2025届高考数学二轮复习：平面向量（含解析）

2025届高考数学二轮复习专题卷平面向量

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.如图，在△Q46中，C是AB的中点，尸在线段OC上，且oc=200•过点尸的直线交线段。4,

08分别于点MM,且0M=m0B，ON=nOA,其中相,则加+〃的最小值为（）

234

TT，，]

2.已知△A5C中，AB=6,C=-,若△ABC所在平面内一点。满足DA+D3+—DC=0,

32

则的最大值为（）

3.若省卜+4=百卜—司=2时,则向量与小的夹角为（）

A.巴B.2LC2兀D.史

63,T6

满足斗则〃。=(

4.已知单位向量q|a+20=|a—23+4)

A.5B.行C.6D-A/6

5.已知O,E分别为△ABC的边A5,AC的中点，若DE=（3,4）,则点C的坐标

为（）

A.（4,5）B.（l,l）C.（-5,-7）D.（-8,-ll）

6.已知向量a=（l,〃。力=（2,—1〉若a'/,，则实数机的值是（）

A.-2B.2C._lD.l

22

7.如图，在△ABC中，。为线段BC上一点，且8O=2OC,G为线段A0的中点，过点G的直

2Q

线分别交直线AB、AC于O、E两点，AB=mAD（m>0）,AC=nAE（n>Q）,则一+二:----

的最小值为（）

8.已知向量°=（0,2），人=（1,0），则,一,=（）

A.0B.百C.2DJ5

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.已知向量a=（x—l,x—2），b=（x-2,2）>则（）

A."％=_1”是“aVb”的必要不充分条件

B.“尤=2”是“alb”的充分不必要条件

C“x=3-V3”是“a//b”的充分不必要条件

”是“a//b”的必要不充分条件

D.“X=-3+V3

10.已知双曲线C:%2—4_=1的左、右焦点分别为片，工，点尸是C的右支上一点，过点尸作C

的切线/与C的两条渐近线分别交于N两点，则下列说法正确的是（）

A.|P耳12Tp阊2的最小值为8

B.存在点P,使得斯•尸石=T

C.点M,N的纵坐标之积为定值

D.\MN\=2\MP\

11.在△ABC中，c=45°＞（AB+3AC）BC=Q＞则下列说法正确的是（）

A.sing=tanA=2

10

C54在BC方向上的投影向量为15cD.若=则AB-AC=2

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量满足卜|=2，卜+20=卜-囚，则卜+0=.

13.在△ABC中,24=60°，[84=3,点。为45的中点，点£为。。的中点，若设48=0,4。=/?，

则人石可用°,匕表示为;若BF=；BC，则AE-AF的最大值为-

14.设工€区，向量@=（羽1）仍=（4,毛），若0〃匕,则x=---------

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在△ABC中，内角AB,。的对边分别为。，"。，且sin（C—A）=2（l-cosC）sinA.

（1）证明：2=2；

a

（2）点。是线段A3的中点，且CD=46,AD=2，求△ABC的周长.

16.如图，在四边形ABCD中,BC=3AD，①）=4，/4。8=60°，且ZM.QB=2・

（1）求AD的长；

（2）求的长；

（3）求cos2c

17.2xABC的内角48,C所对的边分别为a,6,c,/ABC的平分线交AC于点。，BE为△ABC

的中线.若GsinlB+tl-sinlB-1]=0，a=l，c—2-

B

⑵求的长•

18.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,为边80上的中线.

⑴证明：AD=^2(b2+c2)-a2；

(2)若4=4，a=2，求AD的最大值.

3

19.已知：对任意平面向量AB=(x,y),把AB绕其起点沿逆时针方向旋转。角得到向量

AP=(XCOS0—ysin0,xsin0+ycos夕)，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转。角得到点P.

⑴已知平面内点4(1,2)，点3(3,4)，把点8按已知方式绕点A沿顺时针方向旋转色后得到点尸,求点P

2

的坐标；

122

⑵若曲线G:y=x—▲上的点可以由曲线G：二—斗=1(。〉01〉0)上的点按已知方式绕原点

沿逆时针方向旋转6(0<6<兀)角得到，求曲线C2的方程；

(3)将曲线耳：丁=%—行in%上的所有点按已知方式绕原点沿逆时针方向旋转得到曲线石2,证明：

片和E2有且仅有一条公切线.

参考答案

I.答案：C

解析：oC=；(OA+O3)，

则2OP=U，ON+，OAf]，OP=—ON+—OM^

m)4〃4m

又P,M,N共线，二二-+二-=l.又

4〃4m

/1A1fm,,nAI，--/m―7),

m+n=\m+n)\1-----=———F1+1H——>—x2+2J---------=1，

14n4m)4(〃m)4(ynm

当且仅当机="=!时取等号，

2

故选：C.

