2025高考数学3类导数综合问题解题技巧（解析版）

题型053类导数综合问题解题技巧

（端点效应（必要性探索）、洛必达法则、拉格朗日中值定理）

技法01用端点效应（必要性探索）的解题技巧

侈题蛆裱

在导数相关的题目中，我们经常遇到恒成立问题，特别是涉及参数的不等式恒成立时求参数的取值范

围问题，已成为热点和重点题型。解决这类问题的方法多种多样，常见的方法包括：

①分离参数（全分离或半分离）+函数最值；

②直接（或移项转化）求导+分类讨论.

但以上两种方法都有缺陷，首先对于方法①可能会出现参数分离困难或是无法分离，或函数最值点无法取

到，即无定义，这时就需要用到超纲的方法：洛必达法则。其次，对于方法②直接分类讨论可能会出现在

某些区间无法讨论下去，或是无法排除原问题在该区间是否恒成立，即讨论界点不明。

基于以上两点，我们今天这讲就来解决这两个不足之处，基本对策就是先必要后充分的思想。该思想就是

当参变分离较为困难、带参讨论界点不明时，含参不等式问题还可以采用先必要、后充分的做法，即先抓

住一些关键点（区间端点，可使不等式部分等于零的特殊值等），将关键点代入不等式解出参数的范围，获

得结论成立的必要条件，再论证充分性，从而解决问题.

端点效应的类型

1.如果函数/(%)在区间［a,切上,/(X)>0恒成立，则/(a)20或/(Z?)>0.

2.如果函数/(%)在区问［a,切上,/(幻>0恒成立，且/(a)=0(或f也)=。),则/(«)>0(或f\b)<0).

3.如果函数/(%)在区间［a,切上，/(x)20恒成立，且/(a)=0"'(a)=0(或/(勿=0,⑼<0)则

/,(«)>0(或/"3)40).

技彼运用

若xlnx-2Mx(x-l)+e*T-xNO对X/xNl恒成立，则实数m的取值范围是.

思路详解：因为xlnx—2m¥(x-l)+e*T—%之。对V%21恒成立,

e'T_

即In尤一2m(x—l)+—--120对也21'恒成立，

X-1

ifi/(x)=lnx-2m(x-l)d-----1,xe[1,+oo^,

因为/■(1)=0,/(%)20欲在工目1,+8)恒成立，则/■(%)要在xe［l,+e)单调递增

即/(工)」-2租+右’(：T)N0在xe［l,+e)恒成立,则/'⑴=1一2〃计\0,解得机

xx2

再证明充分性，当机(；,能否有xlnx-2mx(x-l)+e*T-％之。对也之1恒成立(证明略)

综上可得加V」，即机e-004

2

cinY

,支式1(2023•全国•统考高考真题)己知函数〃x)s--

(1)当a=8时，讨论了⑴的单调性;

⑵若/(尤)<sin2x恒成立，求a的取值范围.

思路详解：【法一】端点效应一

令g(x)=/(x)-sin2x,xe[o，mJ得g(0)=0,且g(x)<0在xef0,1上恒成立

画出草图

u。㈤

]+2win2v

根据端点效应，需要满足g'(0),,0而g\x)=a-----—2cos2x

cosX

贝IJg'(0)=a—3,令g'(0),,0,得aW3

当④3时，由于g(0)=0,只需证g'(x)<0即可

而g'(x)含有参数a,故可对g'(x)进行放缩

,/\l+2sin2x。l+2sin2x。。<3-2cos2x.

0即ng(%)=a------------2cos2%<3------------2cos2x=5-------------4cos2x

cosxcosxcosx

令?=cos2x,其中0<1

设g)=5-午3-2Wt-4r

则4(/)=:-2-4t3-2t+6

1r

令p(t)--4?3-2?+6

则p(/)=—12/一2<0,故p(t)在(0,1)上递减，得p(t)>p(l)=0

则h'(t)>0,得h(t)在(0,1)上单调递增，则/i⑺(〃⑴=0

即g'(x)<0,满足g(x)<g(0)=0成立

当a>3时，由于g'(0)=a-3>0,

故存在与,使得在(0,九0)上g'(x)>0,

所以g(x)在(0,%)上单调递增，则g(x)>g(0)=0,不成立

特上所述：a<3.

