2025届高考数学二轮复习：立体几何中档大题专项训练（含答案）

2025届高三数学高考二轮复习：立体几何中档大题专项训练

1.如图，三棱柱ABC—A⑸G中，=60°,AC±BC,AXC±AB,AC=l,AAi=2.

(1)求证：A。，平面ABC；

(2)直线BA,与平面BCC禺所成角的正弦值为B,求平面ABB,与平面^夹角的余弦值.

4

2.如图，在斜三棱柱中，M为与G的中点，底面；ABC为等腰直角三角形,

⑴若A在底面ABC内的射影为点B,求点A到平面ABC的距离;

⑵若A在底面ABC内的射影为BC的中点，求平面\MB与平面BCG用夹角的余弦值.

3.如图，在四棱柱ABCD-中，底面ABC。是矩形，AA{=AB=2AD,NDQC=6。，

平面。CCQL平面4BCD点E,尸分别为棱CG，A4t的中点.

(1)证明：B,E，Q，尸四点共面；

(2)求平面BD、E与平面A4GA夹角的余弦值.

4.如图，在三棱柱ABC-A用G中，CQ1ABC,CQ=BC=2AC,BC1AC.,

BM=2BA(0<A<1).

(1)若2=；,求证：AC1〃平面21cAf；

⑵若二面角2-BC-M的余弦值为求X的值.

5.如图，在正三棱台ABC-A用G中，AB=6,A耳=4.

B

（1）若cq=夜，证明：eq，平面例4国

（2）若三棱台的高为地，求平面A414g与平面B8CC夹角的余弦值.

3

6.已知—ABC-A3。均为等腰直角三角形，J.AB=BC=BD,平面ABC平面ABD.平

面四边形CBDE中，CE=」班）,CE〃平面ARD,点尸为8。的中点，连接

2

⑴求证：ADYEF；

⑵求二面角C-AE-£＞的正弦直

7.如图，在四棱锥P-ABC。中，BC//AD,AB±AD,AB=3C=1,△R4D是边长为2

的等边三角形，且平面上位＞，平面ABCD,点E是棱上的一点.

(1)若PE=ED,求证：CE〃平面上钻；

(2)若平面EAC与平面PBC的夹角的余弦值为—,求尸E的值;

4

⑶求点B到直线CE的距离的最小值.

8.如图，在所有棱长都为2的三棱柱ABC-A旦G中，点E是棱AA的中点，AB.LCE.

C

(1)求证：平面AA5瓦，平面ABC；

(2)若乙41AB=方，点尸满足AG=3AP，求直线CP与平面AAB4所成角的正弦值.

9.在四棱锥尸-ABCD中，上4,平面ABC。，底面为矩形，PA=AB=1,尸C与平

面PAD所成角的正切值好.

5

(2)已知G是棱BC上一点，且点。到平面PAG的距离为0,求平面PAG与平面P3G的夹

角的大小.

10.如图，多面体ABCDE中，E4_L平面A3CDCJ■平面ABC,£A=2r>C,尸是fig的中点.

⑴证明：。尸//平面ABC.

(2)若出=43=2,/84^=90,且二面角g—DE-C的余弦值为独,求AC的长.

11.如图，VABC和△r>3C所在平面垂直，5.AB^BC^BD,ZABCZDBC^120°.

(1)求证：ADLBC；

(2)若CE=gcA,连接DE,求直线OE与平面ABD所成角的正弦值.

12.图1是边长为&的正方形ABCD,将」ACD沿AC折起得到如图2所示的三棱锥

P-ABC,且PB=g.

(1)证明：平面PAC_L平面ABC；

(2)棱以上是否存在一点使得平面A3C与平面的夹角的余弦值为逅，存在，指

3

出点M的位置；若不存在，请说明理由.

13.如图，三棱柱ABC-A^G中，侧面ABBH是菱形，侧面CB与G是正方形，^0=4,

用8=笈4=2,点。是AC的中点.

⑴求证：CB_L平面

(2)若C1E=2EC,求平面8QE与平面片。8的夹角的余弦值.

14.如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABC。是正方形，尸ZU平面ABCD,PD=2DC=4,

E是棱FA的中点.

(1)求证：PC〃平面双足；

(2)求直线BP与平面所成角的正弦值.

