2025高考数学冲刺复习：排列组合与二项式定理（原题版）

专题14排列组合与二项式定理

目录

题型一：两个原理

易错点01混淆两个计数原理而出错

易错点02分步“有序”导致错误

易错点03分步不合理导致重复或遗漏

题型二排列组合

易错点04忽视排列数组合数公式的隐含条件致误

易错点05分组问题混淆“均分”与“非均分”

易错点07计数时混淆有序与定序

题型三二项式定理

易错点08混淆“系数”与“二项式系数”而出错

题型一：两个原理

易错点01：混淆两个计数原理而出错

叁易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•湖北武汉•期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊5名同学分别报

名参加跳远，跳高，铅球，跑步4个项目，每名同学只能报1个项目，每个项目至少有1名同学报名，且甲

不能参加跳远，则不同的报名方法共有（）

A.60种B.120种C.180种D.240种

【答案】C

【分析】在甲单独参加某项比赛条件下，结合分堆问题的处理方法及分步乘法计数原理求满足条件的方法

数，再在甲不单独参加某项比赛条件下，.由分步乘法计数原理及排列知识求满足条件的方法数，最后利用

分类加法原理求结论.

【详解】满足条件的报名方法可分为两类：

第一类：甲单独参加某项比赛，

先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有3种，

再将余下4人，安排到与下的三个项目，

由于每名同学只能报1个项目，每个项目至少有1名同学报名，

故满足条件的报名方法有七尸A；=36,

所以甲单独参加某项比赛的报名方法有3x36=108种，

第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛，先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有C；A；=12种

方法，再安排余下三人，有A；=6种方法，所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有12x6=72种，

所以满足条件的不同的报名方法共有72+108=180种方法.

故选：C.

【易错剖析】

在利用两个计数原理处理计数问题时，往往容易因为混淆分类、分步而错用两个原理致错.

【避错攻略】

1、分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案.在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有

n种不同的方法，完成这件事共有N=m+n种不同的方法。

2、分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤.做第1步有初种不同的方法，做第2步有"种不同的方法，完成这件事共

有N=m-n种不同的方法。

3、两个计数原理的综合应用

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理.如

果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事

的方法数时，使用分步计数原理.

易错提醒：|两个原理的辨析：

⑴联系

分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关完成一件事的不同方法的种数问题.

(2)区别

分类加法计数原理每次得到的都是最后结果，而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果，具体区

别如下表：

区别分类加法计数原理分步乘法计数原理

①针对的是“分类”问题针对的是“分步”问题

各种方法相互独立各个步骤中的方法互相依存

用其中任何一种方法都可以完成这件

只有各个步骤都完成才算完成这件事

事

（3）分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择

分类-将问题分为互相排斥的几类，逐类解决一分类加法计数原理；

分步一将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决一分步乘法计数原理.

在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的

应用.

举一反三

1.（24-25高三上•江苏南京•开学考试）甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第

4名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很

遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（）

A.4B.6C.8D.12

2.（2025・上海•模拟预测）有一四边形ABCD,对于其四边AB、BC、CD、DA,按顺序分别抛掷一枚质量

均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去.最后，以A为起点沿着尚未擦

去的边出发，可以到达C点的概率为（）.

A.[B.—C.-D.—

216416

3.（23-24高二下•天津红桥•期中）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动

物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位

同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙、牛和羊，乙同学喜欢龙和马，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果

让三位同学选取礼物都满意，则选法有种.

■4易错题通关A

1.（24-25高三上•重庆・期末）已知某班级将学生分为4个不同的大组，每个大组均有14名学生，现从这

个班级里抽取5名学生参加年级活动，要求每个大组至少有1名同学参加，则不同的抽取结果共有（）

A.（C；J.q种B.种

C.4（C：J.C；种D.2（C：J.C；2种

2.（24-25高三上•云南昆明•阶段练习）将1,2,3,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列、记第z・项

为q1=l,2,…,7）,若01V出</，a3>a4>a5,a5<a6<a7,则这样的数列共有（）

A.70个B.71个C.80个D.81个

3.（24-25高二下•全国•课后作业）某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男

生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（）

A.80种B.90种C.100种D.120种

4.（24-25高三上•湖北武汉•阶段练习）武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张

老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同

的值班方法共有（）种

A.114B.120C.126D.132

5.（2024•江西新余.模拟预测）为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包

括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同

一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（）种.