2.答案：A

解析：取AB中点为M,连接。1,DB

由加+。3+L。。=0

2

得2DM+-DC=O^4DM=CD,

2

4

所以DA=Z)C+CA=WMC+G4,

41/—.―.x--3-2-

=——x-CA+CB]+CA=-CA——CB

52、)55

4

DB=DC+CB=-MC+CB,

=__X-(CA+CB]+CB=--CA+-CB

52、>55

故DA"=1|G4_|C“(_|G4+|C",

621362

--CA+-CACB-—CB

252525

,.2/\2.2-2

由于AB=(CB-CA)=CB+CA-2CBCA,

=CB+CA-21cq-|G4|COS|=36

故+|CA|2-|C5|-|CA|=36>2|CB|-|C4|-|CB|-|CA|=|CB|-|CA|

即|CB|-|C4|<36,当且仅当=|CA|=6时等号成立，

6/-2-2\13

DADB^-—\CA+CB]+—CACB

25\/25

-—(36+2CACB)+—CACB

25、)25

6x366x36+-363

―--25~画255025

故05-的最大值为-1二98

25

故选：A

3.答案：A

解析：由条件可知K+川=|。-4两边平方后得〃.方=0,

/、(a-byaa2-a-b_V3

并且,一。cos(a-b,a]=-,----4——--

、/〃―/?同2V3.122"-

因为向量夹角的范围是［0,司，所以向量与d的夹角为

6

故选:A.

4.答案：A

解析：由卜+2,=卜一2"得〃./?=()，

--2-2

(3a+48)2=9。+16Z?+24a•0=25，

故|3a+461=5.

故选：A.

5.答案：A

解析：因为。，E分别为AB,AC的中点,

所以BC=2£>E=(6,8),

设。(x,y),又8(-2,-3),所以(x+2,y+3)=(6,8),

x+2=6x=4

即《,解得1

y+3=8[y=5

故选：A.

解析：根据已知有:a必=lx2+mx（-l）=0n加=2.

故选:B.

7.答案：C

解析：因为8O=2OC,则AO—AB=2（AC—A。）,

——12

所以，AO=-AB+-AC,

33

-11.1

因为G为A0的中点，则AG=—AO=—A3+—AC,

263

因为。、G、E三点共线，设。G=2OE,

则AG-AD=X（AE-AD）,

所以，AG=（1-2）AD+2AE,

因为AB=〃ZAD（7”>0）,AC=nAE（n>0）,

11

则AD=—AB,AE=-AC,

mn

]_Q夕

所以，AG=——AB+-AC,

mn

因为48、AC不共线，

1-21

m6

所以，《

21

、n3

所以，^+|=（i-2）+2=i,

所以，加+2"=6,即刿『2〃[6,

2_919

所以,=—+

m

m-+2n—+2n

2T2

1m19

—+一十

62mm八

­+2n

~22)

(

9mm-9m、

—+2n

2128

+>—10+22

m-mm与

——\-2n~6——\-2n3

2)22J

m八9m

—+2n

2F

mm八

—+2n

~22

mm\,

当且仅当《——F——=6时,

22

m>0,n>0

m=3

即当3时，等号成立，

n=—

12

因此，29的最小值为82.

m生+2〃3

2

故选：C.

8.答案：D

解析：因为a=(0,2)，人=(1,0)，

所以a_6=(0,2)-(1,0)=(―1,2)，

所以|a-Z?|=4-］『+2?=亚,

故选：D

9.答案：BC

解析：若a_|_Z;，则=(x—l)(x—2)+2(x—2)=(x—2)(九+1)=0，

解得x=2或x=—1，=是的充分不必要条件，所以A选项不正确;

结合A的解题思路知，“％=2”是“a工。”的充分不必要条件，B选项正确；

右d〃b,则2(x-l)-(x-2)~=0,即兀2-6%+6=0,

解得x=3±g"，“x=3-百”是“a〃。”的充分不必要条件，所以C选项正确，

由C的解题思路知，"％=_3+6”是“q〃//'的既不充分也不必要条件，D选项不正确,

故选：BC.