15.如图，在四面体RWE中，C为棱PO上一点，AC=1,4人冬叵，C£=—,MAC±P£>,

33

PDA.DE,二面角C—AE—。的大小为

6

(1)证明：AC,平面PDE；

(2)求四面体AC£>E的外接球的体积;

⑶求OE的长.

16.如图，底面四边形ABCD是正方形，PAL平面A5CD,平面ABCD,AD=ED=2,

PA=3.

⑴证明：2平面PAC；

⑵求二面角B-PC-E的正弦值.

17.如图，在直三棱柱A8C-A8|G中，ZBAC=90°,AB=AC=2,AAi=2,Af是AB的

中点，N是与&的中点，尸是BG与瓦C的交点.

⑴求证：8G〃平面ACM；

(2)求直线2。与平面ACM的所成角的余弦值;

(3)求三棱锥N-ACM的体积.

18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2点,BC=4,是等边三角形，平

面平面ABC。，。为A。的中点，M在线段PC上且满足尸PC,AC与8。相交

于点E.

⑴求证：AC15?®PBO；

(2)求直线EM与平面PC。所成角的正弦值.

19.如图，三棱锥P-ABC的棱BC上存在一点。，使得平面底面ABC,点E在棱4。

上，且PELARP。，平面RW.

⑴证明：AB_L平面FAQ；

⑵若AB=AD=2,AP^PD,BD=2CD,求平面PAB与平面PAC夹角的余弦值.

20.如图所示，多面体ABCDQE中，底面ABCD为菱形，ZBAD=6O°,DR，平面AB。,

AD=DD{=2CE=2,CE//DDX.

⑴探究直线BE与平面ADD,是否有交点；

(2)求直线AD,与平面BER所成角的正弦值.

21.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=2AD=2CD=4,将△ZMC沿AC翻折至

PAC,使得平面PAC_L平面3AC.

⑴求异面直线PC与所成角的余弦值；

(2)求直线PA与平面P3C所成角的正弦值；

⑶点。在棱(不包含端点)上，且平面PC。与平面BCQ所成角的余弦值为立，求黑

4AB

的值.

22.如图，AEJ_平面ABC。，CF//AE,AD//BC,ADJ.AB,AB=AD=2,

AE=BC=2CF=4.

⑴求证：BP〃平面ADE；

(2)求平面ADE与平面BDF夹角的余弦值;

(3)求四面体5-£)石尸的体积.

《2025届高三数学高考二轮复习：立体几何中档大题专项训练》参考答案

1.(1)证明见解析

⑵迈

7

【分析】(1)利用余弦定理以及勾股定理，可得线线垂直，结合线面垂直判定定理，可得答

案；

(2)由题意建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，利用线面角的

向量公式建立方程，求得点的坐标，根据面面角的向量公式，可得答案.

【详解】(1)在中，Z4AC=60°,AC=1,AA1=2,

，…八AC2+AA2-AC2

由余弦定理可得cosZA,AC=——二J“」—,

2-AC-^A

则cos60=生匕心C,解得人。2=3,

2x2x1

由AC2+AC2=AA2,则在△AAC中，Ac1AC.

因为AC_LAB,AC,ABu平面ABC,AC<^AB=A,

所以AC,平面ABC.

(2)由(1)及AC1.3C,则ACACBC两两相互垂直，以C为原点，分别以CA,CB,CA

为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如下图:

设5C=M左＞0),由(1)知AC=A/L

则A(0,0,退)，*0,太0),c(0,0,0),Ct(-l,0,y/3),

则叫=(0,-左,右)，CB=(o,k,o),cq=(-1,0,73),

n-CB=0ky=0

设平面BCC.B,的一个法向量元=(x,y,z),则，,，可得

-x+Cz=0'

n-CCx=0

令x=6贝力=。，Z=1,所以平面BCG4的一个法向量力=(石,0,1卜

5A-n\

设直线BA与平面BCG耳所成角为凡贝"sind=

|BA|-|«|+3-73+1)

则f=/6,解得k=L贝I网=(0,-1,百),

442+3.2、'

