2025年高考数学三轮复习之空间向量及其运算VIP

第32页（共32页）2025年高考数学三轮复习之空间向量及其运算一．选择题（共8小题）1．（2024秋•玉溪期末）如果向量a→，b→的夹角为θ，我们就称a→×b→为向量a→与b→的“向量积”，a→×b→还是一个向量，它的长度为|a→×b→A．-43 B．﹣4 C．4 D2．（2024秋•信阳期末）Q是三棱锥P﹣ABC底面ABC所在平面内的一点，满足PQ→=xPA→A．12，13 B．-12，13．（2024秋•山西期末）已知a→=(0，-1A．4 B．0 C．﹣4 D．﹣14．（2024秋•乌鲁木齐期末）已知空间向量a→=(1，n，2)，b→A．5 B．7 C．3 D．415．（2024秋•滨州期末）已知E，F分别是空间四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，点G是线段EF的中点，P为空间中任意一点，则PA→A．PG→ B．2PG→ C．3PG6．（2024秋•海南州期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1D1的中点，则EBA．4 B．5 C．6 D．47．（2024秋•颍州区校级期末）如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且PHHC=12，点G在AH上，且AGAH=m．若G，BA．12 B．-34 C．348．（2024秋•拱墅区校级期末）棱长为1的正四面体ABCD中，点E是的中点，则BA→A．14 B．-14 C．34二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•江苏模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P满足AP→=xAB→+yAD→+zA．当x＝y，y≠0，z≠0时，B1B∥平面ACP B．当x＝y＝z，z≠0时，异面直线AP与BC所成的角为45° C．当x+y＝1，z＝0时，D1P⊥A1C1 D．当x+y+z＝1时，线段AP的长度最小值为3（多选）10．（2024秋•龙岗区校级期末）关于空间向量，以下说法正确的是（）A．若对空间中任意一点O，有OP→=12OA→+13OBB．已知两个向量a→=（1，m，3），b→=（5，﹣1，n），且a→C．若a→⊥b→，则x1x2+y1y2+z1zD．已知a→=（0，1，1），b→=（0，0，﹣1），则a（多选）11．（2024秋•邵阳期末）已知向量a→=（1，1，﹣1），b→=（1，﹣A．a→B．|a→|＝|b→C．向量a→，b→的夹角的余弦值为D．若向量m→=（2，0，0）＝xa→+yb→（x，（多选）12．（2024秋•江西校级期末）给出下列命题，其中正确的有（）A．若非零空间向量a→，b→，c→满足a→⊥B．若三个非零向量a→，b→，c→不能构成空间的一个基底，则a→，bC．若两个非零向量a→，b→与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a→，D．已知{a→，三．填空题（共4小题）13．（2024秋•上海校级期末）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，任选2个顶点作为起点和终点所成的向量m→，与向量CC1→的数量积CC114．（2024秋•青海期末）在空间四边形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，且AM→=215．（2025•湖北一模）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP→=34OA→+18OB→+tOC→，若16．（2024秋•辽宁期末）已知e1→，e2→是空间单位向量，e1→⋅e2→=12．若空间向量b→满足b→⋅e1→=2四．解答题（共4小题）17．（2024秋•河池期末）如图，在正四面体OABC中，点D为BC的中点，2AE→=ED→，设OA（1）试用向量a→，b→，c→（2）若AB＝2，求OE→18．（2024秋•景洪市校级期末）已知向量a→=(2，（1）求|a（2）求向量a→+2b19．（2024秋•徐汇区校级期末）已知空间中三点A（2，0，﹣2）、B（1，﹣1，﹣2）、C（3，0，﹣4），设a→=AB（1）若|c→|＝3，且c→∥BC→（2）求以a→、b→为一组邻边的平行四边形的面积20．（2024秋•七里河区校级期末）已知向量a→=（2，﹣1，﹣2），b→=（1，（1）计算2a→-3b→和|2a→（2）求＜a→

2025年高考数学三轮复习之空间向量及其运算参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DBCCDBCA二．多选题（共4小题）题号9101112答案ACDBCBCBCD一．选择题（共8小题）1．（2024秋•玉溪期末）如果向量a→，b→的夹角为θ，我们就称a→×b→为向量a→与b→的“向量积”，a→×b→还是一个向量，它的长度为|a→×b→A．-43 B．﹣4 C．4 D【考点】空间向量的数量积运算．【专题】计算题；整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解；新定义类．【答案】D【分析】利用平面向量数量定义求出夹角的余弦值，进而可得其正弦值，再根据向量积的定义可求得结果．【解答】解：如果向量a→，b→的夹角为θ，我们就称a→×ba→×b在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为BD∥B1D1，且∠AD1B1＝60°，所以AD所以|A故选：D．【点评】本题考查了向量积的定义，属于中档题．2．（2024秋•信阳期末）Q是三棱锥P﹣ABC底面ABC所在平面内的一点，满足PQ→=xPA→A．12，13 B．-12，1【考点】空间向量的共线与共面；空间向量及其线性运算．【专题】计算题；整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】利用共面向量基本定理得到x+【解答】解：Q是三棱锥P﹣ABC底面ABC所在平面内的一点，因为Q，A，B，C四点共面，所以根据共面向量基本定理得x+y+代入选项验证，只有B选项满足条件．故选：B．【点评】本题考查了共面向量基本定理，属于中档题．3．（2024秋•山西期末）已知a→=(0，-1A．4 B．0 C．﹣4 D．﹣1【考点】空间向量的数量积运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】根据空间向量数量积的坐标表示即可求解．【解答】解：已知a→=(0，由题意知，a→故选：C．【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．4．（2024秋•乌鲁木齐期末）已知空间向量a→=(1，n，2)，b→A．5 B．7 C．3 D．41【考点】空间向量的数量积运算．