2025高考数学5类不等式解题技巧（解析版）

题型015类不等式解题技巧

(权方和不等式、柯西不等式、基本不等式链、

普通型糖水不等式与对数型糖水不等式)

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技法01权方和不等式的应用及解题技巧

技法02柯西不等式的应用及解题技巧

技法03基本不等式链的应用及解题技巧

技法04普通型糖水不等式的应用及解题技巧

技法05对数型糖水不等式的应用及解题技巧

技法011权方而不等式的应用及解题技巧I

❽驳型斛裱

在条件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我们通常使用基本不等式或基本不等式链来求最值，实际解

题中往往会遇到题干复杂的题目，此时对于学生来说思路繁琐，计算量大，耗时较长且不易求解，而权方

和不等式的优势极其明显，可以做到快速求解甚至秒解，常在小题中使用.

❾裁也£被

权方和不等式的初级应用：若a,b,x,y>0则—+—>(a+Z?)-当且仅当-=-时取等.

xyx+yxy

(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)

++

广义上更为一般的权方和不等式，设,xneR,y^y2,',yneR,

若心。或租<-l,则—+丈++—+Y+七厂

乂"以或(%+%++%)"'

m+1zn+1m+1/\zn+1

若-l<m<0,则受一+工++工<(x1+x2++x„)

yr球(%+%++%).

上述两个不等式中的等号当且仅当五=三=2=i=2时取等

%%为yn

教彼运用

（2。24・江西・一模）已知正数x,y满足中=6,若不等式三5r力恒成立,则实数。的

取值范围是

思路点拨：利用权方和不等式求解即可

思路详解：玉+系2告*专=4,所以实数.的取值范围是（一迎

＞变式1.求/(%)=\Jx2-3x+2+12+3%-%2的最大值为

思路详解：111

r-------------I---------------(X2-3X+2^(2+3%—%2p(%2_3%+2+2+3x—"

/(%)=G_3%+2+J2+3%-炉=A--------j，—+--j~，一<-------------------j-----------，一=2<2

1~21-2(1+1)~2

当且仅当Y—3%+2=2+3x—即1=0或％=3时取等号，故答案为：2vL

）支式已知a,b,c为正实数，且满足"391,则占+占+占的最小值为——.

思路详解：由权方和不等式，可知

-„______(1+2+3)?_______当

〃+1b+1c+1a+14b+49c+9(4/+1)+(4+4Z?)+(9c+9)18

当且仅当a=2,6=3,c=°时等号成立,所以W+占的最小值为2.故答案为：2.

91

1.（2024・云南大理•模拟预测）已知〃20,匕之。且2a+b=l,则-+的最小值为（）

〃+1a+b

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】根据已知等式，应用常值代换法应用基本不等式求和的最小值即可.

911)+(〃+。)卜；

【详解】--+--a+

a+\a+b

9।9(a+6)।(a+1)1

+1X—

a+1a+b2

9(a+ft)(a+1)1（当且仅当；时取等号）.

>10+2,=8a=,6=0

。+1a+b2

故选:C.

11?

2-设若。+匕=2,则五口+了的最小值为

【答案】3

12114

【解析】由已知可得2,+处-1=3,从而有—+厂+•Q”l）+2江展开后利用基本不等式,

即可求解.

【详解】由题意，因为b>0,满足a+6=2,

所以2a+2Z>=4,2a+2b—l=3,且。一1>0,方>。,

E121/14、「小八”2b4(2]—17)]

贝I」;;-+-=-+—)[(2«-l)+2Z7]=-[5+--+\7]

2a—\b32«-12b32a2b

4+2.旦,

2a-l2b

2b4(2〃-1)

当且仅当旦。+6=2,即。=1力=1时取得最小值3.

2(2-1lb

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用

条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试

题.

21

3.已知正实数x,y满足4尤+7y=4,则---------1---------的最小值为.

x+3y2x+y

9

【答案匕

【分析】由4x+7y=2（x+3y）+（2x+y）,结合基本不等式求解即可.