在三棱柱ABC-中，BBJ/CC,,则BB{=CCX=(-1,0,73),

设平面48旦的一个法向量机=(1,％,20),

m-BA,=0

-y0+—0J/-r-

则，可得[z_n9z()=1,则％°=g，％=g，

m-BBX=0—XQ+73z。=0

所以平面48用的一个法向量力=(5/卜

NM3+0+L2近

设平面\BB与平面BCC.B,的夹角为&,则cosa=

｛\n\]m\2x>/77

2.(1)72;

吗

【分析】(1)取BC的中点。，可得AO_L3C,证明AO,面ABC,A0即点A到平面A^C

的距离，得解;

(2)取BC的中点。，易得A。*。］。两两互相垂直，建立空间直角坐标系，求出平面

和平面BCC4的一个法向量，利用向量夹角公式运算求解.

【详解】(1)如图，取BC的中点。，连接AQ

ABC为等腰三角形，AB=AC,AOLBC,

又•.A在底面A3C内的射影为点8,

「.43上面ABC,又AOu面ABC,\A^AAO,

又&BcBC=B,且AB.BCU面ABC,

.-.AO±[S]

AO即为点A到平面\BC的距离.

又：ABC为等腰直角三角形，且AB=AC=2

AO=y/2.

点A到平面ABC的距离为迎.

(2)如图，

取BC的中点。，连接A0,4。，

A在底面ABC内的射影为BC的中点,

A,01面ABC.

ABC为等腰三角形，AB=AC,AOLBC.

建立如图所示的空间直角坐标系，易知4。=日，

(0,-V2,V14),网一行,0,0),4(0,05714),^(-72,-72,714),

.-.MB=(-72,72,-714),网=(虚,0,旧)，(0,-72,714),

设平面MA4］的一个法向量为元=(%lly1,z1),

4•MB--血再+6义_V14ZJ=0

令4=1,得力=卜屿,0,1),

nx-5A=y/2xl+^/5心1=0

设平面3。。不1的一个法向量为%=(々，%/2),

-+-Jl4z2—0

由＜令Z2=l,得九2=(0,夕,11

-y/2y2+V14Z2=0

则同i心丽=瓦1丁履1

所以平面A.MB与平面BCQBi夹角的余弦值为！

O

3.(1)证明见解析

⑵如

4

【分析】(1)证明四边形AG，尸为平行四边形，利用平面的基本性质得出结论;

(2)建立空间直角坐标系，利用向量方法求面面角.

【详解】(1)取。A中点G,连接AG,EG,则有DG〃CE,DG=CE,

所以四边形C£)GE为平行四边形，所以CD//EG,CD=EG,

又因为AB//CD,AB=Q)，所以AS//EG,AB=EG,

所以四边形ABEG为平行四边形，所以BE//AG,BE=AG,

又因为A尸//RG,AF=RG,所以四边形AGO尸为平行四边形,

所以AG//R尸，所以8E//RR所以8,E，2,尸四点共面.

(2)取。C中点O,AB中点连接。。，OM.

因为惧=ABZ£>,£>C=60，所以侧面DCG2是菱形,

所以DQLDC,

因为平面。CCQJ平面A8C£),平面DCGR平面ABC。=CDROu平面。CGR,

所以RO,平面ABC。，进而有ROLOM,D{OLOC,

因为底面48co是矩形，所以Q0//OG所以OM,0C，两两互相垂直.

如图所示建系,

由⑴知，平面ABCD,所以机=（0,0,1）是平面A4aA的一个法向量.

设4£>=1,则〃（0,0,君），川1,1,0）.因止匕"8=（1,1,-君）,"£=[。,],一4

[22J

设〃=（尤,y,z）平面R2E的法向量，则”，而〃，屏

x+y-=0,

x-2y=0

所以3g所以＜

—y----z=0.”=0.

12)2

取y=1，则x=2,Z=6.于是〃=（2,1,石）是平面RBE的一个法向量.

设平面BD、E与平面A4GA夹角为e,COS0=在今J=手，

即平面BD,E与平面44GA夹角的余弦值为手

4.（1）证明见解析

⑵丹.

【分析】（1）连接BQ,设BGB}C=N,连接MN,利用线线平行可证线面平行;

（2）可证8CLAC,以C为坐标原点，C4,CB,CG的方向为X轴，>轴，z轴正方向，

建立空间直角坐标系Cxyz,求得平面CMBy的法向量是n,求得平面平面BCB]的一个法向

量，利用向量法可得力的方程，求解即可.

