2025高考数学冲刺专项复习：概率（原题版）

专题12概率

目录

易错点01混淆互斥、对立、独立事件的概念

易错点02混淆“有放回”与“不放回”致错

易错点03古典概型问题忽略“等可能性”

易错点04对条件概率理解不透彻致错

易错点01：混淆互斥、对立'独立事件的概念

易错陷阱与避错攻略

典例(2024•上海虹口•一模)已知事件A和事件B满足AB=0,则下列说法正确的是().

A.事件A和事件8独立B.事件A和事件8互斥

C.事件A和事件8对立D.事件彳和事件8互斥

【答案】B

【分析】根据互斥事件、相互独立事件的定义判断即可.

【详解】因为事件A和事件8满足AB=0,则一定可以得到事件A和事件8互斥，但不一定对立，故B

正确，C错误；

因为尸(45)=0,当P(A),P(B)不为0时，事件A和事件B不独立，故A错误；

抛掷一枚骰子，记出现1点为事件A,出现2点为事件8,

则无={2,3,4,5,6},方={1,3,4,5,6},显然事件•和事件月不互斥，故D错误.

故选：B

【易错剖析】

本题容易混淆互斥事件、对立事件和相互独立事件的概率而出错.

【避错攻略】

1.互斥事件与对立事件

(1)互斥事件：在一次试验中，事件A和事件3不能同时发生，即AB=0,则称事件A与事件3互

斥，可用韦恩图表示如下:

如果4，4,…，4中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件4，.4.，…，4彼此互斥.

(2)对立事件：若事件A和事件3在任何一次实验中有且只有一个发生，即A.3不发生,

A3=0则称事件A和事件3互为对立事件，事件A的对立事件记为X.

【解读】互斥事件与对立事件的关系

①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者

之一必须有一个发生.

②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充

分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件.

2、相互独立事件的概念

(1)对于两个事件A,B,如果尸(3|A)=P(3),则意味着事件A的发生不影响事件8发生的概率.设

P(A)>0,根据条件概率的计算公式，P(3)=P(B|A)=£52,从而p(AB)=P(A)P(B).

P(A)

由此可得：设A,5为两个事件，若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件8相互独立.

(2)相互独立事件的性质：如果事件A,3互相独立，那么A与月，Z与3,Z与否也都相互独立.

两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到〃(">2,〃eN*)个事件的相互独立性,

即若事件A，4，…，A"相互独立，则这〃个事件同时发生的概率尸(A44)=P(A)(4)p(4).

易错提醒：(1)判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事

件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.

(2)互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点：①相同点：二者都是描述两个事件间的关系；

②不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)=O,相互独立事件则强调一个事件的发生与否

对另一个事件发生的概率没有影响.

举一反三

1.(24-25高三上•上海•期中)抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件8：“出现3点

或4点”，则事件A与事件8的关系为()

A.是相互独立事件，不是互斥事件B.是互斥事件，不是相互独立事件

C.既是相互独立事件又是互斥事件D.既不是互斥事件也不是相互独立事件

2.（24-25高二上•湖北•期中）一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1,2,3,4,5,6

的6个小球，从中任意摸出两个球.设事件4="摸出的两个球的编号之和不超过6"，事件4="摸出的两

个球的编号都大于3”，事件4="摸出的两个球中有编号为4的球”，则（）

A.事件4与事件4是相互独立事件B.事件4与事件A是对立事件

c.事件A口4与事件A是互斥事件D.事件ACA3与事件是互斥事件

3.（24-25高三上•江苏南京•期中）有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中不放回地随机

取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件8表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C

表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）

A.A与B为互斥事件B.B与C相互独立

32

C.P（A+B）=-D.P（C\B）=-

＞易错题通关.

1.（24-25高三上•上海黄浦•期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数.设事件E：点数是奇数,

