2025北师大版八年级数学下学期第一次月考测试卷

2025北师大版八年级数学下学期第一次月考测试卷

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

测试范围：三角形的证明〜一元一次不等式与一元一次不等式组（北师大版）。

第I卷

一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。）

1.（3分）下列四个不等式：（1）ac>bc；（2）-ma<-mb；（3）ac1>bc1^（4）-ac,W-bc?中，能

推出的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（3分）若某不等式组的解集为-1<XW4,则其解集在数轴上表示正确的是（）

B.-1012345

C.-1012345

D.-1012345

3.（3分）在联欢会上，有A、2、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要

求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC

的（）

A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点

C.三边中垂线的交点D.三边上高的交点

4.（3分）已知x=2是方程等—3=x-1的解，那么关于x的不等式（2—会x<4解集是（）

A.x>-B.x>--C.x<--D.x<-

3333

5.（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则顶角的度数为（）

A.50°B.40°或130°C.50°或140°D.50°或130°

6.（3分）用反证法证明”在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，应先假设这个直角三角形中

()

A.有一个锐角小于45°

B.每一个锐角都小于45°

C.有一个锐角大于45°

D.每一个锐角都大于45°

7.（3分）某超市用1200元购进某种水果200千克，运输和销售的过程中有5%的正常损耗，要使销售利润

不低于20%,该水果每千克的售价至少为多少元？设该水果每千克的售价为x元，由题意列不等式，得

（）

A.（1+20%）x>------

200(1-5%)久一1200

>20%

C.(1+20%)x<^y(l-5%)

D.200(1-5%)x>1200(1+20%)

8.(3分)如图，NR4C为120°的等腰△ABC中，底边BC为35,OE垂直平分48于点则AE的长为

()

B.2+

'x-2(x-1)<3

9.（3分）若关于x的方程K-2x=3（左-2）的解为非负数，且关于x的不等式组<2k+x有解,

---->x

I3

则符合条件的整数上值的和为（）

10.（3分）如图，/MON=30°，点Ai,A2,A3,…在射线ON上，点Bi,B2,B3,…在射线上，△

A1B1A2,△A2B2A3,2XA383A4,…均为等边三角形.若。41=1,则△A2024B2024A2025的边长为（）

0AiA2A3

A.22°22B.22023C.22024D.22025

填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）写出定理”等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题.

12.（3分）若关于x的不等式2x-aWO只有3个非负整数解，则a的取值范围为

13.（3分）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小明设计了一种衣架，在使用时能轻

易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆。4=。8=20<?〃?，若衣架收拢时，ZAOB=60°,如

图2,则此时48两点之间的距离是cm.

图1图2

14.（3分）直线/］：与直线/2：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于尤的不等

式（h-ki）x+b>0的解集为.

15.（3分）如图所示的是3X2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.线段A8,的端点均在格

点上，线段AB,交于点O,则的度数为.

CB

16.（3分）如图，已知RtZXABC中，/B=90°,NA=60°,AC=12,点M、N分别在线段AC、AB上，

将△△断沿直线MN折叠，使点A的对应点。恰好落在线段上，当△OCM为直角三角形时，线段AN

的长为

c

三.解答题（共8小题，满分72分）

17.（8分）解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来.

2%-15%+1

(1)------->1；

32

%—3,

----1-6<%

(2)4

4-5(%-2)>8-2%

18.（8分）电信部门要修建一座电视信号发射塔P,按照设计要求，发射塔尸到两城镇A、8的距离必须相

等，到两条高速公路机和”的距离也必须相等.请在图中作出发射塔P的位置.（尺规作图，不写作法,

保留作图痕迹）

19.(8分)已知，AE平分/FAC,EFLAF,NAGE=90°,DE是8c垂直平分线，求证：BF=CG.

20.（8分）如图，在△ABC中，。是BC的中点，DELAB,DFLAC,垂足分别是点E、F,BE=CF.求证:

(1)平分/BAC.

（2）若△ABC的面积为84c〃/,AB=15cm,求。E的长.

