2025届高考数学一轮复习专练：空间直线、平面的垂直（含解析）

2025届高考数学一轮复习专题训练空间直线、平面的垂直

一、选择题

1.在正方体A3CD—中，P，。分别为5C，4片的中点，则异面直线PQ与4G所成角

的正弦值为（）

A.20B.lC.逅D.B

3333

2.如图所示，四棱锥p一ABCD中,PAJ_平面ABC。，且四边形ABCD为矩形,丛=AD=2AB=2"

D.1

2

3.若平面a，平面p,且m’（3=1,则下列命题中正确的个数是（）.

（1）平面c内的直线必垂直于平面/3内的任意一条直线.

（2）平面a内的已知直线必垂直于平面/3内的无数条直线.

（3）平面«内的任一条直线必垂直于平面（3.

（4）过平面«内任意一点作交线/的垂线，则此垂线必垂直于平面P.

A.3B.2C.lD.0

4.已知直线a,/?与平面a，（3,y,能使。_L/?的充分条件是（）.

A.B.aC0=a，bA_a,bu0

C.allp,allaD.alia,aI(3

5.已知e,，是两个不同的平面，羽为平面。内的一条直线，则“。”是m_1尸的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.如图，在棱长为2的正方体ABC。—44GR中，加为AD的中点，则异面直线31c与已“所

成角的余弦值为（）

且

C正D.

510

7.在正方体ABC。—中，棱的中点分别为&F,则直线E户与平面A544所成角

的正弦值为（）

ABC2yD

v~er~6~

8.在棱长为2的正方体ABCD—44GR中，E是GC的中点，则直线BE与平面48。所

成角的余弦值为（）

A26BC20D

5",亍r.亍

二、多项选择题

9.已知E,尸分别是三棱锥尸—ABC的棱B4，的中点，且PC=6，AB=8•若异面直线PC

与A3所成角的大小为60。，则线段.的长可能为（）

A-V7B.旧C.5D.国

10.在正方体ABC。—中石厂分别为ABI。中点，则（）

A.EP//平面D41G

B.DB[±平面D.EF

c.D[E与平面BB}D}D成角正弦值为正

6

D.平面DEF与平面ADD{\成角余弦值为2后

17

11.如图，直角梯形ABCD中,为AB中点，以。£为折

2

痕把△ADE折起，使点A到达点尸的位置，且「。=26一则下列说法正确的有()

A.。。，平面EDP

B.四棱锥P-EBCD外接球的体积为4G兀

C.二面角尸—CD—B的大小为巴

4

D.pc与平面EDP所成角的正切值为J5

三、填空题

12.若直线/的方向向量与平面a的法向量的夹角等于120。，则直线/与平面a所成角的大小为

13.过△A5C所在平面a外一点尸，作PO_LiZ,垂足为。，连接力，PB,PC.

⑴若PA=PB=PC,则点。是△ABC的心.

⑵若PA=PB=PC,ZC=90°,则点。是AB边的点.

(3)若尸5,PBLPC,PC±PA,垂足都为P,则点。是△ABC的心.

14.已知直线°,6和平面a,且a_LZ?,a-La,则6与e的位置关系是.

四、解答题

15.如图，在四棱锥P—ABCD中，平面从DJ_平面ABCD，PA1,PD，PA=PD，

ABLAD，AB=1，A£)=2，AC=C£>=

p

⑴求证：PD_L平面pAB；

(2)求直线pg与平面PCD所成角的正弦值；

⑶在棱以上是否存在点使得6M//平面PC。？若存在，求耳的值；若不存在，

说明理由.

16.如图，在三棱锥O—ABC中，OA,OB,0c两两垂直，OA=OC=3,06=2.求直线。8与

平面ABC所成角的正弦值.

17.在平行六面体ABC。—4耳£。|中，AB=AC'平面84cle，底面ABCD，点M是线段441

的中点，点尸是线段的中点.

(1)求证：Af?/平面MBG；

(2)求证：AF1DDl.

18.如图，在三棱锥ABC—A4G中,/B4C=90°,A5=AC=2，AA=4,A,在底面ABC的射影为

8C的中点Q为A。的中点.

C,

(1)证明：a。，平面ABC；

(2)求直线AyB和平面5片。£所成的角的正弦值.

19.已知A,B两点在平面«的同侧，且它们与a的距离相等，求证：直线

参考答案

I.答案：C

解析：取AB中点M，连接QAf，MP，AC'设正方体的棱长为2,

由于尸分别为AB，的中点，则MP//AC

又在正方体中，由于AC〃4C],因此可得故NQP”或其补角即为异面直线PQ与A。

所成角，

因为QM〃A4j，所以QM_L平面ABC。，MPu平面ABC。，故

在直角三角形QMP中，

A/6

sinZQPM=^—

QP

故选:C

2.答案：B

解析：如图，过点。作ZW_LCM于点N,

因为QA平面ABC2CDu平面48C2所以Q4_LCD，

又四边形A8CZ)为矩形,AD_LCD，QAAD=A，Q4,ADU平面AM。，

所以CD_L平面AWQ,因为A/y/u平面A/。，所以CD_LAAf,

在△EW中,m=仞=2，n为尸。的中点，所以AA/LPD且DM==PD=B

2

又PDCD=DPD,CDu平面COM,所以_L平面CDM,

因为AMu平面ACM,所以平面CDM_L平面ACM，

因为平面COM平面

所以£)NJ_平面ACM，所以C。与平面ACM所成的角为NDCM-

因为CD，平面AMD，DMu平面AMD，所以CD_LDM，

在RtACDM中,cos/DCM=0=，==—.

