2025高考数学冲刺复习：排列组合与二项式定理（解析版）

专题14排列组合与二项式定理

目录

题型一：两个原理

易错点01混淆两个计数原理而出错

易错点02分步“有序”导致错误

易错点03分步不合理导致重复或遗漏

题型二排列组合

易错点04忽视排列数组合数公式的隐含条件致误

易错点05分组问题混淆“均分”与“非均分”

易错点07计数时混淆有序与定序

题型三二项式定理

易错点08混淆“系数”与“二项式系数”而出错

题型一：两个原理

易错点01：混淆两个计数原理而出错

叁易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•湖北武汉•期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊5名同学分别报

名参加跳远，跳高，铅球，跑步4个项目，每名同学只能报1个项目，每个项目至少有1名同学报名，且甲

不能参加跳远，则不同的报名方法共有（）

A.60种B.120种C.180种D.240种

【答案】C

【分析】在甲单独参加某项比赛条件下，结合分堆问题的处理方法及分步乘法计数原理求满足条件的方法

数，再在甲不单独参加某项比赛条件下，.由分步乘法计数原理及排列知识求满足条件的方法数，最后利用

分类加法原理求结论.

【详解】满足条件的报名方法可分为两类：

第一类：甲单独参加某项比赛，

先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有3种，

再将余下4人，安排到与下的三个项目，

由于每名同学只能报1个项目，每个项目至少有1名同学报名,

故满足条件的报名方法有弋上A；=36,

所以甲单独参加某项比赛的报名方法有3x36=108种，

第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛，先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有C：A；=12种

方法，再安排余下三人，有A；=6种方法，所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有12x6=72种，

所以满足条件的不同的报名方法共有72+108=180种方法.

故选：C.

【易错剖析】

在利用两个计数原理处理计数问题时，往往容易因为混淆分类、分步而错用两个原理致错.

【避错攻略】

1、分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案.在第1类方案中有机种不同的方法，在第2类方案中有

“种不同的方法，完成这件事共有N=m+〃种不同的方法。

2、分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤.做第1步有机种不同的方法，做第2步有〃种不同的方法，完成这件事共

有N=m-n种不同的方法。

3、两个计数原理的综合应用

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理.如

果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事

的方法数时，使用分步计数原理.

易错提醒：两个原理的辨析：

⑴联系

分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关完成一件事的不同方法的种数问题.

(2)区别

分类加法计数原理每次得到的都是最后结果，而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果，具体区

别如下表：

区别分类加法计数原理分步乘法计数原理

①针对的是“分类”问题针对的是“分步”问题

②各种方法相互独立各个步骤中的方法互相依存

用其中任何一种方法都可以完成这件

③只有各个步骤都完成才算完成这件事

事

（3）分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择

分类-将问题分为互相排斥的几类，逐类解决一分类加法计数原理；

分步一将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决T分步乘法计数原理.

在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的

应用.

举一反三

1.（24-25高三上•江苏南京•开学考试）甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第

4名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻“，对丙说：“很

遗憾，你没有得到第1名“，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（）

A.4B.6C.8D.12

【答案】C

【分析】由题意可得丙不是第1名，甲乙相邻，先排丙，再排甲，乙，最后再排丁，即可得答案.

【详解】解：由题意可得丙不是第1名，甲，乙相邻；

所以丙是第2名时，甲，乙只能是第3,4名，丁为第1名，此时共2种情况；

丙是第3名时，甲，乙只能是第1,2名，丁为第4名，此时共2种情况；

丙是第4名时，甲，乙有可能是第1,2名，或第2,3名，

当甲，乙是第1,2名时，丁为第3名，此时共2种情况；

当甲，乙是第2,3名时，丁为第1名，此时共2种情况；

所以一共有2+2+2+2=8种情况.

故选：C.

2.（2025・上海•模拟预测）有一四边形A3CD,对于其四边AB、BC、CD、DA,按顺序分别抛掷一枚质量

均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去.最后，以A为起点沿着尚未擦

去的边出发，可以到达C点的概率为（）.

