2025届高考数学二轮复习专项训练：概率（含解析）

2025届高考数学二轮复习专题训练概率

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

y>Q

1.在不等式组］表示的平面区域内任取一点尸则满足y2的概率为()

x+y-6<0

A.7lB.±2C._5D.42

9399

2.随机抛掷两枚均匀骰子，则得到的两个骰子的点数之和是4的倍数的概率是()

7211

A.—B.-C.-D.一

36943

1a5

3.已知随机事件48满足P(A)=_,P(3)=」P(A3)=工则尸(A5)=()

A.—B.1c.AD.±

168164

4.太空站内有甲、乙、丙三名航天员依次出舱进行同一实验，每次只派一人，每人最多出舱一次，

若前一实验不成功，则返舱后派下一人重复进行该实验；若实验成功，则终止实验.已知甲、乙、丙

732

各自出舱实验成功的概率分别为一、一、一，每人出舱实验能否成功相互独立，若按照甲、乙、丙

1043

的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为()

773739

A.—B.—C.—D.—

20104040

5.为了推广一种新产品，某公司开展了有奖促销活动：将6件这种产品装一箱，每箱中都放置2件

能够中奖的产品.若从一箱中随机抽出2件，能中奖的概率为()

2343

K.-B.-C.-D.1

5554

6.有四个不同的小球A,氏C,O,放入3个不同的盒子之中，则每个盒子中至少有一个球的概率为()

A.28B4.lC.—4D.5-

99279

7.某项智力测试共有A,B,C,D,E五道试题，测试者需依次答完五道试题且至少答对其中三道

试题才算通过测试.小明答对A,B,C三道试题的概率均为2,答对。，E两道试题的概率均为

且每道试题答对与否相互独立，则小明在答错试题A的条件下通过测试的概率为（）

A.-12B.二C.—7D.Z4

69189

8.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

112

A.-B.-C.-D.一

6323

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.下列说法正确的是（）

A.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对

立事件

B.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的70%分位数是23

C.已知甲、乙两门高射炮同时向一目标开炮，若甲击中目标的概率为0.6,乙击中目标的概率为0.8,则目

标被击中的概率为0.44

D.数据的,马，…，々0的平均数为2,方差为3,则数据37+5,3%+5,…,3无20+5的平均数为D,方差

为27

10.先后两次掷一个均匀的骰子，记事件A:“两次掷出的点数之和是11”,记事件R“第二次掷出的点数

是偶数”，记事件C“两次掷出的点数相同”，记事件至少出现一个奇数点”，则（）

A.A与C互斥B.B与。对立C.A与8独立D.B与C对立

11.已知事件A、8发生的概率分别为P（A）=g,P（3）=：,则下列结论正确的是（）

A.p（A）=1B.1<P（AB）<|

C.一定有D.若尸（A5）=|,则A与8相互独立

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.甲、乙两人参加玩游戏活动,每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为乙每盘

4

获胜的概率为3.在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响,则甲、乙两人在

3

两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为.

2

13.A,B两名乒乓球选手进行决赛，根据赛前两位选手的统计数据，在一局比赛中A获胜的概率是一,

5

14.已知等差数列｛4｝的公差不为。.若在｛4｝的前10。项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍

然成等差数列的概率为.(用最简分数作答)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表所示(单位：人).

参加书法社团未参加书法社团

参加演讲社团85

未参加演讲社团230

(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A-A2,A3,A4,A5,3

名女同学B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B］未被选

中的概率.

16.有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次,并且只可以向前走,

不能回头.结果，他的学生两手空空走出麦田，因为他不知前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又

发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设该学生在麦田中一共会遇到n颗麦穗(假设n颗麦穗

的大小均不相同)，最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗

最大的麦穗，现有如下策略：不摘前左(1〈左＜〃)颗麦穗，自第k+1颗开始，只要发现比他前面见过的麦

穗都大的,就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗.设左=加，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为尸.(取

左铛1k,n、

nj=kjnk

(1)右“=4,左=2,求产；

(2)若n取无穷大,从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值.

17.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品且乙机床加工

的零件不是一等品的概率为工，乙机床加工的零件是一等品且丙机床加工的零件不是一等品的概率

4

1?

为一，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为一.

129

(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；

(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.

18.某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.

4321

已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为一，二，一，且各轮问题能否

5555

回答正确互不影响.

（1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；

（2）求该选手至多进入第三轮考核的概率.

19.随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融人我们的日常生活.在教育领域，AI的赋能潜力巨大.

为了解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用A、B、C、D四种

AI大模型的情况统计如下：

使用AI大模型的种数性别01234

男427231610

女648272415

在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、。的AI大模型人次如下:

AI大模型种类ABCD

人次32303028

用频率估计概率.