【法二】端点效应二

sinx.入/、.-sinx

(2)j(x)<sin2xnax-----<sin2xng(x)=ax-sin2x-----<0

COSXCOSX

由于g(0)=0,且

，/、,cos2x+3sin2x

g(X)=a-2cos2x----------------,

cosx

注意到当g'(0)〉0,即a>3时，3xoe^O,|^|使g'(x)〉0在%G(0,%0)成立，故此时g(x)单

调递减

g(x)>g(0)=0,不成立.

einy

另一方面，当④3时，g(x)„3x-sin2x-----=h(x),下证它小于等于0.

cosX

令/?(x)=3-2cos2x-3—2-s-x

COSX

_3cos4x+2COS2X-3-2COS2XCOS4X_3(cos，x-l)+2cos2x(l-cos2xcos2x)

4

—COS4X-COSX

-(cos。％一1)2(^4cos2%+3)0

cos4X

g(x)单调递减，g(x),,g(0)=0.特上所述：a<3.

【法三】设g(x)=/(x)—sin2%

23

g(x)=/(x)-2cos2x=g(r)-2^2cos2x-1^=---2(2t-l)=a+2-4t+--—^

23

(p(t)=Q+2-4/H----

tt

3

?,⑺—A二2+厂6-4/-户2/+6-2Q-1)\(2产+2f+3)■

30

所以0。)V。⑴=a-3.

1°若aw(-00,3],g'(x)=0。)<a-3<0

即g(x)在上单调递减，所以g。)<g(。)=o.

所以当a£(-oo,3],/W<sin2x,符合题意.

2°若ac(3,+oo)

当o,2_g=-3^-—^+gf一00,所以/(，)f一°0.

0(1)=a—3>0.

所以玉°e(0,1),使得0%)=0,即玩e10,令,使得/优)=0.

当te&,1),。⑺>0,即当xe(0,%,g'(x)>0,g(x)单调递增.

所以当xe(0,x°),g(x)>g(0)=0,不合题意.

综上，。的取值范围为(-叫3].

>衣式2.(2024•全国新I卷•高考真题)已知函数/(元)=ln——+ax+b(x-l)3

2-x

⑴若4=0,显若(x)40,求”的最小值；

(2)证明：曲线y=/(x)是中心对称图形；

⑶若，(无)>-2当且仅当1<X<2,求6的取值范围.

思路详解：【详解】(1)6=0时，〃x)=ln—+"，其中x<0,2),

2-x

112

则广(加丁―+"产康””(°'2)，

因为x(2一小广一;+“：=1,当且仅当x=l时等号成立,

故/'(%)1111n=2+a,而/'(x)20成立，故a+220即02—2,

所以。的最小值为-2.,

(2)f(x)=ln4+—+b(x-l)3的定义域为(0,2),

设尸。〃)为y=/(x)图象上任意一点，

P(m,n)关于(1,4)的对称点为Q(2-m,2a—〃)，

因为尸(办〃)在y=/(x)图象上，n=In—^―+am+b(m-if,

2-m

JflJ/(2-m)=In—~~—+«(2-m)+/?(2-m-l)3=-In————am+b^m-1^+2〃,

wi2vn

=—M+2a,

所以。(2-祖,2a-〃)也在y=〃无)图象上，

由P的任意性可得y=/(x)图象为中心对称图形，且对称中心为(l,a).

【方法二：端点效应一】

(3)由(1)知,a>-2.

因为/(I)=a<-2,否则解集中含有x=l.

故a=—2.

X

/(x)=In—2%+b(x—l)3.

2—x

221%—l)22

(⑶=2+3依-1)2=32-1)2=(久-1)23b

(a)若2+36NO,即b>-l时，f(x)=(x-I)2\-^—+3b]

OL4(Z4)-J

即

2

22

>(x—l)1---(--+---)--+3b=(x—1)(2+3b)>0,

即尸(x)>0,/(x)是(1,2)上的单调递增函数，

f(x)>f(1)=-2,符合题意;

⑸若2+36<0,即b<~1时，令尸Q)=0得

匕+—匕2+2匕八/小、、―p.匕一，匕2+2b.

x=——-——<0,(舍)，或％=——-——>1.

