2025高考数学二轮复习：解析几何之范围、最值问题

微专题3范围、最值问题

［考情分析］圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，范围、最值问题是常见的热点题型，常以解答

题的形式压轴出现，难度较大.

考点一与长度、周长、面积相关的范围（最值）问题

例1（2024.衢州模拟）已知椭圆C：?+《=l（a>Z>0）的离心率为净斜率为3的直线/与y轴交于点P，

与C交于A,3两点，T是A关于x轴的对称点.当尸与坐标原点O重合时，aABT的面积为也

⑴求椭圆C的方程；

（2）当尸异于O点时，记直线与x轴交于点Q,求△OPQ周长的最小值.

解⑴当P与坐标原点O重合时，可设A（xo,四）（必>0）,

则有B(-Xo,-yo),T(XQ,-yo),

且xo=2yo,AT.LBT,

则S3符•囱W2加%。［，

即2Mq,

二九=|，则裾=£1

则有白+4=1,由离心率为卓，

9a29b22

即"

a2

贝!Ia2=2c2=b2+c1,>\a2=2b2,

即有2+上=1,

9b29匕2

解得b2=l,/.«2=2,

即椭圆C的方程为匕+炉=1.

2

(2)设直线/方程为x=2y+t(t^0),令D,有尸，即yp--|,

设点A(xi,yi),3(X2,yi),则T(xi,-_yi),

x=2y+t,

联立直线/与椭圆方程

.T+%2=1-

消去x得9/+8(y+2?-2=0,

-t-8t2t2-2

有yi+y2=--,yiy2=——

J=64r-36(2/2-2)>0,得-3<t<3,

直线8T的方程为产;:泞^尤-功+小，

冗2一九1

令产0,

71+7271+72

由x=2y+t,

得二皿+久2yl=（2%+。口2+（2。2+±）口1

?l+?2?l+?2

2t2—2

4yly24x-q-1

=-^^+t=_8t+t=-

yi+y2詈t

即利三，

22

贝|JCAOpQ=\yp\+\x^+y/\yP\+IXQI

=3+

2in

22

当且仅当r=±/时等号成立，

故△OPQ周长的最小值为e+l.

［规律方法］利用根与系数的关系解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（为，V）,（X2,小）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，注意/的判断；

（3）列出根与系数的关系；

（4）将所求问题或题中的关系转化为X1+X2,为尬（或％+?，以”）的形式；

(5)代入根与系数的关系求解.

22

跟踪演练1设双曲线E：3刍=1(。>0,6>0)的左、右焦点分别为B，F2,|FIF2|=2V5,且E的渐近线

方程为y=±|.

⑴求E的方程；

(2)过F2作两条相互垂直的直线和/2，与E的右支分别交于A,C两点和瓦。两点，求四边形

A3C。面积的最小值.

解(1)由题意，得E：>0,b>0)的渐近线方程为y=±\,

因为双曲线E的渐近线方程为产,所以5苫，即。=2匕,

又因为尸+/?2=2,562=2而,所以6=1,则a-2,

2八

故E的方程为三v4口

4/

(2)根据题意，直线/1,/2的斜率都存在且不为0,

设直线Zi:y=k{x—V5),

h:y=-^(x—V5),其中胖0,

因为/i,/2均与石的右支有两个交点，所以因节，|一1>］所以土e<4,

将/i的方程与土-V=i联立，

4

可得(1-4/C2)X2+8V5^X-20^-4-0,

A(xi,%),

设C(x2,yi),

_8限2

则

X\+X2=l-4k2

-20/C2-4

所以|AC|=JO1—犯)2+(%—丫2)2

=V1+/C27(X1+%2)2—4%1%2

■(-8同2、-20k2-4

=V1+/c2-4x

Nkl-4fc2Jl-4k2

用J替换发，

可得I即=蹩著,

所以S四边形ABCD=^AC\-\BD\

_14(1+1)4(1+1)

~24k2-l4-k2

_g(fc2+l)2

(4/一1)(4一H)，

令t=l^+l,所以M=t-1,reG,5),

贝|JS四边形回。=8二=+2515

2525

-4+-T--T

当/,即k=±l时，等号成立,

故四边形面积的最小值为学

考点二与角度、斜率相关的范围(最值)问题

22

例2(2024.皖北协作区联考)已知双曲线E：^-^=l(a>0,比>0)的左、右焦点分别为产i,F2,离心率

为2,尸是E的右支上一点，且PR_L尸尸2，△尸入尸2的面积为3.