【答案】B

【分析】根据分步计数原理及古典概型的概率公式求解即可.

【详解】根据题意，对于其四边AB、BC、CD、DA,按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币，

共有2x2x2x2=16种情况，

要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C,

若保留两条边，则CD,ZM可保留也可擦去，

共有2x2=4种情况；

若保留两条边，则ABIC可保留也可擦去，

共有2x2-1=3种情况（其中有一种情况与上面重复），

则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C,共有7种情况，

7

所以可以到达C点的概率为7.

故选：B.

3.（23-24高二下•天津红桥•期中）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动

物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位

同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙、牛和羊，乙同学喜欢龙和马，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果

让三位同学选取礼物都满意，则选法有种.

【答案】50

【分析】分甲选龙和甲不选龙两种情况，结合分步计数原理，即可求解.

【详解】第一种情况是甲选龙，乙只能选马，丙有10种方法，

第二种情况是甲选牛或马，甲有2种方法，乙也有2种方法，那么丙有10种方法，贝U共有2x2x10=4。种

方法，

所以共有10+40=50种方法.

故答案为：50

,易错题通关.

1.（24-25高三上•重庆・期末）已知某班级将学生分为4个不同的大组，每个大组均有14名学生，现从这

个班级里抽取5名学生参加年级活动，要求每个大组至少有1名同学参加，则不同的抽取结果共有（）

A.（c：J-q种B.（cjc,种

C.4（C：J.C1种D.2（C"C种

【答案】C

【分析】根据题意，必有一组应取2人，其余组别各取1人，运用分步乘法计数原理计算即得.

【详解】由题意，要求每个大组至少有1名同学参加，即在4个大组中，必有一个大组有2名同学参加活

动，其余组别各有1个同学.

运用分步乘法计数原理解决：先从4个大组中抽取一个有2名同学参加的组，有C；种，

再从另外三个大组中分别各取1名同学，有（C；J种，

最后确定有2个同学参加的组的人选，有C：种.

由分步乘法计数原理，抽取结果共有C〉C=（C；J=4（C：J3Ci个.

故选：C.

2.（24-25高三上•云南昆明•阶段练习）将1,2,3,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列、记第i项

为@。=1,2,…,7）,若火<?<%,%>%>%，%</<为，则这样的数列共有（）

A.70个B.71个C.80个D.81个

【答案】B

【分析】先分类，再分步，根据加法原理以及乘法原理、组合数即可求解.

【详解】若名=1，则这样的数列有C；C；=45个；

若。5=2,则这样的数列有C；C；=20个；

若见=3,则这样的数列有C；=6个，

所以满足条件的数列共有45+20+6=71个，

故选:B.

3.（24-25高二下•全国•课后作业）某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男

生4名女生中选4人,代表本班参赛,按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（）

A.80种B.90种C.100种D.120种

【答案】C

【分析】结合分类加法和分步乘法计数原理，利用组合数即可求得.

【详解】若恰有1名女生参加，则有C；C；=10x4=40种，

若恰有2名女生参加，则有C&=10x6=60种，

所以共有40+60=100种不同的选派方式.

故选：C.

4.（24-25高三上•湖北武汉•阶段练习）武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张

老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同

的值班方法共有（）种

A.114B.120C.126D.132

【答案】A

【分析】依据值班3天的为分类标准，逐类解决即可.

【详解】因为有三位老师值班7天，且每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，

所以必有一人值班3天，另两人各值班2天.

第一类：值班3天在（1,3,5）、（1,3,6）、（1,4,6）、（2,4,7）、（2,5,7）、（3,5,7）时，共有6xC；C；C；=72种不同

的值班方法；

第二类：值班3天在（L3,7）、（1,5,7）时，共有2xC；C；=12种不同的值班方法；

第三类：值班3天在（1,4,7）时，共有C；C；C；=12种不同的值班方法；

第四类：值班3天在（2,4,6）时，共有C；C：=18种不同的值班方法；

综上可知三位老师在国庆节7天假期共有72+12+12+18=114种不同的值班方法.