10.答案：ACD

解析：由题意，双曲线A；?—2—=1,

3

可得Q=1,b=6，则0=正十/二2,

所以焦点耳（—2,0）,月（2,0）,

2

设P（后,%），则/21，且%—？=1，即需=3焉—3,

由\PF^-\PF2f=［国+2）2+需卜［函—2）2+/［=8%》8,故A正确；

假设存在点尸，设P（%,为），

2

则修之1，且焉—守=1，即y；=3x；—3,

所以P£-P6=（一2—%,—y°＞（2-%,一%）

—XQ—4+y：—XQ—4+3XQ—3

=4XQ-7N—3,

所以不存在点P,使得尸片•尸耳二T,故B错误；

显然直线/的斜率不为0,设直线/的方程为1=加丁+〃，

得（3m2—l\y2+6mny+3n2—3=0,

又直线/与C相切,

所以A=364/—12（3疗—1）（*—1）=0,

整理得/2=1—3〃/,

所以一“2y2+6mny-9tn2-0,

即—3根y=o,解得》=网，

即点尸的纵坐标为'/=工.

n

不妨设直线/与丁=的交点为M,与〉=-6》的交点为乂

卜=▼+〃，解得好斗,

由＜

y=6xl-v3m

即点M的纵坐标为yM=#,

1-V3m

卜=7：〃，解得产今,

由＜

J=-y/3x1+V3m

即点N的纵坐标为y=:喘,

N

则点M,N的纵坐标之积为yMyN=今•

l-y/3m1+V3m

=—3,故C正确;

1-3疗1—3加

6〃—y[3n

因为3M+MV=1一百加1+G加

、22

百〃（1+yf3mj—百〃（1-6m

6mn3m

2（1-3m2）2n2n

所以点尸是线段MN的中点，所以|MN|二2|MP|,故D正确.

故选：ACD.

11.答案：AC

解析：A选项，对于（AB+3AC）・5C=0，根据数量积的定义展开可得，

c6zcos（7i-jB）+3tecosC=0，

即3Q/?COSC=QCCOSJB，即3Z?COSC=CCOSJB，由正弦定理，3sinBcosC=sinCeosB»

sinB_1

即tanB=—tanC=—tan45°=—则B为锐角，由<cosB—3

333

sin2B+cos2B=1

解得sin8=①，cos3=d叵，A选项正确,

1010

B选项：由A选项和题干可知，tanB=->tanC=1»

3

tan(B+C)=tan+tan=2=tan(7i-A)=-tanA，故tanA=-2，B选项错误.

1-tanBtanC

C选项：BA在方向上的投影向量为|R41cos

\BC\

sinA2

解得sid竽,

由B知，tanA=2<cosA，且0cA<兀，sinA>0

sin2A+cos2A=1

由正弦定理，上=^1£=叵，则15Ale055.-^=亚.^^5。=%。，c选项正确.

BCsinA4\BC\4104

a_后_c

D选项：由正弦定理，上-=—L_=^，即而=诟=79,解得a=4，C=JIU，于

sinAsinBsinC会？、

5102

是COSA="+；"2=—：,AB.AC=M.四［—鬓）=_2,D选项错误.

故选：AC

12.答案：2

解析：因为卜+2司=卜—同，

所以a~+4a•b+d//=/一2a•b+b-'

化简得『+2a必=()•

又因为(a+Z?)=a2+2a-b+b~=a2=4>

所以卜+Z?|=2，

故答案为：2.

13.答案：型；

428

解析：(1)因为点。为AB的中点，所以4。=工43=,人

22

又因为AC=/;，根据向量加法C£)=AD—AO可得。。=；4一万•

因为点E为CO的中点，所以CE=^CD，即CE=^da—b)=」a—工人

22242

再根据向量加法AE=AC+CE，可得AE=b+；a-g方=：a+gb.

(2)因为5歹=；30,80=40—川=/,—。，所以3尸=；3—4)・

121

AF—AB+BF—tz+—(Z?—a)=耳〃+§6r,

1121

AE-AF=(-a+-b)\-a+-b)

12211712-11,2125-1,2

=_x_QH—x_ci'b-\—x_CL'b—x_b——QHci'b—b，

434323236126

在△ABC中,NA=60°，根据向量数量积公式a/=\a\x\b\xcosA，

可得〃•b=|a|x|b|xg.由|BC|=3»

根据余弦定理|5CF=|AB|2+1A。『—21A3|x|AC|xcosA,

即9=|a『+|切2—g|x|b|.

根据基本不等式，可得9+,卜也归21Hxi4即\a\x\b\<9.

1

将〃•/?=|a|x|。1、］代入74£・71方的表达式：

222

AE-AF=-\a\+^-x^\a\x\b\+y\b^=^\a\+\b\)+^-\a\x\h\

61226624

15--33-

=-^\a\x\b\)+—\a\x\b\=-+-\a\x\b\

6242o

因为时x网V9,ABAF取得最大值，最大值为。+』x9=—'

11288

故答案为：—a+—b；—■

428

14.答案：±2

解析：由题意得尤2_卜4=0,解得x=±2，

故答案为:±2.