(1)求E的方程；

(2)若E的左、右顶点分别为A,B,过点凡的直线/与E的右支交于M,N两点，直线AM和3N的斜

率分别为kAM和依N，求超M+|KBN的最小值.

解(1)设双曲线的半焦距为c(c>0),

•••SAPFFZT尸冏|P¥|=3，

/•|PFI||PF2|=6.

222

由题可知|PRHPP2|=2a,|PFI|+|PF2|=4C,

/.|PFi|2+|PF|2-2|PFI||PF|=4a2,即4c2-12=44,.•.户=3.又工=2,/.a2=l.

22a

2

故E的方程为f{y=rl.

(2)如图，由题可知F2(2,0),A(-l,0),B(1,0),且直线MN的斜率不为0,

设直线MN的方程为x=/y+2(—曰<t<,加(即，yi),N(X2,小),

将方程x=0+2和联立，

得(3产-1)9+12疗+9=0,

,,12t9

••Vi+y2=--；—,yiy2=—；—.

//3t2-l/J3t2-l

AAM=,kBN=丫2,

X1+1X2-1

・二M=%(%2-1)=%(02+1)

…kBN为(比i+i)y2(tyi+3)

二“，2+%=^^?一丫2_=_1

3

tyiy2+3y2孤匕+3yJ'

,"%BN=-30M,

•.•直线AM与E的右支有交点，

，当％AM=1,%BN=-3时，/C,M+至BN取得最小值，且最小值为-1.

［规律方法］与斜率、角度有关的最值问题关键是建立关于斜率的目标函数，然后运用基本不等式或者函

数求解有关的问题.

跟踪演练2设抛物线C：x2=2/?j(p>0),直线x-y+l=0与C交于A,8两点，且|AB|=8.

⑴求抛物线C的方程；

(2)已知点尸为一+。+1)2=1上一点，过点尸作抛物线C的两条切线尸D,PE,设切点分别为O,E,试

求直线PD,PE斜率之积的最小值.

解(1)设点A(xi,%),3(x2,以)，

2

由(x=2py可得^2.220

(%-y+1=0,

贝!)为+%2=2〃,x\X2=-2p,

2

+k7Qi+冷尸—4%I%2二&xj4P2+8P=8,解得p=2,

即抛物线。的方程为f=4y.

（2）设点P（xo,yo）,0a3，为），E（X4,必），其中％3彳%0，%4rX0,

2

由C:d=4y,即y=Y,y'^-,

4Z

2

则IPD:,

4Z

IPE:y[=？（X-X4）,

4N

-

（y0--=—（x0%3）,

421

则有'2

（VO-资=£（沏一无4），

2

即。（%3，y3）,E（X4,丫4）都在直线加彳=|（%o-％）上,

化简得IDE:x（）x=2（y+y0），

将直线DE的方程代入C：x2=4y得f-2如r+4yo=O,

贝！I元3+%4=210,为松二4%,

则如依E=g•a=丝*卢理

—-x

工3一%0X4~X016（%3^0）,（^40）

二（0304）2_4。0（呼+媛）+16据

16（4y（）一好）

=16诏-4yo（4谧-8%）+16光

16（4y0-x§）

_2yo（4yo-xg）_

2（4y0-x§）*'

又P（xo,州）为f+（y+l）2=l上的一点，则-2WyoWO,

故（kPD•左PE）min=CV0）min=-2.

