2025高考二轮模拟冲刺 数学试卷（天津卷）（全解全析）

2025年高考第二次模拟考试

高三数学（天津）01•全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的）

1.已知集合&={%€2卜14》<2},8={X€冈04%<3},则AP|3=（）

A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2）

c.{0,1}D.{1,2}

【答案】C

【解析】由题意4={尤"卜14%<2}={-1,0,1},3={尤€冲04尤<3}={0,1,2},所以4口8={。』}.故选：C.

2.设。，6都是不等于1的正数,则“log“3>10gz,3>1”是“3。<3"的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】。，b都是不等于1的正数，

由log03>l0gzi3>1,得1<。<占<3,二3"<3";

反之，由3"<3〃，得a<b,若0<"1,b>l,则loga3<0,故log.3>10gA,3>1不成立.

"log03>l0gz.3>1"是"3"<3”的充分不必要条件.

故选：B.

3.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）

25—25厂25—2517r

2020v.2020••

15151515

10101010A.

5J55:,5

0510152025051015202505101520250510152025

相关系数小相关系数-2相关系数,3相关系数值

马h<r2<r3<r1C.h<r2<r{<r3D.0

【答案】A

【解析】由给出的四组数据的散点图可以看出,

图1和图3是正相关，相关系数大于0,图2和图4是负相关，相关系数小于0,

图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以弓接近于1,4接近于-1，

由此可得4<〃<0<4</.故选:A.

4.下列函数不是奇函数的是（）

A.y—x+sinxB.y=sinxcosx

—tanx

C.y=cos2x-sin2xD.y二-----b

l-tan2x

【答案】C

【解析】对于A,定义域为R，于（-九）=-X+sin（-X）=/⑺,所以/（x）为奇函数,

对于B,定义域为R,且〃-x)=sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx=-/(x),所以〃元)为奇函数,

对于C,定义域为R，K/(-x)=cos2(-x)-sin2(-x)=cos2x-sin2x^f(x),所以为偶函数,

兀7L兀一

对于D,定义域满足tanxw±l且xw-+E,左EZ,所以XW土一+fai,%£Z且％w—+fai,kEZ,

242

故定义域为++E或++E或£+左兀<x<>for法eZ卜故定义域关于原点

对称，且〃/一、力=匚tan高层=匚嬴-ta互nx=-〃尤/、），所以为奇函数，

故选：C

5.若。=5°」,6=0.2°3,c=logo24,则a,b,c的大小关系为()

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

0A3

【解析】a=5>5°=b0<Z>=0.2°<0.2°=bc=log024<loga21=0,故a>b>c.

故选:B.

6.设“3〃是两条直线，a,4是两个平面，则下列命题为真命题的是()

A.若机_L(z,n工B,机//“，则<z_L"

B.若ac。=m,n1!a,〃//万，则

C.若根ua,nu0,mlIn,则a//°

D.若tzJ■尸，mlla,〃///?,则

【答案】B

【解析】小，〃是两条直线，«,£是两个平面，

对于A,若加」a,nY13,m//n,则由面面平行的判定定理得&〃£，故A错误；

对于B,若=及〃々，川|夕，则由线面平行的性质得加〃”，故B正确；

对于C,若mua,nu/3,m〃〃,则。与月相交或平行，故C错误；

对于D,若m\\a,n\\/3,则机与〃相交、平行或异面，故D错误.

故选：B.

7.函数/(x)=2sin(2尤+9)］。<9<鼻的图象关于直线x4对称，则/(x)在j,7t上的最小值为()

A.-2B.-73C.-1D.-72

【答案】A

［解析］由题意2x^+9=彳+fat,左eZ,则夕=1+也,左€2,又0<夕

1223，

JTjr

所以<=贝！］/(%)=2sin(2%+§),

*「兀11c兀「4兀7兀、7iJ3

在5,兀上，+yet—，—］，sin(2x+—)G［-1,—］,

所以/(%)最小值为-2.故选：A

22

8.已知双曲线L-2=l(b>0),以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相

4b

交于A、B、C、。四点，四边形ABC。的面积为26,则双曲线方程为()

4443

【答案】D

【解析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x?+y2=4,双曲线的两条渐近线方程为

y=±-x,

不妨设A在第一象限，则A，;四边形A5CD的面积为劝,

，由对称性可得2x・Z?x=2Z?,又x>0,x=l9

将A,5］代入1+;/=4,可得1+勺=4,二6=12,

22

...双曲线的方程为匕=1,

412

故选：D.