【详解】因为4x+7y=4,

911(21

所以一丁+——二：「2(%+3>)+(2%+川---------1---------

x+3y2x+y4Lv''7J+2x+y

所以=：4+2（x+3y）+2（2尤+y）”,

x+3y2x+y42x+yx+3y

因为尤。为正实数，所以2，+3y)>0,2(2x；y)>0,

2x+yx+3y

所以2（x+3y）+2（2x+y）之2卜x+3y）.也疝斗,当且仅当[：*"=2：+'时等号成立，即

2x+yx+3y，2x+yx+3y[4x+7y=4

%=]810=/4时等号成立，

211Q24

所以一丁+^—>-(4+4+1)=-,当且仅当尤=白a=白时等号成立，

%+3y2x+y441515

所以2+1一的最小值为彳9，

x+3y2x+y4

Q

故答案为：—.

4

222

4.已知正数x,y,z满足x+y+z=l,则」^+上^+^的最小值为__________

y+2zz+2xx+2y

【答案】I

【分析】根据权方和不等式可得解.

【详解】因为正数X,y满足无+y+z=l,

fv2Z2、（x+y+z）21

所以‘上一+--------N------------------------------——，

y+2zz+2xx+2yy+2z+z+2x+x+2y3

x_y_z即％=；时取等号.

当且仅当=y=Z

y+2zz+2xx+2y

故答案为：—.

5.已知x+2y+3z+4〃+5V=3。，x2+2y2+3z2+4w2+5v2的最小值为

【答案】60

【分析】应用权方和不等式即可求解.

/+2户3八4/+5,/+包+色£+也£+色£

345

【详解】21之

(%+2y+3z+4〃+5v)302

>----------------------------=----=60

1+2+3+4+515

当且仅当工=丁=2=〃="时取等号

故答案为：60

若不等式题目以选择填空推出时，通过柯西不等式，观察系数的关系，配凑出题设的问题，柯西不等

式往往起到秒杀作用.

技巧_£被

1.二维形式的柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2(a,b,c,d£R,当且仅当ad=be时,等号成立.)

2.二维形式的柯西不等式的变式

(1)y/d2-+b2-Vc2+d2>\ac+bd\(a,b,c,d,&R,当且仅当ad=be时，等号成立.)

⑵'a?+炉.,c2+cl?2|ac|+|bd|(a,b,c,d€R,当且仅当ad=be时，等号成立.)

____2

(3)(a+b)(c+d)>(Vac+VM)(a,b,c,d>0,当且仅当ad=be时，等号成立.)

3.扩展：(说+a)+堵+—卜磷)(用+历+必+…+/?„)>(%,瓦+a2b2+a3b3+…+an^n)2

已知x,y,z满足x+y+z=l,贝（Ix2+4y2+9z2的最小值为

思路点拨：利用柯西不等式求解即可

222

思路详解：因为^+出+用-p+（2y）+（3z）]＞（x+y+z）,

gp||.（x2+4y2+9z2）＞l^＞x2+4y2+9z2＞||,

所以V+4y2+9z2最小值为己当且仅当x=4y=9z时取等号.故答案为：

＞重式1.用柯西不等式求函数》=岳行+反+尸分的最大值为

A.722B.3C.4D.5

思路详解：函数尸y/2x-3+岳+j7-3x4JF+(何+F*J(2X-3)+X+(7-3X)=4

当且仅当与L强耳Z时,

即x=2时等号成立，故该的最大值为4.

)支式2.已知无、V、zwR,xy+yz+zx=-l.则M+5；/+8zz的最小值是

思路详解：由(x+2y+2zy+(y—2z)22。，BPx2+5y2+8z2>-4(xy+)；z+zx)=4,

当工=:3，y=—1g，z1=—或兀=—3孑，y=1g,Z=1(时取等号,所以最小值是4.

乙乙乙乙r*

0世法演拣

1.函数/(x)=』炉+4+，/-4工+5的最小值为.

【答案】历

【详解】注意到，\la2+b2+yjc2+d2>^(a+c)2+(Z?+rf)2.

22

则〃x)=J/+4+&-4x+5=^%2+22+^2-X)+1>々+32=713.

2.由柯西不等式，当尤+2y+z=4时，求«+6+正的最大值为()

A.10B.4C.2D.y/10

【答案】D

【分析】利用柯西不等式可得(尤+2y+z)(4+2+4)N(2«+24+26)2，即求.