A

21.（8分）阅读下列材料：

解答“已知x-y=2,且x>l,y<0,试确定尤+y的取值范围”有如下解法：

解：•：x-y=2.,

'.x—y+2.

又

：.y+2.>l.

：.y>-1.

又

-l<y<0.…①

同理，可得1<尤<2.…②

①+②，得-1+1<X+J<0+2.

即0<x+y<2,

：.x+y的取值范围是0<x+y<2.

请按照上述方法，完成下列问题：

（1）已知x-y=4,且x>3,y<l,则x+y的取值范围是；

（2）已知a-b=机，且关于x、y的方程组「"一'=-1中x<0,y>0,求a+b的取值范围（结果用含

m的式子表示）.

22.（10分）某超市准备购进A、B两种商品，进3件A,4件B需要270元；进5件A,2件B需要310元;

该超市将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元.

（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？

（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品

数量的一半，该商店有几种进货方案？

（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠机（10〈根〈20）元，B种商品

售价不变，在（2）的条件下，请设计出〃?的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方

案.

23.（10分）综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动,

如图1,已知△ABC中A8=AC,ZB=30°.将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ACE

（点D,E分别是点8,C的对应点），旋转角为a（0°<a<100°,设线段A。与BC相交于点线段

DE分别交BC,AC于点。，N.

特例分析：（1）如图2,当旋转到AOLBC时，求旋转角式的度数为

探究规律：（2）如图3,在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于

线段AN,请你证明这一结论.

拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角a的度数.

②在图3中，作直线BO,CE交于点P,直接写出当是直角三角形时旋转角a的度数.

图2图3

24.点C为x轴上一动点，连接BC,△ODC和△E8C都是等边三角形.

（1）求证:

（2）如图6,当点。恰好落在BC上时.

①求OC的长及点E的坐标;

②在x轴上是否存在点P,使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由;

③如图c,点M是线段BC上的动点（点8,C除外），过点于点G,MHLCE于点、H,当

点M运动时，MH+MG的值是否发生变化？简要说明理由.

2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷

基础知识达标测

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

考前须知：

1.本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。

2.测试范围：三角形的证明〜一元一次不等式与一元一次不等式组（北师大版）。

第I卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）下列四个不等式：（1）ac>bc-,（2）-ma<-mb-,（3）«c2>fec2；（4）-a/W-bc?中，能

推出的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】不等式两边同除以一个正数，不等式不变号，同除以一个负数不等式变号，结合选项可得出答案.

【解答】解：（1）因为ac>bc,所以cNO,但c大于。还是小于0,不能确定，即不能确定c为正数，故

不能得出故错误；

（2）因为-〃步，所以但“2大于0还是小于0,不能确定，即：不能确定出-“Z为负数，故

不能得出a>b,故错误；

（3）因为砒2>尻2,所以02/0,即：0?必为正数，故可得出a>6,故正确；

（4）-42忘-儿2中，不能得出-°2为负数，故不能得出。>从故错误；

综上可得（3）正确.

故选：A.

2.（3分）若某不等式组的解集为-1<XW4,则其解集在数轴上表示正确的是（）

B.-1012345

C.-1012345

D.-1012345

【分析】将解集表示在数轴上即可，注意端点是空心还是实心.

【解答】解：不等式组的解集-1<XW4在数轴上表示如下：

■,■>

-1012345

故选：B.

3.（3分）在联欢会上，有A、8、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要

求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC

的（）

A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点

C.三边中垂线的交点D.三边上高的交点

【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离

相等可知，要放在三边中垂线的交点上.

【解答】解：二•三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等，

...凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当.

故选：C.

X+an

4.（3分）已知尤=2是方程三--3=x-1的解，那么关于x的不等式（2—5）x<4解集是（）

A.x>-B.x>--C.x<--D.x<-

3333

【分析】把X=2代入方程求出G的值，再将a的值代入不等式求出解集即可.

【解答】解：把x=2代入方程得：等—3=2-1,

解得：4=10,

把4=10代入不等式得：-3x<4,

4

解得：x>-

故选：B.

