2025高考数学复习易错题专练：集合、逻辑用语与不等式（试卷+答案解析）

专题01集合、逻辑用语与不等式

考点01集合及运算

1.（24-25高三上•北京朝阳•期末）已知全集。=何一2<尤<2},集合A={x[0<x<l},则（）

A.[-2,0）B.[-2,0）U（l,2]

C.[1,2]D.[-2,0]U[l,2]

【答案】D

【分析】根据补集关系分析运算即可.

【详解】因为全集。={X-2W2},集合A={x[0<x<l},

所以2A=[-2,0]U[l，2].

故选：D.

易错分析：在求解不等式解集的交、并、补运算时，一定要注意等号能否取得.

2.（24-25高三上•湖南长沙•期末）已知集合&={“,〃},3={1,4}，若leA,则AU3中所有元素之和为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】由leA,求出。=1或。=-1,再分类讨论由集合的互异性可求出AU3={-U,4},即可得出答案.

【详解】由leA得。=1或/=1,解得：。=1或a=-1,

若。=1,则/=1,不符合题意；

若a=—1,A={-1,1},从而AU3={T，1，4},

所以AU3中所有元素之和为4.

故选：C.

3.（24-25高三上•四川成都・期中）已知集合4={1,“+2},8={片,1,3},若对VxeA,都有xe瓦贝U〃为（）

A.1B.-1C.2D.1或2

【答案】C

【分析】得到A=3,分。+2=/和。+2=3两种情况，求出。，舍去不合要求的解，得到答案.

【详解】由题意得

当a+2=〃2时，解得〃=2或-1,

当0=2时，3={4,1,3}满足要求，

当。=-1时，a+2=l,a2=1,A,B中元素均与互异性矛盾，舍去，

当。+2=3时，a=l,此时“2=1,8中元素与互异性矛盾，舍去，

综上，4=2.

故选：C

易错分析：根据集合间的关系求参数时，一定要注意检验是否满足元素的互异性.

4.已知集合人={—L2},B={x|mx—l=O,meR},若AUB=A，则所有符合条件的实数机组成的集合是（）

A.1-B.{-1,0,2}C.{-1,2}D.1,0,—j-

【答案】D

【分析】由AUB=A，得到314,分m=0和加工0两种情况讨论，即可求解

【详解】=A等价于314，

当“2=0时，B=0,此时31符合；

当:〃力0时，B=j—[,因为故工•=-：!或1=2,即机=一1或机=L

[mJmm2

所以符合条件的实数m组成的集合是卜I,。,：1.

故选：D

易错分析：已知集合间的包含关系人口3求参数时要注意讨论A=0,A，0两种情况.

22

5.已知集合&={尤€昨2-3A18<。},B={xER\x+ax+a-21<0],则下列命题中正确的是（）

A.若4=3,贝指=一3B.若A=3,贝iJa=-3

C.若3=0,则aW-6或D.若a=3,贝!]AcB={x|—3Vx<6}

【答案】ABC

【分析】解一元二次不等式求集合4根据各选项中集合的关系，列不等式或方程求参数值或范围，判断4

B、C的正误，已知参数，解一元二次不等式求集合2,应用交运算求AcB判断正误即可.

【详解】由己知得：A={尤卜3Vx<6},g（x）=x2+ax+a2-21

A：若A”,即一季是方程8。）=°的两个根,则：[；=T8,得。=3正确;

g(-3)=Q2-3<I-18<0

B：若AqB,贝ljg⑹d+6“+9V。’解得“7,正确;

C：当3=0时，A=a2-4（a2-27）<0,解得。W-6或q»6,正确;

D：当a=3时，有8={尤eq/+3尤-18<。}={尤|一6<》<3},所以AcB={x卜3cx<3},错误；

故选：ABC.

6.（2025高三・全国・专题练习）已知集合4={巾6>1},B={x\x<2},若AQBw。，则。的取值范围

为.

【答案】（-⑸。）吗，+，|

【分析】对集合&={x|方>1}根据。>0和。<0进行分类讨论，再由AQBw。确定不等关系求解即可.

【详解】因为Ap|5w0,所以A={x|公则awO.

当a〉0时，A=<x\x>—?,由An5w0,得一<2,解得〃>—；

[|QJa2

当a<0时，A=|x|x<|j,此时AABwO,符合条件.

综上所述，。的取值范围为（-双0）。（；,+。]

故答案为：（-QO，°）u[；，+GO）.

7.（2024•河南驻马店•二模）已知集合A={x|4x2一％-5>o},3={x|x>m}，若相=0,则他A）IB=

若AU3=R,则加的取值范围为.

