何2023年北京卷第16题13分

公式；线线、线面面面位置关系及夹角求

2022年北京卷第17题14分

及面面夹角的几算，充分利用好几何法.

2021年北京卷第17题14分

何求算技巧

2020年北京卷第16题13分

2019年北京卷理科第16题13分

2018年北京卷理科第16题13分

2017年北京卷理科第16题13分

2016年北京卷理科第17题14分

2015年北京卷理科第17题14分

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3/75

1.处理异面直线所成角

技巧总结

常规方法：

第一步：将所求直线中的一条用刻度尺进行平移然后与另一条直线衔接出现三角形

第二步：将三角形画到草稿纸上并利用空间图求出各边的长

第三步：利用余弦定理求出待求角

第四步：检查若求出的角为锐角或直角则即为所求，若求出的角为钝角则补角即为所求

（秒杀：）

四面体的任何一组对棱都是异面直线，因此以四面体为载体，把异面直线放在四面体对棱所在的位

置，利用四面体对棱夹角公式处理异面直线角度问题

（结论：）在四面体1-BCD中,若ZC与所成的角为，

^AB-+CD^-（BC2+DA1}

四面体对棱夹角公式：cos0=---------------------------------

2AC-DB

ACDB2AC•DB

证明如下:cos(AC,DB

AC■~DB2AC-DB

因为2就.丽=就•丽+成.丽=就•（5+获）+肩.匠+而）

^ACDA+ACAB+CABC+CACD=ACAB-ACBC+CA-CD-CADA

^AC-^4B-BC)+CA-[CD-DA)^^4B+BC\{AB-BC)+^D+DA)-{CD-DA)

——-2——>2(——>2——>2、——►2——.2(——>2——>|2

=AB-BC+CD-DA\=AB+CD-BC+DA

——►2——►2(——>2——►2\

_,__AB+CD-BC+DA|^AB-+CD^-(BC2

所以cos(就,DB\=-----------A一---------1

'/2ACDB2ACDB

2.处理线与面各种平行关系

技巧总结

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线面平行：壁》①必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹

②眼神法：观察采用哪一种技巧（五种方法）（记住六大图像）

②法一：中位线型D

例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P-45CD中，点E是尸。的中点.求证：必〃平面/EC.

分析：

如图⑴

⑤法二：构造平行四边形）

例2、如图⑵，平行四边形48CD和梯形区叩。所在平面相交，BE//CF,求证：4E〃平面QCF.

分析：过点E作EG〃Z。交RC于G,DG就是平面ZEG。

与平面。CR的交线，那么只要证明ZE〃£>G即可。

例3、如图⑶，在四棱锥O-48CD中，底面48CD为菱形,M为。4的中点，N为5c的中点，证明:

直线W〃平面OCD

分析:：取08中点E,连接ME,NE,只需证平面"EN〃平面0CD。

方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。

例4、已知公共边为的两个全等的矩形切和力婀不在同一平面内，P,0分别是对角线力£,劭上的

点，且/々刃（如图）.求证：户。〃平面颂：

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例5.如图⑸，已知三棱锥尸—45C,Z'、B'、。是APBC,APC4,AZ为8的重心.（1）求证：A'B'//

面/8C；

如图⑹

3.处理线与面各种垂直关系

技巧总结

证明垂直：线线垂直=线面垂直=面面垂直

（必记结论：）①特殊的平行四边形n边长之比1:2,夹角为60°,则对角线与边垂直

②特殊的直角梯形n边长之比1：1：2,对角线与腰垂直

③等腰三角形三线合一，三线与底垂直

④直径所对的圆周角为直角

⑤菱形和正方形：对角线互相垂直

⑥特殊的矩形：边长之比1:2或1：也有明显的直角关系

4快速处理线面角问题

技巧总结

结论：sina=:{dn点面距离（d往往用等体积法计算），/n线自身长度}

5.快速处理二面角的平面角问题

技巧总结

（结论：,意二面角的平面角a满足cosa=如（.M—AB—Nncosa=包丝）

Sb_ABS^NAB

注意：N为原图上的点，而分子—则是N点在面的投影点

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1.（2024・北京・高考真题）如图，在四棱锥尸-4BCD中，底面是边长为4的正方形，PA=PB=4,

PC=PD=2V2,该棱锥的高为（）.