故选：A

5.（2024•江西新余•模拟预测）为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包

括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同

一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（）种.

A.144B.260C.320D.540

【答案】B

【分析】采用分类与分步计数原理，先排丙共有C；种分法，再分为甲、丙在同一所学校和甲、丙不在同一

所学校两类，每类分别讨论，最后相加得到结果.

【详解】先将丙安排在一所学校，有C；种分法；

若甲、丙在同一所学校，那么乙就有C；种选法，

剩下3名教师可能分别有3、2、1人在最后一所学校（记为X校），

分别对应有1（3人均在X校）、（2人在X校，另1人随便排）、

（1人在X校，另2人分在同一所学校或不在同一所学校），

共1+CC+C；C•A；=19种排法;

若甲、丙不在同一所学校，则甲有C；种选法，

若乙与丙在同一所学校，则剩下3名教师按上面方法有19种排法；

若乙与丙不在同一所学校，则有剩下3人可分别分为1、2、3组，

分别有C；、C；.A；、A；种排法，故共有：

C；-19+C.（19+C；+C；♦A；+A；）卜260种排法.

故选：B.

6.（23-24高二下.广东中山.期末）用数字0,1,2,3,4,5组成的有重复数字的三位数且是偶数的个

数为（）

A.76B.38C.36D.30

【答案】B

【分析】组成有重复数字的三位数，且是偶数，按个位是0和不是。进行分类；个位不是。时要注意选中的数

有0和不是0情况求解.

【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0,2,4,有3种选择，

而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0,有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论：

①当个位数为。时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况，

与百位数一样，只有一种选择，

与个位数一样，也只有一种选择；

②当个位数为2时，

如果百位数为2,则十位数有6种选择，

如果百位数不为2,则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择：

当个位数为4时，

如果百位数为4,则十位数有6种选择，

如果百位数不为4,则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择

综上所述，5x1+5x1+1x6+4x2+1x6+4x2=38.

故选：B.

易错点02：分步“有序”导致错误

易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高二上・福建泉州•阶段训练）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20

个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（）

A.560B.2735C.1136D.480

【答案】C

【解析】方法一将“至少有1个是一等品”的不同取法分三类：“恰有1个一等品”“恰有2个一等品”“恰

有3个一等品”.由分类加法计数原理，得不同取法有C；6Cj+C；6C：+16=1136（种）.

方法二考虑其对立事件“3个都是二等品“，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有

C；o-Cj=n36（种），故选C.

【易错剖析】

由于对实际问题中“至少有1个一等品，，意义理解不明，可能导致下面的错误：按分步乘法计数原理，第

一步确保有1个一等品，有C；6种取法；第二步从余下的19个零件中任取两个，有C；9种不同的取法，故共

有C；6C；9=2736（种）取法，实际上这个解法是错误的.下面我们作如下分析，第一步取出1个一等品，那

么第二步就有3种可能：①取出的2个都是二等品，这时的取法有C；6《=96（种）；②取出1个一等品，

1个二等品，因为取出2个一等品是分步完成的，这2个一等品的取法就有了先后顺序，而实际上这2个一

等品是没有先后顺序的，因此这时的取法就产生了多一倍的重复，即这时的取法有gc；6C；5C；=48。（种）；

③取出的2个都是一等品，这时我们取出的3个都是一等品了，实际的取法种数应是C：6=560.

【避错攻略】

用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在最开始计算之前进行仔细分析一需要分类还是需要分

步；分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数;

分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一

步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.

易错提醒!对于“至少”“至多”类型的问题，考生应注意从两个方面处理：一是从正面进行处理，可以根据要

求进行合理分类，利用分类加法计数原理求解；二是求解该事件的对立事件，即利用排除法求解，其实质

还是先进行分类.求解时要根据具体情况选取类别较少的一种方法进行解答.

