2025北京某中学中考模拟数学试卷（含答案详解）

2025北京首都师大附中初三模拟考试

数学

第I卷（共32分）

一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所列出的四个选项中,

只有一项是最符合题目要求的）

1.如图是某几何体的三视图，则该几何体是【】

A.圆锥B.圆柱C.三棱柱D.三棱锥

2.据报道，2024年春节假期北京接待游客约1750万人次，旅游收入同比增长近四成.将

17500000用科学记数法表示应为（）

A.175x10sB.1.75xl06C.1.75xl07D.0.175xl08

3.如图，ABIBC,ADHBE,若/B4D=28。，则/C3E的大小为（）

4.实数。在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

a

-3'-2-1~0~1~2~3_**

A.aN—2B.u<—3C.—“>2D.—。23

5.每一个外角都是40。的正多边形是（）

A.正四边形B.正六边形C.正七边形D.正九边形

6.关于尤的一元二次方程/+2》+机=0有两个相等的实数根，则〃，的值为（）

A.-1B.1C.-4D.4

7.2024年央视春晚的主题为“龙行麟（da）篇,欣欣家国”.“龙行噩噩”寓意中华儿女奋发

有为、昂扬向上的精神风貌.将分别印有“龙”“行”“矗”“矗”四张质地均匀、大小相同的卡片

试卷第1页，共8页

放入盒中，从中随机抽取一张则抽取的卡片上印有汉字“猫”的概率为（）

A.-B.；C.-D.—

3236

8.如图，在等边三角形48c中，有一点尸，连接尸2、PB、PC,将8尸绕点2逆时针旋

转60。得到AD,连接尸AD,有如下结论：①ABPC均BDA；②△8DP是等边三角形;

③如果NBPC=150。，那么尸/2=尸出+尸02.以上结论正确的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分）

9.若代数式早1在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

10.分解因式一4a=.

12

11.方程上=「的解为____.

x3x-l

k

12.在平面直角坐标系》。了中，若函数^=—（左片0）的图象经过点/（。,2）和8（6,-2）.则。+6

x

的值为.

MN

13.如图，在矩形/BCD中，M,N分别为3C,CD的中点，则下的值为.

14.某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对2000棵该品种树苗进行抽

测.近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度X（单位：cm）.数据经过整理后

绘制的频数分布直方图如右图所示.若高度不低于300cm的树苗为长势良好，则估计此时该

基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有棵.

试卷第2页，共8页

15.如图，A3是。。的直径，点C在。。上，过点B作OO的切线与直线/C交于点D.若

ND=50°,贝jOC=<

16.小明是某蛋糕店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打八五折.周末

他去蛋糕店，发现店内正在举办特惠活动：任选两件商品，第二件打七折，如果两件商品不

同价，则按照低价商品的价格打折，并且特惠活动不能使用会员卡.小明打算在该店购买两

个面包，他计算后发现，使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差0.9元，则花

费较少（直接填写序号:①使用会员卡;②参加特惠活动）；两个面包的定价相差________元.

第n卷（共68分）

三、解答题（本题共68分，第17—19题，每题5分，第20—21题，每题6分,

第22—23题，每题5分，第24题5分，第25题6分，第26题6分，第27—28

题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.计算：2sin60°+|-l|+g1-V12；

4x-3<5

18.解不等式组：<2x+l

-------->2-x

[3

4。+1

19.已知6?一4a=0,求代数式/八20,的值.

1)+2b

20.如图，在口4BCD中，。为NC的中点，点E,尸分别在BC,4D上，E尸经过点,0,AE=AF.

试卷第3页，共8页

⑴求证：四边形"ECF为菱形；

(2)若£为8c的中点，AE=3,AC=4.求45的长.

21.下图是某房屋的平面示意图.房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地

面铺设瓷砖.将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元.若

每平方米木地板的瓷砖的价格之比是5:3,求每平方米木地板和瓷砖的价格.

22.在平面直角坐标系中，一次函数歹=丘+6(左片0)的图象由函数y=2x的图象向

下平移4个单位长度得到，且与x轴交于点/.

