2025届高考数学二轮复习专项训练：空间向量与立体几何（含解析）

2025届高考数学二轮复习专题训练空间向量与立体几何

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.直线/:x+3y+2=0的一个方向向量为（）

A.（3,—2）B.（-3,l）C.（1,3）D（3,2）

2.《九章算术》是我国古代数学名著.书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.

如图,在阳马F-A5CD中,QA平面ABCD，底面ABCZ）是矩形，及尸分别为PD,PB的中点,G为直

线CP上的动点,B4=2，AB=1，若平面EFC测空=（）

CP

"C

A.±2B.r3c.-4lD.1

7777

3.棱长为1的正四面体ABCD中，点片是A。的中点，则丽.屈=（)

A

C

A.lB.-lC.BD._V[

4444

4.已知四面体ABCD中,AB，BC，3。两两垂直,BC=BD=41AB与平面ACD所成角的正切值

为L,则点8到平面AC。的距离为（）

2

A.6A2百C.叵D.2亚

2355

5.关于空间向量，以下说法正确的是（）

A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量不一定共面

B.己知向量｛a,瓦c｝组是空间的一个基底，贝!也是空间的一个基底

—.2--1--1—.

C.若对空间中任意一点。，有AP=——OA+-OB+-OC,则P,A,B,C四点共面

362

D.若£出＜0,则7,B的夹角是钝角

6.如图，空间四边形0ABe中，OA=a,OB=b,反=m，点M在0A上，且为。4上靠近A

点的三等分点，点N为8c中点，则而等于（）

H.-a+—b--c

222

2一21_2一21一

C.—ciH—brcD.——a+—br---c

332332

7.已知。为空间任意一点，A,B,C,尸四点共面，但任意三点不共线.如果加二加幅+砺+花,

则m的值为（）

A.-2B.-1D.2

8.在四棱锥尸—A5CD中，底面A5CD是正方形，E是尸。的中点，若可=方，PB=bfPC^c,

AB

1-1r1-

A.—a——b+—cB.~a--b——c

222222

c1f3f1-D」一+1

C.-G,—bH—c

222222

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

,

9.已知空间单位向量6］，e。，63两两互相垂直，设a=q+e,+2e3,b=e1+e2—e3

工=4+心2k，则下列说法正确的有()

A.£与B的夹角为三

B.(2c+a)//b

CJ，%夹角的余弦值为述

3

D.-,6,2不可以作为基底来表示空间中的任意一个向量

10.下列说法命题正确的是()

A.已知£=(0,L1),B=(0,0,—1)，则Z在，上的投影向量为(0,0,1)

B.若直线/的方向向量为工=(1,0,3)，平面a的法向量为3=1—2,0,,则〃/&

C.已知三棱锥0—至。，点P为平面ABC上的一点，且无=,次+机砺—〃阳”,/eR),则

2

1

m—n=—

2

D.若向量万=根［+4+公(3亍，)是不共面的向量)则称,在基底任；3｝下的坐标为(〃2,",女),

若万在基底值及口下的坐标为(1,2,3)，则方在基底｛£—瓦£+反耳下的坐标为

11.如图，在平行六面体ABCD-44G。］中，AB=AD=AA=1,AB±AD,

/44。=，4钿=60°，尸为4。与A2的交点，设通=G,AD=b,丽=工贝U()

A.ACy=a+Z?—cB.BD]——a+Z?+c

_.—.5

D.ACPC=-

c网=：14

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图，正三角形ABC与正三角形所在的平面互相垂直，则直线Q）与平面AB£）所成角的

正弦值为.

13.如图，在四棱柱ABC。-中，底面ABC。是平行四边形，点E为30的中点，若

~A^E=xA^+yAB+zAb^x+y+z=

14.如图，在三棱柱ABC—45cl.中，所有棱长均为1,且A、，底面ABC,则点4到平面ABC1

的距离为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱底面ABC。，PD=3,AD=2,

DC=26，E是PC的中点.

⑴求证：B4//平面皮)E；

(2)求平面DEB与平面DEC夹角的余弦值.

16.如图，AW/BC且AD=2BC=2,ADVCD,平面AOGE，平面ABCD,四边形AOGE为

矩形，CDIIFG豆CD=2FG=2.

⑴若M为CT的中点，N为EG的中点，求证：肱V〃平面CZJE；

⑵若CF与平面ABCD所成角的正切值为2,求直线AD到平面EBC的距离.

17如图，在三棱台ABC-A^B.C,

中,AB-AC=2ABi=2AAi=4-\/2，=Z-A^AC——,Z.BAC=—•

(1)证明：

⑵求点B到平面AACC]的距离.

