2025高考数学一轮总复习提能训练21（含答案）

2025《衡中学案》高考一轮总复习数学提能训练练

案［21］含答案提能训练练案［21］

6A组基础巩固9

1.设函数«x)=e*—ax—2.

(1)求兀0的单调区间；

(2)若a=l,k为整数,且当x>0时，(x—Q)+无+1>0,求左的最大值.

［解析］(DHx)的定义域为R,f(x)=e~a.

当aWO时，/'(x)>0恒成立，所以«c)的单调递增区间为(一8,十8),无

单调递减区间.

当a>0时,令，(x)<0,得x<lna,

令，(x)>0,得x>lna,

所以Hx)的单调递减区间为(一8,Ina),单调递增区间为(Ina,+°°).

(2)由题设可得(%一左)(8—l)+x+1>0,

V—I—1

即kx+晟三"(xX))恒成立，

X—I-1e%—1—(y+1)己%己%—v—2)

令g(x)=n+x(x>0)，得g'(x)=J+1=1)2%>0).

CJLIC1JIC1J

由(1)的结论可知，函数/z(x)=ex—x—2(x>0)是增函数.

又因为以1)<0,力(2)>0,

所以函数/z(x)的唯一零点a©(l,2)(该零点就是/z(x)的唯一零点).

当x@(0,a)时,g'(x)<0；

当尤£(a,+8)时，g'(x)>0,

a-1-1

所以g(%)min=g(〃)=e。_］+a

又/z(«)=eoc—«—2=0,

所以ea=«+2且(1,2),

则g(X)min=g(Q)=1+4£(2,3)，

所以上的最大值为2.

2.已知函数次x)=e%.

(1)若兀02奴+1,求实数。的取值范围；

(2)若g(x)=x+lnx,求证：g(x)—xe*+lWO.

［解析］(l)«x)》ax+l,化为e^—ax—lNO,

令u(x)=ex—ax-l,

则u'(x)=ex—a,

当aWO时，u'(x)=ex-a>0,函数M(X)在R上单调递增，

而M(0)=1—1=0,因此x<0时，z/(x)<0,不符合题意，舍去.

当a>0时，令(x)=e%—a=0,解得x=lna,

x©(—8,in0时，u'(x)<0,此时，函数M(X)单调递减，x©(lna,+°°)

时,(X)>O,此时，函数M(x)单调递增，

所以x=lna时，函数M(X)取得极小值即最小值，

所以M(lna)=a—alna—1^0,

令v(a)=a—tzlna—1,

则o'(a)=l—Ina—1=-Ina,

可得o(a)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，。=1时，0(0取得极

大值。(1)=1-0—1=0,可得a=l时满足题意.

所以实数a的取值范围为{1}.

(2)令/z(x)=g(x)—泥*+1=%+111%—泥*+1,xG(0,+°°),

h'(x)=1+/-(x+l)ex=(x+l)g-ej,

令y=；—ex,则函数y=；—ex在xG(0,+8)上单调递减，

又y(D=l-e<0,丁七］=2-五>0,

所以存在唯一零点1］星(0,+8),

使得exo=­,即xo=—Inxo.

xo

xo是/z(x)的极大值即最大值，

h(xo)=xo—xo—1+1=0,

所以/i(x)W/i(xo)=O,

因此g(x)—xex+1W0.

3.设函数八x)=e2x—(2a+2)ex+2ax.

(1)当。<0时，讨论函数人X)的单调性；

(2)若汽x)有两个零点，求实数a的取值范围.

［解析］(l)f(x)=2e2x-(2a+2)ex+2a=2(ex-l)(ex-a),

"."a<0,

e%—<7>0,

令/(x)=0,解得x=0,

当x>0时，f(x)>0,当x<0时，f(x)<0,

二函数在(一8,o)上单调递减，在(o,+8)上单调递增.

(2)由(1)知，①当。<0时，函数人X)在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上

单调递增，

=A0)=l-(2a+2)+0=-2tz-l,

当为一一8时，1》)—+8,当+8时，汽x)f+oo,

..7")有两个零点,

.*.y(x)min=-2a—1<0,解得一］<a<0,

②当a=0时，>(x)=e2x—2ex=0,解得x=ln2,只有一个零点，不符合题意，

③当。>0时，由(1)知，(x)=2(ex—l)(ex—a),

当—8时，—8,当X—十8时，五X)一+8,

令，(x)=0,解得x=0,或x=lna,

当0<tz<l时,Ina<0,

在(-8,ina),(0,+8)上单调递增，在(Ina,0)上单调递减，

.极小值—y(0)=—2a—1<0,五％)极大值=y(lna)=一/一2a+2alna<0,

二函数兀0只有一个零点，不合题意，

当<7>1时，Ina>Q,

在(一8,0),(Ina,+8)上单调递增，在(0,Ina)上单调递减，

极大值=/(0)=—2a—1<0,函数“¥)只有一个零点，不合题意，

当a=l时，f。)=2(3一l)(e》一1)三0恒成立，

••/x)在R上单调递增，函数五x)只有一个零点，

综上所述：汽X)有两个零点，则a的取值范围为(一；，0；

B组能力提升

1.(2023河北邢台一模，21)已知函数外)=。。+1—2j+资一5

⑴当a=l时，求人为的极小值；

(2)若人x)有两个零点，求实数a的取值范围.