【详解】（1）连接BG，设BQBlC=N,连接MN,

则在平行四边形BCC国中，N是BG的中点，

又BM=5A,所以M是A3的中点，

2

所以跖V〃AC”

又MNu平面4CM,AG也平面4cM,

所以AG〃平面与CM.

(2)因为CG，平面A3C,AC,8Cu平面ABC,所以C&，AC,CG，

又5C，AC1,AC】cC£=G,AC1,C£u平面AC。，所以BC，平面ACC,

又ACu平面AC。，所以3C_LAC.

故以C为坐标原点，C4,CB,CG的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直

角坐标系8z,

设AC=1,则C£=8C=2,

所以C（0,0,0）,A（l,0,0）,8（0,2,0）,4（0,2,2）,

故CB}=（0,2,2）,BA=（1,-2,0）,C5=（0,2,0）,BM=ABA=（A,-2A,0）,

CM=CB+BM=（2,2-22,0）,

n-CM=0,

设平面CM用的法向量是〃=(x,y,z),所以，

n•CB1-0,

即-泞=。,取日，得方亨,a,

[2y+2z=0x

所以〃=

易知平面BC用的法向量是m=(1,0,0).

因为二面角8-月。-"的余弦值为逅,

3

2-22

解得力=;.

5.(1)证明见解析

⑵■

3

【分析】(1)过点用作用E〃CG，交BC于点、E,进而求出相关边长，可证得Cq_LB用，

CGJ.A4,,进而可证得到结论；

(2)以42的中点。为原点，OB,0C所在直线分别为x轴，y轴，过点。且垂直于平面

A8C的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.取线段A片中点E求出平面441AB与

平面8瓦CO的法向量，进而可求得结果.

【详解】⑴如图所示，过点与作耳E//CC一交BC于点E,

易知四边形BECG为平行四边形.

所以gE=CC]=夜，EC=Bg=4,所以砥=2.

又BB\=6.,所以BE+BB；=BE?,即gE，JB4.故CCaBg，

同理可得CCLAV

又直线AA与BBl相交，且直线M与BBt都在平面AA.B.B内,

所以CG，平面441AA

(2)以AB的中点。为原点，OB,0c所在直线分别为x轴，y轴,

过点。且垂直于平面ABC的直线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系.取线段A与中点F,

62⑹

4(-3,0,0),B(3,0,0),C倒,4~2?9.D\/，，,中考,

133

\7

(/?2后、

所以AB=(6,0,0),BC=(-3,3^0),BBX=-1,—

v33,

设平面A44B的法向量为々=(8y,z),

6x=0

AB-n.=0

则，即取z=l,贝h=0,y=—20,

BB.勺=0

]T+当+亚Z=0

33

故%=(o，-2®

设平面331cle的法向量为%=（帆n,r）,

八f-3m+3y/3n=0

BC-=0

则加:n'即出2网八，

BB,n=0-mH-----nH--------1=0

i2I33

取根=百，则〃=1,t=叵,

2

故％=G，i,,

I2)

—20+走[

一一，•必71

所以cos<4,n2>=I―ri-।=-I=一1

网闻衍由+1+g3

所以平面4414g与平面BB&C夹角的余弦值为;.

⑵年

【分析】（1）利用线面垂直判定定理可证明3CL平面4即，即可得E尸，平面A3D,再由

线面垂直性质可得结论；

（2）建立空间直角坐标系利用空间向量得出两平面的法向量，即可求得二面角C-AE-D的

正弦值.

【详解】(1)证明：A8C,一A8D均为等腰直角三角形，

且AB=BC=BD,:.AB±BD,AB1BC,

.•./。3£>为二面角。—至-。的平面角.

又平面ABC±平面ABD,BCA.BD.

又AB_L3C,ASc=民ABu平面ABD,u平面ABD,

;.3C_L平面ABD.

CE〃平面ABO,平面CBDEc平面ABD=3£>,。£<=平面08£固，

：.CE//BD,即CEV/BR,

XBF=-BD,CE=-BD,:.CE^BF,

22

，四边形BCEF是平行四边形，.•.EF〃BC.