18.如图，在梯形ABC。中，AB//CD,AD=DC=CB^1,ZABC=60°,四边形ACPE为矩

形，平面ACEE，平面ABCD,CN=1,点M是线段EF的中点.

(1)求平面肠出与平面所成锐二面角。的余弦值；

(2)求出直线CD到平面MAB的距离d.

19.在平行六面体ABCD—4耳£。1中，设通=£,AD=b,A4=c,E,尸分别是5。的

中点.

⑴用向量〃，b,c表示D]B,EF；

(2)若〃尸=%。+丁6+2。，求实数x,y,z的值.

参考答案

1.答案：B

解析：直线/：%+3丁+2=0的斜率为左=—；,因此/的一个方向向量为］1,—；］,

而向量(—3,1)=—3，,—g］,则(一3,1)是直线/的一个方向向量,B是；

其余选项所给向量与向量［1,-都不共线,ACD不是.

故选:B

2.答案：B

解析：因为平面ABCZ),底面ABCD是矩形，在A处建立空间直角坐标系如图所示:

设AD=a，则A(0,0,0),P(0,0,2),C(1,a,0),E(0,0,1)，

EF.〃二0

设平面EfC的法向量为7=(羽.2),则1—,_,

-ECn=O

即J22，令x=a,得y=l，z=W，所以法向量为3=(/1,四),

a22

x+—y-z=(J

[2'

设而=2正，因为和=经+而=/+/1定=(%。42—2/1)，

4a%2—2X

因为AG,平面所C,则衣〃储所以"=7=3-，解得4=—，

T7

则生"

CP7

故选：B.

3.答案：A

解析：因为赤=ex+z后，

所以丽.在=丽•（而+荏）=丽.回+丽•亚，

又网=1同=1,麻卜g,（丽，⑸=],例，通〉=g,

__»__»>rr1217r1

所以BACE=1x1xcos—+1x—xcos——二­•

3234

故选：A.

4.答案：D

解析：以3为原点，5C，BD，B4所在直线分别为％、y、z轴建立空间直角坐标系,

如图所示:

设出=/">0,6（0,0,0）,0（行,0,0）,。（0,0,0）,4（0,0,。,荏=（0,0,-/）,

CA=（-V2,0j）,CD=（-V2,A/2,0）.

设平面AC。的法向量为3=（尤,y,z），

则[啊=-食+<。，—z上，故屋储，叵・

nCD--V2x+V2y=0tI，，

因为直线AB与平面AC。所成角的正切值为L,

2

所以直线A3与平面ACD所成角的正弦值为逝.

所以平面ACD的一个法向量n=

2

7

V2_2A/5

故B到平面ACD的距离为a=问=i]]=y—

N1+1+2

故选：D.

5.答案：C

解析：对A,若两个向量是共线的，

由于空间任意两个向量一定共面，因此这三个向量一定共面，故错误;

对B,因为(a-c)-(a-B)=B-c,

所以£—a-b,B—"共面，不能构成基底，错误；

对C,对OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=l),

则P,A,B,C四点共面，

.2.1—.1——

由AP=——OA+-OB+-OC

362

可得而=为+存=」次+工期+,反，

362

且—I1—=1,所以尸，A>BiC四点共面，正确；

632

对D,若乙0<0,R,可可为兀，所以不一定为钝角，故错误;

故选：C

6.答案：A

解析：因为点加在。4上，

且为OA上靠近A点的三等分点，

__k9__k

所以丽=2施，所以蓝0=——OA,

3

.1-.

因为点N为8c中点，所以BN=—BC,

2

所以钢=板+南+丽=——OA+OB+-BC.

32

=--OA+OB+-(W+OC]=--a+-b+i-c

32、>322

故选：A

7.答案：A

解析：因为斑=而_丽,

所以由BP=mOA+OB+0C

得而—砺=机砺+砺+反，

即赤=加次+2砺+元，

因为。为空间任意一点，A,B,C,P满足任意三点不共线，且四点共面,

所以m+2+1=1,故加=一2.

故选：A.

8.答案：C

解析：BE=PE-PB=-PD-PB

2

=^(PB+W)-PB=^(BD-PB)

=1(BA+BC-PB)=1(R4-PB+PC-PB-PB)

1—.3—•1—■13-1

=-PA--PB+-PC=-a--b+-c

222222

故选：C.

