2025高考数学复习易错题专练：数列（试卷+答案解析）

专题04数列

考点oi等差、等比数列的定义

1.(24-25高三上•内蒙古包头•开学考试)“数列｛%｝是等差数歹广是“数歹!)｛%+。用｝是等差数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先假设数列｛%｝是等差数列，结合等差数列的性质设出其首项及公差，计算可得数列｛。“+。用｝亦

为等差数列，举出恰当的数列｛%｝的通项公式，使｛。“+。用｝是等差数列，但｛〃,｝不是等差数列即可得.

【详解】若数列｛%｝是等差数列，可设其首项为％,公差为4，

则+(〃一1"，则an+an+l=2q+(2/7-1)J=(2q+d^+(n-1)-2d,

即数列｛勺+。鹏｝是以2%+d为首项，2d为公差的等差数列；

若数列是等差数列,取%则。“+%=0,符合要求,

但数列%=(-1)"不为等差数列,

故"数列｛见｝是等差数列”是“数列｛%+%｝是等差数列”的充分不必要条件.

故选：A,

易错分析：利用等比数列的定义进行判断时一定要注意验证4.

2.(24-25高三上•陕西•阶段练习)已知正项数列｛%｝,也｝满足寸=6也-且。“+%=2%,则()

A.｛£｝为等差数列B.为等差数列

C.｛m｝为等比数列D.也,｝为等比数列

【答案】A

【分析】由条件可得an=师二，an+l=g“+2，结合关系可得%+%=2bM，可得用+师=2H,

由此判断AC,举反例判断BD.

【详解】因为%=61A…数列｛%｝,｛2｝为正项数歹(1，

所以%=亚也+i，«„+,=也+%2，又4+an+l=2bn+1，

所以8%+业“+及2=为+1，

所以8+7^^=2区？，

所以｛嚣｝为等差数列，A正确，C错误；

设或=〃2,则%=(〃+1)2,an=n(n+\),4旬=(〃+1)(〃+2),

满足条件=b„bn+l,an+an+i=2bn+1,

,11121

因为%=16、44=9,厂厂1+§7=5，

所以｛2｝不是等比数列，不是等差数列，B错误，D错误.

故选：A.

3.(24-25高三上・江苏常州•期末)已知“，b,ceR,则“a，6,c既是等差数列又是等比数歹旷是=6=c”

的()

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用推出关系去判断充要关系即可.

【详解】当。=/?=c=0时，6,c是等差数列，不是等比数列，

当a,6,c既是等差数列又是等比数列，则a=6=c,

故c既是等差数列又是等比数列”是“a=b=c”的充分不必要条件，

故选：A.

4.(2023・新课标I卷•高考真题)记S,为数列｛q｝的前“项和，设甲：｛。“｝为等差数列；乙：｛｝｝为等差数

列，则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】c

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前九项和与第九项的关系推理判断

作答.，

【详解】方法1,甲：｛氏｝为等差数列，设其首项为4,公差为d,

on(n-l),Sn-1,ddS,d

贝mijlS—nctyH-------------d,—n=%H---------d=—n+a.----,n+i

nIn2212n+1n2

q

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙的充分条件;

n

反之，乙：｛邑｝为等差数列，即每2-斗咻「(”+1电E为常数‘设为

nn+inn(n+l)

na,—S

即工I尸，则s“=yg+1),有Si=(〃-1)4-力(〃-1),心2,

两式相减得：a„=nan+i~(.n—l)a„—2tn,即a“+i—a,=2f,对工=1也成立,

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙的必要条件,

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：｛%｝为等差数列，设数列｛q｝的首项卬，公差为d,即s“=叫+若工d,

则,=%+/»[=!〃+%-g,因此｛&｝为等差数列，即甲是乙的充分条件；

n222n

反之，乙：｛2｝为等差数列，即

nn+vnn

即S“=]+n(n-l)D,S“_]=("-1)H+("-1)(/;-2)0,

当心2时，上两式相减得：S“-S,T=I+2(”-1)D,当〃=1时，上式成立,

于是。“=«i+2(n-1)。，又a“+i-a“=4+2"。-a+2(”-1)。]=2D为常数,

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙的必要条件,

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

5.已知数列｛%｝满足q=a(aeR,aw-；),a,=2%+[+“(“：口(〃22).又数歹ij｛2｝满足

⑴求证：数列｛"｝是等比数列；

⑵若数列｛%｝是严格增数列，求。的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；

(2)(一:,+8).