9.庞殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”,如图

_3

⑴所示.现有如图⑵所示的虎殿顶式几何体ABCDW,其中正方形ABCD边长为3,MN//AB,MN

-2,

且跖V到平面ABCD的距离为2,则几何体ABCDW的体积为（）

【答案】D

【解析】取的中点分别为£E,连接NE,EF,NF,

可得几何体ABCDMN分割为一个三棱柱ADM-FEN和一个四棱锥N-F3CE,

将三棱柱ADM-FEN补成一个上底面与矩形ADEF全等的矩形的平行六面体，

可得该三棱柱的体积为平行六面体的一半，

119

则三棱柱ADM-询的体积为匕=-X2X-X32=-,

四棱锥N—FBCE的体积为％=1x1x9x2=3,

915

所以该几何体的体积为3+己=万.故选：D.

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.

10.已知复数Z1=i,z2=2+i,那么z「Zz=.

【答案】—l+2i

【解析】由题意可得：z,-z2=i(2+i)=-l+2i.

(1丫

11.若x2--^=的展开式中二项式系数之和为256,则展开式中常数项是

【答案】28

【解析】因为的展开式中二项式系数之和为256,

所以2"=256,故〃=8,即该二项式为Y一

216-2k--k

设其展开式的通项为Tk+l,则Tk+l=以(x「(-1)=(-球*

当16-2"：左=0时，即Z=6,此时该项为C；x(-1)6=28

12.已知抛物线f=4y,斜率为-g的直线交抛物线于A,8两点.若以线段AB为直径的圆与抛物线的准

线切于点尸，则点尸到直线AB的距离为.

【答案】4

【解析】设直线的方程为〉=-：、+6,联立抛物线的方程无2=分，消去y得/+2》-46=0,所以

A=4+16/?>0.

设A。1,%),B(X2,y2),所以占+%=-2，%-％=一4。.

因为P(国三，-D「(-1,-1).所以丽=(占+1,%+1),丽=(9+1,%+1)-

因为以线段AB为直径的圆与抛物线的准线切于点P,所以PAYPB,

即丽・丽=(玉+1)(%+1)+(%+1)(%+1)=0,二6=1

所以直线的方程为y=_gx+l,即x+2y_2=0

因为P(-l,-1),所以点P到直线48的距离为

13.甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项

目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共

有一种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B

为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则尸（用A）=.

【答案】301

【解析】依题意，甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方案共C；A；=36种，

其中甲、乙参加同一项目的方案A；=6种，

则所求的参赛方案一共有36-6=30种；

因为甲、乙两人不能参加同一项目，所以丙、丁两人不能参加同一项目，

则甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，这里有C；C；A；=24种方案，

若甲单独选择跳台滑雪，则丙、丁可分别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一，

故总共有A；C；=4种不同的方案；

若甲和一人一起选择跳台滑雪，则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2个人分别选择2个项目，

故共有C；A；=4种不同的方案；

同理，乙单独选择跳台滑雪,有A；C；=4种不同的方案；

乙和一人共同选择跳台滑雪,有C；A；=4种不同的方案，总共有16种方案.

16

所以SA片石1r亘

30

14.在边长为2的菱形ABCD中，ZABC=120°,E是的中点，P是边GD上的一点，DE交AF于H.若

斤是的中点，AH=AAB+^BC,则％+M=；若P在边CD上（不含端点）运动，则加・丽

的取值范围是.

【答案】I苗

【解析】（1）如图所示：

设用=/衣=/(而+;确=/就+;诚

由三点共线，

可设加=%而+(1-幻亚

1—►

=kAD+(l-k)(AB+-AD)

=2+?］而+°4)荏'

1k

t=—+—

22

则有，解得：

-=l-k

12

—.4―■2—■6

:.AH=-BC+-AB,即2+〃=于

(2)如图所示：当点尸与点C重合时，此时七月最长,

易知AADHS史EH,且相似比为2:1,

ZDCB=60°,在△DCE中，由余弦定理得:

DE2=DC2+CE2-2DCXCEXCOS60°=3，

所以。E=石，此时满足龙2+应2=%2,所以DEJ_CE,

所以ZADE=90。，此时£>//=2。石=冬叵

33

由图可知，DH&

2I12

贝!)左瓦斯=(而+丽)•丽=昉丽+丽■一二|函~6

2|X+6Z|,X<0

15.设〃£区，函数/(%)=,若函数y=/(x)-网恰有4个零点，则实数。的取值范围

lx2-5x+4|,x>0

为.