.•.EF_L平面AB。，又ADu平面ABD,

:.EF±AD.

(2)由(1)知AB,BC,3D两两垂直，

故以8为坐标原点，分别以8ABC,8。所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标

系：

ZA

认

俎

少

y

"X

不妨设AB=3C=BD=2,则A（2,0,0）,C（0,2,0）,E（0,2,1）,0（0,0,2）,

CE=（0,0,1）,AE=（-2,2,1）,AZ）=（-2,0,2）.

设平面AEC的法向量为元=（x,y,z）,

.CF=7=0

则，令x=l,则"=（1,1,0）.

n-AE=-2x+2y+z=0,

设平面AED的法向量加=(a,b,c),

m•AD=-la+2c=0,1

则,不妨令c=l,贝!|。=1,6=二,

m-AE=-2a+2b+c=0,2

所以

故所求二面角C-AE-D的正弦值为

7.(1)证明见解析

⑵：

⑶手

【分析】(1)取承的中点E可得CE//BF,再由线面平行的判定定理可得答案;

(2)取AO的中点O,由面面垂直、线面垂直的性质定理得尸O_LOC,POVOD,以。为

坐标原点，直线OC,OD,O尸分别为尤，y,z轴建立空间直角坐标系，设法=2茄，求

出平面E4C、平面P3C的法向量，由二面角的向量求法求出2可得答案；

设PEiPD,0』］,求出点8到直线CE的距离J1一一4——，分〃=0、

\4〃--6〃+4

0<〃<1、〃=1可得答案.

【详解】(1)取R4的中点/，连接3F,EF,

又PE=ED，点/是丛的中点，

所以EF〃位)，EF=-AD,

2

5LBCHAD,BC=-AD,所以EF//BC,EF=BC,

2

所以四边形由C是平行四边形，所以CE7/RL

又CE/平面上4B,平面所以CE〃平面上钻;

(2)取AD的中点。，连接尸O,OC,如图所示，

又平面平面ABC。，平面R4Z>c平面ABCE>=AD,

尸Ou平面PAD,所以PO_L平面A3C£>,

又OC,ODu平面A2CZ),所以PO_LOC,PO±OD,

又OC/MB,AB，4),得OCLOD,所以以。为坐标原点，直线OC,OD,OP

分别为龙，》z轴建立空间直角坐标系，

所以A(0,-1,0),Z)(0,1,0),C(l,0,0),3(1,T,0),尸(0,0,⑹,

设涉=4茴，九W。』］,

又AC=(1,1,0),设平面E4C的法向量为m=(x',y',z'),

m•AC=x'+y'=0

所以‘m-A£=(2+l)y+(73-V32)z,=0，

令y=-1),解得公=同T),/=A+1,

又。=卜1,0,石)，元=(0,1,0),

,,/、n-CP=-x+A

设平面尸3C的法向量为〃=(x,y,z),所以〈

n.BC=y=Q

令x=6，解得y=。，z=i,

所以平面MC的法向量力=(有,0,1).

设平面EAC与平面PBC的夹角为。,

ft

r-rrj

阿川

|4—27l||2-4^0

73（1-2）2+3（2-1）2+（2+1）2X^7TV722-102+74，

1I7

解得人=§,所以尸£=

（3）设PE=〃PZ>,/ze[0,1],

所以CE=CP+PE=卜1,0,石）+〃（0,1,-6）=卜1,〃,右一回卜

又CB=（O,T,O）,所以点8到直线CE的距离

J一——

V4〃2_64+4

当〃=0时，d=l；

d=1--------------=1---------------z-----

当0<〃（1时，4—9+±AJ13、7,

V〃"74[〃-j+4

综上，点8到直线CE的距离的最小值为也.

2

8.(1)证明见解析

⑵我

10

【分析】(1)如图，由题意可得A瓦，E。，根据线面垂直的判定定理可得A瓦，平面EOC,

结合面面垂直的判定定理即可证明；

(2)建立如图空间直角坐标系，根据CG=34和空间向量的坐标表示求得G(百，1，石卜

利用空间向量法求解线面角即可.

【详解】（1）取A3的中点。，连接EO,\B,OC.

