2025版高考数学一轮复习第十一章统计与统计案例第2讲用样本估计总体教案文新人教A版

PAGEPAGE1第2讲用样本估计总体一、学问梳理1．统计图表(1)频率分布直方图的画法步骤①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；②确定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图．(2)频率分布折线图和总体密度曲线①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图；②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．(3)茎叶图的画法步骤第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；其次步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列；第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧．2．样本的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．(2)中位数：把n个数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．(3)平均数：把eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)称为a1，a2，…，an这n个数的平均数．(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，则这组数据的标准差和方差分别是s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2])，s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]．常用结论1．会用三个关系频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．2．巧用四个有关的结论(1)若x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为meq\o(x,\s\up6(－))＋a；(2)数据x1，x2，…，xn与数据x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变；(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2；(4)s2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－eq\o(x,\s\up6(－))2，即各数平方的平均数减去平均数的平方．二、习题改编1．(必修3P77例2改编)已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．答案：eq\f(5,3)2．(必修3P65探究改编)某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是依据抽样检测后零件的质量(单位：克)绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[80，82)，[82，84)，[84，86)，[86，88)，[88，90)，[90，92)，[92，94)，[94，96]，则样本的中位数在第组．解析：由题图可得，前四组的频率为(0.0375＋0.0625＋0.075＋0.1)×2＝0.55，则其频数为40×0.55＝22，且第四组的频数为40×0.1×2＝8，故中位数落在第4组．答案：4一、思索辨析推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大．()(2)在频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越大．()(3)茎叶图中的数据要按从小到大的依次写，相同的数据可以只记一次．()(4)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者精确，后者直观．()(5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数的估计值．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√(5)√二、易错纠偏eq\a\vs4\al(常见误区)(1)频率分布直方图与茎叶图的识图不清；(2)对方差、平均数的统计意义的相识有误．1．甲、乙两人8次测评成果的茎叶图如图，由茎叶图知甲的成果的平均数与乙的成果的中位数分别是、.解析：由茎叶图可得甲的成果的平均数为eq\f(10＋11＋14＋21＋23＋23＋32＋34,8)＝21.将乙的成果按从小到大的依次排列，中间的两个成果分别是22，23，所以乙的成果的中位数为eq\f(22＋23,2)＝22.5.答案：2122.52．我市某校组织学生参与英语测试，成果的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是．解析：依题意得，成果低于60分的相应的频率等于(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是15÷0.3＝50.答案：503．(2024·高考全国卷Ⅱ)我国高铁发展快速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车全部车次的平均正点率的估计值为．解析：经停该站高铁列车全部车次的平均正点率的估计值为eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.答案：0.98样本的数字特征(典例迁移)(1)在一次歌咏竞赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90，89，90，95，93，94，93.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为()A．92，2.8 B．92，2C．93，2 D．93，2.8(2)(2024·盐城模拟)已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，则数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的标准差为．【解析】(1)由题意得所剩数据：90，90，93，94，93.所以平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(90＋90＋93＋94＋93,5)＝92.方差s2＝eq\f(1,5)[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2]＝2.8.(2)由s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝2，则数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差是8，标准差为2eq\r(2).【答案】(1)A(2)2eq\r(2)【迁移探究】(变条件)本例(2)增加条件“x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2”，求数据2x1＋3，2x2＋3，2x3＋3，2x4＋3，2x5＋3的平均数和方差．