（1）从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型（4B、C、。中）的概率；

（2）从该地区使用3种AI大模型（A、B、C、。中）的教师中，随机选出3人，记使用8的有X人，

求X的分布列及其数学期望E（X）;

⑶从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用AI/模型（A、B、C、。中）的种数分别为匕

Z,比较匕Z的数学期望石（丫），£（Z）的大小.（结论不要求证明）

参考答案

I.答案：C

解析：如图,

y>0

不等式组<表示的平面区域为△OAB及其内部，其中0（0,0）,4（6,0），5（3,3%

x+y-6<0

所以SAOAB=^x6x3=9，

ZACZ/ID

设直线y=x—2与直线y=0,x+y—6=0分别交于点C（2,0），£>（4,2）,

所以满足y>x-2的平面区域为四边形0CD3及其内部，

S四边形OCDB=SAOAB-S^ACO=9-万义4义2=5，

所以满足yNx—2的概率为P=3.

'9

故选:C.

2.答案：C

解析：随机抛掷两枚均匀骰子，观察得到的点数，

基本事件总数"=6x6=36,

所得点数之和是4的倍数为事件B,

则事件8的结果有（1,3）,（3,1）,（2,2）,（2,6）,（6,2）,

（4,4）,（3,5）,（5,3）,（6,6）共9种,

Q

所求的概率为尸（3）=—

364

故选：C

3.答案：D

1351

解析：依题意，尸(AB)=P(A)+P(B)-P(A5)=-+---=-.

3464

故选：D.

4.答案：D

732

解析：因为甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为一、

1043

每人出舱实验能否成功相互独立，

若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，

则该项实验最终成功的概率为p=1—“一mI]=II.

故选：D.

5.答案：B

解析：基本事件共有C；=15件，符合条件的有C；+C；C；=9件，

且设中奖为事件P,即尸=2=3,故B正确.

155

故选：B

6.答案：B

解析：由题意，先将4个不同的小球放入3个不同的盒子共有34=81种放法，

每个盒子中至少有1个小球的放法，先将4个不同的小球分为3组，

其中一组2个，一组1个，一组1个，共有cj=6种不同的分法，

再将3组放在3个不同的盒子中，共有A：=6种，由分步计数原理，

可得共有6x6=36种不同的放法，故概率为P=—=

,819

故选：B.

7.答案：D

解析：小明已经答错了试题4故要通过测试需在3,C,D,E四道试题中至少答对其中三道试题.

至少答对其中三道试题包括恰好答对三道试题和答对四道试题两种情况，

至少答对其中三道试题的概率为

c^(t)24x(i4)+c^tx(i4)(l)2+(t)2x(l)2=t44=i'

所以小明在答错试题A的条件下通过测试的概率为

9

故选：D.

8.答案：D

解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）共7种，故

所求概率尸=士2」1-7=*2.故选D.

213

9.答案：AD

解析：对于A,任选2名同学包含“两名男生”，“两名女生”以及“一男一女”，故“至少一名男生”和“全是

女生”是对立事件,A正确，

对于B,将数据从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30,由于10x70%=7,故70%分位数为

23+24_LL口上升、口

---------=23.5，故B错厌，

2

对于C,目标不被击中的概率为（1-0,6）x（l-0,8）=0.08，故目标被击中的概率为1-0.08=0,92，故

C错误，

对于D,数据X],%…，40的平均数为2,方差为3,则数据3石+5,3々+5〃-，3々0+5的平均数为

3x2+5=11，方差为3?x3=27,故D正确，

故选：AD.

10.答案：AC

解析：因为A=｛（5,6）,（6,5）｝，

B=｛（1,2）,（1,4）,（1,6）,（2,2）,（2,4）,（2,6）（3,2）,（3,4）,（3,6）

,（4,2）,（4,4）,（4,6）,（5,2）,（5,4）,（5,6）,（6,2）,（6,4）,（6,6））,

C=｛（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）｝,

£>=｛（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,（2,3）,（2,5）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,

（4,1）,（4,3）,（4,5）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,1）,（6,3）,（6,5））,

所以AC=0,所以A与C互斥,故选项A正确；

BD=｛（1,2）,（1,4）,（1,6）,（3,2）,（3,4）,（3,6）,（5,2）,（5,4）,（5,6）｝^0,

所以8与。不互斥，故选项B错误；

B0=｛（2,2）,（4,4）,（6,6）｝/0,所以8与。不互斥,故选项口错误；

P（A）=q=1，P（3）=q=qP（W）=q，所以尸（⑷•尸（3）=尸（河），

所以A与8独立,故选项C正确；

故选:AC

11.答案：ABD

解析：对于A选项,由对立事件的概率公式可得尸（A）=1-P（A）==

对于B选项，因为p（A._B）=P（A）+P（3）—P（AB）＜-，

当且仅当A3=0时，等号成立,

又因为ABcAMB=B，

所以,P（A[B）=P（A）+P（B）-P（AB）=^-P（AB）＞--min{P（A）,P（B）}

4V72

当且仅当B^A时，等号成立，

综上所述,尸（A3）W:,B对；

对于C选项，因为「（4）=（,2（3）=；,无法确定4、3的包含关系,C错；

对于D选项，因为p⑻=1-尸（5）=1-7屋

所以,P（AB）=|=P（A）P（孙则A、B独立，进而可知,A与B相互独立,D对.