C

因为E为AA中点，。为AB中点，所以EO//AB.

在三棱柱ABC-ABiC中，AB=AAt=2,则四边形A3与A是菱形，得人用,人仆，

则AB|_LE。，又AB4CE,EOCE=E,EO,CEu平面EOC,

所以4月，平面EOC.又因为OCu平面EOC,所以。CLA片.

因为VABC是等边三角形，。为AB中点，所以OCLAB.

又因为OCLAB，ABABt=A,AB,4月^=平面448瓦，

所以OC,平面AAB瓦.又因为OCu面ABC,

所以平面AABBi1平面ABC.

（2）连接A。.

因为NAAB=g,AB=AAl,所以是等边三角形，所以A0，A8.

又平面_L平面ABC,平面人^^用c平面ABC=AB,A。u平面片ABB一

所以AQ_L平面ABC.由。C,08u平面ABC,\OLOC,\OLOB,又OC_LAB,

如图，以。为原点，OC、OB、。4分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。-孙z.

X'

贝10(0,0,0),C(右,0,0),3(0,1,0),A(0,0,退)，Bi(0,2,73).

x=V3

设G(x,y,z),又CG=BB「即*-五y,z)=(o,l,我，得,y=l,

z=上

所以G(百,1,6),则CP=M+4AG=,

3I33J

/、心CPn730

易知平面AAB片的一个法向量〃=(1,0,0),所以cosCP,n=回府,

设直线CP与平面AABq所成角为3,贝Isin6=|cosCP,"卜等.

9.(1)2

⑵申

［分析1(1)先证明CD1平面PAD,推得NCPD即为直线PC与平面PAD所成角，设BC=m,

利用条件列出方程，求出加的值即可；

(2)方法1：取BC边上一点G,连接AG,DG,PG,设BG=r,利用匕=求

得7=1,取AG的中点H,作HM_LPG,垂足为M,连接证明即为二面角

3-PG-A的平面角，计算即得;方法2：以A为坐标原点，建系如图，设BG=f,(04,42),

利用点到平面的空间向量计算公式求得f=l,分别写出相关点的坐标，求出两平面的法向量

坐标，利用夹角公式计算即得.

【详解】(1)因上4_1_平面ABCD,且CDu平面ABCZ),故R4_LCD.

又因为四边形ABC。为矩形，所以CDLAD,

由9c">=A,R4u平面PAD,AOu平面PAD,可得CD_L平面PAD,

故PD是尸C在平面PAD内的射影，则ZCPD即为直线PC与平面上4£>所成角，

设3c=7”，则AD=m,由勾股定理得，PD=d府+1，

则在RtZkCDP中，tanZCPD='_=坐,

V77J2+15

解得力=2即BC=2.

(2)方法1：

取2C边上一点G,连接AG,DG,PG,设3G=r,

p

因为=gxlx2=l,PA±^ABCD,

VP-AGD=1X5AAGDXPA=1X1X1=1,

在Rt^ABG中，AG=y[t^>贝U=gxlx#7i=^^,

因点。到平面PAG的距离为72，故VDTAG='亚x正豆=也产+2,

由％TGD=S*AG可得：6tF=L,解得r=l,所以BG=1.

63

取AG的中点//,作HM_LPG,垂足为M,连接3”.

因为AB=3G,所以瓦/_LAG,

又上4_1面48。£>,由/u面ABC。，则阳_Lfi4,

又因AGcPA=A,AG,PAu平面PAG,则3"J_平面PAG,

又PGu平面PAG,所以尸G_LBH,

又PGIBM,BHcHM=u平面BHM,故尸G_L平面

又BMu平面所以PG_L3M,则NBAfff即为二面角3-PG-A的平面角.

