2025届高考数学二轮复习：点、直线、平面之间的位置关系（含解析）

2025届高考数学二轮复习专题卷点、直线、平面之间的位置关系

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。一、单项选择题：本大题共8小题，

每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正

确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知m,小/是三条不同的直线，a,（3是两个不同的平面，mua,nu/3,a[｝（3=l,mLl,

则是“加，〃”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知/,"是两条不同的直线,a,p是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A•若〃mila9则/〃加B.若/ua，mu)3，all[3»则〃/冽

C.若I_Laa1(3，Iu。，则/〃尸D.若ma,a1/3，则/_L/

3."平面°内有一条直线/,则这条直线上的一点A必在这个平面内”用符号语言表述是（）

、IuaIua

A.〉=>AuaB.>=>Aea

A(zZAGZ

lea—lea

C.>=>AwiD.>=>Aczor

Au/AeZ

4.若平面a〃平面〃,直线aua,直线bu/7,那么m匕的位置关系是（）

A.无公共点B.平行

C.既不平行也不相交D.相交

5.若/,相为两条不同的直线，a,为两个不同的平面，贝（J（）

A.若/〃。，mua,则〃/冽B.若〃mlla9则〃/加

C.若/_Lo，m1/3，/_Lm，则。D.若〃，all[3，则〃/

6.如图，在体积为V的三棱锥A-BCD中，E,F,G分别为棱AB，AC，AD上的点，且

AE=EBAF=2FC，AG=2G£＞，记。为平面BCGCDEDBF的交点，记三棱锥O-BCD的体

积为匕，则V：v=（）

A2B._C.1D.l

5567

7.已知非零向量6，g不共线，如果AB=G+e2，AC=2e1+8e2,AD=3G-3弓则四点A，B,

C,。（）

A洪线B.恰是空间四边形的四个顶点

C共面D.不共面

8.已知正方体ABC。-A4GR，若尸是棱耳G的中点，则异面直线4尸和CR夹角的余弦值为

)

口加

1c或A/10

A.-D.---------D.--

5555

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.已知四面体ABC。的每个顶点都在球。（。为球心）的球面上,△ABC为等边三角形，加为AC的

中点,筋=皮）=2,4£）=JL且4。，5。，则（）

A.BM平面ACDB.Oe平面ABC

C.O到AC的距离为空

3

10.设机、〃是两条不同的直线,a、夕是两个不同的平面，给出下列命题正确的是（）

A.若m_La，nila-则〃z_L〃B.若加_1_〃，nila'则/〃

C.右加cellp,则加_L/?D.若rnJ/a，nila1则加//〃・

11.下列说法正确的是（）

A.若加J_a,nila,则加_L〃

B.若all（3,pily,m-La,则根_L7

C.若mllanila,则mlIn

口.若。_17,。工y,则。_L/?

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图.已知圆锥的轴截面为等边△PAB，/%=2，。，。分别为A5，/%的中点C为底面圆周上一点.

若oc与pg所成角的余弦值为工.则cr>=.

13.两条异面直线所成角的范围是.

14.设w是两条不同的直线,a,£是两个不同的平面,给出下列四个命题：

①若mm_La，"cr，则”〃a；

②若mHa，a_L£，则m_L，；

③若_L夕，tz_L，，则m//a或mua;

④若mJ_〃，m_!_&，〃_L△，则

则其中正确命题的序号为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在四棱锥尸—A5CD中，平面ABCDJ_平面PAB'△R1B为等边三角形，四边形ABCD

为矩形，E为的中点.

(1)证明：平面ADE_L平面

(2)若AB=2AD，求二面角£一℃一5的余弦值一

16.如图所示，在直三棱柱ABC—A51cl中，44=6,BC=4,ZABC=ZACB,D为棱BC

的中点，E为棱8片上靠近用的三等分点，尸为线段A。上的动点.

(1)求证：qE±平面DEF；

(2)若四面体GDEF的体积为2寸0，求NEED的正弦值.

17•如图，在四棱锥.CD中，上4,底面A3CD，AD^AB^DC//AB-PA=AD^DC=1'

AB=2>E为棱Qfi上一点.