(1)求该一次函数的解析式及点/的坐标；

(2)当x>2时，对于x的每一个值，函数>=x+〃的值小于一次函数了=Ax+b(左片0)的值

且大于-3,直接写出”的取值范围.

23.2024年1月3日北京市生态环境局召开了“2023年北京市空气质量”新闻发布会，通报了

2023年北京市空气质量状况：北京2023年PM2.5年均浓度为32微克/立方米，PM2.5最长

连续优良天数为192天，“北京蓝”已成为常态.下面对2023年北京市九个区PM2.5月均浓度

的数据进行整理，给出了部分信息：

a.2023年9月和10月北京市九个区PM2.5月均浓度的折线图：

试卷第4页，共8页

PM2.5月均浓度(微克/立方米)

SO-

IO.

5・

aaaai*«•一

O东城西城海淀朝阳房山M义大粕怀柔平谷区

年9月和10月北京市九个区PM2.5月均浓度的平均数、中位数、众数：

PM2.5月均浓平均中位众

度数数数

9月29.6mn

10月37.43636

(1)写出表中小，〃的值；

⑵2023年9月北京市九个区PM2.5月均浓度的方差为,2023年10月北京市九个区PM2.5

月均浓度的方差为S?"贝！!5：_邑2(填“>”，"=”或“<”)；

(3)2013年至2023年，北京市空气优良级别达标天数显著增加，2013年空气优良达标天数为

176天，2023年比2013年增幅达到约54%,2023年达标天数约为一天.

24.数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器(如图所示)的设计方案.，

他们想探究容器表面积与底面半径的关系.

h

具体研究过程如下，请补充完整：

(1)建立模型：设该容器的表面积为Scm，底面半径为xcm,高为Vcm,则

330=7rx2y，①

试卷第5页，共8页

S=2TTX2+2/rxy,②

由①式得了=—代入②式得

可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是x>0.

（2）探究函数:

根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对

应值:

x1cm11.522.533.544.555.56

S/cm2666454355303277266266274289310336

在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该

函数的图象；

（3）解决问题：根据图表回答,

①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积.（填“大”或“小”）；

②若容器的表面积为300cm。容器底面半径约为cm（精确到0.1）.

25.如图，。。是VN8C的外接圆，OO的直径4D交于点E,点。为前的中点，连接

BD.

试卷第6页，共8页

⑴求证：NDBC=/BAD；

（2）过点。作交5。的延长线于点尸，若cos/DBC=2,DF=3,求4C的长.

2

26.已知抛物线>=-尸+2及，若点尸（-1,乃），。（；，为］，加（叽％）在抛物线上.

（1）该抛物线的对称轴为（用含f的式子表示）；

⑵若当加=2时，％=0,贝I"的值为；

⑶若对于2Wm43时，都有%〈%<%，求才的取值范围.

27.在V/BC中，AC=BC,N/C8=90。，点。在8c边上（不与点3,C重合），将线段

4D绕点4顺时针旋转90。，得到线段连接DE.

A

K

CDB

（1）根据题意补全图形，并证明：NEAC=NADC；

（2）过点C作ZB的平行线，交DE于点F,用等式表示线段跖与。尸之间的数量关系，并证

明.

28.在平面直角坐标系xOy中，OO的半径为2.对于直线/和线段BC,给出如下定义：若

将线段8C关于直线/对称，可以得到O。的弦2'C'（A，C'分别是'C的对应点），则称

线段BC是以直线/为轴的QO的“关联线段”.例如，图1中线段8C是以直线/为轴的。。的

“关联线段”.

试卷第7页，共8页

¥■>

X

图1图2

(1)如图2,点片，G，B2,G为，G的横、纵坐标都是整数.

①在线段3G，B2C2,83c3中,以直线4：^=云+4为轴的。0的“关联线段”是_；

②在线段4。，B2C2,83c3中,存在以直线仆y=-x+b为轴的。。的“关联线段”，求6

的值；

(2)已知直线4：>=-技+加(加>。)交x轴于点/.在V4BC中，AB=6,BC=2,若线段

8c是以直线4为轴的。。的“关联线段”，直接写出机的最大值与最小值，以及相应的/C的

长.