【分析】(1)根据给定的递推公式，裂项变形，再利用等比数列定义判断即得.

(2)由(1)求出数列｛%｝的通项，再由单调性列出不等式，分离参数，借助单调性求解即得.

【详解】⑴当北2时,+篇用=2”,占，即个/^^+:)，亦即2=2%,

又4=。+；。0,即功w。，所以数列出｝是等比数列.

(2)由(1),b=(«+—)-2n-1,即aH-------=(aH—),2/z1,a=(«+—)•2n-1--------,

n2n+12n2n+1

依题意，an+i>a“o(a+:)•2"-一二>(a+g)・2"^一—、对任意的正整数〃成立，

2n+22〃+1

即"+；>一<仆二同对任意的正整数«成立，

而数列｛-,「「二河｝严格增，且-/C、宿<0对任意的正整数〃成立,

因此〃十万之。，又。工一万，解得。>一万，

所以〃的取值范围是(-万,+°0).

考点02等差、等比数列基本量的运算

1.(24-25高三上・吉林・期末)若等差数列｛见｝的公差d=2,%：%=7:8,则q=()

A.-15B.-28C.15D.28

【答案】B

【分析】根据等差数列的通项公式结合题目条件可得结果.

［详解］设4=7左,％=8左，则4=〃8_%=7左一8左=_k=2,解得上=—2,

...%=—16,q=%—6d——16—12——28,

故选：B.

2.(2025高三・全国・专题练习)已知各项均为正数的等差数列｛凡｝的前〃项和为S〃，若%+%-2a4=4,

S9—2s4=尺，贝()

«13

A.25B.16C.9D.4

【答案】D

【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可求解.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,由q+%-2%=4,得%+q+8d-2（%+3d）=4,

（也可由等差数列的性质得2%-2%=4,得2d=4）

解得d=2,又69-284=所以9q+]x9x8x2-2[4a]+]x4x3x2）=（q+3x2）,

解得％=1或4=T2.

因为｛%｝各项均为正数，所以4=1,所以品）=100,q=25,所以8=4.

“13

故选：D

3.（24-25高三上•天津河东•阶段练习）已知等差数列｛4｝的首项为1,若4,出，4+1成等比数列，则％=（）

A.-2B.4C.8D.-2或4

【答案】B

【分析】设出公差，根据外出，。3+1成等比数列，得到方程，求出d=±l，检验后得到答案.

【详解】由题意得%=1,a；=q（/+1）=%+1,且生。。，

设公差为d,则（l+d）2=i+2d+l,解得d=±l,

若d=l,贝1]出=2,=1+3=4,满足要求，

若d=—l,则。2=。，不合要求，舍去，

故。4=4.

故选：B

4.（24-25局三上•河北廊坊•期末）已知等比数歹!]｛。〃｝，%+〃3+。5=9,—+—+—=3,则%=（）

qa3a5

A.3B.±3C.V3D.±5/3

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算得解.

【详解】在等比数列｛%｝中，〃M5=吭由丁+1+1=3，得%+%+%=3裙,

而％+〃3+。5=9,因止匕〃；=3,又%+。3+。5>0，且%。3，。5同号，贝!]。3>0，

所以色=百.

故选：C

5.（2025高三•全国・专题练习）已知｛%｝为等比数列，且。3%=16。5，〃4+2%=4。，记S”为｛%｝的前几项

和，则臬=（）

A.127B.128C.63D.64

【答案】C

【分析】根据等比数列的性质可得。5=16和%=40-2%=8,即可求解公比和首项，由等比求和公式即可

求解.