解：数据2x1＋3，2x2＋3，2x3＋3，2x4＋3，2x5＋3的平均数为2×2＋3＝7，方差为22×2＝8.eq\a\vs4\al()众数、中位数、平均数、方差的意义及常用结论(1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的状况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小．(2)方差的简化计算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\o(x,\s\up6(－))2]，或写成s2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up6(－))2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．1．(2024·昆明市诊断测试)高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大独创”，为评估共享单车的运用状况，选了n座城市作试验基地．这n座城市共享单车的运用量(单位：人次/天)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估共享单车运用量的稳定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数解析：选B.平均数、中位数可以反映一组数据的集中程度；方差、标准差可以反映一组数据的波动大小，同时也反映这组数据的稳定程度．故选B.2．(2024·甘肃、青海、宁夏联考)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)分布状况汇总如下：身高(100，110](110，120](120，130](130，140](140，150]频数535302010由此表估计这100名小学生身高的中位数为(结果保留4位有效数字)()A．119.3 B．119.7C．123.3 D．126.7解析：选C.由题意知身高在(100，110]，(110，120]，(120，130]内的频率依次为0.05，0.35，0.3，前两组频率和为0.4，组距为10，设中位数为x，则(x－120)×eq\f(0.3,10)＝0.1，解得x≈123.3.故选C.3．一组数据1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若该数据的众数是中位数的eq\f(2,3)倍，则该数据的方差为．解析：依据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷eq\f(2,3)＝3，把这组数据从小到大排列为1，2，2，x，5，10，则eq\f(2＋x,2)＝3，解得x＝4，所以这组数据的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4，方差为s2＝eq\f(1,6)×[(1－4)2＋(2－4)2×2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9.答案：9茎叶图(师生共研)(2024·成都市其次次诊断性检测)为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场竞赛的得分，制成如图所示的茎叶图．有下列结论：①甲最近五场竞赛得分的中位数高于乙最近五场竞赛得分的中位数；②甲最近五场竞赛得分的平均数低于乙最近五场竞赛得分的平均数；③从最近五场竞赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场竞赛的得分看，甲比乙更稳定．其中全部正确结论的编号为()A．①③ B．①④C．②③ D．②④【解析】对于①，甲得分的中位数为29，乙得分的中位数为30，错误；对于②，甲得分的平均数为eq\f(1,5)×(25＋28＋29＋31＋32)＝29，乙得分的平均数为eq\f(1,5)×(28＋29＋30＋31＋32)＝30，正确；对于③，甲得分的方差为eq\f(1,5)×[(25－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(32－29)2]＝eq\f(1,5)(16＋1＋0＋4＋9)＝6.乙得分的方差为eq\f(1,5)×[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝eq\f(1,5)×(4＋1＋0＋1＋4)＝2，所以乙比甲更稳定，③正确，④错误．所以正确结论的编号为②③.【答案】Ceq\a\vs4\al()茎叶图中的三个关注点(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不须要统一．(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．(3)给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小．1.(2024·新疆第一次毕业诊断及模拟测试)某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参与文史学问竞赛，他们取得的成果(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成果的平均分是85，乙班学生成果的中位数是83，则x＋y的值为()A．8 B．7C．9 D．168解析：选A.因为甲班学生成果的平均分是85，所以79＋78＋80＋80＋x＋85＋92＋96＝85×7，即x＝5.因为乙班学生成果的中位数是83，所以若y≤1，则中位数为81，不成立．若y>1，则中位数为80＋y＝83，解得y＝3.所以x＋y＝5＋3＝8，故选A.2．某省为了抽选运动员参与“国际马拉松竞赛”，将35名运动员的一次马拉松竞赛成果(单位：分钟)制成茎叶图，如图所示.若将运动员按成果由好到差编号，再用系统抽样的方法从中抽取7人，则其中成果在区间[139，151]上的运动员人数为()A．6 B．5C．4 D．3解析：选C.对35名运动员进行编号：00，01，02，…，34，分成七组：00～04，05～09，10～14，15～19，20～24，25～29，30～34，用系统抽样的方法抽7人，则第三组到第六组中占4人，即抽取的成果在区间[139，151]上的运动员的人数为4，故选C.频率分布直方图(多维探究)角度一求样本的频率、频数(2024·福建五校其次次联考)某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量(单位：件)进行了统计，制成频率分布直方图如下：(1)若将上述频率视为概率，已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数；(2)若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为500元，门市成本为1200元，每售出一件利润为50元，求该实体店一天获利不低于800元的概率．【解】(1)由题意知，网店销售量不低于50共有(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5×100＝66(天)，实体店销售量不低于50共有(0.032＋0.020＋0.012×2)×5×100＝38(天)，实体店和网店销售量都不低于50的天数为100×0.24＝24，故实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数为66＋38－24＝80.(2)由题意，设该实体店一天售出x件，则获利为(50x－1700)元，50x－1700≥800⇒x≥50.记该实体店一天获利不低于800元为事务A，则P(A)＝P(x≥50)＝(0.032＋0.020＋0.012＋0.012)×5＝0.38.