2025版高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理练习含解析新人教B版必修5

PAGE1-1.1.2余弦定理课时过关·实力提升1已知在△ABC中,a∶b∶c=1∶1∶3,则cosC的值为()A.23 B.-23 C.12答案D2在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形态肯定是()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形解析由2cosBsinA=sinC,得a2+c所以a=b.所以△ABC为等腰三角形.答案C3已知在△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,则边AC上的高是()A.322 B.332解析由余弦定理,得cosA=AB∴sinA=32∴S△ABC=12AB·AC·sin=12×3×4×32=3设边AC上的高为h,则S△ABC=12AC·h=12×4×h=3∴h=33答案B4已知在△ABC中,∠ABC=π4,AB=2,BC=3,则sin∠BAC=()A.1010 B.105 C.3解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=2+9-2×2×3×22=5,即得AC=5.由正弦定理ACsin∠ABC=BCsin∠BAC答案C5已知在△ABC中,∠B=60°,b2=ac,则△ABC肯定是三角形.

解析因为∠B=60°,b2=ac,由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,得ac=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,所以a=c.又∠B=60°,所以△ABC是等边三角形.答案等边6已知△ABC的内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且3b2+3c2-3a2=42bc,则sinA=.

答案17设△ABC的内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cosC=14,则sinB=.

解析由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=1+4-2×1×2×14=解得c=2,即b=c,故sinB=sinC=1-答案158如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=223,AB=32,AD=3,则BD的长为解析∵AD⊥AC,∴∠DAC=π2∵sin∠BAC=223,∴sin∴cos∠BAD=22由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=(32)2+32-2×32×3×223=∴BD=3.答案39在△ABC中,已知∠B=45°,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长.解在△ADC中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理,得cos∠ADC=AD2+∴∠ADC=120°,∴∠ADB=60°.在△ABD中,AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°,由正弦定理,得ABsin∠∴AB=AD=10×322210在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满意c=2bcosA.(1)求证:∠A=∠B;(2)若△ABC的面积S=152,cosC=45,求c(1)证明因为c=2bcosA,由正弦定理,得sinC=2sinB·cosA,所以sin(A+B)=2sinB·cosA,所以sin(A-B)=0.在△ABC中,因为0<∠A<π,0<∠B<π,所以-π<∠A-∠B<π,所以∠A=∠B.(2)解由(1)知a=b.因为cosC=45,又0<∠C<π,所以sinC=3又因为△ABC的面积S=152所以S=12absinC=152,可得a=b=由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=10.所以c=10.★11设△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角∠A,∠B,∠C所对的边,并且sin2A=sinπ3+Bsinπ3-(1)求∠A的值;(2)若AB·AC=12,a=27,求b,c(其中b<c解(1)因为sin2A=32cosB+12sinB·32cosB-12sin所以sinA=32.又∠A所以∠A=π3(2)由AB·AC=12,可得bccosA=12由(1)知∠A=π3所以bc=24.②由余弦定理知a2=c2+b2-2bccosA,将a=27及①代