5.（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则顶角的度数为（）

A.50°B.40°或130°C.50°或140°D.50°或130°

【分析】分高在三角形的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可.

【解答】解：如图，当高在三角形的内部时：

D

-----------------C

由题意得：NAOB=90°,NA3O=40°,

.•.NA=50°；

当高在三角形的外部时，如图：

由题意得：ZABD=40°,

；./BAC=130°；

故选：D.

6.(3分)用反证法证明”在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，应先假设这个直角三角形中

()

A.有一个锐角小于45°

B.每一个锐角都小于45°

C.有一个锐角大于45°

D.每一个锐角都大于45°

【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即

可.

【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，

应先假设每一个锐角都大于45°.

故选：D.

7.(3分)某超市用1200元购进某种水果200千克，运输和销售的过程中有5%的正常损耗，要使销售利润

不低于20%,该水果每千克的售价至少为多少元？设该水果每千克的售价为x元，由题意列不等式，得

()

1200

A.(1+20%)x>

200

200(l-5%)x-1200

B.>20%

1200

C.(1+20%)x<^^(l-5%)

D.200(1-5%)x>1200(1+20%)

【分析】根据题意可得，这批水果可卖200(1-5%)%元，根据“这批水果至少获得20%的利润”即可列

出不等式.

【解答】解：设该水果每千克的售价为x元，

根据题意所列不等式为200(1-5%)X^1200X(1+20%),

200(l-5%)x-1200

即-----------------=20%

1200

故选：B.

8.(3分)如图，N5AC为120°的等腰△A5C中，底边BC为31,OE1垂直平分AB于点。，则AE的长为

()

A.213B.2+13C.[3D.313

【分析】依题意得N5=NC=30°,根据。石垂直平分A3得则NE43=N5=30°,进而NCAE

=90°,再根据直角三角形的性质得CE=2A£则BC=3AE=3,据此可得AE的长.

【解答】解：・・・NA4C=120°,ZVIBC为等腰三角形，

1

：.ZB=ZC=-x(180°-ZBAC)=30°,

2

YOE1垂直平分A3,

:・AE=BE,

：.ZEAB=ZB=30°,

：.ZCAE=ZBAC-ZEAB=12O°-30°=90°,

在RtZkACE1中，ZC=30°,

：.CE=2AE,

：.BC=BE+CE=AE+2AE=3AEf

•.•底边8C为3JI,

：.3AE=3^3,

：.AE=^3.

故选：C.

(x—2(%—1)43

9.(3分)若关于x的方程K-2x=3(左-2)的解为非负数，且关于x的不等式组12k+x有解，

\r^-x

则符合条件的整数上值的和为()

A.2B.3C.5D.6

(x—2(%—1)43

【分析】根据关于X的方程k-2x=3Ck-2)的解为非负整数，且关于x的不等式组］2k+x有解,

〔廿无

可以求得％的取值范围，从而可以求得符合条件的整数上的值的和，本题得以解决.

【解答】解：由方程女-2%=3(左-2),得％=3-左，

•・•关于元的方程女-2x=3(k-2)的解为非负整数，

・・・3-左20,得kW3,

x—2(%—1)<3①

由①，得％2-1,

由②，得xWk,

(x—2(%—1)<3

・・,关于x的不等式组(2k+x有解，

I3

-1W匕得％2-1,

由上可得，-1WAW3,

・•・符合条件的整数上的值为：-1,0,1,2,3,

・•・符合条件的整数2的值的和为：-1+0+1+2+3=5.

故选：C.

10.(3分)如图，/MON=30°，点Ai,A2,A3,…在射线ON上，点的，比，B3,…在射线上，△

A1B1A2,Z\A232A3,△?1353A4,…均为等边三角形.若。41=1,则△A202432024A2025的边长为()

B3^M

B2

B^/\/\

OAiAiAiA4N

2024

A.22022B.22023C,2D,22025

【分析】根据所给图形，依次求出△A/〃Cn的边长，发现规律即可解决问题.