在中，BH=-AG=—,

22

因*GGJGS易得PWC,则3=曾=曾邛，

由=可得/BW”=囚,

BM23

7T

故平面PBG与平面PAG的夹角的大小为

方法2：

由题AB,AZ),AP三线两两垂直，故可以A为坐标原点，以A8,AD,AP所在直线

分别为X轴，y轴，Z轴，建立空间直角坐标系A-个Z,

设5G=，，(0<r<2)则4(0。0),P(0,0,l),G(1,Z,O),D(0,2,0),

所以0G=(1,”2,0),AG=(1J,O),”二(0,0,1),

设平面PAG的法向量记={x,y,z),

AG-m=0x+ty=0/，/、

则,即„，令y=-l,得加=&-1,0),

AP-m=0Z=(J

DGm\

又因为点。到平面PAG的距离为血，则二^29

\m\

即=y[2,解得t=1,所以BG=1,

+1

所以G(l』,0),B(l,0,0),PB=(1,O,-1),PG=(1,1,-1),

设平面PBG法向量为，=(&x，zj,

PB,n=0,fx-z,=0,/、

则即c令％=1，得”=1,0,1).

PG-n=Q,［占+%—4=0,

设平面P3G与平面PAG夹角为0,

।।\m-n\11

则cos6>=cosm,n\=■,,'=一尸=一，

1|M-同72x722

jr7T

又因为04。4万，所以平面尸8G与平面PAG夹角为

10.(1)证明见解析

⑵3

【分析】(1)取AB的中点G,连接GRCG,由线面平行的判定定理证明即可；

(2)建立空间直角坐标系，设AC=相，求出平面的法向量，利用坐标计算求解即可.

【详解】(1)

E

D

“B

取回的中点G,连接GRCG,

因为尸为BE中点，所以FG〃屈1,FG=-EA=CD,

2

因为E4_L平面A3C,OC，平面ABC,所以DC〃E4.

又因为FG〃E4,所以。C〃FG,

所以四边形CGfD为平行四边形，所以D尸〃CG；

因为WN平面ABC,CGu平面A8C,所以〃平面ABC.

（2）

如图所示建立空间直角坐标系，设AC=〃z,

则8（0,2,0）,E（OQ2）,。（租,0,1）,

BE=（0,-2,2）,=（切,-2,1）,

设元=O,y,z）为平面3OE的法向量，

n-BE=0f-2y+2z=0

则有得r八，

nDE=0（mc-2y+z=0

令丁=根,^n=（l,m,rri）,

显然平面ACDE的一个法向量可以为v=（0,1,0）,

因为二面角大小余弦值为主眄，所以有

19

cos（〃,v）vi'Vm3M

|«IM42ml+119

解得加=3,即AC的长为3.

n.⑴证明见解析

n,2#10

55

【分析】(1)过点A作AO_LCB,垂足为。，由面面垂直性质定理证明AO_L平面D3C,

再证明ODLOC,建立空间直角坐标系，求直线力。和直线BC的方向向量，利用向量方法

证明结论.

(2)求平面45。的法向量，再由条件关系求E的坐标，再求直线DE的方向向量，利用向

量夹角公式求结论.

【详解】(1)(1)延长CB,过点A作AOJ_CB,交CB于点。，连接OD.

由平面A3C_L平面D3C,平面A3。平面D3c=3C,

A。u平面ABC,

则AO_L平面DBC,

由AB=BC=BD,ZABC=ZDBC=120°,

得AABC^ADBC,

故AC=DC,ZACB=ZDCB.

又CO=8,得△AOC四△DOC,

则ZDOC=ZAOC=90°,

即OD_LOC.

以。为坐标原点，以OD,OC,所在直线分别为x轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系,

设AB=BC=BD=2,

则O（6,0,0）,5（0,1,0）,C（0,3,0）,A（0,0,6）,

所以A£>=（后0,-⑹，BC=（0,2,0）,

因为A»BC=O，

所以AO_L2C，即AD23c.

(2)由(1)知AB=(0,1,-右)，AD=(V3,0,-A/3),

设平面ABD的法向量为〃=(x,y,z),则=/=0，"•ADnO

所以片

X=Z

取z=l,贝！Jx=l,y=G

所以〃=（1,百,1）为平面AB。的一个法向量,

设E（1,%,z0）,由CE=gcA,

得（x。,%-3,z°）=g（0,-3,右），

所以毛=。，%=2,z0=4,即点E0,2,

所以。E=

设直线DE与平面ABD所成角为。,

\DE-n\

贝1Jsin<9=^~p—L

1叫同

f-A2,(1,73,1)一6+2百+3_

_13广)______________3__

,3+4+gx遥gx455

故直线OE与平面A5Q所成角的正弦值为2通.