9.答案：CD

解析：A选项，因为空间单位向量工,［两两互相垂直,

所以

故a•B=(6+02+2e3)•(q+e2-63)=G+2,,弓+q•6+，2+，2.，3-2、

=12+0+0+12+0-2=0>故£与B的夹角为5，A错误；

B选项，2c+a=2q+2%-4G+q+e2+26=3e1+34-2e3，

又^二^十与一%，设22+£=46，

2=3

则3q+3%-2%=彳卜1+4-，所以<2=3，无解,

—A——2

故正+£与五不平行，B错误；

C选项，/?•C=(,+4—/)•(,+,2-2/)

-2一一►一一►—-2—►—►—2

=,+2。,e?—3,,q+4-3弓•/+2/

=1+0—0+1—0+2=4,

一一一一一一一一

其中丁=何+区—矶2―>22►►

2=6]+4+，3+2耳•4_2q•a_2^•%—3，

则W=5/3，同理得卜卜jd，

b-c42V2

故5,夹角的余弦值为,C正确;

e

D选项，设〃=mb+nc，即i+4+2/=m(ex+e2—e^+n(^ex+e2—

m+fl=1,解得,JYI—4

则，故〃=4石一3°，所以a，B，0共面，

—m—2n=2n=-3

7，B，)不可以作为基底来表示空间中的任意一个向量，D正确.

故选：CD

10.答案：ACD

解析：A选项，商在.上的投影向量为

a-bb_(0,1,1)-(0,0，T(0,0,T

=(0,0,1),A正确;

bb11

B选项,3)=(L0,3)(_2,0,g2

——2+3x—=0，故.।,

/〃a或/ua,B错误;

C选项，点P为平面ABC上的一点，设衣=sAC+tAB，

即丽一C5=s双—储X+丽―苏，

所以加=(1—ST)砺+t丽+S玄,

又办=工砺+根砺一〃觉,

2

,1

1-5-/=—

2

故＜m=t，故7〃—〃=/+s=l=—,C正确;

22

s=—n

D选项，由题意得万=£+2石+3工，

设p=X](〃―万)+X(〃+B)+Z[C=(%+%)〃+(%—2)5+Z1C,

1

玉+X=1

3

则%-X]=2，解得<

“1=3

4=3

下的坐标为1―g,|,3；D正确.

则p在基底<a—b,a+b,c

故选：ACD.

11.答案：BD

解析：A：AQ=AB+BC+CQ=a+b+c,故A错误；

B：BDX=BD+DDX=AD—AB+=—a+b+c>故B正确;

C：a-b=0,&-c=|&||c|cos60°=,ac=|a||c|cos600=^-

又无="+灰=启+通+友=—g.+而+灰,

=--AA,--All+AD+DC=a+-b--c

242122

所以附卜《日+京-91，

=.la*2+—b2+—c2+-a-b--a-c-—b-c=-,故C错误;

V442222

D：AC[-PC=(a+b+cy^a+^b-^,

=a2+—b~-—c2+-a-b+-a-c=-,故D正确.

22224

故选：BD

12.答案：

55

解析：取的中点。，连接A。，D0,建立如下图所示的空间直角坐标系。-肛z，设BC=1，

则«0,0岑；，3(0,—；,()］，c(o,g,o］，-,o,oj

所以丽=((),，,立］,BD=f—,-,o\CD^［-

l22JI22JU22J

五.与x二o

设平面A3。的法向量为为=(%,y,Z)，贝乂—.，

［n-BD=0

一+g=0

所以V22,取X=1，则y=—5/3，z=lf所以力=(1,—1),

鸟+L=。

122,

万,西—岳

不妨设直线CD与平面AB。所成角为。，所以sin8=

从而直线o)与平面AM所成角的正弦值为姮.

5

故答案为：叵.

5

13.答案：0

解析：在四棱柱ABCD—4用£2中，底面ABCD是邛一行四边形，点E为f

所以率=不+而+丽=不+通+；丽

=A^A+AB+-^^BA+Al5^=-A^+^AB+^Ai5

又+yAB+zAD

所以％=—l，y=Lz=L

22

即x+y+z=O.

故答案为：0.

