2025年高考数学三轮复习之复数

第23页（共23页）2025年高考数学三轮复习之复数一．选择题（共8小题）1．（2025•江苏一模）已知复数z满足1z+i=i（i为虚数单位），则A．4 B．2 C．1 D．12．（2025•南宁模拟）若复数z=51-3i，则A．10 B．3 C．52 D．3．（2025•赤峰模拟）如图，向量OZ→对应的复数是z，则zA．6 B．6 C．13 D．134．（2025•洮北区校级一模）若复数z满足z（3+4i）＝5（其中i是虚数单位），则|z|＝（）A．1 B．2 C．5 D．15．（2025•卫辉市校级模拟）若复数z满足i=1-iz（A．i B．1 C．﹣i D．﹣16．（2025•长安区一模）已知1z-1A．1 B．32-12i C．7．（2025•江西模拟）已知复数z=3+iA．一 B．二 C．三 D．四8．（2024秋•昌黎县校级期末）若z（2﹣i）＝z+2i3，则z对应复平面内的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•渭南模拟）已知z1，z2是复数，则下列说法正确的是（）A．若z1=z2，则z1﹣B．若z12为虚数，则z1C．对于任意的复数z1，D．|z1z2|＝|z1||z2|（多选）10．（2025•重庆校级模拟）已知复数z1、z2，下列说法正确的有（）A．若|z1|＝|z2|，则z1B．若z12+z22=0，则zC．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0 D．若|z1﹣z2|＝|z1+z2|，则z1z2＝0（多选）11．（2025•抚顺模拟）已知复数z满足z+1A．z为纯虚数 B．z的虚部为﹣1 C．zzD．z和z是方程x2+2x+2＝0的两个根（多选）12．（2025•张掖模拟）已知复数z1＝3i，z2＝1﹣2i（i为虚数单位），则（）A．z1B．z2的虚部为﹣2i C．|z1|＞|z2| D．z1三．填空题（共4小题）13．（2025•温州二模）若复数a2﹣2a+ai是纯虚数，则实数a＝．14．（2025•喀什地区校级二模）z＝5+3i211的虚部为．15．（2024秋•常德期末）已知复数z满足z|z|=23-2i，则复数16．（2025•湖南模拟）复数z=4-i1-i-四．解答题（共4小题）17．（2024秋•唐县校级期末）对于z0，z1，z2∈C，记k=|z1-z0z2-z0|为z1，z2关于z0的“差比模”．若取遍|z0|＝r（r＞0），记z1，z2关于|z0|＝r的“差比模”的最大值为kmax，最小值为kmin，若kmax+k（1）若z0=12+32i，z（2）若z1=1+3i，z2=1-3i，是否存在r＜2，使得（3）若z1＝a，z2＝bi，a，b∈R且a，b＞r，若z1，z2关于r的“差比模”是协调的，求b218．（2024秋•周口校级期末）对任意一个非零复数z，定义集合Mz（1）设a是方程x+1x=（2）若复数ω∈Mz，求证Mω⊆Mz．19．（2024春•荣昌区校级期中）回答下列问题．（1）已知复数z＝m+2i是方程x2+6x+13＝0的根（i是虚数单位，m∈R），求|z|．（2）已知复数z＝﹣3+2i，设复数z1=a-i2023z，（z是20．（2024春•邢台期末）已知复数z＝（m2﹣1）+（m2﹣m﹣2）i，m∈R．（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）若z在复平面内对应的点在直线x﹣y+1＝0上，求m的值；（3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．

2025年高考数学三轮复习之复数参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BDCADADD二．多选题（共4小题）题号9101112答案BCDACBCAC一．选择题（共8小题）1．（2025•江苏一模）已知复数z满足1z+i=i（i为虚数单位），则A．4 B．2 C．1 D．1【考点】复数的除法运算；复数的模．【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简z，再计算其模即可．【解答】解：因为1z+i所以z＝﹣2i，所以|z|=02故选：B．【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．2．（2025•南宁模拟）若复数z=51-3i，则A．10 B．3 C．52 D．【考点】复数的除法运算；复数的模．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】利用复数的除法运算化简z，根据模长公式计算可得结果．【解答】解：由z=5得|z故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．（2025•赤峰模拟）如图，向量OZ→对应的复数是z，则zA．6 B．6 C．13 D．13【考点】复数的乘法及乘方运算．【专题】对应思想；数形结合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】C【分析】利用复数的几何意义和复数的四则运算法则计算即得．