CMNCD、DM?3

故选:B.

3.答案：B

解析：①平面e内取与/平行的直线，不垂直于平面13,故①错误；

②当平面e内取平行于交线的直线时，该直线与平面/3平行，故②错误；

③取平面/3内无数条与交线垂直的直线，平面«内的已知直线与这无数条直线垂直，故③正确;

④若«内的任意一点取在交线I上，所作垂线可能不在平面«内，所以不一定垂直于平面13,

故④错误.

故选：B.

4.答案：D

解析：A；a,(3相交但不垂直时，也有tz_L7,/?±7,故不成立.

B：不能确定。，故不能得到故错误.

C：平行于同一条直线的两个平面有可能平行，也有可能相交，也有可能不垂直，故错误.

D：因为。〃1，所以存在直线Z?〃a,bua,又cr_L，，所以所以o_L，，故正确.

故选：D.

5.答案：B

解析：当。J_，时，平面a内的直线机不一定和平面P垂直，但当直线，"垂直于平面!3时，根

据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故是“ml/3”的必要不充分条件.

6.答案：A

取4A的中点N，连接MNRN，

则MNIADIIB'C，

则ZD.MN为异面直线所成的角或其补角,

易求MN=/i,D]M=D[N=后,

2+5-5_1yflO

cosND[MN=

2声义百屈一10

故选：A

7.答案：B

解析：连接£B，在正方体ABCD—A4G。]中,30,平面A344,棱的中点为区

则BE_L平面ABB14，而斯u平面ABB[4，故5石_L5尸，

则ZEFB即为直线EF与平面ABB14所成角，

设正方体棱长为2,则BE=1,BF=尸+BF=JE=6,

则EF={BF、BE2=屈'故sin/EFB=^=、=£~.

EFV66

8.答案：D

解析：以。为坐标原点，加为x轴，℃为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系,

则D(0,0,0),5(2,2,0),4(2,2,2),£(0,2,1),

BD=(-2,-2,0)，BB]=(0,0,2)-BE=(-2,0,1)，

n-BD--2x-2y=0

设平面用8。的法向量为〃=(x,y,z)，则＜

n-BB】=2z=0

令y=l,得％=一1，z=0，所以〃=(-1,1,0)，

/一\BEr\A/7n

故cos(3E,〃)=一^=—,设直线BE与平面所成角为°,

'/BE\\n\5

则sin0=，所以cos0-Vl-sin20=•

55

故选：D

9.答案：BD

解析：如图，取AC的中点”,连接EH,切,

因为瓦尸分别为必，的中点,FC=6,AB=8,

所以AB//HF,HEIIPC,HF=4,HE=3,

所以异面直线PC与AB所成的角即为/瓦田(或其补角),

所以ZEHF=60°或ZEHF=120°.

Hp2+HF2-FF29+—,解

当/EHF=60°时，根据余弦定理的推论得cosNEHF=----------------------

2HEHF

得EF=屈;

HF2+HF2-FF29+16-EF2_1

当ZEHF=120°时，根据余弦定理的推论得cosNEHF=----------------------

2HEHF24--2

解得EF=病.

故选BD.

10.答案：ACD

解析：令正方体棱长为2,构建如下图示的空间直角坐标系,

则E(l,0,0),F(2,l,0),C(2,2,0),£>(0,2,0),A(0,0,2),Bl(2,0,2),£(2,2,2),Dl(0,2,2)

所以=(0,—2,2)，AG=(2,2,0)，若面DA,G一■个法向量为冽=(x,y,z)，

则<，取y=L则加=(-1,1,1)，而女'=(1,1,0)，

46.加=2x+2y=0

所以EF•m=0，即J_加汉跖•面041G，故EFU平面DA^,A对；

DXE=(1,—2,—2)，所=(1』,0)，若面，EF一个法向量为n=(a,b,c)，

n.[D.E-n=a-2b-2c=0„n,工____.

则1，取a=2,则〃=(2,—2,3)，而=(2,—2,2)，

EF-n=a+b=0

所以不存在九eR使DBXWAn，故DBl±平面DXEF不成立,B错；

由正方体性质知：55]，面ABCD,ACu面贝IBBX±AC,又BgAC，

BB[BD=B,BB「BDu面BBRD，则AC上面BBRD,

所以AC=(2,2,0)是面33QQ的一个法向量,〃石=(1,—2,-2)，

AC•RE

则*与平面BBRD成角正弦值为cosAC,D.E|=|__2__也,C对;

,。怜同272x36

由/=(1,0,0)是面ADD^的一个法向量,〃=(2,-2,3)是面D}EF的一个法向量,

2=MI,D对.

