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文档简介

河南省创新发展联盟2025届下学期普通高中高三教学质量检测试题(一)数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,圆的半径为,,是圆上的定点,,是圆上的动点,点关于直线的对称点为,角的始边为射线,终边为射线,将表示为的函数,则在上的图像大致为()A. B. C. D.2.为比较甲、乙两名高二学生的数学素养,对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为5分,分值高者为优),根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图,则下面叙述正确的是()A.乙的数据分析素养优于甲B.乙的数学建模素养优于数学抽象素养C.甲的六大素养整体水平优于乙D.甲的六大素养中数据分析最差3.已知是两条不重合的直线,是两个不重合的平面,下列命题正确的是()A.若,,,,则B.若,,,则C.若,,,则D.若,,,则4.已知点P不在直线l、m上,则“过点P可以作无数个平面,使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.()A. B. C. D.6.的展开式中的系数为()A.-30 B.-40 C.40 D.507.下列函数中,值域为R且为奇函数的是()A. B. C. D.8.设函数是奇函数的导函数,当时,,则使得成立的的取值范围是()A. B.C. D.9.已知为虚数单位,复数满足,则复数在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.已知等比数列的前项和为,若,且公比为2,则与的关系正确的是()A. B.C. D.11.元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论,其中关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图,若,,则输出的()A.3 B.4 C.5 D.612.已知,满足,且的最大值是最小值的4倍,则的值是()A.4 B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知非零向量,满足,且,则与的夹角为____________.14.已知数列的前项和为,,,,则满足的正整数的所有取值为__________.15.设平面向量与的夹角为,且,,则的取值范围为______.16.已知双曲线的左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,则双曲线C的离心率为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数(1)解不等式;(2)若函数,若对于任意的,都存在,使得成立,求实数的取值范围.18.(12分)已知曲线的参数方程为为参数),以直角坐标系原点为极点,以轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹;(2)若直线的极坐标方程为,求曲线上的点到直线的最大距离.19.(12分)已知数列{an}满足条件,且an+2=(﹣1)n(an﹣1)+2an+1,n∈N*.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=,Sn为数列{bn}的前n项和,求证:Sn.20.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=2Sn+1(1)求数列{an}(2)设cn=bnan,求数列21.(12分)已知函数,其中为实常数.(1)若存在,使得在区间内单调递减,求的取值范围;(2)当时,设直线与函数的图象相交于不同的两点,,证明:.22.(10分)在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数)和曲线(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线和曲线的极坐标方程;(2)在极坐标系中,已知点是射线与直线的公共点,点是与曲线的公共点,求的最大值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域,即可排除错误选项,得到函数图象,即可求解.【详解】由题意,当时,P与A重合,则与B重合,所以,故排除C,D选项;当时,,由图象可知选B.故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质,正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.2、C【解析】

根据题目所给图像,填写好表格,由表格数据选出正确选项.【详解】根据雷达图得到如下数据:数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析甲454545乙343354由数据可知选C.【点睛】本题考查统计问题,考查数据处理能力和应用意识.3、B【解析】

根据空间中线线、线面位置关系,逐项判断即可得出结果.【详解】A选项,若,,,,则或与相交;故A错;B选项,若,,则,又,是两个不重合的平面,则,故B正确;C选项,若,,则或或与相交,又,是两个不重合的平面,则或与相交;故C错;D选项,若,,则或或与相交,又,是两个不重合的平面,则或与相交;故D错;故选B【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题,熟记线线、线面位置关系,即可求解,属于常考题型.4、C【解析】

根据直线和平面平行的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】点不在直线、上,若直线、互相平行,则过点可以作无数个平面,使得直线、都与这些平面平行,即必要性成立,若过点可以作无数个平面,使得直线、都与这些平面平行,则直线、互相平行成立,反证法证明如下:若直线、互相不平行,则,异面或相交,则过点只能作一个平面同时和两条直线平行,则与条件矛盾,即充分性成立则“过点可以作无数个平面,使得直线、都与这些平面平行”是“直线、互相平行”的充要条件,故选:.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键.5、D【解析】

利用,根据诱导公式进行化简,可得,然后利用两角差的正弦定理,可得结果.【详解】由所以,所以原式所以原式故故选:D【点睛】本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式,关键在于掌握公式,属基础题.6、C【解析】

先写出的通项公式,再根据的产生过程,即可求得.【详解】对二项式,其通项公式为的展开式中的系数是展开式中的系数与的系数之和.令,可得的系数为;令,可得的系数为;故的展开式中的系数为.故选:C.【点睛】本题考查二项展开式中某一项系数的求解,关键是对通项公式的熟练使用,属基础题.7、C【解析】

依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A.,值域为,非奇非偶函数,排除;B.,值域为,奇函数,排除;C.,值域为,奇函数,满足;D.,值域为,非奇非偶函数,排除;故选:.【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性,意在考查学生对于函数知识的综合应用.8、D【解析】构造函数,令,则,由可得,则是区间上的单调递减函数,且,当x∈(0,1)时,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函数,当x∈(-1,0)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.综上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范围是.本题选择D选项.点睛:函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.9、B【解析】