叁举一反三

1.（24-25高三上•广西•期中）为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局安排包括甲、乙在内的5名城区教

师前往四所乡镇学校支教，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只能去一所学校，则甲、乙不安排在

同一所学校的方法数有（）

A.1440种B.240种C.216种D.120种

【答案】C

【分析】根据分组分配计算所有的安排方法数，再计算甲、乙安排在同一个学校的方法总数，相减得符合

的方法数.

【详解】根据题意，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则有C；A：=10x24=240种不

同安排方法，

若甲、乙安排在同一个学校，则有A：=24种不同安排方法，

甲、乙不安排在同一所学校的方法数有240-24=216种.

故选：C.

2.（24-25高三上•广东・开学考试）某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们

分配到高一年级的1,2,3三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（）

A.30种B.90种C.150种D.180种

【答案】B

【分析】先把5名大学生按照1:2:2分成三组，再将三个组分到3个班，计算可得答案.

【详解】将5名大学生分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，

C2c2

则将5名大学生分成三组，一组1人，另两组都是2人，有安=15种方法，

再将3组分到3个班，共有15-A；=90种不同的分配方案，

故选：B.

3.（24-25高三上•广东河源•阶段练习）某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁、戊这5名应届大学毕业生

安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，则不同的安排方法种数是.

【答案】240

【分析】根据题意，先将5人分成4组，再安排的4个不同的学校，结合分步计数原理，即可求解.

【详解】根据题意，先将甲、乙、丙、丁、戊这5名应届大学毕业生，分成4组，

其中一组两人，其他三组各一人，有c；=10种分法，

在把分成的4组安排到市4所不同的学校任教，有A：=24种安排方法，

由分步计数原理得，共有10x24=240种不同安排方法.

故答案为：240.

■易错题通关

1.（24-25高二下•全国•课后作业）某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养.现准备将7

本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙

班至少2本，则不同的分配方案有（）

A.630种B.840种C.1470种D.1480种

【答案】C

【分析】根据分类加法计数原理，结合排列组合以及分步乘法计数原理即可求解.

【详解】根据题意甲乙丙丁四个班的书可以按照3,1,2,1或者2,1,2,2或者2,1,3,1三种方式分

配，

故总的分配方案有C；C：C；C；++C；C；C：C；=1470种.

故选：C

2.（24-25高三上•江苏宿迁・期中）从5名男生和3名女生中选出4人参加一项创新大赛.如果男生中的甲和

女生中的乙至少要有1人在内，那么不同的选法种数为（）

A.15B.40C.55D.70

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用排除法，结合组合计数问题列式计算即得.

【详解】从8名学生中任选4名有C；=70种，没有甲乙的选法有C：=15种，

所以甲乙至少1人参加的不同的选法种数为70-15=55.

故选：C

3.（24-25高三上•河北唐山・开学考试）某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能

去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（）

A.6B.12C.24D.36

【答案】D

【分析】根据分步乘法计数原理，先从4人中选出2人作为一组，有C：种方法，再与另外2人一起进行排

列，有A；种方法，相乘即可得到答案.

【详解】:4名学生分到3个小区，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，

，4名同学不同的分组方法只能为2,1,1,

•••不同的安排方法有C：A；=6x6=36（种）.

故选：D.

4.（2024•河南安阳•模拟预测）教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市3

所高校的校长计划拜访当地企业，共有4家企业可供选择.若每名校长拜访3家企业，每家企业至少接待1

名校长，则不同的安排方法共有（）

A.60种B.64种C.72种D.80种

【答案】A

【分析】按照间接法，先计算3名校长在4家企业任取3家企业的所有安排情况，然后减去3名校长选的3

家企业完全相同的安排方法数，即可求得所需安排情况种数.

【详解】解：3名校长在4家企业任取3家企业的所有安排情况为：C：C：C：=4x4x4=64种

又每家企业至少接待1名校长，故3名校长选的3家企业，不全相同，

因为3名校长选的3家企业完全相同有C：=4种，

则不同的安排方法共有：64-4=60种.

故选：A.