［解析］(1求>)的定义域为(一8,十8),

当a=1时，f(x)=2e2x+1—2ex+1+2e%—2

=T(eJl)(4e'+1+1),

令，(x)=0,解得x=0.

当x变化时，f(x),於)的变化情况如表:

X(—8,0)0(0,+°0)

f(x)—0+

1

於)单调递减2-e单调递增

因此，当x=o时，1工)有极小值，极小值为y(o)=T—e.

(2)f(x)=2tze2x+1—2ev+1+^ex—1=,1(tzex—l)(4e'+1+1),

①若aWO,则，(x)<0,所以/(x)在(一8,+8)上单调递减，八工)至多有一

个零点.

②若。>0,令/(x)=0,解得x=—Ina

当x@(—8,一也公时，，(%)<0；当xG(—Ina,+8)时，，(x)>0,所以

八工)在(一00,—Ina)上单调递减，在(一Ina,+8)上单调递增.

11

所以当％=—In〃时，危)取得极小值，即最小值，为八一lna)=1—,e+］lnQ.

当〃=e时，由于八一lna)=0,故火x)只有一个零点；

lei

当〃£(e,+8)时，由于£+/lna>(),即八一lna)>0,故危)没有零点；

当〃£(0,e)时，2—,+1ln〃<0,即—lna)<0.

2

Ina<l,即一Ina>—1>—2且—2)=^3+^2+1—~>0,

故於)在(一8,—In〃)有一个零点.

l2e

且

In-a>—Ina,

先证x>0时In1.

设机a)=in%一(1—1),则机/(x)=

当0<x<l时，m'(x)>0,当x>l时，m'(x)<0,

故皿x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

当％=1时,机(x)取到最大值皿1)=0,

故x>0时Inx^x~1.

(2e\4e3—4e2,12e^4e3—4e2,l<2e、4e3—4e2—e.

J\—aJ-----a-----+e-712n—a2------a-----+e—2\—a—1)=--------a-------+e

+T>0,

因此於)在(一ln〃，+8)上有一个零点.

综上，。的取值范围为(0,e).

%2

2.(2023•广东茂名二模，21)已知函数於尸5+lnx—2依，〃为常数，且Q>0.

(1)判断火防的单调性；

⑵当0<〃<1时，如果存在两个不同的正实数相，〃且加n)+/(〃)=1—4〃，证

明：m+n>2.

［解析］(1)・.7(x)=E+lnx-2ax,

.।1x2—2tzx+1।

f(x)=x+~—2a—~,x£(0,+°°),

记g(x)=x2—2(2%+1,

①当』=4Q2—4W0,即0<QW1时，g(x)=x1—2ax-\-1^0恒成立，所以

fa)eo在(o,+8)上恒成立,

所以八工)在(0,+8)上单调递增.

②当』=44—4>0,即〃>1时，方程有两个不等实根，

2〃一444一4/—：2〃+74〃2—4/—r

且％1=2=a—y^a—1>0,X2=?=a+^cr—1>0

\/x^(0,。一7。2一1),X2—2(7%+1>0,f(x)>0,火工)单调递增,

Vx(<7—y］a2—l,a+y/a2—1),x2—2ax+l<Q,f(x)<0,«x)单调递减,

Vx((2+yja2—1,+°°),x2—2(2%+1>0,f(x)>0,«x)单调递增.

综上所述：①当0<QW1时，八%)在(0,+8)上单调递增，

②当a>l时，火幻在(0,Q一1/―1)和(〃+。〃2—1,+8)上单调递增，在(Q

—yja2—1,〃+，〃2一1)上单调递减.