事件尸：点数是偶数，事件G：点数是3的倍数，事件点数是4.下列每对事件中，不是互斥事件的

为（）

A.E与FB.F与GC.E与HD.G与H

2.（2024•全国.模拟预测）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A,“第二枚为正面”记

为事件8,“两枚结果相同”记为事件C,那么事件A与8,A与C间的关系是（）

A.A与B,A与C均相互独立B.A与B相互独立，A与C互斥

C.A与B,A与C均互斥D.4与B互斥，4与C相互独立

3.（24-25高三上•上海•开学考试）装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些

事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥

而非对立的事件是（）

A.①B.①②C.②③D.①②③

4.（24-25高三上•上海杨浦・期末）已知P（AP（司=g,P（B）=:,则事件A与3的关系是（）

A.A与8互斥不对立B.A与8对立

C.A与B相互独立D.A与8既互斥又独立

5.（2024.江苏.二模）随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升.某校为提升

学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰

壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，

设事件A="甲乙两人所选课程恰有一门相同"，事件B="甲乙两人所选课程完全不同"，事件C="甲乙两人

均未选择陆地冰壶课程”，则（）

A.A与8为对立事件B.A与C互斥

C.A与C相互独立D.8与C相互独立

6.（24-25高三上・上海•期中）对于一个古典概型的样本空间Q和事件A、B、C、。，其中〃（。）=60,A）=30,

“（3）=10,M（C）=20,n（Z＞）=30,〃（AuB）=40,〃（AcC）=10,〃（AuO）=60,则（）（注：n（A）

表示集合A的元素个数）

A.A与B不互斥B.A与。互斥但不对立

C.C与。互斥D.A与C相互独立

易错点02:混淆“有放回”与“不放回”致错

，易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•天津南开•期中）从两名男生（记为耳和鸟）、两名女生（记为G1和GQ中任意抽取

两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样.在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男

生一女生的概率分别为（）

21r11-12_11

A.一,—B.一C.一,—D.—,一

32462364

【答案】A

【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解.

【详解】从两名男生（记为耳和鸟）、两名女生（记为G1和GQ中任意抽取两人，

记事件A="抽到的两人是一男生一女生”，

在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为：

（Gj,G2）,（G2,Bi）,（G2,B2）,（G2,Gj

共12个样本点，

其中4=｛（46）,（综&），（与，5）,但0，（@，4）,（仇与）,（&，4），（62，名）｝有8个样本点，所以

在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为：

。2=｛（耳，4）,（4，4），（4,5）,（g6）,（5中）,（凡也）,出《）,出@）,（。闰）,（5，4），

（G，G）,（GG）,（G2,4）,（G，32），（G2，GJ,（G2，G2）｝共16个样本点，

其中4=｛（46）,（4，&），但，5）,（氏62），3,4）,（仇华），（&，4），（62，田）｝有8个样本点，所以

P（A）=—=-.

162

故选：A.

【易错剖析】

本题求解时容易混淆“有放回”和“无放回”的区别而出错.

【避错攻略】

1.定义和操作方式

<1）无放回抽取：每次抽取后，抽出的元素不再放回原处。例如，如果有10个元素，第一次抽取后

剩下9个，第二次抽取时只剩下9个元素可供选择。

（2）有放回抽取：每次抽取后，元素仍然放回原处，搅拌均匀后再进行下一次抽取。这样，每次抽取

时元素总数保持不变和概率不变。

2.概率模型和应用场景

（1）无放回抽取：适用于超几何分布，主要用于处理总体中成功与失败的独立事件，如抽奖活动中奖

概率等。

（2）有放回抽取：适用于二项分布，常用于重复独立试验的情况，如多次投掷硬币、多次独立试验等。

3.数学表达和计算方法

<1）无放回抽取：计算概率时需要考虑元素的顺序和组合数。例如，从〃个元素中抽取根个元素的组

合数为

（2）有放回抽取：每次抽取是相互独立的，因此可以直接使用二项分布公式进行计算，即Pgk）=

binom（n,p,k）,其中〃是试验次数，p是成功的概率，发是成功的次数。

易错提醒：在处理与抽样有关的概率问题时要区分“有放回抽取”和“无放回抽取”的不同，有放回抽取

时每一次抽取背景是一样的，即总体个数不变概率不变；无放回抽取时每一次抽取背景是变化的，即总体

个数要变，概率也变.

举一反三

1.（2024・四川宜宾•一模）从标有1,2,3,4,5,6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡

片数字之积是3的倍数的概率为（）

2.（24-25高三上•浙江•期中）某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放

回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（）

A.AB.1C.之D.2

15553

3.（2024•上海徐汇・一模）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.每次

将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的

频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（）

A.40个B.45个C.50个D.55个

・易错题通关一

1.（24-25高三上•专题训练）从甲袋中随机摸出1个球是红球的概率是g,从乙袋中随机摸出1个球是红

球的概率是白，从两袋中有放回的各摸两次球且每次摸出一个球，则!是（）

/n

A.4个球不都是红球的概率B.4个球都是红球的概率

C.4个球中恰有3个红球的概率D.4个球中恰有1个红球的概率

2.（23-24高二下•江苏苏州•期末）在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球，第一次从

中随机摸出一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机

摸出一个球，则此次摸出的是黄球的概率为（）

A.—B.-C.-D.1

16852

3.（24-25高三•上海・随堂练习）盒中有。个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，

并加上同色球c个，再从盒中第二次抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率为（）

a+b+c

b

a+b+c

4.（24-25高三上•江西赣州•阶段练习）从1,2,3,4,5这5个数字中每次随机取出一个数字，取出后放

回，连续取两次，至少有一个是奇数的概率为（）

.6c12r21

A.—B.—C.—D.—

2525525

5.（2024高三.全国•专题练习）从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽

到的2张卡片上的数字之和是5的倍数的概率为（）

A.