5.（24-25高三•上海•随堂练习）将4名志愿者分配到花样滑冰、速度滑冰2个项目协助培训工作，每名志

愿者分配到1个项目，每个项目至少分配到1名志愿者，则不同的分配方案共有种.（用数字作答）

【答案】14

【分析】分两种情况，每组2个人或者一组3人，一组1人，结合排列组合知识得到答案.

【详解】先将4名志愿者分成2组，分别是每组2个人或者一组3人，一组1人，

若每组2个人，分别分配给2个项目，则有C：=6种分法；

若一组3人，一组1人，分别分配给2个项目，则有C：A；=8种分法；

因此不同的分配方案共14种.

故答案为：14.

6.（24-25高三・上海•随堂练习）重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，是我国

民间的传统节日，人们常在此日感恩敬老.某校在重阳节当日安排6名学生到两所敬老院开展志愿服务活

动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案是种.

【答案】50

【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合分组分配列式计算即得.

【详解】6名学生分成两组，要求每组不少于2人，则分组情况有两类：

第一类，一组2人一组4人，不同的分配方案为M=C；P；=30种；

第二类，每组3人，不同的分配方案为％=或（2；=20种，

所以不同的分配方案共有50种.

故答案为：50

7.（24-25高三・上海•课堂例题）在迎新班会上，小王设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球

和20个白球，这些球除颜色外完全相同.从中任意摸出5个球，至少摸到3个红球中奖，则中奖的概率

为,（结果保留两位小数）

【答案】0.19

【分析】根据给定条件，利用概率的加法公式，结合组合计数问题列式计算即得.

【详解】令中奖的事件为A,则它是摸到3个红球的事件、摸到4个红球的事件、摸到5个红球的事件的

和，它们互斥，

所以尸（A）=^^+^^+理=^^。0.19

CoCM142506

故答案为：0.19

7.（2024•河南周口•模拟预测）十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开.会议期间，会议

筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人.每

人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种.（用数字作答）

【答案】114

【分析】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是1』,3和1,2,2,先求出5名工作人员分配到3

个会议厅的情况数，甲乙两人分配到同一个会议厅的情况数，相减得到答案.

【详解】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是L1,3和1,2,2,

0103

人数组合是1』,3时，共有**xA；=60种情况，

C；C；C；

其中甲、乙两人分配到同一个会议厅的情况为xA；=18种,

从而甲、乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有60-18=42种；

人数组合是1,2,2时，共有与4xA；=90种情况,

其中甲、乙两人分配到同一个会议厅的情况为C；C：xA：=18种，

从而甲、乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有90-18=72种，

所以甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有42+72=114种.

故答案为：114.

易错点03：分步不合理导致重复或遗漏

，易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•陕西渭南•阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要

的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1,2,3,L,8.现准备给

该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如

区域1与区域5）所涂颜色相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有种.

【答案】630

【分析】确定区域1,2,3,4的颜色，分区域3与区域1涂的颜色是否相同两种情况讨论，进而可得出答

案.

【详解】解：根据题意，只需确定区域1,2,3,4的颜色，即可确定整个伞面的涂色.

先涂区域1,有6种选择，再涂区域2,有5种选择，

当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有4种选择，剩下的区域4有4种选择；

当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有5种选择，

故不同的涂色方案有6x5x0x4+5）=630种.

故答案为：630.

【易错剖析】

本题在求解过程中容易错用分步乘法计数原理，从1到8依次涂色，方法数为6x5,，错解的根源是涂完1、

2后，3号可以与1相同，也可以不同，而3号的颜色影响4号颜色的选择.

【避错攻略】

1.分类计数原理的应用原则

分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，

分类时要注意两个基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类；二是不同类的任意两种

方法必须是不同的方法，只要满足这两个基本原则，就可以确保计数时不重不漏.

2.分类计数原理的应用原则

①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎样才能完成这件事，也就是说，弄清要经过哪几步才能完

成这件事；

②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件

事就不可能完成；不能缺少步骤.

③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各

个步骤既不能重复也不能遗漏.