(2)证明：=3—2d

/.^«)+»=1-4«=2/(1),

由⑴可知0<a<l时,於)在(0,+8)上单调递增,

故不妨设0<"2<1<72,

要证根+〃>2,即证〃>2—m>l,

又：当0<。<1时，於)在(0,+8)上单调递增,

只需证火〃)次2—m),

又+洲〃)=1一4。，

・,•只需证1—4a——m),

即证/(m)+/(2—m)<l—4a(0<m<1),

记尸(1)=%)+八2一%)，xe(0,l),

112(%—1)3

F(%)=/(%)―/(2—%)=%+、-2Q—(2—X)—-x(2—x)'

.••当xG(0,l)时，/(x)>0恒成立，R(x)单调递增,

/.F(x)<F(l)=2/(l)=l-4o,

•••原命题得证，即加+〃〉2提能训练练案［22］

A组基础巩固f

一、单选题

1.若a是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(C)

A.90°—aB.90°+a

C.360°-aD.180°+a

［解析］由题意逐一考查所给选项即可求得最终结果.若a是第一象限角，

则：90。一a位于第一象限，90。十&位于第二象限，360。一a位于第四象限，180。

+a位于第三象限，故选C.

2.(2024.吉林长春模拟预测)2022年北京冬奥会开幕式倒计时环节把二十四

节气与古诗词、古谚语融为一体，巧妙地呼应了今年是第二十四届冬奥会，更是

把中国传统文化和现代美学完美地结合起来，彰显了中华五千年的文化自信.地

球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分

的，当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点，从这里出发，每前进

15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等等.待运行一

周后就又回到春分点，此为一回归年，共360度，因此分为24个节气，则今年

高考前一天芒种为黄经(B)

春分

寸有谷雨嘤㈣水立春一曲

小满立基.Q-Q-

芒%Q-0小寒

Q

夏至6©冬至

小暑0F.

大雪

大暑-O-''O--O--o—O--二公小雪

立秋处暑白露晶寒露霜降立冬

A.60度B.75度

C.270度D.285度

［解析］春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏、小满、芒种，所以芒种为

黄经15X5=75度.故选B.

3.已知点P(tana,cosa)在第三象限，则角a的终边在(B)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

［解析］由题意知tana<0,cosa<0,根据三角函数值的符号规律可知，角a

的终边在第二象限.故选B.

4.已知扇形的周长为100cm,则该扇形的面积S的最大值为(B)

A.100cm2B.625cm2

C.1250cm2D.2500cm2

［解析］由扇形的周长和面积公式都和半径和弧长有关，可设出半径和弧

长，表示出周长和面积公式，利用配方法即可求解，也可以应用均值定理求解.方

法一：设扇形半径为「，弧长为/,则周长为2r+/=100,面积为5=权因为S

=1/r=1(100—2r)r=-r2+50r=—(r—25)2+625,所以当r=25时，5max=625；

11(SQ—r+八

方法二(应用均值定理)：S=]>=1(100—2r)r=(50—J2=625,当且

仅当50—r=r,即厂=25时等号成立，故选B.

5.已知角a的终边经过点（如—2m）,其中mW0,则sina+cosa=（B）

A.岩B.土半

［解析］...角a的终边经过点（加，—2m）,其中mWO,

m1

当m>0时,cosa-r--=/—,

75m75

sina+cosa

当m<0时,sina=

m1

,sinot+cosa—5，

sina+cosa=±*-,故选B.

6.（2023•济南市三中摸底）设。是第三象限角，且cos|=-cos，，则,是（B）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

/□g

［解析］...。为第三象限角，・•・5为第二或第四象限角.又•:cos2=-cos

2.Icos,vO,...¥是第二象限角.

「律，—!!在角。的终边上，且。引0,2兀）,

7.（2023•山东威海月考）已知点

则e的值为（c）

A5兀2兀

A・TB.T

1171571

C.~6~D.T

［解析］因为点尸库，一日在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan。

1

=/=一坐，又。©［0,2兀)，所以。=野.

2

8.(2024.浙江杭州市模拟)达・芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中

女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷，某爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例

影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A,3处作

.2冗

圆弧所在圆的切线，两条切线交于点C,测得A3=12.6cm,ZACB=y,则《蒙

娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为(单位：cm)(C)

A.12.6B.4兀

C.4.2兀D,4.3兀

［解析］画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，如图，设圆心为。，依题意,

OA±AC,OB±BC,O,A,C,3四点共圆，

2兀兀

'/ZACB=~Y，ZAOB=y

'：OA=OB91.△AOB为等边三角形，：.OA=AB=12.6cm.

7T

：.《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为。4><w=4.27i(cm).故选C.

二、多选题

9.下列各式中结果为正值的是(ACD)

37.37

A.sin1125°B.tan五msm五兀

C.:由?D.sin|-1|

tan5,1

[解析]确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪个象限，确定

一个式子的符号，则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号.