【解答】解：由向量OZ→对应的点为（﹣2，3），则复数是z＝﹣2+3i则zz故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．（2025•洮北区校级一模）若复数z满足z（3+4i）＝5（其中i是虚数单位），则|z|＝（）A．1 B．2 C．5 D．1【考点】复数的模．【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】A【分析】根据复数模长的计算公式，直接对z（3+4i）＝5求模长即可．【解答】解：复数z满足z（3+4i）＝5，则|z（3+4i）|＝5，即|z|×|3+4i|＝5，所以|z|×5＝5，解得|z|＝1．故选：A．【点评】本题考查了复数的模长计算问题，是基础题．5．（2025•卫辉市校级模拟）若复数z满足i=1-iz（A．i B．1 C．﹣i D．﹣1【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵i=∴z=则复数z的虚部是﹣1．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．6．（2025•长安区一模）已知1z-1A．1 B．32-12i C．【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】A【分析】利用复数的除法运算求出z，进而求出z求解．【解答】解：由1z-1则z=32-1故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7．（2025•江西模拟）已知复数z=3+iA．一 B．二 C．三 D．四【考点】复数对应复平面中的点．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】利用复数的除法化简复数z，利用共轭复数的定义以及复数的几何意义可得出结论．【解答】解：因为z=3+i2-i因此，z在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），在第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．8．（2024秋•昌黎县校级期末）若z（2﹣i）＝z+2i3，则z对应复平面内的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数对应复平面中的点．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】借助复数运算法则可计算出复数z，即可得其对应复平面内的点所在象限．【解答】解：z（2﹣i）＝z+2i3＝z﹣2i，则z（1﹣i）＝﹣2i，故z=则z对应复平面内的点为（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•渭南模拟）已知z1，z2是复数，则下列说法正确的是（）A．若z1=z2，则z1﹣B．若z12为虚数，则z1C．对于任意的复数z1，D．|z1z2|＝|z1||z2|【考点】虚数单位i及其性质；复数的实部与虚部；复数的模．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】BCD【分析】设z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝c+di（c，d∈R），代入进行验证．【解答】解：设z1＝a+bi（a，b∈R），若z1=z2，则z2＝a﹣bi，z1﹣z2＝2bi，当b≠由z12=(a+bi)2=az1z1设z2＝c+di（c，d∈R），则|=a2c故选：BCD．【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数模的运算性质，是基础题．（多选）10．（2025•重庆校级模拟）已知复数z1、z2，下列说法正确的有（）A．若|z1|＝|z2|，则z1B．若z12+z22=0，则zC．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0 D．若|z1﹣z2|＝|z1+z2|，则z1z2＝0【考点】复数的运算；共轭复数；复数的模．【专题】方程思想；转化思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】AC【分析】利用特殊值法可判断B、D选项；利用共轭复数的定义结合复数的乘法可判断A选项；设z1＝a+bi，a，b∈R，z2＝c+di，c，d∈R，利用复数的乘法和复数相等可判断C选项．