A.144B.260C.320D.540

6.（23-24高二下•广东中山•期末）用数字0,1,2,3,4,5组成的有重复数字的三位数且是偶数的个

数为（）

A.76B.38C.36D.30

易错点02：分步“有序”导致错误

fb易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高二上•福建泉州•阶段训练）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20

个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（）

A.560B.2735C.1136D.480

【答案】C

【解析】方法一将“至少有1个是一等品”的不同取法分三类：“恰有1个一等品”“恰有2个一等品”“恰

有3个一等品”.由分类加法计数原理，得不同取法有C；6C：+C；6C：+C；6=1136（种）.

方法二考虑其对立事件“3个都是二等品“，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有

C；o-C：=1136（种），故选C.

【易错剖析】

由于对实际问题中“至少有1个一等品，，意义理解不明，可能导致下面的错误：按分步乘法计数原理，第

一步确保有1个一等品，有C；6种取法；第二步从余下的19个零件中任取两个，有CM种不同的取法，故共

有C；6c9=2736（种）取法，实际上这个解法是错误的.下面我们作如下分析，第一步取出1个一等品，那

么第二步就有3种可能：①取出的2个都是二等品，这时的取法有C；6c：=96（种）；②取出1个一等品，

1个二等品，因为取出2个一等品是分步完成的，这2个一等品的取法就有了先后顺序，而实际上这2个一

等品是没有先后顺序的，因此这时的取法就产生了多一倍的重复，即这时的取法有gc；6C；sC：=480（种）；

③取出的2个都是一等品，这时我们取出的3个都是一等品了，实际的取法种数应是C：=560.

【避错攻略】

用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在最开始计算之前进行仔细分析一需要分类还是需要分

步；分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数;

分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一

步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.

易错提醒：对于“至少”“至多”类型的问题，考生应注意从两个方面处理：一是从正面进行处理，可以根据要

求进行合理分类，利用分类加法计数原理求解；二是求解该事件的对立事件，即利用排除法求解，其实质

还是先进行分类.求解时要根据具体情况选取类别较少的一种方法进行解答.

举一反三

1.（24-25高三上•广西•期中）为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局安排包括甲、乙在内的5名城区教

师前往四所乡镇学校支教，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只能去一所学校，则甲、乙不安排在

同一所学校的方法数有（）

A.1440种B.240种C.216种D.120种

2.（24-25高三上•广东•开学考试）某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们

分配到高一年级的1,2,3三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（）

A.30种B.90种C.150种D.180种

3.（24-25高三上•广东河源•阶段练习）某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁、戊这5名应届大学毕业生

安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，则不同的安排方法种数是.

,易错题通关

1.（24-25高二下•全国•课后作业）某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养.现准备将7

本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙

班至少2本，则不同的分配方案有（）

A.630种B.840种C.1470种D.1480种

2.（24-25高三上•江苏宿迁•期中）从5名男生和3名女生中选出4人参加一项创新大赛.如果男生中的甲和

女生中的乙至少要有1人在内，那么不同的选法种数为（）

A.15B.40C.55D.70

3.（24-25高三上•河北唐山•开学考试）某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能

去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（）

A.6B.12C.24D.36

4.（2024•河南安阳•模拟预测）教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市3

所高校的校长计划拜访当地企业，共有4家企业可供选择.若每名校长拜访3家企业，每家企业至少接待1

名校长，则不同的安排方法共有（）

A.60种B.64种C.72种D.80种

5.（24-25高三・上海•随堂练习）将4名志愿者分配到花样滑冰、速度滑冰2个项目协助培训工作，每名志

愿者分配到1个项目，每个项目至少分配到1名志愿者，则不同的分配方案共有种.（用数字作答）

6.（24-25高三・上海•随堂练习）重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，是我国

民间的传统节日，人们常在此日感恩敬老.某校在重阳节当日安排6名学生到两所敬老院开展志愿服务活

动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案是种.

7.（24-25高三・上海•课堂例题）在迎新班会上，小王设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球

和20个白球，这些球除颜色外完全相同.从中任意摸出5个球，至少摸到3个红球中奖，则中奖的概率

为.（结果保留两位小数）

7.（2024・河南周口•模拟预测）十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开.会议期间，会议

筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人.每

人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种.（用数字作答）

易错点03：分步不合理导致重复或遗漏

,易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•陕西渭南•阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要

的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1,2,3,L,8.现准备给

该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如

区域1与区域5）所涂颜色相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有种.