【详解】解：由柯西不等式，得(x+2y+z)(4+2+4)2(2«+2拒+26>,

当且仅当J=M=即x=z=3，y=］时，等号成立.

42425

因为x+2y+z=4,所以(6+4+6)2410，

贝U石+4+GWVI3,故石+4+6的最大值为&U'.

故选：D

3.设x+y+z=l.则函数a=2/+3丁+22的最小值是.

【答案】R

【详解】由已知条件及柯西不等式有

1=x+y+z=-A/2X+-y/3y+1.zj+；+(2x?+3j2+z2^=J?x8①

则比"I.

A/2X_V3y_z_I；

式①中等号成立的条件为工一工一『一，即x=5，y=gz=X.

正骋

代入已知等式有,+：+2=1,解得4=：.

因止匕，当x=1,y=V，z=(^寸，11nm='

4.设非负实数X、V、z满足无+y+z=l.则/=J9+J+J4+J+J1+Z?的最小值为

【答案】历

［详解］首先，,4+/+7177〃,9+仃+2)2.

则出79+x2+j9+(y+z)222+；=庖.

当且仅当2=*=$=：时，』=庖.

技法031涉否等箍施用及磔题1

鱼驳型解裱

本题型通常考查基本不等式及其基本不等式链的应用，掌握基本不等式链，可以较快速解决代数式的

大小比较及其相关最值求解，常以小题形式考查.

©裁32点祓

基本不等式链：当且仅当a=6时，等号成立.

V22-+-

ab

其中小，而，IT分别为a，b平方平均数，算术平均数，几何平均数，调和平均数.可利

--1--

ab

用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化.

（2022.全国・新高考n卷高考真题）（多选）若无，y满足f+/一冲=1,则（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

思路点拨：基本不等式链求解即可

思路详解：由基本不等式链：J拓"了，（。〉0，"〉0）,

ab

可得"41等（a,blR）,

22

对于C,由Y+V一冲=1可变形为（/+y）_1=.4土产，解得犬+产<2,当且仅当X=y=±l时取等

号，所以C正确

因为手）（a,blR）,由/+/一冲=1可变形为，（尤+y）2_]=3q<3[字卜解得

-2<x+y<2,当且仅当尤=丁=-1时，x+y=-2,当且仅当x=y=l时，x+y=2,所以A错误，B正确;

【答案】：BC.

>之K1.（2024,贵州贵阳•一模）（多选）已知。>0/>0,且。+6=2,则（）

A.2"+2"22后B.-+->2

ab

2

C.log2«+log2Z?<1D.(r+b>2

思路详解：人.2。+2j2万访=4>2点，当。=匕=1时，等号成立，故A正确;

X=^±>4ab>^—

B.2~-11.当。=6=1时，等号成立，故B正确；

—+—

ab

C.\og2a+log2Z?=log2ab<log2f=0<l,故C正确；

a+b

D.l''>£±^=1，当a=6=l时等号成立，故D正确.

V22

法，寅宿^1ml1m

1.（2024•河北沧州・二模）（多选）己知实数。,方满足。>瓦。+匕=1,则（）

A.a2>abB.ab>b2

C.ab<-D.a2+b2>l

4

【答案】AC

【分析】由不等式的性质可判断A,B；由代入消元结合函数的最值可判断C；由已知结合基本不等式及相关

结论可判断D.

【详解】因为。>6,。+6=1>0,

所以。>02的符号不确定，

由不等式的性质知片>外成立，

但必〉/不一定成立，故A正确，B错误；

因"=a（l_q）=+；«；，故C正确；

因为心方，所以片+从>2成，所以/+匕2>丝土丝=」，故D错误.

22

故选：AC.

2.（2024•重庆渝中•模拟预测）（多选）已知实数X，>满足丁+4/一2孙=1,则（）

A.x+2y<lB.x+2y>-2

C.x2+4y2<2D.%2+4/>1

【答案】BC

【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据（x-2y）220,结合基本不等式计算即可判

断C；根据（x+2»20,基本不等式计算即可判断D.