易错提醒：使用分步计数原理时，要注意以下三点：（1）步骤完整性：完成一件事必须且只需连续完

成所有步骤。每个步骤的方法选择与其他步骤无关，但所有步骤必须依次完成；

（2）独立性：每一步的方法选择是独立的，即前一步的选择不会影响后一步的选择；

（3）连续性：只有当前一步完成后，才能进行下一步。所有步骤必须依次进行，不能跳过任何一步.

举一反三

1.（24-25高三上•广西•阶段练习）如图，对A,B,C,D,E五块区域涂色，现有5种不同颜色的颜料

可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方

法共有（）

AB

IZL7

CD

A.480种B.640种C.780种D.920种

【答案】C

【分析】先涂B,D,E,然后分类讨论A的颜色，最后利用乘法原理与加法原理可得答案.

【详解】先涂3,D,E,有A；=60种方法.

若A的颜色不同于8,D,E所涂颜色，有2种涂法，此时C有3种涂法，则对应总涂法数为60x6=360；

若A的颜色与E的颜色相同，此时C有3种涂法，则对应总涂法数为60*3=180；

若A的颜色与O的颜色相同，此时C有4种涂法，则对应总涂法数为60x4=240.

综上，总涂法数为360+180+240=780.

故选：C

2.（24-25高二上・辽宁•期末）《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法:

“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可

用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（）

半广

A.48种B.96种C.102种D.120种

【答案】B

【分析】设图中的六个区域分别为A,aC,。瓦尸，按照AE是否同色，分两类，再结合分步乘法计数原理

运算求解.

【详解】如图，设图中的六个区域分别为AaC£>,及尸，

①A,E不同色，先给民C涂色，有A〉再根据A,E是否用余下那种颜色分两种情况,

AE不用第三种颜色，即A用C的颜色，E用8的颜色，。有C；种，/有C；种，则有C；CCC种涂法;

AE用第三种颜色，即A用第三种颜色，E用8的颜色，。有C；种，尸有C；种,

或E用第三种颜色，A用C的颜色，则有2xC；-CjC；种涂法，

所以A,E不同色的涂法有：A；（C：.C：CC+2xC：CC）=72,

②A,E同色，先给及C涂色,有A＞则AE只能用第三种颜色，。有C；种，尸有C；种，

所以AE同色的涂法有：A；（lxC；xC；）=24,

综上，不同的涂色方法有：72+24=96种.

故选：B.

3.（23-24高三上.河南•期中）玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养.一小朋友在玩四棱柱形积木（四

个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且在积木的

6个面中，除侧棱的颜色相同外，则染法总数为（）

A.216B.360C.720D.1080

【答案】D

【分析】根据题意，结合棱柱的结构特征，分3步讨论侧棱、上底、下底的涂色方法，由分步计数原理计

算可得答案.

【详解】根据题意，如图：

分3步进行分析：

①要求侧棱用同一种颜色，则侧棱有5种选色的方法，

②对于上底A3。，有4种颜色可选，则有A：,

③对于下底A4G2,每条边与上底和侧棱的颜色不同，有3x3xlxl=9种选法,

则共有5x24x9=1080种选法.

故选：D.

＞易错题通关

1.（25-26高三上・上海・单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供

选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（）.

A.240种

B.300种

C.360种

D.420种

【答案】D

【分析】先安排中心区域4再从2开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，分。与2选用同一种和选用

不同种类菊花两种情况，结合计数原理得到答案.

【详解】先布置中心区域A共有5种方法，从3开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，

则B有4种布置方法，C有3种布置方法.

如果。与2选用同一种菊花，则“有3种布置方法；

如果。与B选用不同种类菊花，则。有2种布置方法，E有2种布置方法.

按照分步乘法与分类加法计数原理，

则全部的布置方法有5X4X3X（1X3+2X2）=42。（种）.

故选：D.

2.（24-25高二上•山东荷泽•期中）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现要给地图着色，要求相邻区

域不得使用同一颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的着色方案种数为（）

A.36B.48C.72D.144

【答案】C

【分析】分使用了3种颜色和使用了4种颜色求解.