【答案】630

【分析】确定区域1,2,3,4的颜色，分区域3与区域1涂的颜色是否相同两种情况讨论，进而可得出答

案.

【详解】解：根据题意，只需确定区域1,2,3,4的颜色，即可确定整个伞面的涂色.

先涂区域1,有6种选择，再涂区域2,有5种选择，

当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有4种选择，剩下的区域4有4种选择；

当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有5种选择，

故不同的涂色方案有6x5x（4x4+5）=630种.

故答案为：630.

【易错剖析】

本题在求解过程中容易错用分步乘法计数原理，从1到8依次涂色，方法数为6x5,，错解的根源是涂完1、

2后，3号可以与1相同，也可以不同，而3号的颜色影响4号颜色的选择.

【避错攻略】

1.分类计数原理的应用原则

分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，

分类时要注意两个基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类；二是不同类的任意两种

方法必须是不同的方法，只要满足这两个基本原则，就可以确保计数时不重不漏.

2.分类计数原理的应用原则

①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎样才能完成这件事，也就是说，弄清要经过哪几步才能完

成这件事；

②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件

事就不可能完成；不能缺少步骤.

③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各

个步骤既不能重复也不能遗漏.

易错提醒：|使用分步计数原理时，要注意以下三点：（1）步骤完整性：完成一件事必须且只需连续完

成所有步骤。每个步骤的方法选择与其他步骤无关，但所有步骤必须依次完成；

（2）独立性：每一步的方法选择是独立的，即前一步的选择不会影响后一步的选择;

（3）连续性：只有当前一步完成后，才能进行下一步。所有步骤必须依次进行，不能跳过任何一步.

举一反三

1.（24-25高三上•广西•阶段练习）如图，对A,B,C,D,E五块区域涂色，现有5种不同颜色的颜料

可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方

法共有（）

AB

E

CD

A.480种B.640种C.780种D.920种

2.（24-25高二上•辽宁・期末）《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法:

“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可

用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（）

半广

3.（23-24高三上•河南•期中）玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养.一小朋友在玩四棱柱形积木（四

个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且在积木的

6个面中，除侧棱的颜色相同外，则染法总数为（）

A.216B.360C.720D.1080

叁易错题通关

1.（25-26高三上•上海•单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供

选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（）.

B{A\D

A.240种

B.300种

C.360种

D.420种

2.（24-25高二上•山东范泽・期中）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现要给地图着色，要求相邻区

域不得使用同一颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的着色方案种数为（）

A.36B.48C.72D.144

3.（2025高三・全国・专题练习）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色,

欲给如图所示的地图中南昌市及与它相邻的4个城市着色，要求相邻城市不涂同一颜色，则不同的涂色方

法共有种.

近市,

上饶

朝自1

，市

4.（24-25高三上•福建福州•期中）如图，对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能

用同一种颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的着色方法有种.

5.（24-25高三•全国•专题训练）已知自然界氧的同位素有|6。,。OF。，氢的同位素有1H,2H（自然界中存

在极微3f1,可忽略不计），水由氧元素和氢元素组成，化学式为H20,则自然界中水分子共有种.

6.（2025年高考模拟）现有A,B,C,D,E五个兴趣小组，在劳动实践课上制作的手工艺品，摆放到如

图所示桌面上的四个区域，供学生参观，若要求相邻区域不可以放入同一个兴趣小组的手工艺品，每个区

域内只能摆放一个兴趣小组的手工艺品，共有种摆法.

7.（2024.河南新乡.模拟预测）2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某

段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火炬

手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为.

8.（24-25高三上•全国・单元测试）如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种

颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种.（用数字作答）

题型二：排列组合

易错点04：忽视排列数组合数公式的隐含条件致误

易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•河北•期末）若A：=C：,贝（）

A.1B.2C.8D.9

【答案】B

【分析】直接利用排列数和组合数的公式计算.

【详解】由A：=C:得仆-1)=〃(〃T)(-2)，心3,〃eN,

3x2x1

解得〃=8

故选：B.

【易错剖析】

本题在求解过程中容易忽略〃23这一隐含条件而出错.

【避错攻略】

1、排列与排列数

(1)定义：从"个不同元素中取出W”)个元素排成一列，叫做从“个不同元素中取出加个元素的

一个排列.从〃个不同元素中取出机(加个元素的所有排列的个数，叫做从〃个不同元素中取出加个元

素的排列数，用符号父表示.

yiI

(2)排列数的公式：=n(n-l)(n-2)(n-m+l)=-———.