试卷第8页，共8页

1.A

【详解】由三视图判断几何体.

【分析】主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几

何体为圆锥.

故选A.

2.C

【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成ax10"的形式，其中1<|a|<10,〃为整

数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键.确定〃的值时,

要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.根据科

学记数法的定义即可得.

【详解】解：17500000=1.75x1()7,

故选：C.

3.C

【分析】本题平行线的性质，垂直的定义.根据平行线的性质得44班=/"。=28。，再根据

垂直定义得AABC=90。，即可由NCBE=AABC-NABE求解.

【详解】解：

NABE=ABAD=28°

AB1BC

：.ZABC=90°

NCBE=ZABC-ZABE=90°-28°=62°

故选：C.

4.C

【分析】本题考查了，利用数轴比较数的大；由。所在位置，得出。的取值范围，即可判断

A、B,根据不等式的性质得出的取值范围，即可判断C、D,即可求解，

【详解】解：由数轴可知：-3<a<-2,贝ij：A、B错误，不符合题意，

2<-a<3,贝！)：C正确，符合题意，D错误，不符合题意，

故选：C.

5.D

【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理.根据多边形的外角和是360。和这个多边形

答案第1页，共17页

的每一个外角都等于40。，即可求得多边形的边数.

【详解】解：：多边形的外角和是360。，这个多边形的每一个外角都等于40。，

,这个多边形的边数是360°+40。=9,

故选：D.

6.B

【分析】根据方程有两个相等的实数根，判别式等于零，进行求解即可.

【详解】解：••・关于x的一元二次方程f+2x+机=0有两个相等的实数根，

b1-4ac=4—4m=0,

m—1；

故选B.

【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数之间的关系.熟练掌握判别式等于0,

方程有两个相等的实数根，是解题的关键.

7.B

【分析】本题考查了概率公式，根据有4张卡片，其中“篇”有2张卡片，代入公式，即可作

答.

【详解】解：依题意，从中随机抽取一张则抽取的卡片上印有汉字“篇”的概率:

42

故选：B

8.D

【分析】①根据等边三角形的性质得出45=BC,N/8C=60。，根据旋转的性质得出

BD=BP,ZDBP=60°,即可求证；②根据旋转的性质得出50=8尸，403尸=60。，即可证明

△BDP是等边三角形;③根据等边三角形的性质得出尸=60。根据全等三角形的性质得

出乙408=150。，贝！I/4D尸==90°,即可推出「伊=尸无.

【详解】解：①•••V/BC是等边三角形，

；.AB=BC,ZABC=60°,

,/BP绕点B逆时针旋转60°得到BD,

:.BD=BP,NDBP=60°,

：.ZABC-NABP=NDBP-NABP,即ZABD=ZCBP,

•：AB=BC,ZABD=ZCBP,BD=BP,

/.^BPC^BDA,故①正确，符合题意；

答案第2页，共17页

②BP绕点B逆时针旋转60°得到BD,

/.BD=BP,ZDBP=60°,

...△8DP是等边三角形，故②正确，符合题意；

③•••△8。尸是等边三角形，

NBDP=60。

•：ABPC知BDA,NBPC=150°,

AADB=\5O0,

：.ZADP=ZADB-NBDP=90°,

：.PA2=PB2+PC2,故③正确，符合题意；

综上：正确的有①②③，

故选：D.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾

股定理，解题的关键的掌握旋转前后对应边相等；全等三角形的判定方法以及全等三角形对

应角相等；等边三角形的判定方法以及等边三角形三个角都是60度；直角三角形两直角边

平方和等于斜边平方.

9.x>l

【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于X的不等式，求出X的取值范围即可.

【详解】解：在实数范围内有意义，

解得%>1.

故答案为：XN1.

【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0.

10.。(。+2)((7-2)

【分析】本题考查因式分解.先提公因式。，再运用平方差公式分解即可.

【详解】解：«3-4a=a(a2-4)=a(a+2)(a-2),

故答案为：a(a+2)("2).

11.x-1

【分析】本题考查分式方程的解法.根据题意先去分母，再解整式方程，最后检验即可.