C.V2D.V3

【答案】D

【详解】如图，底面/BCD为正方形,

当相邻的棱长相等时，不妨设P/=P8=/8=4,PC=PD=20,

分别取CO的中点E,F,连接PE,PF,EF,

则尸£_1/及£尸_148,且PEcEF=E,PE,EFu平面PE尸,

可知平面尸跖，且48u平面48cD,

所以平面PEF1平面ABCD,

过尸作E尸的垂线，垂足为O,即尸。_LEF,

由平面PE尸Cl平面48CD=£F,POu平面尸，

所以尸。工平面ABCD,

由题意可得：PE=2y[3,PF=2,EF=4,则尸E?+尸尸2=昉2,即尸石工尸尸，

11PF.PFr-

则一PE•尸尸=—PO-EF,可得尸O=----------=。3,

22EF

所以四棱锥的高为g.

当相对的棱长相等时，不妨设尸/=PC=4,PB=PD=2V2>

因为BD=4亚=PB+PD，此时不能形成三角形尸3。，与题意不符，这样情况不存在.

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故选：D.

2.（2023・北京•高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出

建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是

全等的等腰三角形.若N3=25m,BC=NO=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面

的夹角的正切值均为理，则该五面体的所有棱长之和为（）

C.117mD.125m

【答案】C

【详解】如图，过E做平面/3C。，垂足为O,过E分别做EGLBC,EM1AB,垂足分别为G,M,

连接OG,（W,

由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为NEMO和/EGO,

所以tanNEMO=tanZEGO=平.

因为£O_L平面4BCD,BCu平面N3CD,所以EO_L3C,

因为£GJ_8C,EO,EGu平面EOG,EOcEG=E,

所以平面EOG,因为OGu平面EOG,所以BC_LOG,.

同理：OMVBM,又BM1BG,故四边形（W3G是矩形，

所以由BC=10得（W=5,所以EO=Ji1，所以OG=5,

所以在直角三角形EOG中，EG=y/EO2+OG-=+52=V39

在直角三角形EBG中，BG=OM=5,EB=4EG1+BG1=J（V39）2+52=8,

又因为斯=/8-5-5=25-5-5=15,

所有棱长之和为2x25+2x10+15+4x8=117m.

故选：C

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3.（2022•北京・高考真题）已知正三棱锥尸-4BC的六条棱长均为6,S是“3C及其内部的点构成的集合.设

集合？=则7表示的区域的面积为（）

37r

A.—B.兀C.2"D.3%

4

【答案】B

【详解】

设顶点尸在底面上的投影为O,连接80,则。为三角形/8C的中心,

且50=2x6x3=2右，故尸。=：36-12=2屈.

32

因为尸。=5,故。。=1,

故S的轨迹为以。为圆心，1为半径的圆，

,V3

而三角形/3C内切圆的圆心为。，半径为一彳义北,J

-376—-

故S的轨迹圆在三角形内部，故其面积为万

故选：B

4.（2021•北京•高考真题）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）

1

H-1―>1H-1―H

正（主）视图侧（左）视图

俯视图

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A.-+—B.3+V3C.-+V3D.3+—

2222

【答案】A

【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥O-45C,

其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，

由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1,

故其表面积为3x,xlxl+^^x（6）=3+6,

24',2

5.（2021・北京・高考真题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面

上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm）.24h降雨量的等级划分如下：

|<-200mm->]

等级24h降雨量（精确到0.1）

..........

小雨0.1〜9.9

中雨10.0〜24.9

大雨25.0〜49.9

10/75

暴雨50.0〜99.9

............

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm,高为300mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程

中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如图所示），则这24h降雨量的等级是

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【答案】B

【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.

【详解】由题意，一个半径为一=100（mm）的圆面内的降雨充满一个底面半径为等x郎=50（mm）,高

为的圆锥，

1,

—7x5()2x150

所以积水厚度4属于中雨.

—-----------：----=12.5(mm)'

7TX10Q2''

故选：B.

6.（2020・北京・高考真题）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）.

正（主）视图侧（左）视图

俯视图

A.6+GB.6+2A/3C.12+6D.12+2右

【答案】D

【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，

贝1|其表面积为：5=3x（2x2）+2xQx2x2xsin60°^=12+2V3.

故选：D.

7.（2024・北京•高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是焦、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量

器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次

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为65mm,325mm,325mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为mm,升量器的高为mm.

【答案】2357.5/学

【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度.

【详解】设升量器的高为％,斗量器的高为电(单位都是mm),则=10,

故%2=23mm,4=mm.

故答案为：23mm，尘■mm.

