2025届高考数学二轮复习专练：抛物线（含解析）

2025届高考数学二轮复习专题训练抛物线

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.己知抛物线C：V=4x的焦点F,准线为I,P是I上一点，。是直线PR与C的交点，若

|闭=4闸,则畋|=（）

A.4B.-5C.±3或'5D，3或4

2222

2.等腰直角钻内接于抛物线，其中。为抛物线C:y2=2px（p>0）的顶点，OALOB,

△Q4B的面积为16,尸为C的焦点，M为C上的动点，则您4的最大值为（）

\MF\

AGfL2百c2"

A.D.-----

3333

2

3.已知抛物线三=2py（p>0）和双曲线士「―>2=i的公切线尸。（尸是尸。与抛物线的切点），

与抛物线的准线交于。，厂为抛物线的焦点,若|PQ卜夜|P同，则抛物线的方程是（）

A.x2=4yB.x2=6yC.X2=2s/2yD.x~=2A

4.抛物线％=2y2的准线方程为（）

C.y=-D.y=--5-

A-x=--B.x=~—

82-82

5.抛物线y=的焦点坐标为（）

2

A・加B0O）眼）D.阻

6.正方体ABCD-A4G2的棱长为5,点M在棱AB上，且AM=2,点尸是正方体下底面ABCD内

（含边界）的动点，且动点P到直线42的距离与点P到点M的距离的平方差为25,则动点P到B点

的最小值是（）

A-2y/3BV6C.6D.正

7.已知抛物线丁=2px（p>0）上一点M（l,m）（m>0）到其焦点的距离为5,则实数小的值是（）

A.-4B.2C.4D.8

8.抛物线'的顶点到抛物线丁=-4%2的准线的距离为（）

C31c65

A.3B.—C.5D.—

1616

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F到准线的距离是4,直线/过它的焦点F且与C交于

A（%，X），两点，M为弦AB的中点，则下列说法正确的是（）

A.抛物线C的焦点坐标是（2,0）

B.xrx2=4

C.若占+刀2=5，贝

D.若以M为圆心的圆与C的准线相切，则是该圆的一条直径

10.曲线E是由方程国_1=_和N一1=Ji.幽共同构成，点「卜,y）为曲线E上一点，则下列

结论正确的是（）

A.该曲线的图象关于y=x对称

B.曲线E围成的图形面积大于7

C.2二2的最大值为2

x—3

D.若E与直线y=x+7律有4个公共点，则机的取值范围是(—1—行,—2)_(2,1+0)

11.给出下列命题，其中真命题为()

A.过点尸(3,2)与坐标轴围成三角形的面积为16的直线有且仅有3条

B.己知点A(—2,-1),3(1,3)，则满足到点A距离为2,到点8距离为3的直线有且仅有3条

C.过点Q(2,3)与抛物线>2=4x仅有1个公共点的直线有3条

22

D.过双曲线土—21=1的右焦点被截得线段长为5的直线有且仅有3条

45

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为凡准线/：x=—g,直线/过点6且与抛物线C交于

M,N两点，。为坐标原点，若史斗=2,则的面积为________.

\NF\4

13.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线1/=2px(p>0)上的点M与焦点F的距离为4,M到无轴

的距离为岛，则P的值为.

14.已知F是抛物线=8x的焦点，尸是C上一点，0为坐标原点，若|PE|=6,则

\OP\=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知顶点在原点的抛物线C焦点坐标方(1,0卜斜率为_1的直线/与C相交于A,B.

(1)求抛物线C的标准方程；

⑵若\AF\+\BF\=10,求I的方程.

16.已知。为坐标原点，抛物线C：Y=2点(0>0)的焦点厂到准线的距离为L

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)为抛物线C上的两点,若直线与y轴垂直，且△OVW为等腰直角三角形，求△OVW的

面积.

尤2v21

17.已知椭圆C:一+R=l,(a>/?>0),的离心率为,，焦距为2.

(1)求椭圆的标准方程;

3

⑵若直线/:y=+m(%,meR)与椭圆C相交于A,2两点，且左•4.B=—

①求证：△A06的面积为定值；

②椭圆C上是否存在一点P,使得四边形Q4PB为平行四边形？若存在，求出点尸横坐标的取值范

围；若不存在，说明理由.

18.已知抛物线C:/=2px(p〉0)的准线与x轴相交于点”(—2,0).

(1)求抛物线C的方程；

(2)若过点M的直线I与抛物线C相切,求直线I的方程.

22

19.已知抛物线加：炉=4y的焦点厂为椭圆N:[+三=1(。〉。〉0)的一个焦点，且N的短轴长

a~b"

为4.

⑴求N的方程；

⑵过点F且倾斜角为45。的直线/与N交于A,8两点，线段AB的中垂线与无轴交于点E,求AABE

的面积.

参考答案

I.答案：c

解析：依题意p=2,-|=1,焦点/(1,0),

准线/：X=-1,设点。伉,%),

由3H=4|F(2|得FP=4/。或FP=4QF,

FP=(-2,t),FQ=(x0-l,y0)

当/P=4尸。时，一2=4(%—1)，

当/P=4。尸时，FP=-4FQ,

3

一2=-4(/-1),即

故选：C.