【详解】解：去分母，得3x-l=2x

答案第3页，共17页

解得X=1

检验：经检验X=1是原分式方程的解.

故答案为：x=l.

12.0

【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足

反比例函数的表达式是解决问题的关键.将点4。,2)和8(a-2)代入y=四6*0)之中得

kk

a=-,b=--,由此可得a+b的值.

22

【详解】解：；函数^=&(左片0)的图象经过点4。,2)和8(6,-2),

X

.-.2=-,-2=-,

ab

k7k

ci=一,b—----,

22

Q+b=g+(—g)=0.

故答案为：0.

13.-##0.5

2

【分析】此题考查矩形的性质，三角形中位线定理.连接5。，利用三角形中位线定理得出

受MN"1,进而利用矩形的性质解答即可.

BD2

:.AC=BD,

•・・/，N分别为BC,C。的中点,

/.MN是丛CDB是中位线,

.MN

,•=1,

BD2

.MN_1

,•应—'，

故答案为：y.

答案第4页，共17页

14.940

【分析】本题主要考查了根据样本所占百分比估计总体频数，用2000乘以样本中高度不低

于300cm的树苗的百分比，即可求出结果.

【详解】解：该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有：

2000x空口=940（棵），

100

故答案为：940.

15.80

【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是

解题的关键.先根据圆的切线垂直于经过切点的半径得到90°,根据直角三角形两

个锐角互余计算出乙4=40。，然后根据圆周角定理即可求解.

【详解】解：：/台是。。的直径，8。为O。的切线，

ABLBD,

：.24BD=90°,

ND=50。，

N4=40°,

ZBOC=2ZA=80°.

故答案为：80.

16.①6

【分析】本题考查二元一次方程组的应用，可设面包贵的定价为x元，面包便宜的定价为y

元，根据使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差0.9元，列出方程即可求解.

【详解】解：设面包贵的定价为X元，面包便宜的定价为y元，则x>y,依题意有：

尤+0.7了一0.85（尤+了）=尤+0.7了一0.85尤一0.85y=0.15（尤一y）>0,

则使用会员卡花费少；

由0.15（x-y）=0.9,

解得x-y=6.

故参加特惠活动花费较少，两个面包的定价相差6元.

故答案为：①，6.

17.3-73

答案第5页，共17页

【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.利用特殊锐角三角函

数值，绝对值，负整数指数幕，二次根式的性质计算即可.

【详解】解：原式1+2-

=百+1+2-26

=3—^3.

18.1<x<2

【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的一般解法是解

决问题的关键.

2x+l

先解不等式4X-3<5,得X<2,再解不等式三一>2-X,得X>1,由此可得原不等式组

的解集.

4x-3<5,①

【详解】解：原不等式组为2x+l、小

-------->2-x.®

[3

解不等式①，得x<2.

解不等式②，得尤>1.

・,・原不等式组的解集为l<x<2.

19.1

【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据完全平方公式去括号，然后把分母合并同

类项得到学牛，再根据已知条件可得〃=4a,据此可得答案.

b+1

4。+1

【详解】解:

优-炉+26

4a+1

~b2-2b+l+2b

4。+1

,.万一4〃=0,

b1=4。•

4。+1

原式=

4。+1

20.(1)证明见解析;

⑵2百.

答案第6页，共17页

【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定

与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)先得出=ZFAO=ZECO.结合线段中点，得出NO=CO,得证

△NO尸会ACOE,根据一组令B边相等的平行四边形是菱形，即可作答.

(2)先得出=；4c=2,结合菱形性质，在RtZ\/OE中，由勾股定理得=炉-Ok,

代入数值进行计算，即可作答.

【详解】(1)证明：・••四边形/BCD为平行四边形，

AD//BC.

NAFO=ZCEO,ZFAO=NECO.

・.,。为/C的中点，

AO=CO.

:"OF知COE.

AF=EC.

AF\\EC,

四边形/ECF为平行四边形.

•••AE=AF,

四边形/EC尸为菱形.

(2)解：•.•。为/C的中点，AC=4,

:.OA=-AC=1.