当1<久<叱等至时，/(x)<0,此时，/0)<f(1)=—2,不符合题意

综上可知，b的取值范围是b>~l，

【方法三：端点效应二】

由题意得：0<xW1,必有f(x)<-2,所以f(l)=-2,解得a=-2,

故f(x)=+2x+6(1—x)3.

问题等价于研究当1<x<2,/(x)>-2恒成立，仅需[/(x)+2]min>0,

令h(久)=f(x)+2,〃(x)=(+£—2+3b(l—x)2

2(x—I/,"2

=—77,---7+36(1-x)2=(1-x)2-----+3b,

x(2-x)Lx(2-x)

令g(x)=—^—+3bo发现：h'(l)=0,h'(l)=0,当且仅当〃〃⑴20时，若g(l)20,即b2

X^Z—X)3

易证当b2—|7时，由—2—22知，h，(x)>0,所以h(x)在(1,2)上单调递增，h(x)>h(l)=0,所

DX%)

以色-2成立。3另一方面，当6<—|7时，赤2W+3b=。在(1,2)必定有解，

令一金=爪(2—6)，则h(x)在(1,2)上必存在7凡使得m<x<2,^—^+3b>0成立，所以g)在

(l,m)单调递减，在(TH,2)单调递增，所以h(m)<f(l)+2=0,这与h(x)>0在(1,2)恒成立矛盾,

故b<一:舍去

,麦K3.(2020•全国•统考高考真题)已知函数/(无)=e"+"2-x.

(1)当0=1时，讨论/(x)的单调性；

(2)当后0时，f(x)求。的取值范围.

思路详解：⑴当。=1时，f(x)=ex+x2-x,f\x)=e+2x-\,

由于/'(x)=e*+2>0,故于(x)单调递增,注意到了'(0)=0,故:

当时,f'(x)<0J(x)单调递减,

当xe(O,间时,尸(x)>0,〃x)单调递增.

(2)［方法一］【最优解】：分离参数

由«/'(%)N5、+1得'e*+av?—%…21+1,其中xN。,

①.当户0时，不等式为：121,显然成立，符合题意；

QX-1V3-Y-1

②.当x>0时，分离参数〃得，“e2

U...--------z-----

X

(x-2)卜-x2-x-1

、口e'—x3—x—1

记g(x)=-----q-----，g'(x)=-

x3

令〃(尤)=e'_；尤2_x_](x20),

贝I]//(x)=e*-x-1,h(x)=ex-1>0,

故”(x)单调递增,/«无)2/«0)=0,

故函数单调递增，/i(x)>/i(O)=O,

由力(x»0可得：/一；尤2-%一1..0恒成立,

故当xe(O,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;

当xc(2,+oo)时，g'(x)<0,g(x)单调递减;

「-I7—e2

因此，[g")L=g(2)=.

综上可得，实数。的取值范围是—,+^J.

［方法二］:特值探路

2

当xZO时，/(%)71%3+1恒成立=/(2)蜃=〃—7-e

7一,21

只需证当a>-----时，/(%)之彳%3+1恒成立.

42

7—，27—e2

当〃2-----时，/(x)=ex+ax2-x>ex+------x2-x•

44

只需证明e*+上巨V一x2+l(x>0)⑤式成立.

42

⑤式。

人(e2-7h2+4x+2x3+4

令h(x)=-----」---------------(%>0)，

ex

2222

贝,03/)/+2卜29)尤一2尤3-x[2x-(13-e)x-2(e-9)]-x(x-2)[2x+(e-9)]

'e*e%ex

9-2

所以当无€0,方e一时，〃(X)<O,/2(X)单调递减；

当Xe,2j"(x)>O,h(x)单调递增;

当x£(2,+8),h\x)<0,h(x)单调递减.

从而g(x)]max=max{/z(0)M(2)}=4,即力(x)K4,⑤式成立.

所以当人工时,/(x)z；x3+l恒成立.

4

综上士.