P

(1)若E是/35的中点，求证：直线CE〃平面QAD；

(2)若屈=彳而，且二面角E—AC—5的平面角的余弦值为逅，求三棱锥后—ABC的体积

3

18.如图，在三棱柱A3C—4与。］中，底面ABC是等边三角形，N4A3=N4ACQ为的中点，过

B©的平面交棱AB于瓦交AC于F.

（1）求证:平面A.AD1平面EB&F；

（2）设M为3©的中点，平面EB[CiF交AD于尸，且PD=2Q4•若PM=A3=6，且NMPD=1，

求四棱锥3-C/的体积.

19.如图，在直三棱柱ABC—A与G中，AB±AC'AB=AC=AA=2,点£、尸分别为棱AB、

44的中点.

⑴求证：人尸〃平面BCE；

⑵求直线GE与直线AF的夹角的余弦值;

⑶求点F到平面BgE的距离.

参考答案

1.答案：A

解析：充分性：若因为。「，=/,

mua,ml.1,所以J_，，

因为“u，，所以m_L〃，则充分性成立.

必要性：当〃〃/时，。与，不一定垂直，则必要性不成立.

所以±13”是的充分不必要条件.

故选：A

2.答案：C

解析：A：若ma，mlla^则/、机相交、平行、异面都有可能，错;

B：若lua，mu/3，allf3>则/、机平行、异面都有可能，错；

C：若aL/3，贝Mu尸或〃/，，又/</夕，所以〃/万，对；

D：若〃/&，a，则/、夕平行、相交或/u，都有可能，错.

故选：C

3.答案：B

解析：•.・平面a内有一条直线/ua,

•.•点A在直线/上，.•.Aw/,

:.A^a-

故选：B.

4.答案：A

解析：由题，直线。，6分别含于两个平行的平面，

可能平行，可能异面，但不可能相交.

故选：A

5.答案：C

解析：根据线面平行的性质定理，

若〃/a，mua,则〃/加或/与相异面，A错误；

平行与同一平面的两条直线位置关系不确定，可能平行、相交或异面，B错误;

如图，Bu/，过点5作机的平行线几，设/,〃所在平面为y,

且7Pl月=6，则〃J_Z?，根据己知/所以〃_!_/，

，且ZJU〃，所以C正确;

若〃/。，。〃尸，则〃/尸或/u分，D错误.

故选：D

6.答案：C

解析：设36。。石="，跳'口。石=加，连接。'，。加，

易知平面BCG。平面CDE=QV，平面DBF。平面CDE=DM，

显然CNDOM=O.

.AE=EBAF=2FC^AG=2GD

—►1—►—►2—►—»2—►

AE=-AB^AG=-AD^AF=-AC

233

在△ABZ）中，设前=彳屈，0</1<1,函=〃而，0<〃<1，

°

AN=AG+GN=AG+AGB=AG+A(AB-AG^=AAB+^1-A)AD^

AN=AE+EN=AE+JU^D=AE+JLI(AD-AE)=^(1-JLI)AB+JLIAD,

2=;(1-〃)

2=-

4

由平面向量基本定理得：<2，解得

1

§(1-几)=〃〃二一

2

在△ABC中，设丽r=加而，O<〃2<1，^7=〃2ZSO<“<1，

2

AM-AF+FM-AF+mFB-AF+m(^AB—AF^=mAB+—(1—m)AC

AM=AE+EM=AE+nEC=AE+n(AC-AE)=^(l-n)AB+nAC，

m=—

由平面向量基本定理得:解得,4

1

g(l一加)=nn=—

12

即两」丽，丽7」比;

42

DO2

DOCD2DM3

设点O,M,E,A到底面的距离分别为h0,hM,hE,hA,

h0_DO_2&*」短=里==

1*35

'hMDM3hEEC2®AB2,

1V.h

则匕%二/xLJ_,

V%，hhAhMhEhA3226

3uABCD"A

故选：c.

7.答案：C

解析：因为AB=耳+02，AC=2el+8e,,AD=3e；-3e2

显然抽，/不共线，则A,B,C三点不共线，

所以5AB—AD=5+e?)—(3,—3%)=2,+8e,=AC,

所以须，AD,市?共面，

又A为公共始点，所以A,B,C,。四点共面.