14.答案:

解析：以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示,

则A降;,o],5(0,1,0),4(。，1,1)，G(0,0,1)

I22J

_.(hl、一._,

所以CIA=—,-,-1,C1B=(O,l,-l),G4=(0,1,0),

(22J

设平面ABCl的法向量为n=(x,y,z),

fV31

n-CA=0——x+-y-z=0

则，，即22-

n-CB=Q

xy—z=0

令x=l,则y=z=,故11=(\,#>,粗),

CB-nV3V21

所以点用到平面ABC,的距离为X{

n'1+3+3—7

故答案为:

不

15.答案：（1）证明见解析

解析：（1）连接AC,交BD于点、O,连接OE,

R

AB

因为ABCD是矩形，所以。是AC的中点,

又因为E是PC的中点，所以PA//OE,

因为A4a平面瓦出，平面3DE,

所以Q4//平面

（2）因为P£）_L底面ABCD,

ZMu平面ABC。，DCu平面ABC。，

所以PDLZM,PDLDC,

又所以ZM,DC,PZ）两两垂直；

因此以。为原点，DA,DC,所在直线分别为x轴。轴、z轴,

贝叫2,2百,0）,£＞（0,0,0）,其0,后日），C（0,273,0）

贝U丽=（2,2"0）

设平面。防的一个法向量为=（羽y,z）,

n-DB=2x+2y/3y=0

则h-DE-6y+gz=0

设z=2,则y=—百，l=3,则为=(3,—6,21

因为DALDC,DP^\DC=D,PD,DCu平面DEC,

所以平面。EC,

因此，平面。EC的一个法向量为万1=（2,0,0）,

设平面DE3与平面。EC的夹角为。，

|为•明63

则cos。=LI=°=-,

同1网79+3+4x24

3

所以平面DEB与平面DEC的夹角的余弦值为-.

4

16.答案：（1）证明见解析

⑵夜.

解析：（1）平面ADGE_L平面A8CD,

平面ADGEC）平面ABCD=AD,

GO，AD,GOu平面ADGE,

所以。G,平面ABCD,

CDu平面ABC。，所以。GJ_CD,

依题意，以。为坐标原点，

分别以两、DC,方存的方向为x轴，y轴，z轴的正方向

建立空间直角坐标系.

可得£>(0,0,0),4(2,0,0),5(1,2,0),C(0,2,0),

设DG=t,矶2,0/),F(0,lj),

G（0,0j）,加［°，|，：］，N（l,0j）.

设9=（%,y,z）为平面CDE的法向量,

DC=(0,2,0),DE=(2,0,?)

nDC=2y=0

则《0

n0-DE=2x+tz=Q

不妨令z=—2,可得%2)；

又MN

可得=t+0—t=0.

又•.,直线ACV(Z平面CDE,

：.MN//平面CDE-,

(2)VAD//BC,BCu平面E8C,平面EBC,

,/AD//平面EBC,：.AD到平面EBC的距离即A到平面EBC的距离,

由⑴知DG±平面ABCD,

即方不=(0,0/)是平面ABCD的法向量，

因CP与平面ABCD所成角0的正切值为2,

R.

则CE与平面A8CD所成角，的正弦2为*又CF=(O「lj),

\DG-CF\t2275

sin。=cos<DG,CF>|

=I网.而「赤?"I-

解得f=2,则点£(2,0,2),BC=(-1,0,0),BE=(1,-2,2),

设”=(%,%,zj为平面EBC的法向量,

n-BC=—x=0

由＜1

n-BE=-2y1+2zi=0

不妨令z】=l,可得3=(0,1,1),

\n-DC\

2

而庆^(0,2,0),则点D到平面EBC的距离h=।I,।

\n\

所以直线AO到平面EBC的距离为J5.

17.答案：(1)答案见解析

(2)8百

3

解析：（1）AB=AC=2A4=2A\=40，ZAiAB=Z^AC=]，

22

AB?=8+32—2义2攻x4也义;=24，...AB=AA^+AXB1.

222

同理AC?=8+32-2x272X4A/2x|=24,.-.AC=A4i+4C,.'.A41l^C,

ACCA5=4,ACu平面\CB,AjBu平面A,CB±平面AXBC,

：.AA_LgG

⑵;4A1平面ABC,BHu平面\BC.AA{LBH,

作5"，AC，ACuABC.Mu43C,AA1口4。=4,57/工平面ABC,

B到平面\ACCX的距离BH.△ABC中

A]B=A[C=2>j6-BC=S^S^AiBC=^AiCxBH=^BCx2s/2=8y/2,

杵幽

3

is.答案：（i）2叵

19

2757

（2——

19

解析：⑴因为在梯形ABC。中，AB//CD,

AD=DC=CB=1,ZABC=60°,

如图，过C作CG〃/4。交42于G,

则四边形AGCD是平行四边形.

可得ZM=CG=CB=Gfi=l,

AB=AG+GB=DC+GB=1+1=2.

在△ABC中，由余弦定理得AC?=452+802—2AB.BC.COS600=3,

所以AB?=4=4。2+5。2,得

又平面ACFEL平面ABCD,平面ACFEn平面抽。0=AC，

BC