4

［方法三］:指数集中

当x20时，/(x)2-x*+1恒e'...-尤？+1-cix^+x(—尤—(jx~+x+l)e，W1,

222

记g(x)=gd—ax2+x+l)e-x(x>0),

g，(%)=-(―兀§_af+x+1—-f+2ax_l)e=—-x[元2-(2a+3)%+4a+2]e=—-x^x-2a-1)(%-2)e”,

①.当2a+l<0即时，g'(x)=0nx=2,则当尤e(0,2)时，g[x)>0,g(x)单调递增，又g(0)=l,

所以当xe(0,2)时，g(x)>l,不合题意；

②.若0<2。+1<2即-g<a<g时，则当xe(0,2a+l)52,+oo)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当xe(2a+l,2)

时，g'(x)>0,g(x)单调递增，又g(O)=l,

所以若满足g(x)Vl,只需g⑵W1,即8(2)=(7-40把-250〃.与、，所以当二三上<“<2时，

成立；

③当2a+122即“2,时，g(x)=(,元3-依2+》+1把—4(1尤3+x+i)eT,又由②可知时，g(x)4l

22242

成立，所以。=0时，g(x)=(gd+x+l)eTW1恒成立，

所以azg时，满足题意.

综上，。…上

^L法t寅/////////////////////////////////////////////////A

1.已知函数y(x)=ln(尤+1)-——(a>0).若/(x)»o在［0,口)上恒成立，则。的取值范围为_______

x+1

【答案】(0,1］

【分析】由题意可知/(x)血》。在［。,口)上恒成立，将问题转化为求函数力的的最小值.

【方法一】回/(x)20在［0,+功上恒成立，且"0)=0,

故/(x)N/(0),((》)=与答.

(x+1)

当0<a«l时，广。)20在［0,+cw)上恒成立，即/(X)在［0,+℃)上为增函数，

所以，/(x)>/(0)=0,合乎题意；

当时，由/(无)>0,可得x>a-l；当/(无)<。时，可得0Vx<a-l.

即/5)在。。-1)上为减函数，在-1,+8)上为增函数，

所以，fM=f(a-l)=lna-a+l=lna-(Q-l),

又因为lna<a-l,所以Ina-(a-l)<。，不合乎题意.

综上所述，0<aWl.

故答案为：(0,11.

【方法二-端点效应】

因为，(0)=0,所以/'(0)=1-。2。，解得aWl,结合已知条件，0<aWl

2.(2024•全国甲卷•高考真题)已知函数〃x)=(l-依)ln(l+x)-X.

⑴当a=-2时,求/(x)的极值；

⑵当x20时，f(x)>0,求。的取值范围.

【答案】⑴极小值为0,无极大值.

(2)a<-g

【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.

(2)求出函数的二阶导数，就<。<0、0分类讨论后可得参数的取值范围.

22

【详解】(1)当。=-2时，f(x)=(1+2x)ln(l+x)-x,

］+2Y1

故/'(x)=21n(l+:t)+——--l=21n(l+x)--------+1,

1+尤1+尤

因为>=2111(1+幻,)；=-^^一+1在(-1,+8)上为增函数，

故/'(X)在(-1,+。)上为增函数，而/'(0)=。，

故当一i<x<o时，r(无)<0,当x>。时，r(尤)>0,

故/(x)在X=0处取极小值且极小值为/(0)=0,无极大值.

(2);(%)=-aIn(1+x)+-—--1=-aIn(1+尤)-("+l)x,苫>0,

1+X1+X

、门/\,/x+

设sIn(1+x)-———,%>0,

,(、-a(«+1)a(%+l)+a+lQX+2Q+1

则”小寸而1一-房厂一干干，

当aW-g时，*x)>0,故s(x)在(0,+句上为增函数，

故s(x)>s(O)=O,即/(x)>0,

所以在［0,+8)上为增函数，故/(x)2〃0)=0.

当一g<a<0时，当0Vxe—2〃+1时,s［x)<0,

故S(x)在(。，-宁)上为减函数，故在［。,-胃］上s(x)<s(o),

即在［o,-一上/'(x)<0即“X)为减函数，

故在(。，-上/(x)<〃O)=O,不合题意，舍.