【详解】设｛%｝的公比为4，由。3%=16%,得力=16%,

又内R0,故%=16.又%+2%=40,所以g=40-2生=8,

从而4=a=2,所以4=今=1,$6="Ji）=lzZl=63,

&q61_q1-2

故选：c.

6.（2024.山东淄博•二模）已知等比数列｛。“｝,%=4,4]0=16,则用=（）

A.8B.±8C.10D.±10

【答案】A

【分析】运用等比中项，结合等比数列通项公式即可解决.

【详解】根据等比中项知道M=的%。，求得aj=64,则&=±8.

又。6=＞。，贝U4=8.

故选：A.

易错分析：在进行等比数列的基本量运算时要注意挖掘等比数列的隐含条件，如公比不等

于零、通项不等于零、,^^3,^^5,•，,同号等.

7.（2024•山东泰安・二模）设等比数列｛%｝的前〃项和为5“，若S3=5%+6%,则公比4为（）

A.1或5B.5C.1或-5D.5或-1

【答案】D

【分析】根据等比数列的通项公式及前n项和公式，采用基本量思想进行计算即可.

【详解】由邑=5%+6。1=。1+。2+。3得，4。2+5%=。3，

21

所以4%g+5%=axq,即q-4^-5=0,

所以勿-5)g+l)=0,所以q=5或q=-l.

故选：D.

考点03等差、等比数列的性质

1.(24-25高三上•内蒙古鄂尔多斯•期末)设工是等比数列｛叫的前〃项和，若量=6,兀=18,则So,=()

A.48B.84C.90D.112

【答案】C

【分析】利用等比数列片段和的性质得治-几=24,%-几=48,进而可求S24.

【详解】因为S”是等比数列｛%｝的前力项和，

所以$6，Sl2-S6,Sls-Sl2,S”-几成等比数列，

又$6=6,S12-S6=12,所以518-工2=24,S24-S18=48,

所以邑4=品+兀-$6+与-$+$24-几=6+12+24+48=90.

故选：C

2.(2023•新课标H卷•高考真题)记S”为等比数列｛%｝的前〃项和，若邑=-5,&=2电，则丛=().

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【分析】方法一：根据等比数列的前九项和公式求出公比，再根据S,,$8的关系即可解出;

方法二：根据等比数列的前〃项和的性质求解.

【详解】方法一：设等比数列｛4｝的公比为4,首项为q,

若4=-1,贝匹=0"5,与题意不符，所以#-1；

若4=1,则$6=61=3x26=3s2w0,与题意不符，所以4力1;

由邑=-5,$6=21邑可得，出—-----=-5，—--------.-21x--------CZ),

l-q1-q1-q

由①可得，1+/+/=21,解得：^=4,

所以$8=邛二11="二£Jx(l+/)=_5x(l+16)=-85.

故选：C.

方法二：设等比数列｛%｝的公比为4,

因为邑=-5,S6=21S2,所以qw-l,否则$4=0,

从而，S2，S4—S2，X—S4，S8—S6成等比数歹U，

,5

所以有，(一5—邑)一=邑(21邑+5),解得：52=—1或邑=(,

当邑=—1时，$2，$4——邑,$8—$6,即为—1,—4,—16,Sg+21,

易知，/+21=—64,B|JSf.=—85；

当邑=；时，S4=q+a,+/+%=(q+%乂1+42)=(1+，)星>0,

与$4=-5矛盾，舍去.

故选：C.

【点睛】本题主要考查等比数列的前力项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握S',S'的关

系，从而减少相关量的求解，简化运算.

易错分析：在利用等比数列片段和的性质求值时一定要注意4*T这一前提条件.

邑1

则

一-

3.设S,是等差数列｛氏的前〃项和,3-

品

【答案】A

【分析】由等差数列的性质可知S3、S6-S3>S「Ss、品-品成等差数列，根据题意可将S6，Sg都用S3表示,

可求得结果.

【详解】由等差数列的性质可知邑、4_$3、S9-S6>”-邑成等差数列,

••《=(，即％=3$3,(S6-S3)-S3=S3,

：.Sg-S6=3S3,Sl2-S9=4S3,：.S9=6S3,兀=10邑，

.』：二3S-3

*,SnIOS310,

故选：A.