【答案】{%|0<X<|}（一8,-1）

【分析】解出集合A中的不等式，利用集合的交并补运算即可求解.

【详解】4尤?一彳一5>0即（x+D（4x-5）>。，

则A=[x]x>；或x<-lj,

所以々A={x|-lWxW；},

若根=0,则5={%|x>0},

&A）IB={A|0<X<|},

若A|JB=R,B={X\X>m},

则机<-1,故加的取值范围为

故答案为：｛%|0<尤<二｝；

4

考点02常用逻辑用语

1.（24-25高三上•北京朝阳•期末）是“1呜户<1"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由对数函数的单调性，结合充分条件和必要条件的定义即可下结论.

【详解】当1<〃<772时，log,,,n<log,,,m=l,所以充分性成立；

若log,,,n<l,即log.,n<log,”m,

当0<〃z<l时，n>m,所以1<〃<机不成立，故必要性不成立，

所以是的充分不必要条件.

故选：A

易错分析：在判断充分条件、必要条件时一定要弄清相关概念，以防出错.

2.（24-25高三上・江苏常州•期末）已知“，b,ceR,则“。，b,c既是等差数列又是等比数列”是“°=6=c”

的（）

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用推出关系去判断充要关系即可.

【详解】当。=力=。=0时，6,c是等差数列，不是等比数列，

当a1,c既是等差数列又是等比数列，则q=6=c,

故"a/,c既是等差数列又是等比数列"是“a5=c”的充分不必要条件，

故选：A.

3.（2025高三•全国・专题练习）设XCR,则“2<x<4”是“2工<一’的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】借助数形结合解不等式，结合图象判断结果.

【详解】画出函数y=f与丁=2工的图象，如图所示.

由图象知，在（0,+8）上,两函数有2个公共点4（2,4）,5（4,16）,

在（3,0］上，两函数有一个公共点（％芯）.

观察图象可知：在（-叫/）上，2工</;在（%,2）上，2-r>x2;

在（2,4）上，2x<x%在（4,+8）上，恒有2，>幺.

因此，"2<x<4"是2<9”的充分不必要条件,

故选:A.

4.（2024.山东.二模）已知0：1<2”<4,“:尤2_亦_1<0,若。是4的充分不必要条件，则（）

33

A.aN—B.一C.〃>2D.0va<2

22

【答案】A

【分析】首先化简命题P,依题意可得当0<x<2时--分-1<0恒成立，参变分离可得a>x-1在0<x<2

X

上恒成立，结合函数的单调性计算可得.

【详解】命题P：l<2*<4,即。：0<x<2,

因为。是4的充分不必要条件，

显然当x=0时满足q：x2-ax-1<0,

所以当0<x<2时Y-ax-lvO恒成立，

贝在0<x<2上恒成立，

x

1Q

又函数〃力=尤-1在（0,2）上单调递增，且"2）=；,

所以“巧3

故选：A

易错分析：已知充分、必要条件求参数范围，一定注意正确转化为集合间的包含关系再求

解.

5.（23-24高三上•浙江宁波・期末）命题“王《-2』，V-x-o>0”为假命题的一个充分不必要条件是（）

A.aW—B.Q«0C.a>6D.a>8

4

【答案】D

【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数。的取值范围，再求其真子集，即可判断选项.

【详解】若命题“天目-2』，/_彳">0”为假命题，

2

则命题的否定“以e[-2,1],x-x-a<0”为真命题，

即aWd-x，xw[—2』恒成立，

『2_尤=[_]_:,xe[-2,l],当天=_2,取得最大值y=6,

所以"26,选项中只有是｛a|aN6｝的真子集，

所以命题“Hxe[-2,1],无2-x-a>0”为假命题的一个充分不必要条件为

故选：D

易错分析：要注意“A是3的充分条件”和“A的充分条件是3”的区别.

6.已知=-3,则〃x）<5的一个必要不充分条件是（）

A.x>—4B.%>—3C.xv—2D.x<—3

【答案】A

【分析】根据题意，利用指数函数的性质，求得不等式/（X）<5的解集，结合选项，以及必要不充分条件的

判定方法，即可求解.

【详解】由不等式〃x）<5,可得-3<5,即仁]<8,解得x>-3,

结合选项，可得了（同<5的一个必要不充分条件为x>-4.

故选：A.

7.（2024.重庆・三模乂多选）命题“存在1>0,使得作2+2%_1>（），，为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.m>—2B.m>—\C.m>0D.m>1

【答案】CD

【分析】根据题意，转化为存在尤>0,设定〃?>号，利用二次函数的性质，求得匕学的最小值为-1,

求得加的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解.