【解答】解：由题知，

•：/MON=30：Z\Ai81A2是等边三角形，

ZAiBiO=ZB1A1A2-ZMON=6Q°-30°=30°,

ZMON=ZAiB\O,

.*.A\B\=OAi=l,

...△A1B1A2的边长为1.

同理可得，

△A282A3的边长为2=2、

△A383A4的边长为4=22；

△A4B4A5的边长为8=23；

•••，

所以△川b"G+1的边长为2"一1,

当”=2024时，

△A2024B2024A2025的边长为22023.

故选：B.

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）写出定理”等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题一边上的高线和中线重合的三

角形是等腰三角形.

【分析】根据题意写出等腰三角形底边上的高线与中线重合的逆命题即可.

【解答】解：命题“等腰三角形底边上的高线与中线重合”的逆命题是一边上的高线和中线重合的三角形是

等腰三角形，

故答案为：一边上的高线和中线重合的三角形是等腰三角形.

12.（3分）若关于x的不等式2x-aWO只有3个非负整数解，则a的取值范围为44<6.

【分析】求出不等式的解集，根据不等式只有3个非负整数解，求出a的取值范围即可.

【解答】解：：2x-aW0,

•••不等式只有3个非负整数解，即：0,1,2,

2<-<3,

2

.'.4Wa<6；

故答案为：4Wa<6.

13.（3分）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小明设计了一种衣架，在使用时能轻

易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=O8=20c〃z,若衣架收拢时，NAOB=60°,如

图2,则此时A,8两点之间的距离是20cm.

图1图2

【分析】连接A8.利用等边三角形的判定可得结论.

【解答】解：连接A3.

：OA=OB,NAOB=60°.

：.AOAB是等边三角形.

.".AB=OA=20cm.

故答案为：20.

14.（3分）直线/i：y=/nx+Z>与直线/2：>=加在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等

式（ki-ki）x+b>0的解集为x<-1.

y

|\\y—fc1x+b

【分析】将不等式变形为％ix+b＞加，再利用函数图象解决即可.

【解答】解：由图可知：两条直线的交点坐标为（-1,-2）,

（ki-to）x+b＞0,

kix-k2x+b>0,

kix+b＞lax,即直线h在直线h的上方，

当尤＜-1时，直线Zi在直线h的上方，

,解集为尤＜-1,

故答案为：-1.

15.（3分）如图所示的是3X2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.线段AB,C。的端点均在格

点上，线段A8,C。交于点O,则/3O。的度数为45°.

CB

【分析】取格点E,连接AE,BE,可证/54石=/8。£）,根据勾股定理和逆定理可判断AABE为等腰直角

三角形，即可解答.

【解答】解：取格点E,连接AE,BE,则AE〃CD,

：.ZBAE=ZBOD,

由勾股定理，得A«2=12+22=5,EB2=l2+22=5,AE2=l2+32=10,

:.AB2+BE2=AE1,AB=BE,

...AABE是等腰直角三角形,

：.ZBAE=45°=ZBOD.

故答案为：45°.

16.（3分）如图，已知RtzXABC中，ZB=90°,ZA=60°,AC=12,点、M、N分别在线段AC、AB上，

将△AMW沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段8c上，当△£>CM为直角三角形时，线段4V

的长为4或24-123_.

A

【分析】由△OCM为直角三角形，分两种情况进行讨论：①/COM=90°；②NCMD=90°.分别依据含

30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到AN的长.

【解答】解：分两种情况：

如图，当NCDW=90°时，是直角三角形,

在RtZiABC中，ZB=90°,ZA=60°,AC=12,

1

：.ZC=30°,AB=-AC=6,

2

由折叠可得，NMDN=NA=60°,

：.ZBDN=30°,

11

：.BN=-DN=-AN

22f

1

：.BN=-AB=2,

3

:・AN=2BN=4,

如图，当NCM0=9（T时，△COM是直角三角形,

c

由题可得，ZCZ)M=60°,ZANMDN=60°,

AZBDN=60°,/BND=30°,

11

：.BD=-DN=-AN,BN=3BD,

22

设则AN=ON=2x,BN=3x,

又・・・A3=6,

/3x+2%=6,

解得：x=12-63,

：.AN=24—123,BN=123-18,

故答案为：4或24-1213.