2.答案：C

解析：设等腰直角三角形。4B的顶点4(%,%),5(%,%)，

则靖=2师,q=2px2.

由04=05得：%：+%2=%2+%2,

22

.".Xj-x2=2pxy-2px2=0,

即(玉_/)(%+x2+2/?)=0>

玉>0,x2>0,2P>0,

/.xx=x2,即A,5关于x轴对称.

二.直线0A的方程为：y=xtan45°=x,

与抛物线联立，解得x=0或[x=2”p,

y=0[y=2p

故AB=4p,

19

•••ZOAB=-x2px4p=4p.

的面积为16,二.。二？；

焦点设

则“2=4加，m>0,设M到准线尤=—1的距离等于d,

11Y42J3

-3--+-<^-(当且仅当f=3时，等号成立).

U3；33

故^；的取大值为----,

\MF\3

故选C

3.答案：A

解析：如图过尸作PE，抛物线的准线于E,

根据抛物线的定义可知，PE=PF,

\PQ\=s/2\PF\,在R3PQE中，sinZPQE=,..tanZPQE=1,

即直线尸。的斜率为1,故设PQ的方程为：y=x+m（m<0）,

2=1

由,万一y一,

y=x+m

消去y得％2+4mx+2m2+2=0,

则A=（4m）2—4（2机2+2）=8m2-8=0,

解得m=-l,即尸。：y=x-1,

由卜、2py

y=l

得x?-2px+2p=0,

2

A2-4p—8p=0,得p=2,

则抛物线的方程是好=4〉，

故选：A.

4.答案：A

解析：抛物线方程可写为黄二工》,故准线方程为了=—1

-28

故选：A.

5.答案：D

解析：由y=gx2可得抛物线标准方程为：必=2〉，

,其焦点坐标为

故选：D.

6.答案：A

解析：如图所示，作PQ±AD,Q为垂足，则易知PQ，平面ADDXAX,

过点。作。火，AD,交A2于民则易知AM工平面PQR，所以依即为「到直线A2的距离•

因为m2_.2=25，且PR2-PQ1=RQ2=25，所以PM=PQ•

所以点P的轨迹是以AD为准线，点〃为焦点的抛物线.

如图建立直角坐标系，则点p的轨迹方程是y2=4x（0<y<4），

（2、

点4（—1,0）,6（4⑼，设尸，所以卜哈―丁+16

I4）

=—8）2+12，所以当y2=8，|PS|取得最小值26-

故选：A.

7.答案：C

解析：抛物线的准线方程为：x=-匕,

2

因为〃到焦点距离为5,所以M到准线的距离1+3=5,

2

即p=8,则抛物线方程为y2=16九.

将（1,加）代入得：m2=16,

因为m>0,所以机=4.

故选：C.

8.答案：D

解析：因为d—4x=(x—2)2—4,所以抛物线y=d—4x的顶点为(2,T),

由>=—4必，得/=—4了,所以抛物线y=-4炉的准线方程为丁=工，

'4''16

故抛物线y=x2-4x的顶点到抛物线y=-4x2的准线的距离为,―(—4)=!|.

9.答案：ABD

解析：对选项A,抛物线C：y2=2px(〃>0)的焦点厂到准线的距离是4,

所以0=4，F(2,0)­故A正确.

对选项B,当直线/的斜率不存在时，l：x=2>所以=2x2=4,

当直线/的斜率存在时，设=—2)，

»2—Qr

得：<=>k2x2-(4^2+8)x+4^2=0>所以石马=4・

y=kyx-2)''

故B正确.

对选项C,|人用=内+々+°=5+4=9,故C错误.

对选项D,如图所示：

过A,B,M分别向准线作垂线，垂足为A1，与，Mi，

因为|A4,|=|A目，|班1|=忸外,

所以|A@=|AF|+忸司=|4&|+忸叫=也驾,

即：以A3为直径的圆与C的准线相切，故D正确.

故选：ABD

10.答案：ABD

解析：由凶_]=Jl—/,=i＜国＜2,得—1或

当”xW2时，x-1=正了0（%-l『+y2=i，是圆心为°⑼,半径为1的半圆，

同理£的其他部分,分别为圆心为（—1,0）半径为1的半圆，圆心为（0,1）半径为1的半圆，圆心为（0,—1）

半径为1的半圆；

作曲线E的图象如下图，

图中虚线部分A3CD是边长为2的正方形，图象关于y=x对称，故A正确；

对于8,图形的面积=2义2+4*^^=2兀+4〉7，故8正确；

2

对于C,上二2的最大值为点p（羽田与点（3,2）连线斜率的最大值，设直线为y=3）+2,如图,

由图知当直线与圆心为（1,0〉半径为1的半圆相切时代最大，所以号竺事=1,解得卜=4+J，故C

错误；

对于D,当直线y=x+m与（*一1）2+丁2=1（14*42）相切时，此时也曾•=1nm=—四―1或

v2

m=+]（舍去），有2个公共点；

当直线y=x+加过点1）时，加=一2,此时直线y=1-2与曲线有3个公共点,

由曲线E的对称性，故要使曲线E与直线y=x+m有4个公共点，则_&_i〈根<_2或

2</n<&+1，故D正确•

故选：ABD.