【详解】由题意，存在x>0,使得力/+2》一1>0,即机>士乎=（J_）2-2X』=（L-1）2-1,

XXXX

1i-2r

当上一1=0时，即尤=1时，的最小值为一1,故加>一1；

Xx~

所以命题“存在尤>0,使得皿2+2x_1>0”为真命题的充分不必要条件是｛rn\砂-1｝的真子集，

结合选项可得，C和D项符合条件.

故选：CD.

8.（24-25高三上•天津河北•期末）命题P：3x<0,尤2-2x+a40的否定是（）

A.\/x>-09炉—2%+a<0B.>0,%2—2X+Q«0

C.Vx<0,x1—2x+a>0D.Hx<0,x2—2x+tz>0

【答案】C

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.

【详解】命题P：/一2%+々40为存在量词命题，

其否定为：Vx<0,X2-2X+«>0.

故选：C

易错分析：写全称命题和存在量词命题的否定要注意两点：一是转换量词；二是否定结论.

9.（2024・四川•模拟预测）已知命题“V%£[l,4],e”——相>0”为真命题，则实数加的取值范围为（）

x

A.（«,e—2]B.1―8,eJ；C.[e-2,+co）D.e4—g,+oo]

【答案】A

【分析】分离参数根We-7求函数/（%）=e。不％41,4]的最小值即可求解.

79

【详解】因为命题4],e。、-根20”为真命题，所以7

令〃》）=二七"«1,4]»=/与丫=-：在[1,4]上均为增函数，

故"X）为增函数，当x=l时，/（X）有最小值e-2,BPm<e-2,

故选：A.

10.（24-25高三上•山西•阶段练习）若命题p：Ae[-2,2],使得V-2犬-苏+2机20为假命题，则实数加的

取值范围为（）

A.（-oo,l）u（l,+oo）B.（-oo,0）u（2,+<»）

C.（-oo,-4）u（2,+oo）D.（-<z>,-2）u（4,+oo）

【答案】D

【分析】问题转化为当-24xW2时，d-2x-疗+2机<0恒成立，利用二次函数的性质，求出

/（力=/—2%-冽2+2根在12,2]上的最大值，解不等式求实数机的取值范围即可.

【详解】因为P为假命题，所以力:Vxe[-2,2],/-2工-苏+2〃7<0为真命题，

22

即当-24xW2时，x-2x-m+2m<0恒成立.

因为函数/（力=无2—2%—〃22+2〃2=（%-1）2一〃22+2〃?-1图象的对称轴为％=1,

所以当-24x42时，/（-2）=-m2+2m+8,所以-加？+2〃?+8<0,

即加2-2m-8>0,解得加<-2或〃?>4,

即实数机的取值范围为（-8,-2）。（4,+8）.

故选：D.

易错分析：不等式的恒成立问题和有解一般都要转化为函数的最值问题.

9

11.（2024.黑龙江.模拟预测）（多选）已知命题"Vxe[l,4],/——根20”为真命题，则实数机的可能取值

X

是（）

A.-1B.0C.1D.e

【答案】AB

【分析】先利用题给条件求得实数机的取值范围，进而得到实数机的可能取值.

9

【详解】因为命题"Vxe[l,4],er-―-m20”为真命题，

X

所以Vxe[l,4],机We'-；,

令〃x）=e'-；,xe[l,4],则（（x）=ex+亍>0,

可知/（x）为增函数，当x=l时，“X）有最小值〃l）=e-2,

故实数m的取值范围为mWe-2,

故选：AB.

考点03不等式

1.(2024•北京海淀•三模)下列命题中，真命题的是()

A.若a<b,贝B.若a>b,贝!J/〉。/,〉/

ab

C.若0<a<6<c,则log,a<log,6D.若a+26=2,贝1」2"+4》“

【答案】D

【分析】举反例即可判断ABC,根据基本不等式和指数运算即可判断D.

【详解】对A,当。=-1/=1时，则!<1,故A错误；

ab

对B,当〃=-1涉=一2时，贝1」。2=1,仍=2,则/〈必，故B错误；

对C,当0<。<1时，根据对数函数单调性知log,1。&万，故C错误；

对D,若。+2/?=2,贝lj2。+4,2212cl.4"=212。+2b=4，

当且仅当。=1,6=1时取等号，故D正确.

2

故选：D.