(〃—my.

特例：当机=w时，47=«!=«(«-1)(«-2)3.2.1；规定：0!=1.

(3)排列数的性质：①线=吟二；②第=―1—4："+1=心;③父=7T；+端.

n—mn—m

2、组合与组合数

(1)定义：从".个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从〃个不同元素中取出用个元素的

一个组合.从“个不同元素中取出机个元素的所有组合的个数，叫做从"个不同元素中取出加个元

素的组合数，用符号C：表示.

(2)组合数公式及其推导

求从〃个不同元素中取出m个元素的排列数4",可以按以下两步来考虑：

第一步，先求出从这〃个不同元素中取出小个元素的组合数C：；

第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数A：；

根据分步计数原理，得到A：=C；•线;

因此CJ工"("T)(”2)("一.+1).

"4：加

riI

这里〃，mG7V,且m这个公式叫做组合数公式.因为M,所以组合数公式还可表示

+\ji-my.

ri'

为：c：="•特例：C：n=c：=l.

易错提醒:无论是排列数A7还是组合数C：，在计算含参题目中要注意n>m,n^N,m^N隐含条件.

举一反三

1.（23-24高二下.河南.期中）若C：3=C；”（尤eN*）,则A；=（）

A.5B.20C.60D.120

2.（23-24高三下•宁夏吴忠・期中）不等式A：<6A；2的解集是（）

A.{8}B.{8,9,10,11）C.1x|7<x<12|D.1x|7<x<8|

3.（2024・上海宝山・一模）已知关于正整数元的方程CR=C*5,则该方程的解为.

易错题通关

1.（24-25高三上•全国・专题训练）若C：-C：=0,则£的值为（

A.12B.14C.16D.18

2.（23-24高二下・陕西西安・期末）若。3-。；=0©2）,则”等于（）

A.11B.12C.13D.14

3.（24-25高二下•全国•课后作业）已知组合数C'C：,则关于机的不等式>C：的解集为

（24-25高三上•河北承德•开学考试）若昌=:，贝什=

4.

5.（24-25高三・上海裸堂例题）若立尸十八：=4（2",贝ij〃=

6.（24-25高三・上海•课堂例题）不等式的解集为.

7.（23-24高三.全国.对口高考）计算C；尸+C：%的值为.

8.（24-25高三上•江西上饶•阶段练习）若C/'cr，贝口=.

易错点05：分组问题混淆“均分”与“非均分”

易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•天津武清・期末）为了推动城乡义务教育一体化发展，某师范大学6名毕业生主动申请

到某贫困山区的乡村小学工作，若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人,

则分配方案的总数为.

【答案】540

【分析】先将6名毕业生分成3组，结合平均分组和不平均分组公式，得到分配方案数，再进行全排列,

求出答案.

【详解】第一步将6名毕业生分成3组，且每组至少1人，一共有3种分配方案，

其中1、1、4分配方式有《毕=15种;

1、2、3,分配方式有C；C；C；=60种;

2、2、2,分配方式有生4=15种,

第二步将分好的3组毕业生分配到3所乡村小学，其分法有A：=6种，

利用分步计数原理可知，分配方案的总数为(15+60+15)x6=540.

故答案为：540

【易错剖析】

本题容易在分组过程中，忽略均分组的计数方法而出错.

【避错攻略】

分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配

(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：

①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；

②部分均匀分组，应注意不要重复；

③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.

(2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：

①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；

②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；

③有限制条件的分配问题，采用分类求解.

易错提醒：对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不

同的,位置也应是不同的；③分堆时要注意是否均匀.

举一反三

1.(24-25高三上•湖北武汉•期末)某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊5名同学分别报名

参加跳远，跳高，铅球，跑步4个项目，每名同学只能报1个项目，每个项目至少有1名同学报名，且甲不

能参加跳远，则不同的报名方法共有（）

A.60种B.120种C.180种D.240种

2.（24-25高三上•河北邢台・期末）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到A,B,C三个场地参加志

愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到

同一个场地，则不同的安排方法种数为（）

A.72B.96C.114D.124

3.（25-26高三上•上海・单元测试）3位男生、3位女生平均分成三组，恰好每组都有一位男生和一位女生

的概率是.

