数学竞赛培训第一专题极限与连续

数学竞赛培训第一专题极限与连续一、基本概念与内容提要1、一元函数的基本概念1)利用已知条件求函数的表达式.2)函数的奇偶性、单调性、有界性与周期性.3)基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数)和初等函数.4)反函数、复合函数、参数式函数、隐函数.5)分段函数.2、数列的极限一、基本概念与内容提要2)收敛数列的性质：定理1(唯一性)若数列{xn}收敛于A，则其极限A是唯一的.定理2(有界性)若数列{xn}收敛，则{xn}为有界数列.定理3(保号性)若3、函数的极限一、基本概念与内容提要1)六种极限过程下函数极限的定义例如定理1定理22)函数极限的性质一、基本概念与内容提要定理3(唯一性)

在某一极限过程下，若函数f(x)的极限存在，则其极限是唯一的。定理4(有界性)

若存在，则存在x=a的去心邻域，使得f(x)在上有界。定理5(保号性)

若,则存在x=a的去心邻域，使得时，f(x)>0(<0).一、基本概念与内容提要3)函数极限的运算法则4.

证明数列或函数极限存在的方法一、基本概念与内容提要定理1(夹逼准则)

设三个数列{xn},{yn},{zn}满足yn≤xn≤zn,且定理2(夹逼准则)

设三个函数f(x),g(x),h(x)在x=a的去心邻域中满足g(x)≤f(x)≤h(x),且定理3(单调有界准则)若数列{xn}单调增加，并有上界(或单调减少，并有下界)，则数列{xn}必收敛.5.无穷小量一、基本概念与内容提要1)若在某极限过程中(x→a,x→a+,x→a-,x→∞,x→+∞,x→-∞中任一个)，某变量或函数α(x)→0,则称α(x)为该极限过程下的无穷小量，简称无穷小.在同一极限过程中的有限个无穷小量之和仍为无穷小量；在同一极限过程中的有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量；无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量.定理这里x→a时，α(x)为无穷小量.2)无穷小量的阶若则称

是比

高阶的无穷小,若若若若或记作则称

是比

低阶的无穷小;则称

是

的同阶无穷小;则称

是关于

的k阶无穷小;则称

是

的等价无穷小,记作设是自变量时的无穷小,定义.重点：等价无穷小和高阶无穷小.6.无穷大量定义

.

若任给

M>0,一切满足不等式的

x,总有则称函数当时为无穷大量,使对①(正数X),记作总存在若在定义中将①式改为则记作注意:1).无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2).函数为无穷大,必定无界

.但反之不真

!例如,

函数当但所以时,不是无穷大!3).无穷大量与有界变量的乘积不一定是无穷大量.例如,

极限4)无穷大量与无穷大量的和（差）不一定是无穷大量.5)无穷大量与非零常数的乘积一定是无穷大量.6)无穷大量的倒数一定是无穷小量，反之无穷小量的倒数一定是无穷大量.若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大量.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理

在自变量的同一变化过程中,说明:7)当n→∞时，下列数列无穷大的阶数由低到高排序：8)当x→+∞时，下列函数无穷大的阶数由低到高排序：7.求数列或函数的极限的方法1)四则运算法则.2)利用夹逼准则求极限.3)先用单调有界准则证明数列极限存在，再求其极限.4)利用两个重要极限求其极限：5)利用等价无穷小因子代换求其极限：6)利用洛比达法则求极限.7)利用马克劳林展开式求极限.8)利用导数的定义求极限.9)利用定积分的定义求极限.10)利用Stolz定理求数列极限.8.函数的连续性定义1设f(x)在点x0的某邻域内有定义，增量△y=f(x0+△x)-f(x0),如果，则称f(x)在点x0连续.及中至少一个不存在.称若其中有一个为为无穷间断点.若其中有一个为振荡,称为振荡间断点.第二类间断点:定理1（最大值与最小值定理）闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值．