【详解】A：由f+4y2-2孙=1,得/+4〉2+4孙=6孙+1,

BP（x+2y）2=6xy+l<3.（^^）2+l,得（x+2y）2《4,

解得-2<x+2y<2,当且仅当x=2y时等号成立，故A错误;

B:由选项A的分析知-2Vx+2y,故B正确;

C：(x-2y)2>0,得x2+4y2z4xy,IP2xy+l<x+^y+1,

所以x2+4y2=2xy+l<X+^,+1,

得V+4y*2,当且仅当尤=2y时等号成立，故C正确；

D：由(x+2y)220,x2+4y~>-4xy,即2冲+1之1-"，

所以丁+4/=2町+1上1一^^,得V+49上：，

当且仅当x=-2y时等号成立，故D错误.

故选：BC

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成

积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所

求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

技法04［普通型精永不尊式的应用及解题技讨

图驳型斛裱

在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习糖水不

等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.

G技巧上破

1.糖水不等式定理：

若a>b>0,m>0,则一定有>—

a+ma

通俗的理解：就是a克的不饱和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖,则糖水更甜;

2.糖水不等式的倒数形式：

设a>b>0,m>0,则有：巴>a+m

bb+m

(2020•全国•统考高考真题)已知55<83134V85.设a=log53,fo=log85,c=logi38,则(

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

思路点拨：利用糖水不等式求解即可

思路详解：【法一】

।…8।24

1gIn3+In—In—1c

a=-m-3<------5=——S<-In-5=h7

山5出5+也§ln8ln8，

5

1339

ln3+lnjIn工

a

又«=—<_______L5c,用排除法，选Ao

,,13

In5In5c+In——In13In13

5

4

5454

【法二】5<8log85<log88,

4

445

13<8,nlog1313<log138=>c>—

若log53®ogg5olog53log581,

22

Iog53+log582425

但log31og8<<|=1-a<b

552

综上所述，a<b<c.

）支式1.（2024•全国模拟）（多选）已知实数瓦。满足OvQVbvc,则下列说法正确的是（

11-bb+c

A.------>-------B.—>------

c-ab-aaa+c

11

1

C-a(c-a)b^c-a^D.ab+c>ac+be

bb+c

思路详解：【法一】由糖水不等式的倒数形式，b>a>0,c>0,则有:—>-------

aa+c

bb+c

【法二】—>------<=>b(a+c\>a(b+c\<=>bc>ac<=>b>a,故B正确;

aa+c

【答案】BCD

）支式2.试比较log,sIog54的大小（填”<"或“>”或“="）

।15

1qIn3+In—In——

依题意log3=<-----------J__4_In4

思路详解:4<——=log54.

ln4ln4+ln5In5In5

4

）支式3.log32log-10(用“<”或“>”填空)

思路详解：因为。<log32<l,所以可得:

©技法演炼

1.如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：2〈江'（x>y>0,"?>0）.

xx+m

⑴证明糖水不等式；

（2）已知a,b,c是三角形的三边，求证：—1—~—1—~~7<2.

b+ca+ca+b

【答案】（1）证明见解析

⑵证明见解析

【分析】（1）由作差法证明;

（2）由糖水不等式变形证明.

y+myx^y+m)-y^x+m)m^x-y)

【详解】（1）

x+mxx(x+m)x(x+m)'

因为X>y>0,6>0,所以x+加>0,x-y>0,

所以坐E>o,即，m

x^x+m)xx+m

（2）因为。涉,。是三角形的三边，所以〃+c>a>0,

aa+a2a

由（1）知------<------------=------------，

b+cb+c+a---a+b+c

同理，bL<2bc2c

a+b+c'a+b<a+b+c

a+c

匕匚I、1abc2a2b2c2(〃+b+c)

所以----+----+----<-------+-------+-------=---------=2,

b+ca+ca+ba+b+ca+b+ca+b+ca+b+c

「aabbcc

又---->----------->-------,---->-------

b+cb+c+aa+ca+b+ca+ba+b+c

abca+b+cr

所以----------1------------1---------->-----------=1

b+ca+ca+ba+b+c

所以原不等式成立.