故该实体店一天获利不低于800元的概率为0.38.角度二求样本的数字特征(2024·高考全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．依据试验数据分别得到如下直方图：记C为事务：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，依据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．【解】(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.eq\a\vs4\al()(1)频率、频数、样本容量的计算方法①eq\f(频率,组距)×组距＝频率；②eq\f(频数,样本容量)＝频率，eq\f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．(2)频率分布直方图中数字特征的计算①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．1．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的eq\f(2,5)，且样本容量为140，则中间一组的频数为()A．28 B．40C．56 D．60解析：选B.设中间一组的频数为x，因为中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的eq\f(2,5)，所以其他8组的频数和为eq\f(5,2)x，由x＋eq\f(5,2)x＝140，解得x＝40.2．(2024·武昌区调研考试)对参与某次数学竞赛的1000名选手的初赛成果(满分：100分)作统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)依据直方图完成以下表格；成果[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频数(2)求参赛选手初赛成果的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)假如从参与初赛的选手中选取380人参与复赛，那么如何确定进入复赛选手的成果？解：(1)填表如下：成果[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100)频数50150350350100(2)平均数为55×0.05＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.35＋95×0.1＝78，方差s2＝(－23)2×0.05＋(－13)2×0.15＋(－3)2×0.35＋72×0.35＋172×0.1＝101.(3)进入复赛选手的成果为80＋eq\f(350－（380－100）,350)×10＝82(分)，所以初赛成果为82分及其以上的选手均可进入复赛．(说明：回答82分以上，或82分及其以上均可)核心素养系列21数据分析——读取统计图中的数据数据分析、数学运算是数学的核心素养，也是数学应用于实际生活问题的核心，提取—计算—应用数据是数学实力的重要体现．(2024·高考全国卷Ⅱ)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产状况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．y的分组[－0.20，0)[0，0.20)[0.20，0.40)[0.40，0.60)[0.60，0.80)企业数22453147(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)附：eq\r(74)≈8.602.【解】(1)依据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为eq\f(14＋7,100)＝0.21.产值负增长的企业频率为eq\f(2,100)＝0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,100)(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s2＝eq\f(1,100)eq\i\su(i＝1,5,n)i(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝eq\f(1,100)[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.0296，s＝eq\r(0.0296)＝0.02×eq\r(74)≈0.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17.eq\a\vs4\al()(1)数据分析是指针对探讨对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成学问的过程．主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型对信息进行分析、推断，获得结论．(2)本例由频率分布表可以读出各组频数，可计算出频率从而问题得以解决．(2024·四省八校双教研联考)如图1为某省2024年1～4月份快递业务量统计图，图2为该省2024年1～4月份快递业务收入统计图，对统计图理解错误的是()A．2024年1～4月份快递业务量3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件B．2024年1～4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关C．从两图中看，增量与增长速度并不完全一样，但业务量与业务收入改变高度一样D．从1～4月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长解析：选D.对于A，2024年1～4月份快递业务量3月份最高，有4397万件，2月份最低，有2411万件，其差值接近2000万件，所以A正确；对于B，2024年1～4月份快递业务量的同比增长率分别为55%，53%，62%，58%，均超过50%，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关，所以B正确；对于C，由两图易知增量与增长速度并不完全一样，其业务量从高到低改变是3月→4月→1月→2月，业务收入从高到低改变是3月→4月→1月→2月，保持高度一样，所以C正确；对于D，由图知业务收入2月相对1月削减，4月相对3月削减，整体不具备高速增长之说，所以D不正确．综上，选D.[基础题组练]1．把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：[10，20)，2；[20，30)，3；[30，40)，4；[40，50)，5；[50，60)，4；[60，70]，2，则在区间[10，50)上的数据的频率是()A．0.05 B．0.25C．0.5 D．0.7解析：选D.由题知，在区间[10，50)上的数据的频数是2＋3＋4＋5＝14，故其频率为eq\f(14,20)＝0.7.2．(2024·高考全国卷Ⅱ)演讲竞赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成果时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A．中位数 B．平均数C．方差 D．极差解析：选A.记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的依次排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.3．