2

•.•四边形/ECF为菱形，

ACVEF.

ZAOE=90°.

在RtLAOE中，由勾股定理得OE=yjAE2-OA2=V32-22=6.

•••E为BC的中点，

AB=2OE=2遥.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定

与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

21.每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元.

答案第7页，共17页

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键.设每平方米

木地板的价格为5x元，则每平方米瓷砖的价格为3x元，根据花费10000元，其中包含安装

费1270元列方程求解即可.

【详解】解：设每平方米木地板的价格为5x元，则每平方米瓷砖的价格为3x元.

厨房面积：2x3=6m2,

卫生间面积：2x3=6m2,

客厅面积：（8-4）x3+6x4=36m2,

卧室面积：5x3=15m2,

由题意可得，（6+6）X3X+（36+15）X5X=10000-1270,

解得x=30,

/.5x=150,3x=90.

答：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元.

22.（l）y=2x-4,/（2,0）

⑵VW-2

【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的应用，求一次函数解析式，一次函数

图象的平移：

（1）根据一次函数平移的性质可得y=2x-4,当y=o时，x=2,则可求得点/的坐标；

（2）根据题意可得x+〃<2x-4且x+〃>-3,再根据x>2,据此求解即可；

熟知一次函数的相关知识是解题的关键.

【详解】（1）解：•••一次函数了=Ax+b（k丰Q）的图象由函数y=2x的图象向下平移4个

单位长度得到，

,一次函数的解析式为V=2x-4,

当y=0时，0=2x-4,解得：x=2,

/（2,0）.

（2）•••当x>2时，对于尤的每一个值，函数V=x+”的值小于一次函数y=2x-4的值且大

于-3,

x+〃<2x-4且x+〃>-3,

即：X>4+7?JELX>-3-H,

答案第8页，共17页

x>2,

A2>4+HM2>-3-M,

解得：-5W0W-2.

23.（l）m=30,n—26

出<

（3）271

【分析】（1）根据中位数和众数的概念即可解答；

（2）根据方差的概念和意义即可解答；

（3）根据增幅=（末期量-基期量）/基期量和已知条件，求解即可.

【详解】（1）解：将九月份的数据从小到大排列为：26、26、26、29、30、31、31、33、34

根据中位数和众数的概念，

可以知道这组数据的第五个数为30,即中位数为加=30,

这组数据26出现的次数最多，即众数为〃=26；

（2）解：根据折线图可以看出，九月份的数据大约分布于26至34,十月份的数据大约分

布于32至42,

可以发现九月份的数据比十月份的数据波动较小，更加稳定，

所以九月份数据的方差小于十月份数据的方差，

故答案为：<.

（3）解：根据已知条件可以列式为：176x54%+176=271.04~271（天）

故答案为：271.

【点睛】本题考查的是折线图、方差、中位数、众数、增幅等相关知识，解题的关键是掌握

方差、中位数、众数等概念，从统计图中获得相关信息，并利用相关信息解答实际问题.

24.①大；②2.5或5.4

【分析】①根据（2）中的表格中数据与函数图象分析可得当x=2.5时，5=303,当x=4.5

时，S=274,进而可比较当尤=2.4与x=4.4时，S的值的大小，

②根据函数图象求解即可

【详解】解：①（2）中的表格中数据可知，当x=2.5时，S=303,当x=4.5时，S=274,

根据函数图象可知，当x>4时，S随x的增大增大，当x<3时，S随x的增大而减小，

•••尤=2.4时，277Vs<303,x=4.4时，266<S<274

二半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积大

答案第9页，共17页

故答案为：大

②根据函数图象可知，当5=300时，无。2.5或5.4

故答案为：2.5或5.4

【点睛】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键.

25.⑴见解析

（2）673

【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，解直角三角形，正确的作出辅助线

是解题的关键.

（1）根据圆周角定理即可得到结论；

（2）根据三角函数的定义得到/D8c=30。，求得/8CF=60。，连接。，得到

ZBCD=ZDBC=30°,求得〃CF=30。，根据三角函数的定义即可得到结论.