【解答】解：对于A，设zn＝an+bni（an，bn∈R，n＝1，2），则z1z1=（a1+b1i）（a1﹣b1i）=a12所以，若|z1|＝|z2|，则z1z1=|z1|对于B，若z12+z22=0，不妨取z1＝1+i，则z12+z22=（1+i）2+（1﹣i）2＝2i﹣2i＝0，但z1≠0且对于C，设z1＝a+bi，a，b∈R，z2＝c+di，c，d∈R，若z1z2＝0，则（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i＝0，所以ac-bd=0ad+bc=0，即ac=bdad=-则a2+b2＝0，或c＝0，或d＝0，①当a2+b2＝0时，a＝b＝0，即z1＝0；②当a2+b2≠0，且c＝0时，则bd＝ad＝0，又因为a，b不同时为0，所以d＝0，即z2＝0；③当a2+b2≠0，且d＝0时，则ac＝bc＝0，同理可得c＝0，故z2＝0；综上，命题“若z1z2＝0，则z1＝0，或z2＝0”成立，选项C正确；对于D，若|z1﹣z2|＝|z1+z2|，不妨取z1＝1+i，z2＝1﹣i，则|z1﹣z2|＝|2i|＝2，|z1+z2|＝2，|z1﹣z2|＝|z1+z2|，但z1z2＝（1+i）•（1﹣i）＝2，选项D错误．故选：AC．【点评】本题考查了复数的定义与应用问题，是中档题．（多选）11．（2025•抚顺模拟）已知复数z满足z+1A．z为纯虚数 B．z的虚部为﹣1 C．zzD．z和z是方程x2+2x+2＝0的两个根【考点】复数的除法运算；纯虚数．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】BC【分析】根据已知条件结合复数的运算法则求得z，z，再逐个选项判断即可．【解答】解：由题可得：z+1＝（1﹣2i）（z﹣1）＝z﹣1﹣2iz+2i，故z=所以z=1-i，所以A错误，zz=(1+i因为x2+2x+2＝0，（x+1）2＝﹣1，所以x+1＝±i，x＝﹣1±i，所以D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查复数的基本运算，属于基础题．（多选）12．（2025•张掖模拟）已知复数z1＝3i，z2＝1﹣2i（i为虚数单位），则（）A．z1B．z2的虚部为﹣2i C．|z1|＞|z2| D．z1【考点】共轭复数；复数对应复平面中的点．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】AC【分析】利用共轭复数定义可知A正确，由虚部定义可得B错误，计算两复数的模长可得C正确，利用复数的除法运算以及复数的几何意义可得D错误．【解答】解：∵z1＝3i，∴z1=-3iz2＝1﹣2i的虚部为﹣2，故B错误；由已知可得|z1|＝3，|z2|=1+(-2)2=5，则|z1|z1其在复平面内对应的点的坐标为(-65故选：AC．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．三．填空题（共4小题）13．（2025•温州二模）若复数a2﹣2a+ai是纯虚数，则实数a＝2．【考点】纯虚数．【专题】方程思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】2．【分析】根据已知复数类型列方程计算求解．【解答】解：因为复数a2﹣2a+ai是纯虚数，所以a2故答案为：2．【点评】本题考查纯虚数的概念，属于基础题．14．（2025•喀什地区校级二模）z＝5+3i211的虚部为﹣3．【考点】虚数单位i、复数．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】﹣3．【分析】先化简可得z＝5﹣3i，再结合虚部的定义即可求解．【解答】解：由z＝5+3i211＝5+3•（i2）105•i＝5﹣3i，则其虚部为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．15．（2024秋•常德期末）已知复数z满足z|z|=23-2i，则复数【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】3-【分析】由复数的四则运算及相等复数的概念即可求解；【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），z|则(a所以aa2+b2所以z=故答案为：3-【点评】本题主要考查复数的四则运算及相等复数的概念，属于基础题．16．（2025•湖南模拟）复数z=4-i1-i-【考点】复数的除法运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】根据复数运算法则求z的代数形式，结合虚部定义求结论．【解答】解：z=所以复数z的虚部为-1故答案为：-1【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的概念，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2024秋•唐县校级期末）对于z0，z1，z2∈C，记k=|z1-z0z2-z0|为z1，z2关于z0的“差比模”．若取遍|z0|＝r（r＞0），记z1，z2关于|z0|＝r的“差比模”的最大值为kmax，最小值为kmin，若kmax+k（1）若z0=12+32i，z（2）若z1=1+3i，z2=1-3i，是否存在r＜2，使得（3）若z1＝a，z2＝bi，a，b∈R且a，b＞r，若z1，z2关于r的“差比模”是协调的，求b2【考点】复数的模；复数的三角表示．