2.(2025高三・全国・专题练习)若a>b>0,那么下列不等式一定不成立的是()

Z?+1bcibI—11

A.>—B.—<—C.a>y/ab>bD.QH—>bT-\—

a+1ababa

【答案】B

【分析】利用作差法判断AD,利用不等式的性质判断BC.

.、­,,Z?+1ba(b+1)-b(a+1)a-b_.,一〜，

【详解】对于A,因为a>b>0,所以-T7一一=/,n=(工代〉。，故A正确；

a+1aa(a+1)a(a+1)

对于B,因为。>6>0,所以，>l>2>0,故B错误；

ba

对于C,因为a>>>0,y/a>\fb,yfa>0,所以

因为血〉石，y[b>0,所以所以a〉〉b,故C正确；

对于D,a+Y-b--=(a-by[l+-^—\>0,故D正确.

ba\abJ

故选：B

易错分析:利用不等式的性质判断不等关系式时,一定要注意不等式性质成立的前提条件.

3.(2025高三・全国・专题练习)已知集合4=旧-%2+5%<0},5={%|区<3},则&A)U5=()

A.[0,3）B.[-3,3)C.(-3,5)D.(-3,5]

【答案】D

【分析】解出集合A、B,利用补集和并集的定义可求得集合（\A）U3.

【详解】由一炉+5彳<0,得无2-5彳>0,解得尤<0或x>5,贝I]A={x|x<0或x>5},

由国<3,得一3<x<3,所以%A={x|0VxV5},3={无卜3c尤<3},

所以（々A）u3={尤卜3<x45}.

故选：D.

易错分析：解一元二次不等式时要注意二次项系数的符号，它决定了不等式解集的性质.

2

4.（23-24高一上•河南濮阳•阶段练习）已知关于x的一元二次不等式ax+bX-c<0的解集为{x13<x<5},

则不等式52+灰一。>0的解集为（）

A.卜卜或B,“卜<_：或

c.D.卜,<",

【答案】D

【分析】由题意可得。>0且方程62+灰一,=（）的解为3,5,利用韦达定理将瓦c用。表示，再根据一元二次

不等式的解法即可得解.

【详解】因为关于x的一元二次不等式灰-c<0的解集为{x[3<x<5},

所以。>0且方程ax?+法一0=0的解为3,5,

bc

所以一一=8,--=15,所以6=-8a,c=-15o,

aa

则不等式cf>0,即为不等式-ISav,-8ax-a>0,

则15炉+8无+1<0,解得一g<x<-g,

所以不等式ex2+bx-a>0的解集为卜|一,<x<--:.

故选：D.

易错分析：通过一元二次不等式的解集，可以判断其对应的二次函数的开口和零点.

5.对于任意实数x,不等式（a-2）元2-2（。-2）x-4<0恒成立，则实数a取值范围为（）

A.(-<»,2)B.(-<»,2]C.(-2,2)D.(-2,2]

【答案】D

【分析】分类讨论，利用判别式小于0,即可得到结论

【详解】当。-2=0,即。=2时，T＜0,恒成立；

2

当“一2"时'U-2）+W-2）＜0'解之得一2＜"2，

综上可得-2＜。（2

故选：D

易错分析：一元二次型不等式在R上的恒成立问题，要注意讨论二次项是否可以为零.

2+3

6.（24-25高三上•山东济南•阶段练习）已知xwR,则%/的最小值为（）

+2

A.1B.J2C.2D.还

2

【答案】D

【分析】换元，利用对勾函数的单调性求出最小值.

【详角军】令0+2=tN也,则++

而函数＞=/+；在［夜,+oo）上单调递增，

所以当f=即x=0时，叁土取得最小值述.

Jx+22

故选：D

7.若函数〃刃=尤+」（尤＞2）在x=a处取得最小值，则。等于（）

X—2

A.1+72B.1+＞/3C.3D.4

【答案】C

【分析】由〃尤）=%+'；=尤-2+'；+2,利用基本不等式求解.

x-2x-2

【详解】解：因为函数〃"=尤+'=尤一2+二+222n加工+2=4,

x2x2Yx2

当且仅当尤-2=」，即x=3时，等号成立，

所以a等于3,

故选：C

易错分析：利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件是否成立.

8.（23-24高三上.上海杨浦•期中）关于x的不等式上二20的解集是.

X

【答案】｛小―

【分析】利用分式不等式的解法求解即可.

【详解】因为二20,

所以卜解得尤＜0或h3,

["0

所以一20的解集为｛小＜0或x23｝.

故答案为：｛小＜0或-3｝.