6.（2024高三・全国・专题练习）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1,2,3,4,5,甲、

乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为

偶数算甲赢，否则算乙赢.

（1）求甲、乙两人摸出的两个球编号之和为6的概率；

（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由.

7.袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为现有甲、乙两人从袋中

7

轮流摸取一枚棋子.甲先摸，乙后取，然后甲再取，....，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止.每

枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的.用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.

（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；

（2）求甲竭白棋的概率.

易错点03：古典概型问题忽略“等可能性”

，易错陷阱与避错攻略

【典例】（2025全国高三专题训练）甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1,2,3,4,5,6,7的

卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所

有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是.

29

【答案】茄

【解析】根据题意可知甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束相当于从7张卡片中抽取了5张，

且甲抽取的三张卡片数字之和为12,乙抽取的两张卡片数字之和不为12；

总的情况相当于从7张卡片中抽取了5张并进行全排列，即共A；种排法;

其中三张卡片数字之和为12的组合有1,4,7；1,5,6；2,3,7；2,4,6；3,4,5共5种情况;

当甲抽取的数字为1,4,7；1,5,6；2,3,7；3,4,5时，

乙在剩余的4个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有4A；A：种；

当甲抽取的数字为2,4,6时，

若乙抽取的两张卡片数字可能为5,7,此时不合题意，此时共有A；（A；-A；）种；

所以符合题意的排列总数为4A；A：+A；（A：-A；）种，

可得所求概率为尸=4A〉+A；（储AL4X6X12+6X10.58♦里.

A；7x6x5x4x37x5x4x3210

29

故答案为：而

【易错剖析】

在处理古典概型问题时一定要注意基本事件的等可能性，否则容易误用古典概型概率公式而出错.

【避错攻略】

1.古典概型的定义

一般地，若试验E具有以下特征：

①有限性：样本空间的样本点只有有限个；

②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

2.古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间。包含〃个样本点，事件A包含其中的左个样本点，则定义

事件A的概率尸（匈=：=居.

3.古典概型解题步骤

（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；

（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；

（3）分别求出基本事件的个数〃与所求事件A中所包含的基本事件个数加；

,八到中八一5八A包含的基本事件的个数卡山事人“依如如

（4）利用公式P（A）=——甘一击二田乂站——求出事件A的概率.

基本事件的总数

易错提醒：在解决这类问题时，首要步骤是确认试验是否符合古典概型的特征。随后，关键在于构建样本

空间，这一过程中需特别注意两点：一是样本中的元素是否存在顺序性，因为顺序的不同会构成不同的样

本空间；二是取样时是否允许元素重复，即取样是放回还是不放回，这直接决定了样本中元素是否可以重

复出现。明确了这两点后，就可以计算出样本空间的总样本点数量，以及所求事件对应的样本点数量，最

后利用古典概型的概率计算公式，得出所求事件的概率。

举一反三

1.（2024•山东日照•三模）从标有1,2,3,4,5的5张卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一张，则出

现重复编号卡片的概率是（）

2.（2024・广东广州•模拟预测）一个盒子里装有3个黑球，2个白球，它们除颜色外完全相同.现每次从袋

中不放回地随机取出一个球，记事件4表示“第左次取出的球是黑球"，％=L2,3,则下列结论不正确的是（

3

A.尸(44)=历

C.P⑷A)=§

3.（2024•全国•高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中无放回地随机取3次，

每次取1个球.记加为前两次取出的球上数字的平均值，〃为取出的三个球上数字的平均值，则加与〃之差

的绝对值不大于g的概率为.

＞易错题通关

1.（24-25高三上•江苏连云港•期末）已知在8个电子元件中，有2个次品，6个合格品，每次任取一个测

试，测试完后不再放回，直到2个次品都找到为止，则经过3次测试恰好将2个次品全部找出的概率为（）

A.—B.—C.-D.—

2814756

2.（2025高三上•专题训练）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不

放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（）

A.1B.-C.L-D.-

42264664

3.（2024.全国•模拟预测）4个产品中有3个正品，1个次品.现每次取出1个做检查（检查完后不再放回），

直到次品被找到为止，则经过3次检查恰好将次品找到的概率是（）

A.—B.-C.gD.一

4324

4.（2024・广东佛山•模拟预测）在《周易》中，长横“■■”表示阳爻，两个短横“■■”表示阴爻.有放回

地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23=8种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，

四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放

回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，

得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是

（）

E.均不是

5.（2024・广西.模拟预测）每次从0〜9这10个数字中随机取一个数字（取后放回），连续取“次，依次

得到〃个数字组成的数字序列.若使该序列中的数字。至少出现一次的概率不小于0.9,则n的最小值是（）

（参考数据1g9a0.954）

A.23B.22C.21D.20

6.（24-25高二上・北京平谷•阶段练习）从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都

是奇数的概率是.