【答案】-IvavO或1＜々＜2

【解析】因为函数y=/(力-同恰有4个零点,

所以丁=/(力的图象与y=|同的图象有四个交点，当。=0时，如图所示,

y=/(力的图象与y=|以|=0的图象仅有两个交点，与题意不符;

当〃＜0时，如图所示,

在xe[l,4]上，当/(%)=—犬+5%-4与y=一双相切时,

.Iy——f+5x_4

联立,,得一%之+5%+以一4=0,

[y=-ax

贝!）A=（5+a）~—16=0,得a=-1（舍去a=—9）,

由图可知，当。＜-2时，，=辰|与y=/(x)在(-8,0)有一个交点，在(0,+℃)有两个交点，与题意不符,

所以当-2Wa＜-l时，丫=同与y=/(x)在(-8,0)无交点，在(0,+℃)有两个交点，与题意不符,

当.=-1时，y=H与在(一咫0)无交点，在(0,+8)有三个交点，与题意不符,

当—1＜。＜0时,y=附与y=/(x)在(-8,0)无交点，在(。,+◎有四个交点，符合题意;

当。＞0时，如图所示,

在xe[l,4]上，当〃力=*+5了-4与尸融相切时，

联立+5"一4,得_》2+5%_依_4=0,

[y=ax

贝！]△=（5-a）~-16=0,得a=l（舍去a=9）,

由图可知，当0<"1时，丫=网与y=〃尤）在（-e,。）有两个交点，在（。,+°°）有四个交点，与题意不符,

当°=1时，丁=同与丁=/（"在（-8,0）有两个交点，在（0,+8）有三个交点，与题意不符,

当l<a<2时，丁=网与y=/（x）在（-8,0）有两个交点，在（。,+«）有两个交点，符合题意,

当a>2时，>=同与_y=/（x）在（-吆。）有一个交点，在（。,+°0）有两个交点，与题意不符.

综上所述，-1<a<0或1<°<2.

四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步果。

16.（本小题满分14分）在非等腰VABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，且a=3,c=4,

C=2A.

⑴求cosA的值;

⑵求VA3C的周长;

(3)求cos(2A+%J的值.

【解】（1）在VABC中，由正弦定理三二上二三，a=3,c=4,

sinAsinBsinC

34

可得

sinAsinC

43_4

因为C=2A,所以一即

sinAsin2AsinA2sinAcosA

2

显然sinAwO,解得cosA=].

（2）在VA5C中，由余弦定理/=/+。2—2ACOSA,

得户—口+7=0,解得6=3或b=g.

7

由已知〃，b,。互不相等，所以人二铲

728

所以GABC=〃+6+。=3+4+§=与,

(3)因为cosA=：,所以sinA=，l—cos2A=@,

33

所以sin2A=2sinAcosA=^^，cos2A=2cos2=,

99

f1^1734A/5173+475

所以cosI2A+—j=cos2Acos——sin2Asin——x-------x—=--------

I6)66I9)29218

17.(本小题满分15分)如图，四边形ABCD是正方形，P£»_L平面ABC。，PD//EA,AD=PD=2EA=2,

F,G,H分别为BP,2瓦尸C的中点.

⑴求证：FG〃平面PQE；

(2)求平面FGH与平面PBC夹角的大小；

(3)求点E到平面PBC的距离.

【解】(1)由题意凡G分别为8P,BE的中点，

所以FG是尸E的中位线，

^FG\\PE,

又尸G<Z平面PEu平面PDE,

所以PG//平面PDE；

(2)由于四边形A3CD是正方形，尸。_L平面A3CD,

所以以DC,DP两两垂直，

以D为坐标原点，DA,DC,分所在直线分别为％Xz轴建立空间直角坐标系,

如图所示：

又AD=PD=2EA=2,EG,”分别为BP,BE,PC的中点,

则P(0,0,2),E(2,0,1),8(2,2,0),C(0,2,0),

所以G[2,1,£|,“1,1,1),"(0,1,1)；

PC=(0,2,-2),BC=(-2,0,0),GF=f-1,0,1j,M=(-1,0,0)