2.若等比数列前n项和为S„(q>0,q>0),比较SnSn+2与S3的大小

S,：

【答案】SnSn+2<+1

【解析】vSn+2>Sn+1>Sn

幺+s

.s„_as„_向S前.

..---+-2----1-+-q----+-l--q-------<----,

S“+1S

+qSn幺+sn

q

故S£+2<S3。

技法05对数型糖永不再式而应用及解题技方J

\___________1_______r—__?X_r-i__________L-,L..______,J

侈题蛆裱

在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型

糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.

❾裁也£被

⑴设“cN+，且〃>1,则有log„+1n<logn+2(H+l)

(2)设a>b>l,m>0,则有logab<loga+m(b+m)

(3)上式的倒数形式：设a>b>l,m>0,则有logha>logb+m(a+m)

技彼运用

(2022.全国统考高考真题)已知9'"=10,。=10"'-11涉=8"-9,则()

A.a>0>bB.a>6>0C.b>a>QD.b>0>a

思路点拨：利用对数型糖水不等式求解即可

思路详解：因为9"'=10,所以zn=log910.在上述推论中取a=9力=10,可得m=log910>

log10ll=lgll,且m=log910<log89.

所以a=10"'—11>10口1—11=0/=8m-9<8log99-9=0,即a>Q>b,选A.

>支41.比较大小：log74与loggG的大小.

।一9।36,42

In4+In—In—In—

In4

思路详解：【法一】7

log74=-----<=log96o

In7ln7+ln-In9In9

7

[41646

【法二】log4-log6=（log4-l）-（log6-1）

7979=bg7--1og9-<log9--log9-<0

【法三】对数型糖水不等式直接可得

法t海〃〃/〃//〃〃/〃〃〃〃〃/〃/〃〃/〃/〃〃〃〃〃〃〃,

1.(2024・四川乐山•三模)若a=log32］=log43,c=e-2,则a,瓦。的大小关系是()

A.b<c<aB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】利用放缩法可得利用作商比较法可得。_32>坨4<与（坨2+炒4）］2,进而可得

222b-^T---

a<b,可得结论.

2

【详解】a=log32>log373==log43>log4V?=^,c=e~,

所以贝lja>c,b>c,

又。」唱2_馆2.坨4/：（恒2+怆4）］2坨28〈婕941g?3：1,

了一log,3-lg23-lg23-41g2341g2a-41g2a-

所以avZ?,所以cvavb.

故选：D.

1

2.（2024•陕西铜川•模拟预测）已知a=2,Z>=log65,c=log56，贝I（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【答案】c

【分析】取两个中间值1和g，由。=人>3，b<log66=l,l=log55<c<T即可比较三者大小•

【详解】a1]?=6>行=：，^=log65<log66=l,l=log55<log56=c<log5V125=|,

因止匕.

故选：C.

3.(2024・重庆•模拟预测)设a=log20242023,Z?=log20232022,c=log020240.2023,则()

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.a<b<c

【答案】C

【分析】利用对数函数的性质得到c最大，再利用作差法，结合基本不等式得到人va,从而得解.

【详解】由对数函数的性质知c=log°.202462023〉10go.202402024=1,

0=log20241<log20242023<log20242024=1,

0=log20231<log20232022<log20232023=1,

所以。>1,OVQVI,O<Z?<1；

当〃>2时，ln(n+l)>lnn>ln(n-l)>0,

i——12

所以In5+1)•In(〃一1)一(In/<皿〃+1);皿7-1)_(比〃)2

2

=+.(ln«)=[吗T)]-(In疗

-(inn)2=(lnn)2-(in-0,

取w=2023，贝U1g2022-lg2024-(lg2023)2<0,

lg2022lg2023

所以》_a=log2022-log

20232024lg2023-lg2024

2

lg2022-lg2024-(lg2023)<0)

lg2023-lg2024

综上，b<a<c.

故选：C.

【点睛】结论点睛：对数比大小常用结论：10g“（7Ll）<10g“+M（”>2）.

1.（2024•河南关B州•一模）E^［］a=log23,b=k>g45,c=log67,则。，4c的大小关系是（）

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.a>b>c

【答案】D

【分析】对〃，b,c进行变形，构造〃灯」叱+1),(无家)，求导后得到其单调性，从而判断出。，b,

\nx

C的大小.