闭区间上连续函数的性质二、精选题型(一）函数

♀利用已知条件，求函数的表达式★二、精选题型(一).求函数的表达式

例1已知f(x)是周期为π的奇函数，且当时f(x)=sinx-cosx+2，则当时，f(x)=_____简答因奇函数，则当时，因周期函数，则当时，设函数在上有定义，在区间上，，若对任意的都满足，（1）写出在表达式；在处，是否可导？（2）判断上的练习题（94年北京市竞赛题）简答例2（91年北京市竞赛题）设是可导的函数，对于任意实数，，有，且，求的表达式。求满足方程的表达式，其中，为任意实数，且已知。简答练习（2010年南京大学竞赛）例3设，求，，，。，简答♀函数的某些性质：有界性、周期性、奇偶性以及单调性判断函数在内有界：常利用在内连续，且，存在，则有界。有界性例4A奇偶性单调性周期性★例5(莫斯科经济统计学院1975年竞赛题)求的表达式，并作出函数f(x)的图像.

(二)、极限的求法1.利用极限的运算性质方法：将所求函数或数列通过一些初等变换：因式分解、根式有理化、三角公式变换等，再利用极限的四则运算法则、复合函数极限的运算法则、无穷小的运算法则。例3.(莫斯科经济统计学院1977年竞赛题)设求λ,μ解：由可得

2.

利用等价无穷小替换常用的等价无穷小关系：3.利用重要极限（2）等价无穷小代换（3）求极限的式子中，含有极限存在且不为0的因式，应用极限的四则运算法则，应及时将它的极限拿到极限符号外（1）先考虑对求极限的式子进行代数或三角变形，再考虑结合（2）和（3）应用洛必达法则时，常需要与下列方法相结合，以简化计算

4.

利用洛必达法则方法：先化简（初等变换、等价无穷小替换、非零因子极限先求出、变量替换），再用洛必达法则思考题答案

e2解法一：原极限解法二：先求:原极限注：数列极限利用函数极限来求例7已知

(x)为连续函数，求

5.

利用左右极限一般分段函数求趋于分段点的极限用左右极限，特别含有以下几个极限也用左右极限例1

求解:原式=1注意此项含绝对值

6.

利用夹逼准则(1).

一般的放缩(2).

对积分型极限利用积分的性质放缩例3．求解：(3).

进行初等变形后再用夹逼定理解：

7.

递归数列极限的求法

(1).

证明单调有界方法：1）、归纳法2）、利用函数解解

(2).

利用结论解

(3).

先求出极限，再证明解先求出考察7.

利用定积分的定义利用特别解例4.计算分析定积分的定义解2011年决赛试题练习1：求练习2：求练3：求（09天津市竞赛）

8.

利用泰勒公式（复习公式及展到哪一项的确定）练习：思考题：（国外高校竞赛题）特点：用洛必达法则较复杂时，或者根本不可能用关键：展开到含xn项，或者不相互抵消的那一项止要熟记常用的展开式例2：例1(10年天津市)

9.

利用导数的定义解解

10.

利用中值定理解11利用Stolz(施笃兹)定理求数列极限.数列极限的Stolz定理适用于两个趋于无穷大的数列之商的极限：施笃兹定理是数列极限的洛必达法则利用施笃兹定理立即得到：数列前n项的算术平均值的极限等于原数列的极限。数列前n项的几何平均值的极限等于原数列的极限。利用施笃兹定理可以计算一些困难的数列极限例1例2二、由极限值确定参数解2.确定常数a,b,c

的值,使解:原式=又由～,得解:解:，在0的某邻域有二阶连续导数，且在x=0处解:由题设及洛必达法则解:三、无穷小的比较、无穷小阶的估计方法：无穷小比较实质是求极限。无穷小阶的估计最好的方法利用泰勒展开式。四、函数的连续与间断1、判别函数连续的方法；（1）用定义。（2）、初等函数的连续性。2、间断点类型的判别实质是求极限解.其中x=0为跳跃间断点,x=-1x=-2,-3,…….为无穷间断点.例2解2、利用连续求函数3、闭区间上连续函数的性质例2设函数f(x