设平面P8C的一个法向量加=(%，X，zJ,

PC_LmPC-m=2y-2zj=0

则___=1

BCJ_mBC,m=-2玉=0

解得g=0,令M=l,得4=1；

即访=(OJl),

设平面FGH的一个法向量为五=(%,%，Z2)，

_.(—►1

rGFLnG厂为=一/+—Z2=0

则一=2,

FH±n石K-n

i[FHn=-x2=0

解得％=0*2=°,令%=L

即3=(0,1,0)；

设平面FGH与平面PBC夹角的大小为0,

所以cos*2s伍小欣=京=三,

jrqr

又夕£0,-,所以

L2J4

即平面FGH与平面PBC夹角的大小为?；

（3）由（2）平面尸3c的一个法向量为访=（O,LI）；

又诙=(0,-2,1),

所以点8到与平面PBC的距离距为:

1_y/2

d

同V2-2

22i

18.（本小题满分15分）已知椭圆C:1ry+方v=1（。＞万＞。）的离心率为万，左、右焦点分别为耳、耳，上、

下顶点分别为4、B2,且四边形瓦片民居的面积为2月.

（D求椭圆C的标准方程;

（2）已知点”直线/：＞=6+加（加关0）与椭圆C交于P、。两点，与y轴交于点N,若|而^=1祈。|,

求AN与耳面积的取值范围.

【解】（1）由椭圆的离心率为可设a=2f,c=t（t＞0）,贝］6=6r,

四个顶点构成的四边形为菱形，其面积为S=-2c-2b=-2t-2yl3t=2舟=2A,

22

即f=l,所以椭圆的方程为：土+匕=1.

43

22

（2）设pa，%）,。优,%）,联立直线＞=依+，〃与椭圆3+q=i,

消去y可得（3+4〃*+8.+4帚-12=0,

A=(8M2-4(3+4Z:2)(4m2-12)>0,贝！|病<3+4/,玉+%=言*，玉%

DI/1K3Ii"/C

设躅的中点为则等，所以《曲

3mV13

因为I而？1=1加I，所以尸Q,所以3+4.左=_1,

-。4km-

3+4左2

山is3mJ134mm关，所以利=一*（3+叼，

所以----y--一二----r，即nn-----7

3+4k2123+4k23+4%2

又N（0，m），所以外晒=gx2cx帆=同=*（3+4/"坐x3=乎,

212m々.12机12

又4k=一下f故"2(一即一;

所以H的取值范围是孚引小蛋'

19.（本小题满分15分）已知等差数列｛叫的前〃项和为%卬=2,邑=14,数列也｝满足乙=4,

%=3%-2.

⑴求｛优｝的通项公式：

善父,〃为奇数

⑵设数列｛1｝满足g=<“"，

"为偶数

I%

①求｛c,｝前2“项中所有奇数项和琦，②若｛9｝的前〃项和为】，证明：

【解】（1）因为%=3〃-2,所以（配「1）=3。“-1）,且4-1=3彳0,

所以也-1｝是首项为3,公比为3的等比数列，所以勿-1=3",所以4=3"+1,

所以也｝的通项公式为勿=3"+1；

（2）①设｛q｝的公差为d,因为4=2,邑=14,

所以4%+6d=14,所以d=l,所以。“=2+（"-l）xl=〃+l,

7一3J，"为奇数11________1__，_〃为奇数

(〃+1)(〃+3)4<(M+1)2("+3)、

所以C”=■1八1，所以g=

S.”为偶数£，"为偶数

/、/

所以7111fill

2"<)底】2〃+2『J+序+*+3+

(/、八

4“1111m_3i

所以2"<443+2d-W厂正一4⑶+2)2

又因为五所以小2

20.(本小题满分16分)已知函数/(x)=g尤2-alnx+b(aeR).

⑴若曲线V寸(x)在尤=1处的切线的方程为3x-y-3=0,求实数①b的值;

⑵当。=1时，/(占)=/(%)，且占//，求证网+无2>2.

(3)若。<。41,对任意占，马右。，2］，不等式|/区)-/(马)|2根--：恒成立，求机的取值范围;

【解】(1)/(乃二!/一aln尤+6,;./'(%)=无一@,

2x

•・・曲线y寸㈤在产1处的切线的方程为3x-y-3=0,

所以/'⑴=1_々=3,/(l)=g+人=0,/.a=-2,b=--•

11Y2—1

(2)当a=l时，f(x)=-x1—\nx+b,{x>G),则尸(x)=x—=----，

2xx

当0<x<l时，/'(尤)<0,f(x)递减，当x>l时，/'(x)>0,f(x)递增，

由于%)=/(々)，且灰片/，故不妨设。<玉<1<%，

则要证明须+无2>2