【详解】按使用颜色的种类分类，

第一类：使用了3种颜色，则1,3同色且2,5同色，则共团=24种,

第二类：使用了4种颜色，则1,3同色2,5不同色或1,3不同色2,5同色，则共C；A：=48种，

所以不同的着色方案种数为24+48=72种.

故选：C.

3.（2025高三・全国・专题练习）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色,

欲给如图所示的地图中南昌市及与它相邻的4个城市着色，要求相邻城市不涂同一颜色，则不同的涂色方

法共有种.

近市,

上饶

，市.

【答案】72

【分析】分两种情况讨论，运用分类计数原理、分步计算原理进行求解即可.

【详解】由地图可知，与南昌市相邻的4个城市为：九江市、上饶市、抚州市、宜春市，

先给南昌市着色，有4种方法，再给与南昌市相邻的四个城市涂色，

可分以下两类：

①九江市与抚州市涂同种颜色，方法数为：3x2x2=12（种）；

②九江市与抚州市涂不同颜色，方法数为：3x2xlxl=6（种），

故不同涂色方法数为：N=4x（12+6）=72.

故答案为：72

4.（24-25高三上・福建福州•期中）如图，对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能

用同一种颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的着色方法有种.

【答案】48

【分析】利用分步乘法计数原理来求得正确答案.

【详解】按①一②一③-④的顺序进行着色，

按分步计数原理可得不同的着色方法有4x3x2x2=48.

故答案为：48

5.（24-25高三•全国•专题训练）已知自然界氧的同位素有KO｝。心。，氢的同位素有用,2H（自然界中存

在极微3H，可忽略不计），水由氧元素和氢元素组成，化学式为H?。，则自然界中水分子共有种.

【答案】9

【分析】根据组合数的概念和分类、分步计数原理列式求解.

【详解】由水分子的化学式可知，相同氢原子构成“凡”有C；种，

不同的氢原子构成“凡”有C；种，贝「应”的组成共有C；+C；种，

所以水分子一共有（C；+C；）x3=9种.

故答案为：9.

6.（2025年高考模拟）现有A,B,C,D,E五个兴趣小组，在劳动实践课上制作的手工艺品，摆放到如

图所示桌面上的四个区域，供学生参观，若要求相邻区域不可以放入同一个兴趣小组的手工艺品，每个区

域内只能摆放一个兴趣小组的手工艺品，共有种摆法.

【分析】分两类：第一类，2,3区域放同一兴趣小组的手工艺品，第二类，2,3区域摆放不同兴趣小组的

手工艺品，每一类中运用分步计数原理可求每一类的方法数，进而可求总的方法数.

【详解】分两类：第一类，2,3区域放同一兴趣小组的手工艺品：

第一步，第1区域，有5种摆法，

第二步，第2,3区域有4种摆法，

第三步，第4区域有4种摆法，共计有5x4x4=80种摆法；

第二类，2,3区域摆放不同兴趣小组的手工艺品：

第一步，第1区域，有5种摆法，

第二步，第2区域，有4种摆法，

第三步，第3区域，有3种摆法，第四步，第4区域，有3种摆法，

共计有5x4x3x3=180种摆法.

故共有80+180=260种摆法.

故答案为：260.

7.（2024・河南新乡・模拟预测）2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某

段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火炬

手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为.

【答案】10

【分析】先考虑最后一棒的方案，再考虑中间两棒的方案即可.

【详解】最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人，也可以是从乙、丙中选1人，从除甲、乙、丙之外的2

人中选1人组成，所以最后一棒的安排方案有：1+C；C；=5种；

安排最后一棒后，剩余两人安排在中间两棒，方案有：A；=2种，

由分步计数乘法原理，不同的传递方案种数为：5x2=10种.

故答案为：10

8.（24-25高三上・全国・单元测试）如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种

颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种.（用数字作答）

【分析】从最左边的一个格子开始考虑，利用分步乘法计数原理进行计算.