当aNO,此时s'(x)<0在(0,+<)上恒成立，.

同理可得在(0,+力)上/(力</(0)=0恒成立，不合题意，舍；

综上，a<—.

2

【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导

数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.

3.(2022•全国•统考高考真题)已知函数〃无)=打热一el

(1)当。=1时，讨论Ax)的单调性；

(2)当x>0时，,求。的取值范围；

111,，八

⑶设"N*'证明：N+E+…+H5+).

【答案】⑴的减区间为(3,0),增区间为(0,y).

⑵*

⑶见解析

【分析】(1)求出广(X)，讨论其符号后可得“X)的单调性.

(2)设//(£)=xem-e*+l,求出/⑺，先讨论a时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法

讨论“(X)符号，最后就a<0结合放缩法讨论h(x)的范围后可得参数的取值范围.

(3)由(2)可得21nr<”！对任意的;">：!恒成立，从而可得1!!(〃+1)-111〃<-^^=对任意的〃eN*恒成立，

ty/n+n

结合裂项相消法可证题设中的不等式.

【详解】(1)当4=1时，/(x)=(x-l)e\则/'(x)=xe)

当x<0时，/'(x)<。，当x>。时，制x)>。，

故/(x)的减区间为(-°°,0),增区间为(0,+8).

(2)设/2("=入产—炉+1,则>(0)=0,

又”(x)=(1+依)e®-e",设g(x)=(l+ax)一e*,

则g'(x)=(2a+/x)e以—ex,

若〃>g,则g，(0)=2a—l>0,

因为g'(x)为连续不间断函数，

故存在％e(O,+8),使得Vxe(O,Xo),总有g'(x)>0,

故g(x)在(0,飞)为增函数,故g(x)>g(O)=O,

故〃(x)在(0,3)为增函数,故3)>响=0,与题设矛盾.

若0<aV：,则〃(x)=(1+依)*-e*=^+ax]-e,

下证：对任意x>0,总有ln(l+x)<x成立，

证明：设S(x)=In(1+尤)—x,故S(x)=,----1=----<0,

故S(x)在(0,+8)上为减函数,故S⑺<S⑼=0即ln(l+x)<x成立.

由上述不等式有e5+m。+*)_/<-eA=e2ai-ex<0，

故"(x)W0总成立，即/z(x)在(0,+“)上为减函数，

所以/2(X)</2(0)=0.

当a<0时，有〃(x)=e侬一炉+,4<1—1+0=0,

所以/z(x)在(。,+8)上为减函数，所以/z(x)</2(0)=0

综上，a~'2,

(3)取a=g,贝i」Vx>0,总有尤:e'+l<0成立，

令If-_c>则f>l,f~=e*,x=21nf,

故2rln"/_i即21nf<—1对任意的f>l恒成立.

t

所以对任意的〃£N*,有21nJ"1<J"1-J"],

整理得到J：In(〃+1)-In〃</,

7rl+n

1__1+/J>In2-In1+In3-In2H---FIn(n+1)-In"

故Vl2+1+V22+2+

=ln(w+l),

故不等式成立.

【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处

导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.

4.(2024•广东•模拟预测)已知函数=-alnx,aeR.

⑴判断函数的单调性；

(2)若20恒成立，求a的值.

【答案】⑴答案见解析

(2)a=l

【分析】(1)先求出函数/(X)的导函数/'(无)；再分aWO和a>0两种情况，利用导数的方法分别判定单调

性即可.

(2)由(1)中函数单调性，当aWO时，根据函数单调性，以及/■⑴=0,可判断当xe(O,l)时，/(x)<0,

不符合题意；当。>0时，根据函数单调性，得至-alna,再令g(a)=a—l—alna(a>0),对其

求导，根据导数的方法求出其最值，即可结合题中条件求出结果.

【详解】(1)函数"力的定义域为(O,+8)"'(x)=l-£=?，

当aWO时，/(x)>0恒成立，/(X)在(0,+8)上单调递增.

当a>0时,由f'(x)<0,得x«0,a),由/'(x)>0,得xe(a,+oo),

则函数/(x)在(0,a)上单调递减，在(。,y)上单调递增.