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解；新定义类．【答案】（1）z1，z2关于z0的“差比模”为33（2）不存在r＜2，使得z1，z2关于r的“差比模”是协调的，证明详见解析；（3）b2【分析】（1）根据“差比模”的定义进行运算；（2）根据“差比模”协调的定义以及共轭复数的性质、复数的模的性质，可推出kmax+kmin＞2，故不存在r＜2，使得z1，z2关于r的“差比模”是协调的；（3）根据“差比模”协调的定义结合复数的三角表示，根据三角函数的有界性将问题以及韦达定理对所求式子进行转化和求解．【解答】解：（1）由题意得：k=|1-z0-1-z＝|1-3i-3-3i|＝|(1-3i)(-3+3i)(-3-3i)(-3+3i（2）不存在r＜2，使得z1，z2关于r的“差比模”是协调的．理由如下：先证明共轭复数有如下性质：若任意z1，z2∈C，则z1±z2=证明：设z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝c+di（c，d∈R），则z1+z2=a+bi±(而z1±z2=a﹣bi±（c﹣di）＝a±c﹣（b±d）i，故zz1(z=ac+bd综上，共轭复数性质z1±z2=记当“差比模”取最大值kmax时的复数z0为zmax，即kmax由已知z1=1+3i，z2=1-3i，所以|z由已证明共轭复数的性质与复数模的性质|z|＝|z|可得，因为|z所以当z0＝zmax时取得kmax，则z0=zmax时取得kmin，故可知kmax•kmin＝由取遍|z0|＝r（r＞0），k＝|1+3i-z01-3i-故由基本不等式可得kmax+kmin＞2，故不存在r＜2，使得z1，z2关于r的“差比模”是协调的；（3）z1＝a，z2＝bi，a，b∈R且a，b＞r，设z0＝r（cosθ+isinθ），则k＝|a-rcosθ-平方整理得：（a2+r2）﹣（b2+r2）k2＝2arcosθ﹣2brk2sinθ=4所以|sin[（a2+r2）﹣（b2+r2）k2]2≤4a2r2+4b2r2k4，整理得：（b2﹣r2）2k4﹣2（a2+r2）（b2+r2）k2+（a2﹣r2）2≤0，令t＝k2，设方程（b2﹣r2）2t2﹣2（a2+r2）（b2+r2）t+（a2﹣r2）2＝0，则Δ＝[2（a2+r2）（b2+r2）]2﹣4[（b2﹣r2）（a2﹣r2）]2＝16（a2b2+r4）（a2+b2）r2＞0，故方程有两个不等的实数根，设为m，n，不妨设m＜n，由题意知a＞r＞0，b＞r＞0，a2﹣r2＞0，b2﹣r2＞0，则m+n=2(a2+故方程（b2﹣r2）2t2﹣2（a2+r2）（b2+r2）t+（a2﹣r2）2＝0有两不等的正实数根m，n，由关于k2的不等式（b2﹣r2）2k4﹣2（a2+r2）（b2+r2）k2+（a2﹣r2）2≤0，解得k2∈[m，n]，则kmax=n，k由已知z1，z2关于r的”差比模”是协调的，则m+n=2利用韦达定理，2(a则有2（a2+r2）（b2+r2）+2（a2﹣r2）（b2﹣r2）＝4（b2﹣r2）2，化简可得a2＝b2﹣2r2，故b2【点评】本题主要考查复数的模和复数的三角表示，属于较难题．18．（2024秋•周口校级期末）对任意一个非零复数z，定义集合Mz（1）设a是方程x+1x=（2）若复数ω∈Mz，求证Mω⊆Mz．【考点】复数的运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）求解方程x+1x=2得a1=22(1+i)，a2=22(1-i)，再由有理指数幂及i（2）由ω∈MZ，可知存在m∈N，使得ω＝z2m﹣1，则对任意n∈N，有ω2n﹣1＝z（2m﹣1）（2n﹣1），结合（2m﹣1）（2n﹣1）是正奇数，得ω2n﹣1∈Mz，即Mω⊆MZ．【解答】（1）解：由x+1x∴a1=2当a1=22(1+∴Ma1={ia1，当a2=2∴Ma2={-∴Ma＝{22(1+（2）证明：∵ω∈MZ，∴存在m∈N，使得ω＝z2m﹣1．于是对任意n∈N，ω2n﹣1＝z（2m﹣1）（2n﹣1），由于（2m﹣1）（2n﹣1）是正奇数，ω2n﹣1∈Mz，∴Mω⊆MZ．【点评】本题考查了复数的周期性、指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（2024春•荣昌区校级期中）回答下列问题．（1）已知复数z＝m+2i是方程x2+6x+13＝0的根（i是虚数单位，m∈R），求|z|．（2）已知复数z＝﹣3+2i，设复数z1=a-i2023z，（z是【考点】复数的除法运算．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）13；（2）（-23，【分析】（1）将z代入方程求出m，再根据复数的模长公式求解即可；（2）根据共轭复数的概念和复数除法运算化简z1，再根据复数的几何意义列不等式组求解即可．