2

8.(2024•北京•高考真题)如图，在四棱锥尸-/BCD中，BC//AD,AB=BC=1,40=3,点E在4D上,

且尸E1/。，PE=DE=2.

(1)若下为线段PE中点，求证：8尸〃平面PCO.

(2)若AB1平面PAD,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析⑵雪

【详解】(1)取PD的中点为S,接即,SC,则M//ED,即=!即=1,

2

而ED〃BC,ED=2BC,故SFHBC,SF=BC,故四边形必BC为平行四边形,

敬BFHSC,而BFa平面尸CD,SCu平面尸C。，

所以8尸〃平面尸CD

(2)

12/75

Z/

B，

因为£0=2,故/£=1,^AE//BC,AE=BC,

故四边形/EC3为平行四边形，故CE//AB,所以CE,平面尸/D,

而PE,£Du平面尸40,故CELPE,CELED,而尸E_LEZ）,

故建立如图所示的空间直角坐标系，

则/（0,-1,0）,3（1,-1,0）,41,0,0,。（0,2,0）,尸（0,0,2）,

贝1J西=（0,—1,一2）,而=（1,一1,一2）,卮=（1,0,-2,PD=（0,2,—2

设平面P4B的法向量为而=（x）,z）,

m-PA=0f—v-2z=0,、

则由_可得一、八，取法=0,-2,1,

m-PB=Q[x-y-2z=0

设平面尸CD的法向量为力=（区瓦c）,

n-PC=0a-2b=0

则由《可得取元=（2,1,1）,

n-PD=Q2b-2c=0

—1V30

故COS而，亢=

75x76^0~

故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为叵

30

9.（2023・北京•高考真题）如图，在三棱锥尸-/8C中，尸/_1_平面48C,PA=AB=BC=l,PC=43.

⑴求证：3C工平面B42；

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7T

【答案】（1）证明见解析（2）§

【详解】（1）因为平面NBC.BCu平面4BC,

所以P/L8C,同理尸

所以APAB为直角三角形，

又因为PB=JPA、AB2=◎，BC=1,PC=M，

所以尸32+比2=%2,则APBC为直角三角形，故BCLPB,

又因为3C1E4,PA^PB=P,

所以5C/平面尸48.

10.（2022・北京・高考真题）如图,在三棱柱48。-4月。中,侧面3。68］为正方形,平面8或;内，平面ABB4,

AB=BC=2,M,N分别为44，NC的中点.

C

（1）求证：〃平面BCC圈;

【答案】（1）见解析

【详解】（1）取48的中点为K,连接MK,NK,

由三棱柱ABC-AXBXC1可得四边形为平行四边形,

而B\M=MAVBK=KA,则MKHBB},

而“KcZ平面，Bqu平面8CC圈，故MK〃平面8。。圈，

而CN=N4,BK=KA,则NK//3C,同理可得“〃平面8CC四，

而NKCMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面"KN〃平面3。。圈，而血Wu平面MKN,故〃平面8CC4，

11.（2021・北京・高考真题）如图：在正方体N3CD-4B|GA中，£为4。中点，B©与平面CDE交于点厂.

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J*-----------------VR

（1）求证：尸为3£的中点；

⑵点M是棱4月上一点，且二面角/-FC-E的余弦值为好，求党的值.

344

【答案】（1）证明见解析；

【详解】⑴如图所示，取3c的中点/，连结DE,EF,,F，C,

由于N5CD-4用GA为正方体，耳尸为中点，故EFPCD,

从而C,。四点共面，即平面CDE即平面CDEF,

据此可得：直线3c交平面CDE于点尸，

当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点尸与点尸重合，

即点尸为4G中点.

4^---------------------，

12.（2020•北京・高考真题）如图，在正方体43co中，£为的中点.

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（II）求直线441与平面/。也所成角的正弦值.

7

【答案】（I）证明见解析；（II）f.

【详解】（I）［方法一］:几何法

在正方体ABCD-44GA中，ABIIA.B,且48=44,ABJ/CR且幽=QD

且/B=G2,所以，四边形N3G2为平行四边形，则BG//Z2,

•••BGa平面4D|E,平面4C\E,〃平面4D］E；

（II）［方法一］:几何法

延长CG到下，使得C］F=BE,连接E尸，交3G于G,

又：QF//BE,：.四边形BEFQ为平行四边形，；.BCJIEF,

又：BCJ/AD,,：.//E尸，所以平面40或即平面401也，

连接口G,作垂足为“,连接制,

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•;FC]±平面44G2,DXGu平面44G2,FCA±DXG,

又FCQGH=G,直线RG±平面QFH,

又：直线Dfiu平面DfiF,.•・平面RGF1平面CXFH,

：.。在平面DfiF中的射影在直线FH上,；.直线FH为直线FC,在平面DfiF中的射影，ZCAFH为直线FCX

与平面QG尸所成的角，

根据直线尸G〃直线幺4,可知/GW为直线与平面/"G所成的角.