4.已知等差数列｛4｝的前展项和为第,56=-553*0,则1=()

d3

A.18B.13C.-13D.-18

【答案】D

【分析】由等差数列的性质可知SB，'-S,Sg-§6依旧成为等差数列，据此求解.

【详解】由S6=-5S3，可设SG=-5Q,S3,

••・｛%｝为等差数列，...邑,-5㈤-臬为等差数列,

即。，一6a,Sg-$6成等差数歹U，

S9_—13〃,

即S9=-=—18.

$3

故选：D.

5.（24-25高三上•黑龙江・期末）记S“为等差数列｛氏｝的前几项和，若生+4=8,出=16,贝3§=（）

A.140B.150C.160D.180

【答案】B

【分析】根据下标和性质求出〃4,即可求出再由求和公式计算可得.

【详解】因为%+。6=2。4=8,所以2=4,又《2=16,所以％+%5=。4+。12=2。，

所以九二15（"|+/）=叵包=］50.

1522

故选：B

6.（24-25高三上•吉林松原•期末）已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，且%+%+%=24,则儿=（）

A.88B.114C.132D.144

【答案】A

【分析】根据题设条件可求得4的值，从而可得％的值.

【详解】根据等差数列的下标和性质，/+%+4=%+。5+“6=2〃6+〃6=3g=24,

解得。6=8,所以Su==11%=11x8=88.

故选：A.

考点04数列的通项公式

1.（24-25高三上•吉林长春•期末）已知数列｛%｝的前〃项和为"，且£二=3疯，6=1,则〃,=.

【答案_】［f…l,n=l,心2

【分析】由£二=3点，可知｛疯｝是等比数列，由等比数列的通项公式求出S“，然后由S“求解。”即可.

【详解】因为廊=3点，版="=1N0,

所以，技=3,

所以数歹（］｛#；｝是以6=1为首项，3为公比的等比数歹U,

所以底=3"T,所以S"=9"L

当“22时，4=S“-S,_i=9n-'-9n-2=9"-2（9—1）=8X9"2,

又5不符合上式,所以58xfl,A9Z=、1"

故答案为：_________________________________________________________________________

易错分析：利用S”与斯的关系求通项时一定要检验〃=1和时能否合写成一个公式.

2.（2025•湖北襄阳・模拟预测）数列｛%｝满足q+半+?+...+券=4向，则数列｛叫的通项公式为.

【答案】"12S2

【分析】根据题目给出的递推公式进行升次作差即可求解.

【详解】由题意生+争$+…+券=4向…①，.”广不，；.%+与+$+…+含+节=4/2…②，

,,+2n+1n+1+1,,+1,,+1

②一①得:*=4-4=3x4,an+l=3"x4=12,

则当刃N2时,=12",

当〃=1,4=16不适合上式.

16,〃二1

12\n>2

fl6,n=l

故答案为：%=

[1，,n>2

3.（2025•江苏南京•模拟预测）已知数列｛%｝满足4=1,2%+「〃〃+a/m=0（〃£N*）,则数列｛4｝的通项公

式为.

【答案】见=八

Z—1

【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得.

【详解】数列｛%｝中，«1=1,2凤+1-4,+44+1=。，显然凡WO,

贝!J有'=2,一1-+1,gp—+1=2（—+1）,ffjj—+1=2,

aaa

n+\nn+\"1

1一

因此数歹（j｛f一+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

册

所以：+1=2"，即

UnZ—1

故答案为：an=-^--

2—1

4.(2022.新高考全国I卷.高考真题)记S"为数列｛a“｝的前a项和，已知q是公差为g的等差数列.