综上，当aWO时，〃x)在(0,+8)上单调递增；当a>0时，〃x)在(0,a)上单调递减，在(a,内)上单调递

增.

(2)由(1)知，当aVO时,“X)在(0,+8)上单调递增，由"1)=0,知当xe(O,l)时，/(x)<0,不符

合题意；

当。>0时，函数“X)在(o,。)上单调递减，在(a,W)上单调递增，

故/(XLin=f(a)=a-i-a\na,

由恒成立，得°一1—alnaNO恒成立，令g(a)=a-l-alna(a>O),

求导得g'(a)=Tna,

当0<°<1时，g,(o)>0,当°>1时，gr(a)<0,

于是函数ge)在(0,1)上单调递增，在(1,+«)上单调递减,

所以g(a)max=g(l)=。,故g(a)=。一l-alna<。恒成立,

因此g(a)=O=g⑴,所以a=L

5.(2024•福建•三模)函数/(x)=(l—力固一工―1,其中。为整数.

⑴当。=1时，求函数/(尤)在x=l处的切线方程；

(2)当x6(0,+8)时，/(x)<0恒成立，求”的最大值.

【答案】(l)(e+l)x+y+l-e=。

(2)2

【分析】(1)根据导数的几何意义直接求解即可；

(2)当xw[l,+8)时，可得〃x)<o恒成立；当xe(o,l)时，转化问题为ln(x+l)-ln(l-x)-ax>0对于

xe(O,l)恒成立，设g(无)=ln(x+l)-ln(l-x)-依，xe(0,l),进而利用导数分析求解即可.

【详解】⑴当。=1时，f(x)=(l-x)ev-x-l,则〃1)=一2,

而尸(x)=—e，+(l-x)eA-l=-xeY-l,贝|-⑴=-e-1,

所以函数在x=l处的切线方程为>+2=(-e-

即(e+1)龙+y+l-e=O.

(2)当xe[l,+e)时,(l-x)em<0,则〃x)<0恒成立，

当xe(O,l)时，由〃x)<0,f#(l-x)eOT-x-l<0,

即e〃<」，则,vln±—=ln(x+l)-ln(l-x),

即ln(%+1)——双>。对于X£(O,1)恒成立，

设g(x)=In(x+1)-In(1-x)-办，XG(0,1),

则占-。2

T^~

当a42时，显然g'(x)>0恒成立，则函数g(x)在(0,1)上单调递增,

贝lJg(x)>g(O)=。，满足题意；

当a23时，令g'(x)<0,即，2,<a,解得0<x<Jl-2,

1-xVa

此时函数8(尤)在，。，/二)］上单调递减，

则g(x)<g(O)=O,不满足题意.

综上所述，。的最大值为2.

技法02用洛必达法则的解题技巧

洛必达法则，作为求解极限的一种工具，在特定条件下，通过分别对分子和分母进行求导，然后计算

极限，来确定未定式极限值的方法。关于洛必达法则的详细应用，通常在大学高等数学课程中介绍。在这

里，我们将以高中生能够理解的方式进行说明，以便于备考时使用。

。技巧_克M

洛必达法则：

法则1若函数/(无)和g(x)满足下列条件:

(1)lim/(x)=0及limg(x)=0；

(2)在点a的去心邻域内，/(X)与g(%)可导且g(x)W0；

⑶lim

x—>ag

半打皿不一。

那么lim

x—>ag(x)fg'(九)

法则2若函数/(x)和g(x)满足下列条件：

(1)=00及limg(x)=oo；

(2)在点a的去心邻域内,f(x)与g(%)可导且g'(%)W0；

(3)lim^二I,

%—g⑴

ff'(x\00

那么lim-=lim―4=/。一型

ig(%)％—g'(%)00

注意：

1.将上面公式中的X告a,XT9换成%f+00,8,%——。一洛必达法则也成立。

2.洛必达法则可处理-,-,0-oo,F,oo0,0°,oo-oo型。

000

3.在着手求极限前，首先要检查是否满足-,-,o-oo,r,8°,o°,s-8型定式，否则滥用洛必达法则会

0oo

出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

limdD=lim〃O=lim/q,如满足条件，可继续使用洛必达法则。

Iag(x)—ag(x)—ag⑴

技彼运用

Inx1Inxk

(全国高考)已知——+->——+-恒成立，求k的取值范围

x+1xx-1X

eInx1Inxk,2xlnx,、2xlnx

思路详解：解：-----1—>----1—k<------+1记g(x)—-----—+14,

x+1xx-1x1-x1-x

2任+1)1口X+2(1-/)2(炉+1

贝1Jg'(x)=

、X+1/

1_r2

t己A(x)=lnx+———

JC+1

,14x(1-x2)