2x12

设正方体的棱长为2,则CG=CF=1,D\G=E：.C\H=/飞

；・FH=

sin/GFH=V~=

FH3

即直线M与平面gE所成角的正弦值为|.

接续⑴的向量方法，求得平面平面/QE的法向量1=(2,1,-2),

__»——n-AA,42

xvM=(0,0,2),.-.cos<",M>=一”=一7

直线74与平面ADXE所成角的正弦值为|.

［方法三］:几何法+体积法

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如图，设3c的中点为R延长4片,/乙。/，易证三线交于一点尸.

因为84〃441,斯〃/0,

所以直线与平面/。也所成的角，即直线用E与平面尸跖所成的角.

设正方体的棱长为2,在！尸所中，易得PE=PF=0,EFf,

3

可得SJEF=~•

1311

由G棱啊-际=嚏棱触-“R，得§*5•B[H=—X—xlxlx2,

整理得用"=§.

所以sin/B[EH=*=；.

42J

所以直线么4与平面NQE所成角的正弦值为;.

[方法四]:纯体积法

设正方体的棱长为2,点4到平面AED,的距离为h,

在△/£1〃中，AE=E,AD[=2®,D\E=3,

口炉+括—皿2_9+5—8逐

cosZ-AEDX=

2DXE-AE_2x3x石-5

所以sinZAEDX=，易得工股=3.

,114

=

由VE-AARAx-AEDi，得J邑皿4•4耳二-S“EDjh'解得〃=§，

h2

设直线与平面/ER所成的角为。，所以sinOn7yuw.

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垓,p、靖过•颤gy空砧

题型一：线线平行、线面平行及面面平行

【典例1-1】如图，在斜三棱柱”C-4用。中，4B=BC,点”为NC的中点.

Bi

(1)求证：BtCII平面45M；

(2)若平面//eq，平面4BC,求证：BMLAC,.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【详解】(1)连接/4交//于点N,连接

因为/8月4为平行四边形，所以N为N片的中点

在A48C中，为中位线，所以MNHB©,

又3[C<z平面AtBM,MNu平面AXBM,

所以2。〃平面48M.

(2)在A43c中，AB=BC,点〃■为/C的中点，所以WL/C,

因为平面4月。。J■平面48C,平面44CGn平面48C=/C,BMu底面48C,

所以3M_L平面和iGC,又NC|u平面44Q1C,所以

【典例1-2】如图，在三棱柱48C-481cl中，底面N8C,底面/8C为等边三角形，E,F分别为BB^AC

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⑴求证：3尸〃平面4EC；

(2)求证：平面AXEC1平面NCG4.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

如图：取4c的中点连结HE,由于E,尸分别为33i，/C的中点.

所以族而所以有HF〃BB「

又因为HF=LT14=-BB.=BE,

22

所以四边形加E是平行四边形，

故HEUBF,又因为BFa平面&EC,HEu平面&EC,

所以斯〃平面4EC；

(2)底面N8C为等边三角形，瓦尸分别为84，ZC的中点.可得8尸

又因为42,底面/BC,AFu底面/8C,所以斯，

又因为4/i/c=4,44/cu平面/CG4，

所以3尸1.平面4CG4,又因为HE//5F,

20/75

所以成，平面/CG4,又因为HEu平面4£C,

所以平面4EC,平面/CG4.

(1)线线平行

设直线44的方向向量分别是，石，则要证明/"4，只需证明3/区，即,=/(LeR).

(2)线面平行

线面平行的判定方法一般有三种：

①设直线/的方向向量是3,平面c的向量是力，则要证明/〃a,只需证明■力，即心力=0.

②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与己知直线

的方向向量是共线向量.

③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平

面内两个不共线向量线性表示即可.

(3)面面平行

①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可.

【变式1-1］如图，在四棱锥尸-48CD中，底面ABC。是菱形，点E,尸分别为48，PD的中点.ND48=60。,

平面PDE_1_平面48cD,PD=AD=2.