55

Z\

A

E

7D

rX

12.(1)证明见解析

⑵存在，且点M为线段小靠近尸的三等分点

【分析】(1)取AC的中点为0,连接8。、PO,证明出平面ABC,再利用面面垂直

的判定定理可证得结论成立；

(2)以。为原点，分别以OC、OB、。尸所在直线为X、丁、z轴建立空间直角坐标系，

^AM=AAP，[0,1],利用空间向量法可得出关于彳的等式，结合Xe[0,l]求出力的值，

即可得出结论.

【详解】(1)取AC的中点为0,连接B。、PO,作图如下：

因为四边形ABC。是边长为加正方形，所以PO_LAC,PO=BO=1,

在VPQ3中，PO-+BO-=2=PB-,则尸0,03,

因为ACc3O=O,AC、BOu平面ABC,所以尸O_L平面ABC,

因为POu平面ACP,所以平面PAC_L平面ABC.

(2)易知VABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且。为AC的中点，则OBLAC,

又因为POL平面A3C,

以。为原点，分别以OC、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如下图

所示：

则A(—1,0,0)、P(0,0,l)、C(l,0,0),3(0/,0),

设加(%,％〜)，贝。AM=(Xo+l,%,z。)，设AM=XAP=(4(U),AG[0,1],

XQ+1=A.x0=4—1

解得卜=0，所以M（"L（U）,

可得＜%=0

*o=4z0=4

则CM=(4-2,0㈤，BC=(l,-l,0),

/、rri-CM=(A-2)a+Ac=0

设平面的法向量町=(〃,/?,c),可得《，

叫•BC=a—b=0

令a=X,贝c=2-A,所以平面A/SC的一个法向量犯=(442—/1),

由图易知平面ABC的一个法向量径=（0,0,1）,

设平面ABC与平面MBC的夹角为6,

,八"叫||2-2|V6

贝ljcose=J-Pi-L=/--------------=—,

阿,卜叫+22+（2-2）2-A/0+O+I3

2

化简可得3万+44-4=0,解得彳=§或几=一2（舍去），

所以存在满足题设条件的点M，点A7为线段AP靠近尸的三等分点.

13.（1）证明见解析

⑵噂

【分析】（1）取A8的中点。，由余弦定理求出4炉，然后由勾股定理得CB_LAB,再由线

面垂直的判定定理可得答案；

（2）以。为原点，OB,OD,。片分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设E（%y,z）,

由GE=2EC求出得点E坐标，求出平面瓦。8、平面与。£的法向量，再由二面角的向量求

法可得答案.

【详解】（1）取AB的中点O,连接。与，OD,\B,

在菱形ABB^中，AB=BiB=BlA=2,贝|ABBt为正三角形，ZABB,=60,

从而N54A=120,由余弦定理，

\B2=AB1+AA^~2AB-AA^cosZBAA,=22+22-2x2x2x^-1^j=12,

又AC=4,正方形中，BC=BtB=2,

所以3c2+432=AC=即CB_LA5.

在正方形中，CB1BBt,BBJAB=B,

BB(,48u平面A&B|A1,所以CB平面ABB]A;

（2）ABu平面ABB]A，则CBJ_AB,

又O。为中位线，OD//BC,所以8_LAB.

在正三角形钻4中，AB±Bp,

由（1）知，CB_L平面43月4，OB]U平面A331A，则CB_LO4,

而OD//BC,所以。。_1。片,

如图，以。为原点，OB,OD,。耳分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

贝UB(1,O,O),A(-I,O,O),耳(O,O,@,C(l,2,0),D(0,l,0),

设E(x,y,z),QE=2EC,则EC=；GC=；B|B=

由(l-x,2-y,-z)=^,0,-^y-,解得点E|>2,手].

<22b)

BQ=(0,1,-6),BXB—^1,0,—\/3j,BXE=—,2,.....-,

设平面的法向量为/=（/,%,z。,

%B[D=y-V3Zj=0

1取4=1,则%=%=6,

•BXB=xx-A/SZJ=0

平面BRB的法向量为%=（若,6,1）.

设平面与。石的法向量为巧=（工2，%*2），

n2-BXD=y2~也z?=0

由,