故选：C.

8.答案：D

解析：令正方体ABC。—A4Gq的棱长为2,连接BA1，BP,

则4P=族=底%B=2也

四边形A.BCD,是正方体AG的对角面，

则四边形AXBCD,是矩形，即%BHCD\,

因此NBAP是异面直线4P和CQ所成的角，

卜。后〉如

在等腰△2413中，cosNB41P=

所以异面直线A.P和CQ夹角的余弦值为普.

故选：D

解析：设△A3。的中心为G,过点G作直线/_£平面ABC,

则球心。在/上.由M为AC的中点，得5M■工AC.

因为ACJ.5。•所以AC，平面则ACLD0,

所以AD=DC=yfl，所以AD-+DC2=AC2，所以ZADC=90°，。知=L4。=1，所以

2

DM2+BM2=BD"

所以BM±DM，可得BM，平面AC。，

所以球心0在直线MB上，因此。与G重合.过M作MH±CD于"，

连接。只则OH_LCD，从而ZOHM为二面角A-CD-O的平面角.

因为。〃=吗=亘碗=必=也，

3322

所以。到AC的距离为止，且tanZOHM=-=也-

3HM3

故选:AD

10.答案：AC

解析：对于A：因为可知在平面a内存在直线/,使得///n，如图所示,

又因为且/ucr，则加所以加_!_〃，因此A正确;

对于B：如图所小：m_Lnf〃〃a，但加〃a，故B错误；

对于C：若加_La，all(3，则由线面垂直的判定定理得zn_L/?,故C正确.

对于D：mHa»nila»如图所小，m[\n—P»故D错误.

m

故选：AC.

11.答案：AB

解析：对于A,因为M/a,过直线〃作平面，，使得0n力=。，

因为M/a,nu(3,a[}/3=a,则〃〃a,

因为根_La,aua,则m_LQ,故加_L〃，正确;

对于B,若。〃/7,mLa,则加_L/?,又，〃则加_L7,正确;

对于C,若mHa,nila,则〃或相与〃相交或根与〃异面，错误;

对于D,若。_1/,01丫,则。〃分或。与，相交，错误.

故选：AB

12.答案：逅或叵

22

解析：连接OD，O,Z）分别为AB，Q4的中点・

则OD//PB，OD=LpB,

2

所以NCOD（或其补角）为异面直线0C与P5所成的角,

所以cosZCOD=',或cosZCOD=---

44

又OC=1，。。"

当cosZCOD=：时，CD=7(?C2+OD2-2OC-ODcosZCOD=

l+l-2xlxlx—,

42

当cosNCOD=-；吐CD=OC~+OD2-2OC-ODcosZCOD=Jl+l+2xlxlx；=T,

所以CD=Y5或巫.

22

故答案为:逅或巫.

22

13.答案：|^0,|

解析：根据异面直线的定义，两条异面直线所成角的范围是为.

故答案为：|^0,|.

14.答案：①③④

解析：①若根_]_〃，根_La，有〃ua或几〃。，又〃a0,则nila，对；

②若m//a，a_L/?，则皿。相交或mlip或加u力，错；

③若加ua,加_L/?,则C，满足；

若设2口力=，，在a内作直线〃

又o_L/,则〃_L/7,而zn_L0,所以m//n，

由〃ua,则m//a.

综上,mlla或根ua,对；

④若加_|_a,〃_L/3，将m,n分别看作a,）3法向量所在直线，又m-Ln,则a1/3，对.

故答案为：①③④.

15.答案：（1）证明见解析；

。

(2)2

解析：(1)证明：因为为等边三角形，E为的中点，所以AEJ_PB.

因为平面A5CD，平面已钻且相交于A3，ADrAB^ADu平面ABCD，

所以ADJ_平面乃43，而PBu平面#45，则

又AZ)r|AE=A，AD,AEu平面ADE，所以。B_L平面ADE.

因为Qfiu平面PBC，所以平面ADE，平面PBC-

(2)以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z.