(1)求证：直线月尸〃平面尸CE；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，在线段PE上是否存在点M,使得DM,平面

ABF?若存在，求出P等M的值;若不存在，请说明理由.条件①：PE=CE；条件②：cosNPEZ)=叵

PE7

【答案】(1)证明见解析⑵存在，催PM=：2

PE5

【详解】(1)

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p

c

/lw

AEB

取尸C的中点为G,连接EG,FG,

易得FGHCD,MFO=-CD,

2

又底面A8CZ＞是菱形，AE=^AB,

所以FG//4E,FG=AE,

即四边形NEG尸为平行四边形，

所以/尸〃EG,

又EGu平面尸CE,4尸0平面尸CE,

所以4尸〃平面尸CE；

(2)

连接斯，

由（1）得4石=L4。=1,且/。/8=60。,

2

AAED=90°,DE=M，

即48_LDE,

又平面尸DE_L平面48CD,且平面尸DEPl平面48cD=DE,N8u平面4BCD,

.-.ABlnPDE,AB上PD，

又•.•48u平面48月，

则平面PDE1平面ABF,

V平面PDEA平面ABF=EF,

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，在平面尸DE内，过点。作。于点N,且与PE相交于点

则满足平面尸，

若选①，由PE=CE,可知ACDE三△尸

又4BLDE,即。_LDE,

：.NPDE=90°,

平面PDE如图所示，可知DF=1,则/D尸E=60。，

ZPDM=30°,

又sinADPE=cosAPED,sinNDPE==^~,

77

Sfj

贝Ij/ww中，sinZPMD=sin(ZZ)P£+ZPDM)=sinZDPEcosZPDM+cosZDPEsinZPDM=

PMPD

又由正弦定理

sinZPDMsinZPMD

即意

②由cos/PEZ)=^—

7

PE°+DE°-PA

在VPEZ)中,由余弦定理得cosAPED=

2PEDE

P+3—4121际/日/-

R即n——7=——=——，解得尸£=中,

2y/3PE7

...PE1=DE2+PD2，即"DE=90°，

下同选①.

【变式1-2］如图，四棱锥尸-/5CD中，侧面尸/。为等边三角形，AB=BC=-AD,ZBAD=ZABC=90°.

2

23/75

p

(1)若E为棱P。的中点，求证：直线CE//平面P48；

(2)若平面平面/BCD,点M在棱尸C上，且二面角河-48-。的大小为45。求直线与底面

A8CD所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析(2)理

【详解】(1)

取尸区中点尸，连结EF,BF,

因为E为尸D的中点，所以£尸//40,EF=-AD,

2

由ABAD=NABC=90°,得BC//AD,

又BC==4D,所以EF=BC,EF//BC,

2

则四边形BCE尸为平行四边形，有CE//8/，

又BFu平面尸CE<Z平面P43,故CEV/平面P43；

(2)

24/75

以A为坐标原点，初，血的方向分别为x轴，了轴正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系/-xyz,

则/（0,0,0）,5（1,0,0）,c（l,l,o）,尸（0,1,6）,

CF=（-1,0,73）,方=（1,0,0）,前=（0,1,0）,

设函:=2函0W2W1）,

贝!）就=死+屈=瑟+几屈=（0,1,0）+；1（_1,0,6）=（_；1,1,6；1）,

设平面M43的一个法向量为成=（x,y,z）,

m-AB=0即［x々=x0+y+&z=0

则—

布,BM=。

取z=l,则y=-百几，x=0,所以加=.

易知底面A8CD的一个法向量为访=（0,0,1）,

由于二面角的大小为45。,

解得八g或」*舍去），则沟J

设直线BM与底面ABCD所成的角为。,

25/75

所以直线与底面/2C。所成角的正弦值为叵.

7

命题预测

1.如图，在几何体"3CDEF中，底面48C。是边长为2的正方形，DEABCD,DE//BF,且

DE=2BF=2.

(1)求证：平面8CF〃平面NDE；

(2)求二面角。-4E-尸的余弦值.