(1)求｛qj的通项公式;

111c

(2)证明：—+—+…+—<2.

axa2an

【答案】(i)4=攻m

(2)见解析

【分析】(1)利用等差数列的通项公式求得2=I+；5-I)=T，得到'=("+2)%,利用和与项的关

a„333

系得到当此2时，a,=S「=(〃+2)._5+1,进而得:@=空，利用累乘法求得也±D,

33an-\n12

检验对于"=1也成立，得到｛%｝的通项公式见=若少；

(2)由(1)的结论，利用裂项求和法得到'+2•+…+,=2(1二],进而证得.

axa2an\n+1J

S

【详解】(1)<％=1,二d=qU=l,

又是公差为I的等差数列,

・,1/i\几+2(n+2]a

•—=l+-(n-l)=------.・.s-A____LJL

a,)3，八3，

•C5+I)%

••当几22时，=-——七---,

.cc5+2)%5+l)a,i

,・Q及_3,_3〃一1一§§，

整理得：(〃一1)。〃=(〃+1)%T，

an+1

BP-=-T,

an-l”I

/.an=%x=x3~x...x——J

a\a2an-2an-l

z

34f+

〃

〃+1\

-1XXXXX一-

±一

1-2-2--

〃-1

显然对于〃=1也成乂，

｛6｝的通项公式4=当辿;

考点05数列的求和

1.（24-25高三上・吉林长春・期末）记首项为1的数列｛q｝的前〃项和为S,，且是以2为公差的等差数

列，则数列丁丁，的前100项和为（)

[S.+3wJ

100514950

A.----B.----C.D.----

101100100101

【答案】D

【分析】利用等差数列的性质求出S“，再利用裂项相消法求和即可.

【详解】因为首项为1的数列｛%｝的前〃项和为s”,

qq

所以…"令么寸故

由题意得也,｝是以2为公差的等差数列,

故2=1+2(〃-1)=2〃-1,即2=2〃一1,

n

111

得到5〃="(2几—1)=2"—明故

2

Sn+3n2/-〃+3〃2n+2n

1111

令。〃二-----------=------------=-(-----------),

2几2+2几2〃(〃+1)2nn+1

其前100项和1为!——-)=-1x(l---1),

2222310010122110011

110050j-十3

=5*而=而’故D正确

故选：D

易错分析：利用裂项相消法求数列的和时，拆项时要注意是否需要添加系数即注意变形的

等价性.

2.（24-25高三上•河南•期中）已知函数了⑺的定义域为R,且/（x+y）+/（x-y）=2〃x）+2/（y）,41）=1,

20

设氏=/(小(〃则£1

wN*),丁（)

k=2ak

19c589531

A.WB.—C.-----D.-----

2140840760

【答案】C

【分析】赋值可求得/（2）=4=22,”3）=9=3?,，/（20）=202,进而结合裂项相消法求和即可.

【详解】由/(x+y)+/(x—y)=2/(x)+2/(y),f(l)=l,

令x=y=O,得〃O)+/(O)=2/(O)+2/(O),即〃0)=0,

令x=y=l,W/(2)+/(O)=2/(l)+2/(l),即/(2)=4=22,

令x=2,y=l,得〃3)+〃1)=2〃2)+2〃1),即/⑶=9=3?,

令x=3,y=l,得/(4)+〃2)=2/(3)+2〃1),BP/(4)=16=42,

同理可得/(5)=52,"6)=62,L,"20)=202,

,©111111111

则〉----=------1-------------1------------F•••H-------------=--------1—z------1—z-------F••H---------------

22

tiak-la2-la3T%a20-l2-l3-l4--120--1

故选：C.

3.（24-25高三上•甘肃•期末）已知等差数列｛见｝的前"项和为S“，且S“=3/+初+Z.

⑴求｛q｝的通项公式；

⑵若b„=-----,求数列｛bn｝的前"项和T”.

【答案】⑴4=6〃-3

【分析】（1）利用公式q=H，%=S“-S“T（〃之2）求出数列的通项，结合｛为｝为等差数列列方程求上,由

此可得结论；

(2)由⑴,利用裂项相消法求和即可.

(6〃—3)(6〃+3)182n—l2H+1

【详解】（1）当〃=1时，4=3=3+2%,

=

当〃22时，cinSn-—3〃2+协+左一］3（〃一I）?+左（〃-1）+左］=6〃-3+左,

因为数列｛%｝为等差数列，且生-。2=6,所以数列｛?｝的公差为6

所以。2—6=q,即6x2—3+左一6=3+2左，

所以k=0,故q=3,

所以%=%+6(〃_l)=6〃_3.