求出复数,得出其对应点的坐标,确定所在象限.【详解】由题意,对应点坐标为,在第二象限.故选:B.【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的除法运算,属于基础题.10、C【解析】

在等比数列中,由即可表示之间的关系.【详解】由题可知,等比数列中,且公比为2,故故选:C【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用,属于基础题.11、B【解析】分析:根据流程图中的可知,每次循环的值应是一个等比数列,公比为;根据流程图中的可知,每次循环的值应是一个等比数列,公比为,根据每次循环得到的的值的大小决定循环的次数即可.详解:记执行第次循环时,的值记为有,则有;记执行第次循环时,的值记为有,则有.令,则有,故,故选B.点睛:本题为算法中的循环结构和数列通项的综合,属于中档题,解题时注意流程图中蕴含的数列关系(比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义,是否是求数列的前和、前项积等).12、D【解析】试题分析:先画出可行域如图:由,得,由,得,当直线过点时,目标函数取得最大值,最大值为3;当直线过点时,目标函数取得最小值,最小值为3a;由条件得,所以,故选D.考点:线性规划.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、(或写成)【解析】

设与的夹角为,通过,可得,化简整理可求出,从而得到答案.【详解】设与的夹角为可得,故,将代入可得得到,于是与的夹角为.故答案为:.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算,向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键,意在考查学生的转化能力,分析能力及计算能力.14、20,21【解析】

由题意知数列奇数项和偶数项分别为等差数列和等比数列,则根据为奇数和为偶数分别算出求和公式,代入数值检验即可.【详解】解:由题意知数列的奇数项构成公差为的等差数列,偶数项构成公比为的等比数列,则;.当时,,.当时,,.由此可知,满足的正整数的所有取值为20,21.故答案为:20,21【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项与求和公式,是综合题,分清奇数项和偶数项是解题的关键.15、【解析】

根据已知条件计算出,结合得出,利用基本不等式可得出的取值范围,利用平面向量的数量积公式可求得的取值范围,进而可得出的取值范围.【详解】,,,由得,,由基本不等式可得,,,,,因此,的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查利用向量的模求解平面向量夹角的取值范围,考查计算能力,属于中等题.16、【解析】

由等腰三角形及双曲线的对称性可知或,进而利用两点间距离公式求解即可.【详解】由题设双曲线的左、右焦点分别为,,因为左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,当时,,由可得,等式两边同除可得,解得(舍);当时,,由可得,等式两边同除可得,解得,故答案为:【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】

(1)将表示为分段函数的形式,由此求得不等式的解集.(2)利用绝对值三角不等式,求得的取值范围,根据分段函数解析式,求得的取值范围,结合题意列不等式,解不等式求得的取值范围.【详解】(1),由得或或;解得.故所求解集为.(2),即.由(1)知,所以,即.∴,∴.【点睛】本小题考查了绝对值不等式,绝对值三角不等式和函数最值问题,考查运算求解能力,推理论证能力,化归与转化思想.18、(1),表示圆心为,半径为的圆;(2)【解析】

(1)根据参数得到直角坐标系方程,再转化为极坐标方程得到答案.(2)直线方程为,计算圆心到直线的距离加上半径得到答案.【详解】(1),即,化简得到:.即,表示圆心为,半径为的圆.(2),即,圆心到直线的距离为.故曲线上的点到直线的最大距离为.【点睛】本题考查了参数方程,极坐标方程,直线和圆的距离的最值,意在考查学生的计算能力和应用能力.19、(Ⅰ)(Ⅱ)证明见解析【解析】

(Ⅰ)由an+2=(﹣1)n(an﹣1)+2an+1,对分奇偶讨论,即可得;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,用错位相减法求出,运用分析法证明即可.【详解】(Ⅰ),当为奇数时,,又由,得,当为偶数时,,又由a2=3,得,;(Ⅱ)由(1)得,则①②①-②可得:,,若证明Sn,则需要证明,又,即证明,即证,又显然成立,故Sn得证.【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式,错位相减法求前项和,分析法证明不等式,考查了分类讨论的思想,考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.20、(1)an=(2)Tn【解析】

(1)利用an与Sn的递推关系可以an的通项公式;P点代入直线方程得b【详解】(1)由an+1=2S两式相减得an+1-a又a2=2S1+1=3,所以a由点P(bn,bn+1则数列{bn(2)因为cn=b则13两式相减得:23所以Tn【点睛】用递推关系an=Sn-21、(1);(2)见解析.【解析】

(1)将所求问题转化为在上有解,进一步转化为函数最值问题;(2)将所证不等式转化为,进一步转化为,然后再通过构造加以证明即可.【详解】(1),根据题意,在内存在单调减区间,则不等式在上有解,由得,设,则,当且仅当时,等号成立,所以当时,,所以存在,使得成立,所以的取值范围为。(2)当时,,则,从而所证不等式转化为,不妨设,则不等式转化为,即,即,令,则不等式转化为,因为,则,从而不等式化为,设,则,所以在上单

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