对于A,因为1125。=1080。+45。，所以1125。是第一象限角，所以sin1

125°>0；

对于B,因为||兀=2兀+畏，则H兀是第三象限角，

37

所以tan故tan适msin

对于C,因为5弧度的角在第四象限,

sin5

所以sin5<0,tan5<0,故翟7>°；

IdllJ

jrjr

对于D,因为W<1<2，所以sin|T|>0.

10.(2023•吉林长春普通高中模拟改编)若角a的顶点为坐标原点，始边在x

轴的非负半轴上，终边在直线x+y=0上，则角a的取值集合是(AD)

A.=或a=2far+竽，左©z]

B.jaa=2Mr+普，左©z]

C.laa=kn~\~^,Zj

D.jota=kn—^,左©z[

3兀

[解析]因为直线尤+y=0的倾斜角是彳，所以终边落在直线尤+y=0上的

角的取值集合为jaa=2kji—^或a=2kii+彳，或

jota=kn—^,左©z].故选AD.

11.在平面直角坐标系xOy中，角a以x的非负半轴为始边，且终边经过点

P(—Lm)(/7i>0),则下列各式的值一定为负的是(CD)

A.sinot+cosaB.sincosa

sma

C.sinacosatana

［解析］由已知得r=\OP\=yJm2+l,则

<0,tana=—m<0,则sina+cosa的符号不确定，sina—cosa>0,sinotcosa<0,

sina八u、小―

而/cosa<0.故选CD.

三、填空题

12.2025。角是第三象限角,与2025。角终边相同的最小正角是225。，

最大负角是一135。.

［解析］因为2025。=6乂360。―135。，所以2025。角的终边与一135。角的终

边相同.所以2025。角是第三象限角，与2025。角终边相同的最大负角是一135。.

又一135。+360。=225。，故与2025。终边相同的最小正角是225。.

13.已知角a的终边在如图所示阴影表示的范围内（不包括边界），则角a用

集合可表示为Jg<a<2E+景.©z］_.

［解析］:.在［0,2兀）内，终边落在阴影部分角的集合为仔，焉，..・所求角的

集合为"2防r+曰<a<2防i+/,%£Z

14.如图所示，角的终边与单位圆交于第二象限的点A^osa,I）,则cosa

7

=

—sina=5

一

2

［解析］由题意得以九2。+仁『=1,cosa=^.Xcosa<09所以cosa=—g,

3、7

又sin。=5，所以cos«—sina=一1

15.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出

计算弧田面积所用的经验公式；弧田面积=；（弦X矢十矢2）.弧田（如图）由圆弧

和其所对弦所围成，公式中，“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心

2兀

到弦的距离之差.现有圆心角为冷，半径等于4nl的弧田，则矢是2m,所得

弧田面积是4、石+2nA

［解析］根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和

2兀

弦的值，代入公式计算求值即可.如图所示，由题意可得：ZA0B=y,0A=4,

JT7TI1

在中，可得：ZAOD=^。=。=可得：

39ZDAO=oT,027A25*4=2,

矢=4-2=2,由AD=AOsing=4X坐=2#,可得：弦=2A£）=44,所以：

弧田面积=；（弦X矢+矢2）=|X（4V3X2+22）=4小+2.

16.函数y=^/2sinx—1的定义域为_26兀+,，2防r十m（左©Z）

［解析］'/2sin%—120,/.sin

由三角函数线画出x满足条件的终边范围（如图阴影部分）.

兀5兀

・二%£2E+不2kn~\~石（kRZ）.

B组能力提升

1.（多选题）下列结论中正确的是（BCD）

4

A.若角a的终边过点P（3匕4左）（左W0）,则sina=5

B.若a是第一象限角，则段为第一或第三象限角

C.若扇形的周长为6,半径为2,则其圆心角的大小为1弧度

D.若0<a<5，贝!Jsina<tana

4

［解析］当左=—1时，P（—3,-4）,则sina=一5，故A错误；

兀

•：2kii<a<2kji+1,左GZ,

・二左兀<,<左兀+^，k^Z,

若为第一或第三象限角，故B正确；

I6—4.

\a\-~——2-=1，故C正确；

兀sincc

，台台,故正确.

0<a<z5sina<tanasina<cosacosa<lD

2.设集合〃="=亨180。+45。，kGZA^=|xk=1180o+45°,左©Z；,

那么（B）

A.M=NB.MUN

C.N匚MD.MCN=0

［解析］由于〃中，龙=/180°+45°=k90°+45°=（2左+1）45°,2k+l是奇

数;而N中，工=亨180°+45°=左45。+45。=（1+1）45°,左+1是整数,因此必有

M屋N.

3.（多选题）（2023・唐山模拟）函数危尸翡+苦言+器的值可能为（BC）

A.1