【详解】。=10%3=黑,b=log,5=M，c=log67=^,

lg2lg4lg6

令小)=半3(xN2),

Inx

Inxln(x+l)

f(xsIZTx_xlni+l)ln(x+l),

(ln^)2x(x+l)ln2x

因为xN2,所以x(x+l)ln2x>0,

令g（x）=xlnx,x>2,8'（尤）=111了+1>0在［2,+00）上恒成立，g（x）在［2,+8）上单调递增,

xlnx—(x+l)ln(x+l)

故xlnx-(x+l)ln(x+l)<0,所以〃x)=<。在［2,+8）上恒成立,

x(x+l)ln2x

故/（x）=M（x+l）在［2,向）上单调递减,

Inx

In3In5In7

所以--->---->----即a>b>c,

In2In4In6

故选：D.

2.已知”=1呜2,Z?=log43,c=log54,则()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b

【答案】C

【分析】做差，利用换底公式，基本不等式,对数的性质进行大小比较.

2pn2+ln4y

【详解】，。,cln3In2In23-ln21n4”12JIn2^9-In2

b-a=log3-logo2=-------------=------------------->------------------------—Q

43In4In3In31n4In31n4In31n4

pn3+ln5j

标_］口2岳)

,,…cln4In3In24-ln31n5h?0

c-b=log.4-102.3=------------=-------------------

54In5In4In51n4In51n4In51n4,

所以c>Z?>a.

故选：C.

3.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下::a,b,

龙，y>0,则《+包幺，当且仅当4=2时，等号成立.根据权方和不等式，函数/（x）=1

H---------

xyx+yxy2—3%

的最小值为.

【答案】8

【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可.

【详解】因为。，b,x,y>0,则《+工当且仅当q=2时，等号成立,

xyx+yxy

2

X0<x<—,即2-3%>0,

所以/⑺―+―1—工+―0+1）产,

x2-3x3x2-3x3x+（2-3x）

当且仅当三3二丁1丁，即%=彳1时，等号成立，

所以“力=2+7=（0<x<弥勺最小值为8.

x2—3%I3）

故答案为：8.

21

4.已知。>>>0,且满足——-+———=1,则a+%的最小值为______.

a+2。+26

【答案】—+

2

【分析】由权方不等式，结合已知等式进行求解即可.

21(A/2+VI)2

【详解】由权方和不等式，可知-----1------N

a+2a+2b(a+2)+(a+2Z?)

句.发2匚）……当且仅当号=七时取等号,

即当4=0,6=工时取等号，

2

所以的最小值为

2

故答案为：

5.已知x>0,y>0,且——+—1=1,则x+2y的最小值为__________

2x+yy+1

【答案】百+万

【详解】解法一：设1+2y=4（2x+y）+%（y+l）+，，

可解得4=21自=3于"_3(，

133

从而x+2y=—(2x+y)+—(^+1)--

=1(2x+y)+|(y+l)

2x+y

当且仅当x=L也,y=电时取等号.

233

故答案为：下+—.

解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：《十欧…丝也,

xyx+y

叫2x+4y+34+2-\/3,

2x+y3y+32x+4y+3

所以％+2y.豆+1,当且仅当％=J_+9l,y=走时取等号.

2233

故答案为：有+—.

6.（多选）已知。>0,&>0,a+b=l,则下列不等式一定成立的是（）

7111）

A.ab<—B.—+—<4

4ab

11c

C.a1+b2>-D.-r+-r>8

2/b2

【答案】ACD

【分析】利用基本不等式可直接得到A正确；由工+；=[,+；]（。+6）,a2+b2=l-2ab,根据基本不等式

abyab）

知BC正误；将二+2化为[2-1]-1,结合《24,根据二次函数最值可确定D正确.

abyab）ab

a+bI=-(当且仅当。=6=：时取等号)，A正确;

【详角星】对于A,a>0,b>0,a+b=l,:.ab<

2I42

对于B,工+!=[1+工]（4+6）=2+2+322+2、匠=4（当且仅当2