故选:ABD.

12.答案：A

12

解析：设％,&分别表示甲在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘的事件，

设用，员分别表示乙在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘的事件,

Q13

根据相互独立事件的概率公式可得P⑷=2x（x；=：,p（4）=3

7142

P(B)=2X-X-=-，P(B)=

1214

则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的事件为A=44&耳,

且人名,&耳互斥，故P(A)=P(45)+P(44)=尸(A)尸(4)+P(4)P(4)

34945

二一X——|------X-=——

8916912

故答案为:上

12

i992

13.答案：-----

3125

9792

解析：若比赛进行了3局，则A获胜的概率是=

555125

/（、2\

若比赛进行了4局，A获胜的概率是Cfx-Ix-x-=—；

3（5）55625

若比赛进行了5局，A获胜的概率是］x2=上

Il5；⑸J53125

14.答案：_

2425

解析：设等差数列｛4｝公差为d（dwO）,

若在数列｛a,｝的前100项中随机抽取4项，构成新的等差数列，则其公差可能为乩2d,3d,.,33d.

当公差为d时，则首项可以为%,%，为，…，佝7，可构成共97个不同的等差数列；

当公差为2d时,则首项可以为生，4，％，•••，«94，可构成共94个不同的等差数列；

当公差为3d时,则首项可以为生,电，生，…，佝1，可构成共91个不同的等差数列；

•••5

当公差为kd（keN*,左＜33）时，则首项可以为%,出，%，…，«ioo-3^，可构成共100—3左个不同的等差

数列；

,•,5

当公差为33d时，则首项为%，可构成共1个等差数列.

故在｛4｝的前100项中随机抽取4项按原来的顺序，共可构成

97+94+91++1=33（97+D=33x49个等差数列；

2

又在｛4｝的前100项中随机抽取4项，这4项按原来的顺序共可构成C，）个数列；

33x4933x4911

则由古典概型概率公式可得,c：oo=100x99x98x97=25x97=2425-

4x3x2xl

故答案为:」

2425

15.答案：（1）-

3

解析：（1）设“至少参加一个社团”为事件A,

从45名同学中任选一名有45种选法，

二基本事件数为45,

通过题表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15,/.P（A）=—

453

（2）从5名男同学中任选一名有5种选法，

从3名女同学中任选一名有3种选法，

从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5x3=15种，

即基本事件总数为15.

设“A1被选中，而B］未被选中”为事件8,显然事件B包含的基本事件数为2,

P（B）=—.

15

16.答案：⑴工

12

（2）P的最大值为，，此时t的值为1.

ee

解析：⑴这4颗麦穗的位置从第1颗到第4颗排序，有A：=24种情况.

要摘到那颗最大的麦穗，有以下两种情况：

①最大的麦穗是第3颗,其他的麦穗随意在哪个位置，有A；=6种情况.

②最大的麦穗是最后1颗，第二大的麦穗是第1颗或第2颗,其他的麦穗随意在哪个位置，有2A；=4种

情况.

故所求概率为殳心=9.

2412

（2）记事件A表示最大的麦穗被摘到，事件Bj表示最大的麦穗在麦穗中排在第J颗.

因为最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，所以=

以给定所在位置的序号作为条件,P（A）=£P（A|4）「出）=4£|3J

n

j=l>1

当1Wj<k时，最大的麦穗在前上颗麦穗之中，不会被摘到，此时P（A|By）=O-

当左+1</<“时，最大的麦穗被摘到，当且仅当前j-1颗麦穗中的最大的一颗在前k颗麦穗中时，

此时P（A|%）=三.

由全概率公式知P(A)=Ly-^=-yl=-in-.

几j=k+ij_]nj=kjnk

令函数@(%)=21!14(尤>0)，5(%)二L111K一工.

nxnxn

令g'(x)=。,则%=",

e

当X£[o,')时,g'(%)>0,当X£[2,吐g'(%)<0，

所以g(x)在1°，[上单调递增，在，上单调递减.

所以g(%)max

所以当k=4,尸(A)=幺In'时取得最大值，最大值为工,此时/=」,

enkee

即p的最大值为!，此时t的值为L.

ee

119

17.答案：(1)一,一，一

343

解析：(1)设事件A、B、。分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品.

-1

尸(A5)=：,

4

-1

由题设条件有《P(BC)=—,

P(AC)=|,

P(A>[1-PCB)]=：①,

4

P(B).[1-P(。]二②,

即《

12

P(A).P(C)\③.

9

由①③得尸(3)=1——P(C),

8

代入②得27[P(C)]2—51尸(C)+22=0,

211

解得尸(C)=—或一(舍去).

39

21I

将P(C)=§分别代入③、②可得P(A)=§,P(B)=-.

112

即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是上，--

343

(2)记事件。为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品,

-2315

贝UP(D)=1-P(D)=1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=1--X-X-=-.

3436

故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为3.

6