711111、

(2)因为勿==~-z10,J，

4A+i(6〃-3)(6〃+3)182n-l2n+1

所以北=4(1_3+(；_：)+…+(011；)，

18|_3352n-l2n+l_

Tn=—(1———)=—^.

"182M+118n+9

4.(2023・天津・一模)己知数列｛q｝是首项为1的等差数列，数列｛a｝是公比不为1的等比数列，且满足

a｛+a2=b2,a2+a3=b3,a4+a5=b4.

⑴求数列｛。"｝,｛"｝的通项公式；

2〃k

⑵求£(-i)。也；

k=l

⑶令C"=(ab+；))|+1)(〃eNT记数列｛%｝的前〃项和为S“，求证：对任意的〃eN*,都有1<s“<$

【答案】⑴。"=2"1,bn=2\

⑵汽㈠那也q+序-总评

k=\V1Oy

(3)证明见解析.

【分析】(1)利用等差数列，等比数列的通项公式可得到结果；

2n

(2)£(-1>。也可转化为等差乘等比类型，利用错位相减法可解；

k=\

(3)数列｛%｝的前〃项和S“可利用裂项相消，然后用放缩可证.

【详解】(1)设｛叫的公差为〃，｛2｝的公比为鼠歼1),则为=1+5-1"，么=如。

由等比数列性质可得睨=6也，又4+。2=4，a2+a3=b3,%+%=64

所以（的+%）~=（。1+。2）（。4+。5），

所以（2+3d）2=（2+d）（2+7d）,解之得d=2或d=。，

当d=0时，。〃=1,贝lj包=q+%=2,b3=a2+a3=2,

即4=1=1与qwl矛盾，故舍去；

瓦

当d=2时，an=2n-l,贝|&=4+生=4,b3=a2+a3=S,

所以4=5=2也=%=2,满足题意；

b2q

所以g=2〃-1,bn=T.

In

（2）设看=Z（T）"0也=（一地）+〃2b2+（-。3人3）+。4。4+…+。2也〃,

k=\

Tn=（一%4）+%8++…+%优"’

设「出也小知一也z=（4-1）2筋-（府-3）221=,+34〃，

则1=%+%2+,,,+、=|_x4+|*x42+...+[2m+；]4",4T〃=^x42+-|x43+---+^2^+1->14,1+1,

两式相减得34=-10-2x42—2x43——2,4"+（2”+；）4角，

所以7H+臣焉八,即鲁（-碟叫=|+生焉|

C…一（2〃+3）2=/1_____________1]

"（m+1）（%%+1）（（2〃一1）2"+1）（（2〃+1）2&+1）[（21）2"+1（2〃+1）2向+1J

S=4-----------1---------------1------1--------------------------------------------------,

"13131341（2n-l）2"+l（2«+l）2,,+1+1J

/\

s"=4（-3----（-2--n--+--l-）--2-"-+--I-+---l\

因为〃eN*,易知S“随着〃的增大而增大，

404

所以5,25|=4>1,S„<-,

4

所以1<S“<].

【点睛】方法点睛：

求数列前〃项和常见的方法：

公式法：适用于等差数列、等比数列以及其他特殊数列.

分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用

倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前"和公式的推导方法）.

错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位

相减法（这也是等比数列前〃和公式的推导方法）.

裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求

和.

通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和.

5.（24-25高三上•吉林四平•期末）在前〃项和为S,的等比数列｛%｝中，3%=2%+%,邑=3。，S2=38-%.

（1）求数列｛《,｝的通项公式；

⑵令么=a„-log2a„,求数列也｝的前«项和T“.

【答案】（1）4=2"

⑵1=（"l）x2"+i+2

【分析】（1）根据等比数列的通项公式，由3a2=24+4,可以计算得出等比数列的公比0=1或4=2,分别

再由$4=30得q,验证，是否符合邑=38-%，得到4=2,得出数列的通项公式.