15.答案：(1)证明见解析

(2)10

解析：⑴证明:因为sin(C-A)=sinCcosA-cosCsinA,

由sin(C-A)=2(l-cosC)sinA,

可得sinCcosA-cosCsinA=2sinA—2sinAcosC

所以sinCcosA+cosCsinA=2sinA，所以sin(A+C)=2sinA,即sinB=2sinA，

又由正弦定理，可得b=2。，所以2=2.

a

(2)因为点。是线段AB的中点，所以=可得CD=；CB+gcA，

则CD2=^CB2+CA：+2CB-CA^=^(a2+b2+labcosZACfi).

由余弦定理得=储+〃_2abcos/ACB，

又由(1)知,人=2。，。。=#，4£)=2，则。=钻=4，

,、、▼,a2+(2aV+2a-2acosZACB=24

联乂方程组<，解得a=2,则b=2a=4，

a2+(2aJ-2a-2acosZACB=16

所以△ABC的周长为a+b+c=2+4+4=10-

⑵岳

⑶得

解析：（1）因为3D=4，N/M）B=60°

所以D4D5=IDA|-|DB|cosZADB

=|DA|X4X1=2，

，同=1，即^£>=1；

⑵BC=3AD，，BC=3A£>=3且AD〃BC，

:.ZDBC=ZADB=60°^

CD2=BD2+BC2-2BD-BCcosZDBC

=16+9-2x4x3x-=13,

2

CZ）=V13；

「CB-+CD2-BD29+13-16岳

2cBCD2x3xV1313

2C1111

「.cos2C=2cos2C-l=2x—-1

17.答案：（1）且;

2

解析：（1）由+—=0n

所以1皿18+生］=一正，又二＜3+二＜“，所以3+巴=型=5=如.

{6）3666663

因为E为A。中点，所以5石=3（区4+3。），

所以=^-（BA+BC）2=^|SA|2+|BC|2+2BABC^

=—（4+l+2x2xl-cos-=—•

4l3）4

所以网=¥，即成=等.

（2）因为5。平分/ABC，所以NA3D=NCBD=C-

3

'n.门p-L,c0o1.7t1.7T127r

i又BD=x，由SAMO+SACBO=S^ABC—cxsm—+—axsin—=—tzcsin—•

2

所以2%+%=2=＞%=—・

3

故B£）=2.

3

18.答案：（1）证明见解析；

⑵6

解析：（1）方法一：-A。为3C边上中线，AD=^AB+AC

AD?=；(AB+A。/nAD?=：(c2+/+2人ccosA),

在△ABC中，由余弦定理得：tz2=Z?2+c2-2bccosA9

2Z?ccosA=b2+c2-a29

:.AD"=^(2b2+2c2-a2)<

,-.AD=1^2(&2+c2)-a2.

方法二：A£>为BC边上中线，

在△ABC中，ZADB+ZADC=兀,；.cosZADB+cosZADC=0，

在△的它和△ADC中，由余弦定理得：

AD2+BD2-AB2AD-+CD'-AC2…八5

-------------------------1-------------------------=1),BD=CD'

2ADBD2ADBD

即Zm+BZF+m—AgZ—Ac?=0,

AD2=^b2+c2-

-a2

2

即=g网再耳7；

（2）A=—，〃=2，由余弦定理可得々2=）2+02-儿，

3

故从+（?2—4=/?。<（仅2+，），即人2+。2K8，

b=c

当且仅当I9时，即人=0二2时等号成立，

bz+C1—^―be

22

所以AD=gj2（片+02）_片=1^2（/?+C）-4<1V16-4=G，

所以A。取得最小值为g.

19.答案：（1）（3,0）

♦_________r___

Q）涯』一2（后+1=11

（3）证明见答案

解析：（1）由题意可知：AB=（2,2）>OA=（1,2）

点B按已知方式绕点A沿顺时针方向旋转N即等价于点B绕点A沿逆时针方向旋转型,

22

可得AP=(2cos--2sin-,2sin-+2cos-)=(2,-2),

2222

则OP=OA+AP=(3,0)，即点P的坐标(3,0)•

2y2

⑵设M(x,y)为曲线G上任一点，则J-=1^OM=(%,y)，

a2

点M按已知方式绕原点沿逆时针方向旋转O(O<0<Ti)角得到

ON=(xcos^-ysine,xsin6+ycos0)，

即N(xcos9-ysiii^,xsin^+ycos。)在曲线Cx上,

则xsin6+ycos6=%cos0-ysin0---------------------

%cosg_ysing

整理可得夕cos20-sin26-1

1+c°s29-sin2一孙(sin29+cos2。)-/=1

22

Cl—

1+cos20-sin20

227

又因为二一2L=i,则。2=---------f----------，可得32。=—1，

a2b1cos28—sin28—1

sin26,+cos20=0

且0<。<兀，则0<2。<2兀，可得2，=2或2。=0

44

22

<0

若2夕=型，则°=一V272-1-72，不合题意;

41-

22

2

a2