考点三与向量相关的范围（最值）问题

例3已知点RO,V5）,直线/：产等，动点P到尸的距离与到直线/的距离之比为今

（1）求动点尸的轨迹广的方程；

⑵设点M是轨迹「上一点，在直线y=2x,y=-2x上分别取点A,B,当A,3分别位于第一、二象限时,

^AM=XMB,Ae[1,3],求△AOB面积的取值范围.

附：在△43C中，若说=（为，％）,AC=（X2,刈）,则△ABC的面积为3-久2月1.

解(1)设P(x,y),点尸到直线/的距离为d.

由已知可得野=当,

a2

2

两边平方得，V+Q-遮产=|（y—卓），

整理得匕2J?」.

4

2

故动点P的轨迹厂的方程为匕yj4=1.

4

⑵设M（x0,jo）,4（元i,2xi）,3（x2,-2X2）,AM=（x0-xi,州-2即）,MB=（X2-XO,-2x2-yo）,

因为前=2丽,

所以产°一无1=%（%2―与），

lyo-2久1=A（-2X2-y0）,

X1+AX2

-i+a'

_2（X1-AX2）

一-1+A-'

将点M（X0,阿代入双曲线方程，得（句答）；（空答）2=1,

化简得%112=-°+?.

所以△AOB的面积为5=如1(一2%2)-久2g/

=2山初|=。；：=2。+,+2),

因为2£,3］，所以2W2+；<¥，

L2」A3

叶。+扛2月2,J

故△AOB面积的取值范围为［2,1］.

［规律方法］圆锥曲线中的最值问题，常见的方法有

(1)函数法：一般需要找出所求几何量的函数解析式，要注意自变量的取值范围.求函数的最值时，一般会

用到配方法、基本不等式或者函数的单调性.

(2)方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出目标量的不等关系，再求出目标量

的最值.

(3)不变量法：在平面几何中有一些不变量的最值结果，在求最值时，可以考虑观察图形的几何特点，判断

某个特殊位置满足的最值条件，然后再证明.

跟踪演练3已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线d=4y的焦点，离心率6=等.

(1)求椭圆的标准方程；

⑵过椭圆的右焦点尸作与坐标轴不垂直的直线/,交椭圆于A,3两点，设点0)是线段0P上的

一个动点，且(加+丽)，而，求机的取值范围.

解(1)由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为

77

J$=13泌>0),

由抛物线方程为炉=4y,可得其焦点为(0,1),则椭圆的一个顶点为(0,1),

即b=l.

由e=£=J1_等，解得/=5,

・,・椭圆的标准方程为最+V=i

⑵由⑴得FQ,0),则0WmW2,

设A(xi,%),B(X2,丁2),阳力2,

结合题意可设直线/的方程为y=k(x-2)(k^0).

由卜+v=i，

J=k(x-2),

消去y得(51+i)d-20七+20於-5=0,

直线/过椭圆焦点，必有/>0,

20k220k2-5

X2诉，羽叱嬴市

贝|Jyi+y2=k(x1+血-4),

加+丽=(%i+久2—2m,+y2)，荏=(无2-%i，丫2—71),

'：(MA+MB)±AB，,(MA+MB)-AB=0,

(即+%2-2机)。2-X1)+。1+丁2)(>2-丁1)=0,

两边同除以X2-X1,有(打+冷—2m)+y2yi(y1+y)=0=>%i+x2-2m+k(y+y)=0,

X2-^l212

2m=xi-hX2+/c(y1+y2)>

20k22

2m=(20k-4)

5k2+1\5k2+l

_20左2-4k2_16k2

-5fc2+l_5fc2+l

8

贝!]m=5H+广左G(°'

kz

.♦・/”的取值范围为（o,I）.

专题强化练

（分值：50分）

ID素养提升

y2-

1.（16分）已知椭圆C：y+/=l.