【详解】（1）证明：•.•点。为前的中点，

:.BD=CD^

ZDBC=/BAD；

（2）解：,:cos/DBC=匚,

2

/.ZDBC=30°,

•:CF1BD,

ZF=90°,

ZBCF=60°,

连接CD,

/BCD=ZDBC=30°,

ZDCF=30°,

♦：DF=3,

答案第10页，共"页

:.CD=2DF=6,

Q/C4D=/C&)=30。,/。是。。的直径,

:.ZACD=90°,

3

26.(l)x=r

(2)1

4、

(3)1</<§或t>6

【分析】(1)将抛物线解析式化成顶点式，即可得出抛物线对称轴；

(2)把M(2,0)代入y=-d+2/x,得0=-22+2/X2,求解即可；

(3)分类讨论：当/VT时，当-1W0时，当0</<2时，当的2时，分别求解即可.

【详解】(1)解：y=—x~+2fx=—卜"—2tx)=—(x——t~,

...抛物线的对称轴为直线x=f.

(2)解：当加=2时，%=0,

...”(2,0),

把"(2,0)代入y=_f+2fcc,得

0=-22+2rx2,解得：t=\.

(3)解：当f<-l时，•；。=一1<0,

...在对称轴右侧，y随x的增大而减小，

,/2<w<3,尸

：.-\<m,即点尸和点〃•在对称轴右侧，

不符合题意；

当-W0时，Va=-1<0,

XV2<m<3,P(T，M),M(m,y3),

t+\<m+1,

...点P在对称轴左侧，点M在对称轴右侧，点P到对称轴的距离比点M到对称轴的距离近,

yx>y3,不符合题意；

答案第11页，共17页

当0<f<2时，:"-IvO,P(TK),。，河(私力),

若必＜力＜力，则点M到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，小于点P到对称轴的距

离,

t—<m—t<，+1,

2

•：2<m<3,

4

1<£<—；

3

=-l<0,P(-l,必),°C，•(%%),

当时，a

若弘＜力＜力，则点M到对称轴的距离大于点。到对称轴的距离,

2<m<3,

Z＞6,

4

综上，或，＞6.

【点睛】本题考查抛物线的图象性质，熟练掌握根据抛物线的函数值大小和增减性求参数取

值范围是解题的关键.

27.(1)补全图形见解析，证明见解析；

⑵EF=DF,证明见解析.

【分析】(1)根据旋转的方向和角度补全图形，再根据已知和旋转的性质求出

ZCAD+ZADC=90°,ZCAD+ZEAC=90°,进而可得结论；

(2)作EN_L4C于点与直线CF交于点N,利用AAS证明4瓦4"三ZUOC,可得

AM=CD,EA/=NC,然后求出跖V=MC,可得EN=CD,再利用ASA证明AENFMADCF

即可.

【详解】(1)补全的图形如图所示：

答案第12页，共17页

・・・ZCAD+ZADC=90°,

由旋转的性质可知ZEAD=90°,即ZCAD+ZEAC=90°,

：.ZEAC=ZADC；

(2)EF=DF；

证明：如图，作于点/，与直线C厂交于点N,

由旋转的性质可知AE=AD,

由(1)可知/E4M=

AEAM=△/QC(AAS),

:・AM=CD,EM=AC,

・・•AC=BC,

：.ZCAB=45°f

,:CN〃AB,

：.ZNCM=ZCAB=45°9

：.MN=MC,

:・EN=AM,

：.EN=CD,

•：/EMC=/ACB

：.EN//CD,

：.ZENF=ZDCF,ANEF=ZCDF,

△硒F=△DCF(ASA),

/.EF=DF.

【点睛】本题考查了画旋转图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和

性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，能够作出合适的辅助线构造出全等三角形是解

题的关键.

答案第13页，共17页

28.(1)①4G；②1或3

⑵%的最大值为86，NC=2万；，力的最小值为46，AC=2万.

【分析】(1)①根据题中定义即可画图得出；②通过判断用Q，直线4,O。的最长的弦即

直径为4,可排除4G，B6,所以83c3成为O。的弦，根据圆的对称性，分两种情况讨论;

(2)