7.（24-25高三上•广西贵港•开学考试）甲、乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为123,4,5,6

的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机

取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，

总分更多者获胜.甲获得3分的概率为.

8.（24-25高三上•天津•阶段练习）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选

的概率为—；从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的

数字之积是4的倍数的概率为一.

9.（2024•浙江宁波•一模）一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的五个大小质地完全相同的小球.甲、乙

两人玩游戏，规则如下：第一轮，甲先从盒子中不放回地随机取两个球，乙接着从盒子中不放回地随机取

一个球，若甲抽取的两个小球数字之和大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分；第二轮，甲、

乙从盒子中剩余的两个球中依次不放回地随机取一个球，若甲抽取的小球数字大于乙抽取的小球数字，则

甲得1分，否则甲不得分.则在两轮游戏中甲共获得2分的概率为.

易错点04：对条件概率理解不透彻致错

，易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高二上・辽宁・期末）某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二

学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有;的学生每天饮用碳酸饮料不低于500

4

12

毫升，这些学生的肥胖率为每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为|■.若从该中学高二的学

生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（）

A.-B.4C.-D.—

42412

【答案】A

【分析】设相应事件,根据题意利用全概率公式运算求解即可.

【详解】设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件4则尸（A）=；,P（A）=|,

设“学生肥胖”为事件2,则「（2|A）=g,P（B|A）=|,

由全概率公式可得P(B)=尸(A)P(网力+P(可尸(BH)=；x；+[xg=；,

所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为]

4

故选：A

【易错剖析】

本题容易混淆“交事件概率”与“条件概率”的区别而致错.

【避错攻略】

1、条件概率

(1)条件概率的定义：一般地，设A,B为两个事件，且尸(A)>0,称P(0A)=£幽为在事件A发

生的条件下，事件3发生的条件概率.

(2)条件概率的性质

①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即04P(B|A)V1.

②必然事件的条件概率为11不可能事件的条件概率为0.

③如果3与C互斥,则尸(3C|A)=P(B|A)+P(C|A).

2、全概率公式

(1)全概率公式：P(B)=尸(A)P(B|A)+P(A)P(B\A)；

(2)若样本空间。中的事件A，&,…，人满足：

①任意两个事件均互斥，即44=0,i,j=l,2,,n,j；

②A+4+-+=Q；

③尸⑷>0,i=l,2,,n.

则对。中的任意事件B,都有8=阴+%++网,，且

P(B)=XP(BAi)=J尸⑷尸(B|A).

i=lt=l

3、贝叶斯公式

(1)一般地，当0<P(A)<l且尸(8)>0时，有尸(4出)=P(A)P('I")=------P(A)P(叱)----一

1P(B)P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)

(2)定理2若样本空间。中的事件A，4，，4满足:

①任意两个事件均互斥，即44=0，i，j=l，2,,n,i4j；

②4+4+,+A=。；

③0〈尸⑷<1,i=l,2,,n.

则对。中的任意概率非零的事件3,都有8=阴+%++%，

且尸（4忸）=R4）尸网4）="⑻⑶

P（B）/⑷尸网A）

i=l

易错提醒：解决条件概率问题的步骤

第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知””在……前提下”等字眼，一般为条件概率.题

目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率.若为条

件概率，则进行第二步.

第二步，计算概率，这里有两种思路:

缩减样本空间法计算条件概率，如求可分别求出事件氏包

思路一

含的基本事件的个数，再利用公式尸（A|B）—嘿计算

直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出尸a而，p⑦,再利用公

思路二

式尸⑷3）—箫1计算

叁举一反三

32

1.（2025高三・全国・专题练习）已知甲、乙去北京旅游的概率分别为I，y,甲、乙两人中至少有一人去

北京旅游的概率为且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去

O

北京旅游的概率为（）

A,-B,-C,-D.1

7532

2.（24-25高三上•天津河东•期末）某厂产品有70%的产品不需要调试就可以出厂上市，另30%的产品经过

调试以后有80%能出厂，则该厂产品能出厂的概率；任取一出厂产品，求未经调试的概率.

3.（24-25高