则h(x)=——7—飞==一g〉0

X(1+%2)%(1+%2)

所以，h(x)在(0,+oo)单调递增，且h(X)=O

所以xe(O,l)时，//(%)<0,XG(1,+QO)时，h(x)>0

即g(x)在(0,1)上单调递减，在(l,4w)上单调递增

所以

2xlnx

k<lim(g(x)=lim+1

1-x2

2xlnx2+21nx

=lim+1=lim+1=1=0

x—>1l-x2x—>1-2%

所以k<0

分析

QYInxC)

上式中求lim-一；+1用了洛必达法则当x-1时，分子2xlnx-0,分母1—V—0,符合-

不定形式，所以lim^^=lim2+21nX=-1

x-l1-xXT-2x

'支式1.(全国高考)Vxe(0,+oo),ex-1-x-ax2..Q恒成立，求a的取值范围

cex-x-1

思路详解：解：e*—1—%—cix..0u<---------

x

px—x—1

记g(x)=­L，

X

[，/、xex—2e'+x+2

则(?(%)=--------3-------------

X

记h(x)=xex-2ex+x+2

贝ijh(x)=xex-ex+1

h(x)=xex>0

所以，h(x)在(0,+oo)单调递增，所以(0)=0

所以，h(x)在(0,+8)单调递增，所以h(x)>h(0)=0

即在(0,+co)上g'(x)〉0,所以g(x)在(0,+8)上单调递增

所以

ex—x—1=lim-^-^=lim—=-

a<limg(x)=lim

2

%fox->0XXf02xXfo22

所以a<—

2

＞重式2.（天津高考）\/%£[0,+8）,%-111（%+1）＜依2恒成立，求〃的取值范围

左刀工/，2、1ln(x+l)

思路详解:解：x—ln(x+1)axci---

XX2

1ln(x+l)

记g(x)=

xx2

X2+2x

+21n(x+l)

则g（九）=一工±1

X3

t己/z(x)=-X+^X+21n(x+l)

x+1

则/z(x)=-

(X+1)2

所以，当xe[0,+oo)时，/i(x)<0,h(x)单调递减,

所以/:(%)>/z(0)=0,即g'(九"0,

所以gmax(X)=l岬g(。)

所以

1

、/、r小、rln(x+l)

1——

Aln(+1)

=lim-f=lim—^±1=lim(X+1)=-

zox2x22

所以aN—

2

◎技法演秣

1.若不等式sin尤＞%-以3对于恒成立，求。的取值范围.

【答案】

6

【分析】由题设有”>七产在上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性、洛必达法则求右侧

的极限，即可得参数范围.

【详解】当时，原不等式等价于。>七詈.

记个)=安，则八M3sinx-xcosx-2x

1己g(%)=3sinx-xcosx—2x,贝|g'(x)=2cosx+xsinx-2.

因为g"(%)=xcosx-sinx,gw(x)=-xsinx<0,

所以g〃(x)在［o,，)上单调递减，且g〃(x)<0,

所以g")在1o,3上单调递减，且g'(x)<0.

因此g(x)在上单调递减，且g(x)<0,

故/(x)=息?<0,因此/(X)=七岁在1°，父上单调递减.

0/、Tx-sinxr1-cosxrsinxcosx1

由洛必达法则有limf(x)=hm---=hm=hm--=hm^—=-,

x-ox-ox53x26xx->o66

即X趋向于O时，/(尤)趋向J,即有

66

故aj时，不等式sinx>尤-加对于恒成立.

2.已知函数/1(X)=x(e*-I)-。/.