平面D]EP与平面A。。4成角余弦值为cos«,/1=|=———

\n\\l\lxV1717

故选：ACD.

11.答案：ABC

解析：对于选项A：因为E为A3中点，由题意可得：BE=CD，BE"CD，

所以四边形EBCD为平行四边形，

且则四边形矩形，所以CD!_£>£，

因为PD=AD=yf^¥=2&，CD=2，PC=26，

可知尸£)2+c£)2=2。2,即8，电)，

且尸。OE=£>，「£)，£>£U平面EDP，

所以CDJ_平面EDP，故A正确；

对于选项B：因为BCHDEABAE^DE^PE^DE>

又因为CD_L平面EDP，PEu平面EDP，所以CD_LPE，

且CDDE=D，CD，DEu平面EBCD，可得PE工平面EBCD；

可知矩形EBCD的外接圆半径r=-x@+22=V2，

2

则四棱锥尸—EBCD的外接球半径R==J2+1=y/3

所以四棱锥P—EBCD外接球的体积4后，故B正确；

3

对于选项C：因为coJ■平面EDPPDu平面EDP，则PDLCD；

又因为£)£_LC。，可知二面角尸—CD—B的平面角为NPDE，

jr

因为QE，DE，PE=r)E=24iJNPOE=-，

-4

所以二面角p—CD—B的大小为巴，故C正确;

对于选项D：因为CDJ_平面EDP，所以NCPD即为直线PC与平面瓦)尸所成角,

又因为CDLPD，PD=26，CD=2,

可得tan/CP。=8=」==—，

PD2722

所以直线2°与平面团p所成角的正切值为正，故D错误.

2

故选：ABC.

12.答案:30°/-

6

解析：因为直线/的方向向量与平面a的法向量的夹角等于120°，

所以直线I所在直线与法向量所在直线夹角为60。，

所以直线/与平面a所成角的大小为90。—60°=30°・

故答案为：30。

13.答案：(1)外心

(2)中点

(3)垂心

解析：(1)如图，因为PO_Le,

所以POJ.AO,POLBO,

故NPO4=NPOB=90°,

又PA=PB,PO=PO,

所以△PQ4g△POfi,

故可得Q4=O5,

同理可得：OA^OC,

所以点。是△ABC的外心；

(2)由(1)可得点。是△A5C的外心，

又因为NC=90。，

根据在直角三角形中，斜边的中线是斜边的一半，

得到点。为斜边的中点，

即为A8边的中点；

(3)因为PBLPC,且PC=P,

PA,PC<=平面PAC,

所以。6，平面PAC,

所以

因为,

所以POJ.AC,

又PBPO=P,

PB,POu平面PBO,

所以ACJ_平面PBO,

所以50J.AC,

同理可得：COLAB,AOLBC,

故，点。是△ABC的垂心.

14.答案：bua或blla

解析：当bua时，a±a,则a_L/?,当ZV/o:时，aLa,则a_LZ?；

故当a_L/?,a_La时，有bua或blla.

故答案为：bua或blla.

15.答案：(1)证明见解析；

⑵在；

3

⑶存在，^L=L

AP4

解析：(1)因为平面上401.平面

所以AB，平面以。，

所以ABLPD，

又因为B4_LPD，

所以PDL平面以3

(2)4。的中点0,连结PO,CO

因为Q4=PD，所以POLAD.

又因为尸Ou平面心。,平面上M>_L平面ABCD

所以PO_L平面ABCD

因为COu平面ABCD,

所以POLCO

因为AC=CD,所以COJLAD.

如图建立空间直角坐标系O-孙z,由题意得,

A(O,1*O),B(l,l,0),C(2,0,0),0(0,-1,0),P(0,0,l)

设平面PCD的法向量为〃=（羽Hz）,

则$卜如=°即已—2：；，

n-PC=0[2x-z=0,

令z=2,则x=l,y=-2.

所以八=（1,一2,2）

又PB=（1,1,-1）,

所以cos<n,PB>=-----------=-------.

\n\\PB\3

所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为B.

3

⑶设”是棱必上一点，则存在2G[0』使得AM=AAP

因止匕点M（0,l—九九）,询=（—1,一

因为平面PCD,

所以BM7/平面PCD当且仅当BMn=0,

即（―L—2,2）=0,解得

所以在棱以上存在点M使得〃平面PCD,此时要=；

AP4

“〜3717

16.答案：——

17

解析：构建以。为原点，OB,0C,Q4为x、y、z轴的正方向的空间直角坐标系，如图所示,

A(0,0,3),5(2,0,0),C(0,3,0),则AB=(2,0,-3),AC=(0,3,—3),OB=(2,0,0),

ABm=2x-3z=0

若帆=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量，则v

ACm=3y-3z=0

令y=l,则机=[m，1,11,

OBm33^7

coslOB,m

\OB\\m\2"一17

2

故直线OB与平面ABC所成角的正弦值为之叵.

17

17.答案：(1)见解析；

(2)见解析

解析：(1)取BQ的中点G