三.解答题（共8小题，满分72分）

17.（8分）解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来.

2x-l5久+1

(1)--—>1；

%-3

-----F6<%

(2)4

4-5(%-2)>8-2x

【分析】（1）根据去分母，去括号，移项等过程求解不等式，在数轴上表示解集即可;

（2）分别求出每个不等式的解集，在数轴上表示出不等式组的解集即可.

2%-15x+l

【解答】解:(1)>1,

32

2⑵-1)-3(5x+l)>6,

4%-2-15%-3>6,

-llx>ll,

x<-1,

将解集表示在数轴上.如图所示：

IIII]IIIIII

-5-4-3-2-1012345

（+6<x①

⑵14一,

（4-5（x-2）>8-2x②

解不等式①得：x>7,

解不等式②得：x<2,

将解集表示在数轴上，如图所示：

-10123456789

..•不等式组无解.

18.（8分）电信部门要修建一座电视信号发射塔P,按照设计要求，发射塔尸到两城镇A、8的距离必须相

等，到两条高速公路机和〃的距离也必须相等.请在图中作出发射塔尸的位置.（尺规作图，不写作法，

【分析】根据题意，尸点既在线段A8的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上.故两线交点即为

发射塔P的位置.

【解答】解：设两条公路相交于。点.尸为线段AB的垂直平分线与NMON的平分线交点或是与/QON的

平分线交点即为发射塔的位置.如图，满足条件的点有两个，即尸、P,.

\E

19.（8分）已知，AE平分/E4C,EFLAF,ZAGE=90°,DE是8C垂直平分线，求证：BF=CG.

【分析】根据角平分线的性质可以证得EF=EG,然后根据线段的垂直平分线的性质证得BE=EC,则可以

证明直角4BEF安直角△CEG,根据全等三角形的对应边相等证明.

【解答】证明：平分/E4C,EFLAF,ZAGE=9Q°,即EG_LAC,

：.EF=EG.

是BC垂直平分线，

：.BE=EC,

在直角△BEf和直角△CEG中，

(EF=EG

iBE=EC'

：.直角ABEFm直角△CEG,

：.BF=CG.

20.(8分)如图，在△ABC中，。是BC的中点，DELAB,DFLAC,垂足分别是点E、F,BE=CF.求证:

(1)平分/BAC.

(2)若△4BC的面积为84C%2,AB=15C〃Z,求OE的长.

【分析】(1)由£>是的中点，得BD=CD,由£>E_LA8于点E,。歹_LAC于点R得/BED=/CFD=

90°,ffffBE=CF,即可根据“上"”证明RtZ\8£DgRtZ\Cf£>,得DE=DF,即可证明A£>平分/BAC；

11

(2)由SAABD+SAACO=SAABC=84C〃J,得一X15OE+±X13OE=84,求得。E的长为6cs.

22

【解答】(1)证明：•••。是BC的中点，

：.BD=CD,

"DELAB于点E,DFLAC于点F,

：./BED=/CFD=90°,

在RtABED和RtACFD中,

(BD=CD

kBE=CF'

.,.RtABED^RtACFD(HL),

:.DE=DF,

：.点D在/BAC的平分线上，

...A。平分/BAC.

(2)解：既是△ABC的中线，也是角平分线，

••.△ABC为等腰三角形，

，AB=AC,

SAABD+SAACD=S/^ABC=84cm2,且AB=AC=15cm,

11

X15XD£+4X15X£>F=84,

22

由⑴得DE=DF,

11

A-xl5XDE+Uxl5XOE=84,

22

解得DE=詈，

28

DE的长为《cm.

21.(8分)阅读下列材料：

解答“已知％-尸2,且1>1,y<0,试确定x+y的取值范围”有如下解法：

解：,.5-丁=2,

,\x=y+2.

又

：.y+2>l.

：.y>-1.

又・・・yVO,

-l<y<0.…①

同理，可得l<x<2.…②

①+②，得-l+l<x+y<0+2.