⑵根据。"=2”,得出么的通项公式，错位相减得出

【详解】（1）设数列｛4｝的公比为4,

由3a2=241+%,得3aM=2%+%/,所以%=2+寸，解得q=l或q=2,

若4=1,则由凡=30,得4=3,所以$2=15,38-%=38-?=与与Sz=38-%矛盾，所以，小

若q=2,则由$4=30,得4=2,所以$2=6,38-%=38-2x2,=6,符合

S2=38-a5,所以4=2,q=2,所以a“=2”.

故数列｛。“｝的通项公式为：«„=2"

（2）由anajlog?。”=w-2",

2

Tn=lx2+2x2+3x23+…+（〃-1）X2"T+〃*2"

两边乘以2得

2T“=lx22+2x23+3x24+...+（72-l）x2n+«x2n+1,

两式相减得：-£=2+2?+23+...+2"-1+2n-nx2n+1,

+1

:.Tn=nx2"——；2=（〃-1）x2M+2

故数列出｝的前〃项和［=5-1）x2向+2.

易错分析:求数列的和要注意错位相减法适用的前提条件，即判断数列是否是“差比数列”.

6.（24-25高三上•辽宁•期末）已知｛为｝为等差数列，其前〃项和为工，｛〃｝为等比数列，%=_2a=1,

%+"2=，&=36.

⑴求｛。,｝和色｝的通项公式；

⑵求数列｛4"｝的前〃项和

【答案】（1）。“=2”-1,

【分析】（1）设｛4｝的公差为d,也，｝的公比为4,利用等差数列前〃项和公式及等比数列通项公式基本量

运算求出4g,即可求解通项公式；

（2）利用错位相减法求和即可得解.

【详解】⑴设｛%｝的公差为d,也｝的公比为4,

则6%+寸d=36,解得d=2,

因为（l+d）+1jxq=7,所以q=一;，

则an=l+（〃-l）x2=2〃-l,

（2）由（1）

贝口=TX；+3X*—5XJ+7xJ-…+（2〃—3）x[—；]+（2rt-l）xf-|j,①

U=，_3XJ+5X'_7X：+…+（2〃_3）x（_；〔+（2n-l）xf—，②

由①-②得3（=-'+2x±-2x1+2x]-…+2x

222232

所以7^彳一、

7.（24-25高三上•江苏•阶段练习）记S,为数列｛4｝的前〃项和，且4sa=3%+4.

⑴证明：数列电-1｝为等比数列；

⑵求数列]（T）a•詈｝的前〃项和；

（3）数列也｝的前〃项和为北，且〃“+3）（心）求证：T”』.

【答案】（1）证明见解析

e（2〃-"+i

（3）证明见解析

【分析】（1）根据氏和S,的关系可得S「1=-3（ST-1）,进而求证即可；

（2）先求出。“=4・（-3尸，可得（—1严•詈=进而结合错位相减法求和即可;

（3）结合（2）可得以=；一工-；一r，进而结合裂项相消法求和即可.

4|_n-3+3

【详解】（1）证明：当”=1时，4s1=3%+4=35]+4,则E=q=4,

当心2时,4s“=3（S“—S“_J+4,HPS„-1=-3（S„-1-1）,而S「l=3*0,

所以数列｛S「1｝成首项为3,公比为-3的等比数列，

（2）由（1）知，5“-1=3-（-3产，则5“=3-（一3尸+1=1-（一3）",

4

由45“=3。"+4,所以4=§（S,-1）=4.（—3尸,

则(-1尸・?="•3力，设｛小3"T｝前”项和记为R,,,

所以月=1+2・31+31+…+5-l)3-2+".3"T①,

则3月=1・3+2・32+…+(7^-2)•3"2+(〃-l).3"T+".3"②,

①一②得一2K=]+3+32+~+3"T_”.3"J0―31讨=…〃中一1

“1-32

则Rn=(2"D,3'+1,即数列•号]的前n项和为Q九一1>30+1.