易错题通关

1.（24-25高三上•河北邯郸•开学考试）在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日

安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A,B,C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不

在A场地的不同安排方法数为（）

A.32B.24C.18D.12

2.（24-25高三上•江苏南通•开学考试）今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有

《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小明和小华

两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《名侦

探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为（）

A.12B.24C.28D.36

3.（23-24高二上•辽宁抚顺•阶段练习）已知A,8两个公司承包6项工程，每个公司至少承包2项，则承

包方式共有（）

A.24种B.70种C.48种D.50种

4.（2024高三下•江西新余•专题练习）将5本不同的书分给3位同学，则每位同学至少有1本书的不同分

配方式共有（）种.

A.25B.75C.150D.300

5.（24-25高三上•广东・开学考试）某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们

分配到高一年级的1,2,3三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（）

A.30种B.90种C.150种D.180种

6.（24-25高三•上海•课堂例题）6本不同的书平均分给3人，共有（）种分法.

A.90B.180C.270D.45

7.(24-25高三上•天津和平・期末)在杭州亚运会比赛中，6名志愿者被安排到安检、引导运动员入场、赛

场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则合适的安排方案共

有种.(用数字作答)

8.(2024•陕西宝鸡.三模)围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今

已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋

手参加比赛，他们分成三个小组，则甲和乙在同一个小组的概率为.

易错点06:计数时混淆有序与定序

易错陷阱与避错攻略

典例(2024山东临沂•模拟)身高互不相同的七名学生排成一排，从中间往两边越来越矮,不同的排法有

()

A.5040种B.720种C.240种D.20种

【答案】D

【详解】最高个子站在中间，只需排好左右两边，第一步:先排左边，因顺序固定有废=20种排法，第二步:

排右边，因顺序固定，有1种排法，根据分步乘法计数原理，共有20x1=20种，故选。.

【易错剖析】

本题容易混淆定序与有序的区别而错解，即最高个子站在中间，只需排好左右两边，第一步：先排左边,

有A：=120种排法，第二步：排右边，有A；种排法，根据分步乘法计数原理，共有120x6=720种,而错选B.

【避错攻略】

1.一般地，对于某些元素的顺序固定型问题，解决时有两种方法：

(1)倍缩法：先不考虑限制条件，所有元素全排列，再除以定序元素的全排列；

(2)空位(或占位)法:在总位置中，安排非定序元素的位置，然后对定序元素进行排列时，只有1种排法.如

已知n个不同的元素进行排列，要求其中m(m<n,“GN*,〃zGN*)个元素相对顺序固定不变，有砥种不同

的方法，或从〃个位置中排加个元素之外的"一根个元素，再放这定序的机个元素，共有AIT"种不同的方

法.

对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为"个，新插入的元素为根个，

(m+n)!

则排列数为

n!

2.相同元素分配问题的处理策略

（1）隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干

隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔

板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.

（2）将几个相同的元素分给加个不同的对象（"沙j）,有C；；匚，种方法.可描述为〃一1个空中插入初一1块

板.

易错提醒：“定序”是指元素的相对顺序固定,定序问题可看作组合问题，可以看做排列问题之后除掉之间

的顺序.

举一反三

1.（24-25高三上•全国•专题训练）用2个0,2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（）

A.8个B.12个C.18个D.24个

2.（23-24高三上•郑州・模拟）今有2个红球，3个黄球，同色球不加以区分，将这5个球排成一行，则不

同的排法种数为（）

N

A.AgB.A；C.A；D.-2'3

A2A3

3.甲，乙等5人站成一排，则甲，乙相邻，且甲在乙左侧的概率为.

■易错题通关

1.某班2024年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目

插入原节目单中，那么不同的插入方法的种数为（）

A.2B.11

C.36D.42

2.某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程

乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是.

3.身高互不相同的7名同学站成一排，其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有种（用

数字作答）.

4.某学校举行校庆文艺晚会，己知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老

校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有

种.

题型三：二项式定理

易错点07：混淆“系数”与“二项式系数”而出错

，易错陷阱与避错攻略

典例(2024.宁夏银川.模拟预测)(2x+l)5的展开式的第4项的系数为()

A.10B.20C.40D.80

【答案】C

【分析】利用二项式定理的通项可知展开式中的第％+1项为C：(2x)"HF,代入计算可得结果.

【详解】根据二项展开式的通项可知第4项为C；(2才户=401,

因此展开式的第4项的系数为4