9.不等式"n尤的解集是_______.

x-1

【答案】(-oo,-l]u(l,5]

【分析】移项通分得0+1)(：一叭0,即产：)f+l)(x-5)W0,再利用穿根法即可得到答案.

x-1"-130

【详解】即3尤+5-/+苫20,即(x+l)(x5).0,

X-1X-1x-1

2：),+l)(x-5)V0,根据穿根法解得

wO

故答案为：(-a＞,-l]u(l,5].

易错分析：分式不等式一般转化为整式不等式求解，要注意转化的等价性，避免造成取

值范围的变大.

专题01集合、逻辑用语与不等式

考点01集合及运算

1.（24-25高三上•北京朝阳•期末）已知全集。=何一2<尤<2},集合A={x[0<x<l},则（）

A.[-2,0）B.[-2,0）U（l,2]

C.[1,2]D.[-2,0]U[l,2]

易错分析：在求解不等式解集的交、并、补运算时，一定要注意等号能否取得.

2.（24-25高三上•湖南长沙•期末）已知集合4={〃,。2},3={L4}，若leA,则A[JB中所有元素之和为（）

A.2B.3C.4D.5

3.（24-25高三上•四川成都・期中）已知集合4={1,。+2},8={",1,3},若对VxeA,都有xe瓦贝段为（）

A.1B.-1C.2D.1或2

易错分析：根据集合间的关系求参数时，一定要注意检验是否满足元素的互异性.

4.已知集合4={-1,2},3={幻"a-l=0,mcR},若AU3=A，则所有符合条件的实数加组成的集合是（）

A.bB.{-1,。,2}C.{-1,2}D.1,0,—j>

易错分析：已知集合间的包含关系求参数时要注意讨论A=0,A，0两种情况.

5.已知集合A={尤e氏卜2—3x—18<B={xe+ox+a~-27<。},则下列命题中正确的是（）

A.若4=3,则。=—3B.若4=3,则。=一3

C.若3=0,则或aN6D.若。=3,则ACB={H_3<x<6}

6.（2025高三・全国・专题练习）已知集合4={刈6>1},B={x\x<2},若4口3/0,则。的取值范围

为.

7.（2024・河南驻马店一二模）己知集合4={^4尤2-尤-5>。},3={讨彳>m}，若m=0,则（々A）IB=；

若AU8=R,则加的取值范围为.

考点02常用逻辑用语

1.（24-25高三上•北京朝阳・期末）是“1鸣/<1"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

易错分析：在判断充分条件、必要条件时一定要弄清相关概念，以防出错.

2.（24-25高三上•江苏常州•期末）已知。，b,ceR,则“。，6,。既是等差数列又是等比数列”是“a=6=c”

的（）

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2025高三全国•专题练习）设xeR,则“2<x<4”是“2工〈尤2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2024・山东•二模）已知p:l<2'<4,q-.x1-ax-l<Q,若。是4的充分不必要条件，则（）

33

A.〃之一B.一C.a>2D.0va<2

22

易错分析：已知充分、必要条件求参数范围，一定注意正确转化为集合间的包含关系再求

解.

5.（23-24高三上•浙江宁波・期末）命题“王石-彳-4>0”为假命题的一个充分不必要条件是（）

A.QW—B.C.a26D.aN8

4

易错分析：要注意“A是3的充分条件”和“A的充分条件是3”的区别.

6.已知=-3,则“X）<5的一个必要不充分条件是（）

A.x>—A-B.x>—3C.—2D.%<—3

7.（2024.重庆.三模）（多选）命题“存在%>0,使得作2+2%_1>（），，为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.m>-2B.m>-lC.m>0D.m>l

8.（24-25高三上•天津河北•期末）命题P：3x<0,炉_2%+Q<0的否定是（）

A.\/x>09炉―2%+a«0B.>0,炉—2x+aV0

C.Vx<0,x1—2x+a>0D.Hx<0,—2x+a>0

易错分析：写全称命题和存在量词命题的否定要注意两点：一是转换量词；二是否定结论.

9.（2024・四川•模拟预测）已知命题“V%£[l,4],e、——根>0”为真命题，则实数加的取值范围为（）

x

A.（v,e—2]B.1―oo,eJgC.[e-2,+oo）D.e,—g+oo]

10.（24-25高三上•山西•阶段练习）若命题。玉目-2,2],使得2x—病+2加之0为假命题，则实数用的

取值范围为（）

A.（-8,l）D（l,+8）B.（-8,0）D（2,+8）

C.（-8,T）U（2,+8）D.（-00,-2）u（4,+00）

易错分析：不等式的恒成立问题和有解一般都要转化为函数的最值问题.

n.（2024.黑龙江.模拟预测）（多选）己知命题"