【详解】首先给最左边的一个格子涂色，有6种选择，左边第二个格子有5种选择，第三个格子有5种选

择，第四个格子也有5种选择，

根据分步乘法计数原理得，共有6x5x5x5=750=750(种)涂色方法.

故答案为：750

题型二：排列组合

易错点04：忽视排列数组合数公式的隐含条件致误

般易错陷阱与避错攻略

典例(24-25高三上•河北•期末)若A：=C：,则”=()

A.1B.2C.8D.9

【答案】B

【分析】直接利用排列数和组合数的公式计算.

【详解】由A：=C：得一

'73x2x1

解得«=8

故选：B.

【易错剖析】

本题在求解过程中容易忽略〃23这一隐含条件而出错.

【避错攻略】

1、排列与排列数

(1)定义：从"个不同元素中取出机个元素排成一列，叫做从〃个不同元素中取出加个元素的

一个排列.从〃个不同元素中取出7Mm4”)个元素的所有排列的个数，叫做从"个不同元素中取出加个元

素的排列数，用符号表示.

力I

(2)排列数的公式：=n(n-l)(n-2)(n-m+l)=-——1―-.

yn—my.

特例：当机=〃时，=n!=«(«-l)(n-2)3.2.1；规定：0!=1.

⑶排列数的性质：①％"=；②4'=—式向=47③然=砒二+端.

n—mn—m

2、组合与组合数

(1)定义：从“个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从"个不同元素中取出小个元素的

一个组合.从"个不同元素中取出租(mW")个元素的所有组合的个数，叫做从〃个不同元素中取出小个元

素的组合数，用符号C：表示.

(2)组合数公式及其推导

求从n个不同元素中取出m个元素的排列数M,可以按以下两步来考虑：

第一步，先求出从这几个不同元素中取出加个元素的组合数C：；

第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数；

根据分步计数原理，得到然=；

因此（"一2）（"一根+1）.

"M〃?！

这里〃，meN+,且〃心”，这个公式叫做组合数公式.因为普=，加、，所以组合数公式还可表示

+

为：为=J"、「特例：C；=C：=1.

易错提醒：无论是排列数A：还是组合数C：,在计算含参题目中要注意n>m,n^N,m^N隐含条件.

举一反三

1.（23-24高二下洞南・期中）若墨=*+«€四），则线=（）

A.5B.20C.60D.120

【答案】D

【分析】根据组合数的性质求出x,再根据排列数公式计算可得.

【详解】因为C；3=C；*（xeN*）,所以x=2x+i或x+2x+l=13,

解得x=-l（舍去）或x=4,

所以A；=A；=5x4x3x2=120.

故选：D

2.（23-24高三下•宁夏吴忠・期中）不等式A：<6A「的解集是（）

A.{8}B.{8,9,10,11}C.{x[7<x<12}D.{x[7<xV8}

【答案】A

【分析】利用排列数公式化简并求解不等式.

8!8'

【详解】不等式A：<6A72中，24x48,尤eN*,化为7^X7<6•,

（8-X）!（1707-x7）!r

整理得/_19尤+84<0,解得7Vx<12,因此x=8,

所以不等式A；<6AL的解集是{8}.

故选：A

3.（2024・上海宝山.一模）已知关于正整数犬的方程C1=C*5,则该方程的解为.

【答案】1或3

【分析】利用组合数的性质得到方程，解方程，结合工的取值范围即可求解.

【详解】根据组合数的性质，由C/=C*5

x-l=5x-5(x-1)+(5%-5)=12

0<x-l<120<x-l<12

可知：＜或<

0<5x-5<120<5x-5<12

XGZXGZ

X=1x=3

l<x<131<%<13

即《一,17或<17,所以％=1和%=3均满足题意,

l<x<——1<x<——

55

xeZXGZ

所以该方程的解为：1或3.

故答案为：1或3

易错题通关

1.（24-25高三上•全国・专题训练）若C：-C；=0,则£