【答案】(1)证明见解析(2)g

【详解】(1)由已知四边形A8CD为正方形可知3C〃4D,

又•：BFIIDE,

且2C,5Fu平面BCF,AD,DEu平面4DE,BCC\BF=B,

平面BCFH平面ADE；

由已知四边形ABCD是边长为2的正方形，

则DALDC,

又DE1ABCD,

二以点。为坐标原点，DA,DC,方向分别为x轴，》轴，z轴建立空间直角坐标系,

26/75

则/（2,0,0）,0（0,0,0）,£（0,0,2）,尸（2,2,1）,

即衣=（-2,0,2）,丽=（2,2,-1）,

设平面AEF的法向量万=（x/,z）,

AE•n=-2x+2z=0

贝1

JE—F-n_=2x+2y-z=0,

令x=2,得力=（2,-1,2）,

又平面NOE的一个法向量而=（0,1,0）,

一一n-m-11

cos。,冽=［一।=---=——,

\n\-\m\3x13，

•••二面角D-4E-尸为锐二面角，

二面角D-4E-尸的余弦值为g.

2.如图，已知三棱柱-中，4c与交于点Q。为3c边上一点，A为&C中点，且48//平

面40cl.求证:

⑴48//O。；

（2）平面AlBDlII平面ADCX.

【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.

【详解】（1）由题意，因为48〃平面/DC，

且4台u平面43c

又因为平面ADC,c平面ABC=OD,

所以由线面平行的性质得48//。。.

（2）由（1）可知48//。。，

27/75

又因为。点为4c的中点，

所以。为3c的中点，即

因为□为BG的中点，即,

又因为BC"B\Ci，BC=B、q,

所以BD=Dg,BD//D©,

所以四边形BDCR为平行四边形，

所以8D"/Z)G,

又因为DC】u平面ADC,,3。<z平面ADQ,

所以80//平面

又48//平面/£>G，4BcBD[=B,4JBu平面4ADl,B。1U平面4a5],

所以平面48A〃平面/OG.

3.如图，四边形NBCZ)是菱形，OE_L平面ABC。，AFIIDE,DE=3AF.

(1)求证：平面以尸//平面CDE；

(2)求证：平面E/C_L平面仍。；

(3)设点M是线段8。上一个动点，试确定点M的位置，使得/M//平面BEF,并证明你的结论.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)8W=gBD,证明见解析

【详解】(1)因为/尸〃DE,AF^CDE,DEu面COE,

所以4F//平面CDE,

同理，48//平面。。石，

又AFcAB=A,AF,u面BAF,

所以平面切尸//平面CDE.

(2)因为四边形45CZ)是菱形，所以

28/75

•.•Z)E_L平面/BCD,ACu平面/BCD,

:.ACLDE,

■：BDC\DE=D,平面Eg。，

/C_L平面£2。，

•・•/Cu平面E4C,

所以平面EAC1平面EBD.

(3)当2M时，/M//平面理由如下:

3

炸MNUED,则"N平行且等于;AD,

VAFIIDE,DE=3AF,二4尸平行且等于ACV,

•••4WF是平行四边形，

AMIIFN,

•••仁平面BEF,FNu平面BEE,

：.AM//平面BEF.

4.如图，在正方体/BCD-44GA中，E为。2的中点，下为的中点.

(2)求证：平面/EC//平面BFR.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【详解】(1)连接8。交/C于点O,则。为2。的中点,

29/75

因为E为。2的中点，则30//OE,平面NEC,OEu平面/EC,

因此，BDXII平面AEC.

(2)因为cq//。。且CG=。。，£为。。的中点，尸为CG的中点，

所以CP//。/,CF=DlE,所以，四边形CED尸为平行四边形，

所以2尸//CE,Z平面/EC,CEu平面/EC,

所以2尸//平面/EC,又BD]〃平面ZEC,BDQDF=1,

因此，平面/EC〃平面跳肛.

题型二：线线垂直、线面垂直及面面垂直

【典例2-1】已知等腰直角三角形A8C,如图(1),AB=AC=2,AD为斜边上的高.以4D为折痕将三角

形折起，使得/8DC为直角，E为BC中点.如图(2).

图(1)图⑵

(1)求证：平面_L平面ADC；

(2)求直线AE与平面BDC所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析(2)逅

3

【详解】(1)在图(1)中，因折起后，ADLDB.ADLDC,

因。5口。。=。，则4OJL平面BDC,

30/75

又4Du平面4D2,故平面4RD_L平面5DC.

（2）由（1）已得，40_1平面8。。，连接DE,则。£即NE在平面3OC上的射影,

故即直线/E与平面ADC所成角.

在图（1）中，AD=-BC^-x242=y/2,

22

在图（2）中，BD=DC,NBDC=RtN,贝l]OE==，x2=1,

22

V2_V6

在RL/DE中,AE=+]2_栏,故sin4ED二

?3=T

即直线/E与平面BOC所成角