（1）若椭圆C的左、右焦点分别为产1，F2,P为C的上顶点，求△尸为乃的周长；（6分）

（2）设过定点M（0,2）的直线/与椭圆C交于不同的两点A,B,且NAO3为锐角（其中。为坐标原点），求直

线I的斜率k的取值范围.（10分）

解（1）由题意得〃=4,庐=1,

所以4=2,b=l,c=y/a2—b2=y/3,

所以△尸尸i尸2的周长为IPRI+IP尸2田尸1尸2|=2。+2c=4+2遍.

（2）显然当直线/的斜率上不存在时，直线x=0不满足题意，设直线/的方程为y=fcr+2（际0）,A（xi,%）,B（X2,

y2),

ry=kx+2,

由力?，得(1+43濡+16履+12=。，

"+y=L

由/=(16Z)2-4X12(1+4M)>0,得/?>-,

4

.i16k12

则m为+X2=时，》阳=时,

+

y，2=(k%i+2)(/CX2+2)=&I%2+2左(％i+x2)4»

因为NAOB为锐角,A,0,8不共线，

所以cosZAOB>0,

所以UX面>0,所以为光2+州竺>0,

所以为%2+州m=（1+女2）沏及+2%（%1+%2）+4

_12（k2+l）16R2k卜4

4k2+l4k2+l

:4（4一小）

4fc2+l>U，

解得0<^<4,

因为

lc>4-,

解得-2<Z<-也或遗<M2,

22

所以实数%的取值范围为（一2,-与）U©,2）.

2.（17分）（2024.安康模拟）已知椭圆C：S+y2=l（a>l）的离心率为《，椭圆C的动弦AB过椭圆C的右焦点F,

当垂直x轴时，椭圆C在A,8处的两条切线的交点为M.

⑴求点〃的坐标；（7分）

（2）若直线AB的斜率为工过点M作x轴的垂线/，点N为/上一点，且点N的纵坐标为弓，直线N尸与椭

m2

圆C交于P,。两点，求四边形AP3。面积的最小值.（10分）

p=1,

解（1）由题意知，<-=—,解得a=V5,b=1,c-1,

Ia5

\b2=a2—c2,

所以椭圆C的方程为晟+y2=l,F（2,0）,

将尸2代入椭圆方程得产士g,

不妨取A（2,多,

设椭圆C在点A处的切线方程为产网x-2）+g,

佶+y2=1,

联立《5彳导,

（y=/c（x-2）+y,

所以/=（2返上20玲2-4（5标+1）（20M-4返上4）=0,

整理得4（V5R2）2=0,解得仁等,

所以在点A处的切线方程为产-管(.2)+E二等计而,

由椭圆的对称性知，点M在x轴上，

令y=0,则x=|,

即点M的坐标为(|,0).

(2)根据题意,可得直线A3的方程为产5(x-2),

艮［1x=my+2(m^0),

设A(xi,y),,竺),

'X=my+2,

联立@+丫2_］得(苏+5)9+4根y-i=o,

2

所以y+竺=；^,yiy2=^^,J=20(m+l),

所以|A8|=、1+m2.J(%+、2)2—4yly2=，1+62/弋：：+1=2个］：),

因为MNLx轴，且点N的纵坐标为£,

所以N(|,-y),

所以直线NF的斜率为孝？=-m，

所以直线N厂的方程为y=-m(x-2),

即4-》+2,

同理可得，『。|=空沮包=智却，

—y+5l+5mz

11_m2+51+5/_6(>2+I)_3逐

所以

\AB\|PQ|-2V5(m2+l)2V5(m2+l)-2V5(m2+l)-5

故品高为定值尊

故矗+高忌高3H5IIPQ上蓝,当且仅当|A3|=|PQ|=学时等号成立，

由于kNF=-m,kAB=^,故NF±AB,即PQLAB,

故S四边形APB0=；山,当且仅当|A3|=|PQ|=当时等号成立，故四边形AP3Q面积的最小值为?

2939

思维创新

3.（17分X2024.聊城模拟）已知椭圆C：1+*1（°>比>0）的短轴长为2,离心率为造

（1）求C的方程；（4分）

（2）直线/：y=kx+m（k>0,〃?>0）与C交于“，N两点，与