即0<x+y<2,

的取值范围是0<x+y<2.

请按照上述方法，完成下列问题：

（1）已知x-y=4,且x>3,y<l,则x+y的取值范围是2cx+y<6；

（2）已知且关于x、y的方程组F'一'=—1中x<0,y>0,求a+匕的取值范围（结果用含

m的式子表示）.

【分析】（1）仿照阅读材料求出x+y的取值范围；

（2）解出一元一次不等式组，仿照阅读材料求出的取值范围.

【解答】解：（1）,・Xy=4,

，x=y+4.

又・・h>3,

，y+4>3.

・力>-1.

又

-IVyVl.…①

同理，可得3<xV5.…②

①+②，得-l+3Vx+yVl+5.

即2<x+y<6f

：.x+y的取值范围是2<x+j<6,

故答案为：2<x+y<6；

（2）解方程组得，2,

（y=2a—3

a-b=m,

••bci-in，

Vx<0,y>0,

：.a-2<0f2。-3>0,

3

解得，-<a<2,

则3-m<2a-m<4-m,

3-m<.a+b<4-m.

22.(10分)某超市准备购进A、8两种商品，进3件A,4件8需要270元；进5件4,2件8需要310元;

该超市将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元.

(1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？

(2)商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品

数量的一半，该商店有几种进货方案？

(3)端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件4种商品售价优惠相(10＜加＜20)元，8种商品

售价不变，在(2)的条件下，请设计出机的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方

案.

【分析】(1)设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据“进3件A,4件8需要

270元；进5件A,2件B需要310元”，即可得出关于尤，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设购进A种商品。件，则购进B种商品(40-a)件，根据''进货总价不超过1560元，且A种商品的

数量不低于B种商品数量的一半”，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，

再结合。为整数，即可得出进货方案的个数；

(3)设销售这40件商品获得总利润为w元，利用总利润=每件商品的销售利润X销售数量，即可得出w

关于。的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题.

【解答】解：(1)设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，

3x+4y=270

依题意得:

5x+2y=310

50

解得:

30

答：A种商品每件的进价为50元，8种商品每件的进价为30元.

(2)设购进A种商品a件，则购进2种商品(40-a)件,

50a+30(40-a)<1560

依题意得:

a>(40-a)

解得：—＜aW18.

又为整数，

可以为14,15,16,17,18,

...该商店有5种进货方案.

(3)设销售这40件商品获得总利润为w元，则攻=(80-50)a+(45-30)(40-a)=(15-m)

a+600.

若15-〃＞0,即10＜相＜15时，w随a的增大而增大，

...当a=18时，w取得最大值，此时40-a=40-18=22；

若15-机=0,即机=15时，w的值不变；

若15-根＜0,即15＜相＜20时，w随a的增大而减小，

.,.当a=14时，w取得最大值，此时40-a=40-14=26.

答：当10＜机＜15时，购进A种商品18件，B种商品22件时，销售这40件商品获得总利润最大；当机

=15时，选择各方案销售这40件商品获得总利润相同；当15＜冽＜20时，购进A种商品14件，8种商品

26件时，销售这40件商品获得总利润最大.

23.（10分）综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动,

如图1,已知△4BC中AB=AC,ZB=30°.将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE

（点D,E分别是点8,C的对应点），旋转角为a（0。＜a＜100°,设线段AD与相交于点M,线段

DE分别交BC,AC于点。，N.

特例分析：（1）如图2,当旋转到AOJ_8c时，求旋转角a的度数为60；

探究规律：（2）如图3,在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于

线段AN,请你证明这一结论.

拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角a的度数.

②在图3中，作直线B。，CE交于点P,直接写出当是直角三角形时旋转角a的度数.

【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”可得结果；

（2）可证明△£＞1",从而得出结论；

（3）①分成DM=OD及,OM=OD,根据/。=40°,每种情形可求得另外两个角，进一步求得

结果；

②根据旋转的性质进行计算即可.

【解答】（1）解：：AB=AC,ADLBC,

1

：.ZC=ZB=30°,ZBAD