11.答案：BCD

解析：对于A：设过点尸(3,2)与坐标轴的正半轴相交的直线/方程为：-+2=1,则

ab

1

1+-=1>2巨2nab224，即直线与坐标轴围成三角形的面积的最小值为S=,a6=12，

ab\ab2

所以与坐标轴的正半轴围成三角形面积为16的直线有2条，另外过点P(3,2)与无轴正(负)半轴，与

y轴负(正)半轴围成三角形面积Sc(0,+8),即面积为16的直线各有1条，故共有4条，A错误；

对于B：因为|AB|=5，以A，8为圆心，分别以2,3为半径作圆，则圆A与圆8相外切，它们的

3条公切线即为满足条件的直线，所以B正确；

对于C：因为丁2=4%，当x=2时，|y|=2j5<3,所以点。在抛物线的外部，所以C正确；

22

对于D：过双曲线上—匕=1的右焦点作垂直实轴的直线I,被双曲线右支截得的弦(通径)长为

45

”=5,又双曲线的实轴长2a=4<5,所以结合对称性可知，被双曲线左右两支截得的线段长为

a

5的直线有2条，共有3条，所以D正确.

故选BCD

12.答案：

24

解析：易知准线/:x=—工可得p=l,

22

所以可得抛物线V=2x,则尸

设直线/的方程为x=my+；,如下图所示:

联立直线和抛物线方程可得V—2很y-1=0,易知A>0；

不妨设可得%+%=2根,%%=-1；

-MF\3「乍33

由——=一可得A4,即％=一々%；

NF\4%

%%=T

联立《3

Ly

可解得<;或必，

2G273

h-亍

又△OMN的面积为S△加N=S△.+SA.=川（|x|+卜|）

—述=述

411214624

故答案为：----

24

13.答案：2

解析：抛物线9=>0）的准线方程为x=—g

因为点〃与焦点尸的距离为4,所以与+5=4,即X”=4--|,

又Af到x轴的距禺为^3p,即yM-yfip，

所以（J§p）=2p[4—]J,解得p=2或p=0（舍去）.

故答案为：2

14.答案：

解析：设P(Xp,%),由抛物线的性质得，|PF|=Xp+2=6,

所以马=4,又次=8%)=32,

所以|0尸|=册+储=A/48=4A/3.

故答案为：4G

15.答案：(l)V=4x

(2)%+y-2=0

解析：⑴由焦点”1,01可得片1，得”=2,

因此抛物线c的标准方程为y2=4x-

⑵设/:y=-尤+加，A(%

联立方程组<X+m,f#x2—(2m+4)x+m2=0

y2=4x')

韦达定理知％+%=2根+4,

|AF|+|BF|=^+X2+2=105

2m+4=8,机=2

则I的方程x+y—2=0.

16.答案：(1)f=2y

(2)4

解析：(1)抛物线d=2py的焦点尸到准线的距离为1，

所以p=1,

故抛物线C的标准方程为-=2y.

(2)因为直线MN与y轴垂直，且△OMN为等腰直角三角形，

所以AMON=90°，y轴的非负半轴为AMON的平分线，

根据抛物线的对称性，不妨设点M(m,Az)(m>0,n>(V),则N(-m,〃卜

则[疗=2〃,解得『=2,

n=m[n=2

所以点M的坐标为（2,2b点N的坐标为（-2,2b直线MN的方程为y=2,

所以|肱V|=4,点。到直线MN的距离为2,

17.答案：（1）匕=1

43

（2）①证明见解析

②椭圆上不存在点P,使得。为平行四边形

c1

解析：（1）由题意知，焦距2c=2,故c=l,又e=—,故〃=2,

a2

22

所以82=1—02=3,故椭圆C的方程为土+匕=1.

43

「22

土匕=]

（2）①由｛43—消去y，化简得：（3+4/b2+86nx+4疗—12=0,

y=kx+m

设A&，M），5（%2，%），

2

则A=64左2疗_4（4左2+3）（4/一⑵=48（4^—疗+3）>0,

8km4/-12

X]+X）­~，XiXn=o-

123+4左2123+4左②

12左2

m22

故外,2=（g+根）（履2+）-kxx+km^x+x）+m=------------

x2x23+4k

因为•左OB="=—3,所以2机2=3+4左2,

玉九24

240+阴

所以IA@=Jl+%2+犬2）2-4犬1%2=

3+442

坐标原点到直线I的距离为d=।1,

所以的面积为：S=-1ABp=-x,—tL=-x=^3.

2112V3+4左2Ji+：22丫3+4左2

故△A03的面积为定值.

②假设存在椭圆上的点尸，使得Q4PB为平行四边形，则OP=Q4+O8,

8km

0123+4产

设P(如为),则

6m

22

16k2m212m之

又因为至+生=1,即

二