【解答】解：（1）因为复数z＝m+2i是方程x2+6x+13＝0的根，所以（m+2i）2+6（m+2i）+13＝0，整理得m2+6m+9+（4m+12）i＝0，所以m2+6m+9=04所以z＝﹣3+2i，|z（2）因为z＝﹣3+2i，所以z1又因为复数z1所对应的点在第三象限，所以-3a+2实数a的取值范围是（-23，【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．20．（2024春•邢台期末）已知复数z＝（m2﹣1）+（m2﹣m﹣2）i，m∈R．（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）若z在复平面内对应的点在直线x﹣y+1＝0上，求m的值；（3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．【考点】纯虚数；复数的代数表示法及其几何意义；虚数单位i、复数．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）m＝1；（2）m＝﹣2；（3）（1，2）．【分析】（1）由纯虚数定义直接求得；（2）由复数几何意义得到z在复平面内对应的点，代入直线方程即可；（3）由z在复平面内对应的点在第四象限建立不等式组即可求得．【解答】解：（1）∵z是纯虚数，∴m2-1=0m2（2）∵z在复平面内对应的点为（m2﹣1，m2﹣m﹣2），在直线x﹣y+1＝0上，∴m2﹣1﹣（m2﹣m﹣2）+1＝0，∴m＝﹣2．（3））∵z在复平面内对应的点为（m2﹣1，m2﹣m﹣2），在第四象限，∴m2-1＞0m2m的取值范围为（1，2）．【点评】本题考查复数的概念及其几何意义，还考查了计算能力，属于基础题．

考点卡片1．集合的包含关系判断及应用【知识点的认识】概念：1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．2．虚数单位i、复数【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中3．虚数单位i及其性质【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈【解题方法点拨】虚数单位i是定义为满足i2＝﹣1的数．虚数单位是复数运算中的基本元素，用于构造复数，并解决涉及负平方根的问题．【命题方向】虚数的性质：如何利用虚数单位i解决涉及负平方根的问题．虚数单位i，它的平方等于_____．解：i2＝﹣1．故答案为：﹣1．4．复数的实部与虚部【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中【解题方法点拨】﹣分解复数：通过给定的复数表达式，提取实部和虚部．﹣应用：在复数运算中，分开处理实部和虚部，简化计算过程．【命题方向】﹣实部与虚部的提取：考查如何从复数表达式中提取实部和虚部．﹣实部虚部的运算：如何利用实部和虚部进行复数运算和解决问题．若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a＝_____．解：若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则a2﹣3+2a＝0，解得：a＝﹣3或a＝1，故答案为：﹣3或1．5．纯虚数【知识点的认识】形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．【解题方法点拨】复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集．【命题方向】纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考察学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四则运算；（4）复数在复平面内对应的点．6．复数的代数表示法及其几何意义【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．3、复数中的解题策略：（1）证明复数是实数的策略：①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔z=z（2）证明复数是纯虚数的策略：①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0时，z-z=2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+z=0且7．复数对应复平面中的点【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．【解题方法点拨】﹣点的表示：将复数a+bi作为复平面上的点（a，b）进行图示．﹣几何运算：利用复平面上的点进行几何运算和分析．【命题方向】﹣复平面的几何表示：考查复数在复平面中的点表示及其几何意义．﹣复数的几何应用：如何在复平面中使用复数解决几何问题．8．共轭复数【知识点的认识】实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数Z=a﹣bi【解题方法点拨】共轭复数的常见公式有：|Z|=|Z|；|Z【命题方向】共轭复数在考察题型