⑴若"X)在尤=-1时有极值，求函数/(X)的解析式;

(2)当尤20时，/(%)>0,求。的取值范围.

【答案】⑴〃尤)=尤(/一1)一白2

(2)</<1

【分析】小问1：由/'(-1)=。可得。的值，进而可得尸(x)表达式，然后进行检验符合条件即可；

小问2：根据题意可得e:ar-120对于x»0恒成立，令g(x)=3,只需8⑺疝后即利用导数分析g(x)

的单调性结合由洛必达法则，则最值即可求解.

【详解】(1)因为/(元)=%(。"一1)一以2,所以尸(x)=e"—l+xe"—2〃x,

由/(X)在X=T处取极值，得广(-1)=。，求得a=g,

当x<-L时，/'(x)=(e，_l)(尤+1)>0；当x>—l时，/(无)=(e*_l)(尤+1)<0；

则了⑺在尸-1时有极大值，符合题意，

所以/(无)=x(e*-1)-g尤2；

(2)当兀20时，/(%)>0,即x(ex-1)>ax2.

①当x=0时，aeR；

②当了>0时，x(e%-1)>ax2等价于ex-l>ax,也即“W-——-.

x

记g(x)=巨二1,xe(0,+8),则g，(x)=l£二吃上1.

XX

记/z(x)=(x-l)e%+1,XG(0,+OO),则〃(%)=xe龙〉0,因此/?(%)=(x—l)e“+1在(0,+8)上单调递增，且

〃(x)>〃(0)=0,所以g，(x)=^>0；从而g(x)=£zl

XX

在(0,+8)上单调递增，所以aWlim史二L

X

xx

e_1e

由洛必达法则有：limg(x)=lim----=lim一=1,即当时，g(x)―>1,所以

%—>0X—>0x%—>0］

g(x)>1,即有aWl,

综上所述，当。<1,xNO时，成立.

3.(2024•浙江•二模)①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具一一洛必达法则，法则中有结论：若函

数〃X),g(x)的导函数分别为尸(x),g'(x),且蚓/(x)=^g(x)=o,则

../(x)f\x)

lim=lim7.

…g(x)…g(x)

②设4>04是大于1的正整数,若函数〃工)满足：对任意碇［0,。］,均有/(%)常］)成立,且映〃同=0,

则称函数〃尤)为区间［0,上的左阶无穷递降函数.

结合以上两个信息，回答下列问题：

⑴试判断〃x)=^-3x是否为区间［0,3］上的2阶无穷递降函数;

⑵计算：lim(l+%户；

XTO

(3)证明：<cosx,xe(7i,g7t；

【答案】⑴〃x)=V-3x不是区间［0,3］上的2阶无穷递降函数;

(2)lim(l+x)x=e

⑶证明见解析

【分析】(1)根据函数〃X)为区间［0，4］上的上阶无穷递降函数的定义即可判断;

(2)通过构造“(司=地(耳，再结合1加里=lim室即可得到结果；

…g(X)xiag(x)

(3)通过换元令令x-兀=/,则原不等式等价于tandsit?也巴再通过构造函数

根据题干中函数/■(*)为区间0弓上的左阶无穷递降函数的定义证出

即可证明结论.

【详解】⑴设尸(x)=〃x)-/传］=4/一［无，

\Zyo2

73

由于尸⑴=丁不<0,

oZ

所以“x”dm不成立，

故〃力=三-3x不是区间［0,3］上的2阶无穷递降函数.

(2)设g(x)=Q+x尸，贝11ng(x)=Jn(l+x)=［)，

设〃(x)=当"，

1

则「7/、Tln(l+x)「1+Y1,

limh(x)=lim----------=hm1十"=I

x—0x->0%x-0］

所以^^lng(x)=l,得lim(l+x)“=e・

%-»o

(3)令x-n=t,则原不等式等价于tam-sin2r)/e(o,3,

口口、十tanZ•sin2Z、1(八兀)

即证一——>l,/e0,-,

、-1工/\tanrsin2r(八兀、(.、8tan--sin2—

记/⑺=/，，€［。，2)贝ntI［工

2

23cos—,

f(^)tanr-sinrt._____2__L

所