不妨设依=AB=Q4=2,则AD=1，。(0,0,1)，E坐；,0，C(0,2,l)，

122J

__.-.(J33、

DC=(0,2,0)，DE=—,-,-1

设平面££>C的法向量为比=(X，M，ZJ，

r——2y=0

则17nl《m-D—C,=0，代/43.-入rzg可「得□

mDE=Q—X+-U-Z,=0

iI21211

令％]=2，则乂=0，Z]=^3，所以玩=(2,0,•

由题意可知n=(1,0,0)是平面ABCD的一个法向量，

m-n2近

所以|cos〈泣①|=

\m\\n\岛~T~

所以二面角石_℃一5的余弦值为冬夕•

7

16.答案：（1）证明见解析

解析：（1）由于NA5C=NACB,

所以A3=AC,由于。是的中点，

所以AZJL5C,由于CCj,平面ABC,ADu平面ABC,

所以CC]，A£>,由于

BC,。£匚平面3。。内，

所以AD_L平面BCG；耳，

由于GEu平面BCC[5],所以AD_L£E.

由题设易知4E=2,BE=4,GE=DE=25C；D=2^/10

所以GE?+DE2=GL）2,所以GELDE，

由于40。。£=。，AD,DEu平面。EF,

所以GEL平面DE尸；

⑵由⑴得AD_L平面BCC4,所以曾产_1平面3CC]B[,

匕DEFCDE=-|-x275x2V5|xDF=—,DF=2,

C]一L）tLrr—L-^Uc,3（2''J3?

由于DEu平面BCC14,所以。尸，DE,

所以EF=,22+(2布j=2瓜,

A/30

所以sin/£FD=#

~6~

2V6

17.答案：（1）证明见解析；

⑵工

6

解析：（1）证明：取的中点「连EF，DF'

•.•E为依的中点，.♦.EF7/AB且=

2

又CD〃AB，且CD=LAB，

2

EF//CD>EF=CD，

所以四边形CDEE为平行四边形，

CEHDF，

又CEO平面MD，DEu平面PA。，

故直线CE〃平面PAD

(2)以A为坐标原点，以A£)，AB,AP所在射线分别为x，》z轴建立空间直角坐标系A-孙z，

如图所示,

则A(0,0,0)0)，P(O,O,1)1)，3(0,2,0)，C(l,l,0)1

设E(x,y,z)，则屋=(x,y,z-l)，PB=(0,2,-l)-

在棱PB上，,可设而=力而(0<X<l)，

x=0

故(x,y,z—l)=2(02—1)，解得<y=24，即E(0,241—丸)，

z=1—A

易知平面ACB的法向量为U=(0,0,1)，

设平面ACE的法向量。=(々,%*2)，AE=(0,22,1-2)>AC=(1,1,0)-

v-AE=0f(x2,y2,z2)-(0,2/l,l-Z)=0

__，即<

v.AC=0[(x2,y2,z2)-(l,l,0)=0

f22y+(l-2)z=0

即V22

%+为=0

22,22

取x,=1，则%=-1，z=-----(------>0)，

21-21-A

故”(1,-1,当,

1-A

因为二面角£_AC—5的平面角的余弦值为四,

3

所以।cos〈五万〉|=逅，即巫EL=Y5，

3\u\-\v\3

即，L)2=2[I+I+(工£力，

1-231-2

22

l(2£)2=l^(J_)2=1^2=i-2A+/i-解得几=工

31-231-/12

故E是尸3的中点，

因此%-ABC=5ABC•PA=—X—X—x2xlxl=—

2326

18.答案：（1）证明见解析

(2)24

解析：（1）证明:连接4瓦A0.

因为N&AB=NA&C，AB=AC，"=抽

所以△A1AB之△4AC,所以=AC.

因为。为BC的中点，所以BC,A。.

因为AB=AC，。为5C的中点，所以BC,AD-

因为4。04。=。，4。，4£＞（=平面44。

所以6。_1_平面44。・

又BCJ/BC,所以瓦G，平面AAD.

又AGu平面EB|C尸

所以平面A.AD1平面EBgF.

（2）由题意得:AP=LAD=^^义6==—AD=2A/^，

33