"4I4J4

(3)证明:由(2)知,。“=4•(一3)'i,则%+2=4-(-3)”匕

(-1),|+1(2/?+3)(-1)"+1(2/7+3)2〃+3_3(〃+1)—〃

H+1

n｛n+l)a„+2~4/7(+1)•(-3)"4〃(〃+1>3"+1-4〃("+1>3间

1_J________]

~47^3"~(n+l)-3"+,

所以T，W1_____1__J_____1__J________]

2^~3^…7Tr~(n-bl)-3n+1

_J_11

~43~(n+l)-3n+1

所以7:二；（一+111

因为几eN*,<—X—=一

4312

8.（24-25高三上•黑龙江鸡西•阶段练习）已知数列｛%｝的首项为q=g,且满足4布+44+田“-%=0.

（1）证明：数列］为等差数列;

（2）求数列的前w项和为S.；

⑶求数列［（T）”5"｝的前力项和.

【答案】（1）证明见解析

⑵S”=24

f为偶数

）“=隔j”为奇数

【分析】（1）将递推数列变形，结合等差数列的定义，即可证明;

（2）由（1）的结果根据等差数列的前“项和公式可求S,,.

（3）分别讨论"为奇、偶的两种情况的前"项和.

【详解】(1)因为《+i+4。“+"一。“=°,4=；，

若4+1%=。，则%=。“+1=°,与q=g矛盾，

所以凡+M产。，所以-an+l=4aM+i，

11,11c

所以-------=4,因为4=彳，所以一=2,

aa

n+i„24

所以数列，?[是以首项为2,公差为4的等差数列.

(2)由⑴知，=2+(〃-1)-4=4〃-2,

an

数列[工]的前〃项和为S,=(2+4"2)〃=2/.

2

⑶因为后

设数列｛(-I)"S“｝的前〃项和为T,,

222

当n为偶数时，Tn=2[-1+2-3+…一(〃一+日，

因为=2“_],

所以＜=213+7H---卜(2〃―])]=2.(3+”11.3="(〃+])="+“，

当鼠为奇数时，”-1为偶数.

222

Tn=J；-+2-(-1)"n=(n-l)n-2n=-n-n,

-_J*+",w为偶数

所6Fr以|T"一为奇数.

易错分析：当数列的通项含有(-1)”或者是分奇偶数的分段函数形式时，求数列的和往往

需要分奇偶数进行讨论.

9.(2024・陕西西安・一模)已知数列｛叫的前〃项和为S“，％=1,且满足(w+l)S"="S"+]-g"("+l).

(1)求数列｛4｝的通项公式;

(2)设bn=(q；+3"")-cosrm,求数列｛〃｝的前〃项和Tn.

【答案】⑴4="

虫3+(-3)，〃为偶数,

⑵，“=：:网

-3-3+(-3)，〃为奇数

I24

【分析】(1)利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得s,=或m，结合%=S“-S“T即可求解;

(2)由⑴知2=(-1)"〃2+(-3)”,利用分组求和法计算即可求解.

【详解】(1)根据题意，(〃+1电=必用-91(〃+1),所以匕q-q1

2n+1n2

由于号=%=1,贝是以首项为1,公差为;的等差数列，

1InJ2

ll…S”//八1H+1n(n+l)

所以」L=1+(〃—l)x7=n，所以----

nv722n2

小、。口iccri(n+l)(n-I)n

当〃N2时，an=Sn-Sn_x=---------------=n.

验证〃=1时％=1满足通项公式，故数列｛4｝的通项公式为为=〃.

(2)由(1)知勿=(Q：+34)・COS〃兀=(一1)"〃2+(_3)”.

设(-1)""的前”项和为4，则当〃为偶数时,

4=-12+22-32+42-----(n-l)2+n2

=(2-l)(2+l)+(4-3)(4+3)+-«-+[n-(n-l)][n+(1)]

=1+2+3+4H---—1)+〃=

2

n-\\n2

当九为奇数时，4=4_]—"----------n

22

(-3)11-(-3门一3-(3)7

设(-3)”的前〃项和为