(2024·陕西咸阳模拟检测(二))PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采纳世界卫生组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35～75μg/m3空气质量为二级，超过75μg/m3为超标．如图是某地12月1日至10日的PM2.5(单位：μg/m3)的日均值，则下列说法不正确的是()A．这10天中有3天空气质量为一级B．从6日到9日PM2.5日均值渐渐降低C．这10天中PM2.5日均值的中位数是55D．这10天中PM2.5日均值最高的是12月6日解析：选C.这10天中第一天，第三天和第四天，共3天空气质量为一级，所以A正确；从题图可知从6日到9日PM2.5日均值渐渐降低，所以B正确；从题图可知，这10天中PM2.5日均值最高的是12月6日，所以D正确；由题图可知，这10天中PM2.5日均值的中位数是eq\f(41＋45,2)＝43，所以C不正确．故选C.4．甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数中相同的是()A．极差 B．方差C．平均数 D．中位数解析：选C.由题中茎叶图中数据的分布，可知方差不同，极差不同，甲的中位数为eq\f(16＋21,2)＝18.5，乙的中位数为eq\f(14＋18,2)＝16，eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(5＋16＋12＋25＋21＋37,6)＝eq\f(58,3)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1＋6＋14＋18＋38＋39,6)＝eq\f(58,3)，所以甲、乙的平均数相同．故选C.5．甲、乙、丙、丁四人参与某运动会射击项目的选拔赛，四人的平均成果和方差如下表所示：甲乙丙丁平均环数eq\o(x,\s\up6(－))8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.4从这四个人中选择一人参与该运动会射击项目竞赛，最佳人选是．解析：由题表中数据可知，丙的平均环数最高，且方差最小，说明技术稳定，且成果好．答案：丙6．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25，30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)[25，30)年龄组对应小矩形的高度为；(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25，35)的人数为．解析：设[25，30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.则志愿者年龄在[25，35)年龄组的频率为5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25，35)年龄组的人数约为0.55×800＝440.答案：(1)0.04(2)4407．某校1200名高三年级学生参与了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成果，从这1200人的数学成果中随机抽取200人的成果绘制成如下的统计表，请依据表中供应的信息解决下列问题：成果分组频数频率平均分[0，20)30.01516[20，40)ab32.1[40，60)250.12555[60，80)c0.574[80，100]620.3188(1)求a、b、c的值；(2)假如从这1200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P(注：60分及60分以上为及格)；(3)试估计这次数学测验的年级平均分．解：(1)由题意可得，b＝1－(0.015＋0.125＋0.5＋0.31)＝0.05，a＝200×0.05＝10，c＝200×0.5＝100.(2)依据已知，在抽出的200人的数学成果中，及格的有162人．所以P＝eq\f(162,200)＝0.81.(3)这次数学测验样本的平均分为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(16×3＋32.1×10＋55×25＋74×100＋88×62,200)＝73，所以这次数学测验的年级平均分大约为73分．8．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制图如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费状况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．(1)依据图中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；(2)依据图中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．解：(1)甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数为36，众数为33.(2)依据题图中数据，可估算甲公司的每位员工该月所得劳务费为4.5×36×30＝4860(元)，易知乙公司员工B每天所得劳务费X的可能取值为136，147，154，189，203，所以乙公司的每位员工该月所得劳务费约为eq\f(1,10)×(136×1＋147×3＋154×2＋189×3＋203×1)×30＝165.5×30＝4965(元)．[综合题组练]1．(2024·安徽五校联盟其次次质检)数据a1，a2，a3，…，an的方差为σ2，则数据2a1，2a2，2a3，…，2an的方差为()A.eq\f(σ2,2) B．σ2C．2σ2 D．4σ2解析：选D.设a1，a2，a3，…，an的平均数为a，则2a1，2a2，2a3，…，2an的平均数为2a，σ2＝eq\f(（a1－a）2＋（a2－a）2＋（a3－a）2＋…＋（an－a）2,n).则2a1，2a2，2a3，…，2an的方差为eq\f(（2a1－2a）2＋（2a2－2a）2＋（2a3－2a）2＋…＋（2an－2a）2,n)＝4×eq\f(（a1－a）2＋（a2－a）2＋（a3－a）2＋…＋（an－a）2,n)＝4σ2.故选D.2.(2024·郑州市其次次质量预料)将甲、乙两个篮球队各5场竞赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是()A．甲队平均得分高于乙队的平均得分B．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C．甲队得分的方差大于乙队得分的方差D．甲、乙两队得分的极差相等解析：选C.由题中茎叶图得，甲队的平均得分eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(26＋28＋29＋31＋31,5)＝29，乙队的平均得分eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(28＋29＋30＋31＋32,5)＝30，eq\o(x,\s\up6(－))甲<eq\o(x,\s\up6(－))乙，选项A不正确；甲队得分的中位数为29，乙队得分的中位数为30，甲队得分的中位数小于乙队得分的中位数，选项B不正确；甲队得分的方差seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝eq\f(18,5)，乙队得分的方差seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(