【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据两向量垂直数量积为零求出n，计算出|a【解答】解：由a→与b→垂直，可得解得n＝﹣2，所以a→所以|a故选：C．【点评】本题考查向量垂直的坐标表示，考查向量的模长公式，属基础题．5．（2024秋•滨州期末）已知E，F分别是空间四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，点G是线段EF的中点，P为空间中任意一点，则PA→A．PG→ B．2PG→ C．3PG【考点】空间向量及其线性运算．【专题】数形结合；定义法；空间向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】根据空间向量的运算法则求解．【解答】解：∵E，F分别是空间四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，∴PA→+PC→=2PE又点G是线段EF的中点，则PA→故选：D．【点评】本题考查空间向量的运算，属于基础题．6．（2024秋•海南州期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1D1的中点，则EBA．4 B．5 C．6 D．4【考点】空间向量的数量积运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】B【分析】根据EB【解答】解：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1D1的中点，故EB1故选：B．【点评】本题考查的知识点：向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．7．（2024秋•颍州区校级期末）如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且PHHC=12，点G在AH上，且AGAH=m．若G，BA．12 B．-34 C．34【考点】空间向量的共线与共面；空间向量基本定理及空间向量的基底．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】以{AB→，AD→，AP→}为基底，表示向量AG→=【解答】解：因为AG→由G，B，P，D四点共面，所以2m整理得：m=故选：C．【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，共面向量的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题．8．（2024秋•拱墅区校级期末）棱长为1的正四面体ABCD中，点E是的中点，则BA→A．14 B．-14 C．34【考点】空间向量的数量积运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】根据向量线性运算法则和数量积的性质可得BA→【解答】解：长为1的正四面体ABCD中，点E是的中点，因为CE→所以BA→所以BA→故选：A．【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•江苏模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P满足AP→=xAB→+yAD→+zAA．当x＝y，y≠0，z≠0时，B1B∥平面ACP B．当x＝y＝z，z≠0时，异面直线AP与BC所成的角为45° C．当x+y＝1，z＝0时，D1P⊥A1C1 D．当x+y+z＝1时，线段AP的长度最小值为3【考点】空间向量的数量积运算；异面直线及其所成的角；直线与平面平行．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】ACD【分析】建立空间直角坐标系，得到点的坐标，A选项由空间向量证明线面平行；B选项由空间向量的夹角公式求得线线角；C选项由空间向量的数量积为0证明线线垂直；D选项由基本不等式求得AP→的模长的【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（1，1，1），D1（0，1，1），因为AP→=xAB→+yAD→A选项：AP→=(x所以AP→⋅BD→=-又BB1→=(0，0，1)，则BB选项：设x＝y＝z＝a≠0，则AP→=(a设异面直线AP与BC所成的角为α，则cosα=|AP→⋅BC→C选项：设x＝a，则P（a，1﹣a，0），即D1P→则D1P→⋅A1C1→=a-D选项：|AP因为x+y+z＝1，则x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz＝1，则1＝（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz≤x2+y2+z2+x2+y2+x2+z2+y2+z2＝3（x2+y2+z2），即x2+y2+z2所以|AP→|=故选：ACD．【点评】本题考查立体几何中的线线关系和线面关系，考查利用空间向量求解几何问题，属中档题．（多选）10．（2024秋•龙岗区校级期末）关于空间向量，以下说法正确的是（）A．若对空间中任意一点O，有OP→=12OA→+13OBB．已知两个向量a→=（1，m，3），b→=（5，﹣1，n），且a→C．若a→⊥b→，则x1x2+y1y2+z1zD．已知a→=（0，1，1），b→=（0，0，﹣1），则a【考点】空间向量的投影向量与投影；空间向量的共线与共面．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】BC【分析】直接利用向量共面的充要条件，向量的共线，向量垂直的充要条件．向量的投影向量求出结果．【解答】解：对于A：若对空间中任意一点O，有OP→=12OA→+13OB→+14OC对于B：由于向量a→=（1，m，3），b→=（5，﹣1，n），且a→∥b→，故对于C：由于a→=(x1，y1，z1)，b→=(x2，y2，z2)对于D：已知a→=（0，1，1），b→=（0，0，﹣1），则a→在b→上的投影向量为|a→|⋅a→⋅b→|a→故选：BC．【点评】本题考查的知识点：向量共面的充要条件，向量的共线，向量垂直的充要条件．向量的投影向量，主要考查学生的运算能力，属于中档题．（多选）11．（2024秋•邵阳期末）已知向量a→=（1，1，﹣1），b→=（1，﹣A．a→B．|a→|＝|b→C．向量a→，b→的夹角的余弦值为D．若向量m→=（2，0，0）＝xa→+yb→（x，【考点】空间向量的共线与共面．【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．【答案】BC【分析】根据向量平行判断A，根据向量的模判断B，根据向量的夹角公式判断C，根据向量坐标运算法则判断D．【解答】解：向量a→=（1，1，﹣1），b→=（1，﹣对于A，11≠-11对于B，|a→|＝|b→|=3对于C，cos＜a∴向量a→，b→的夹角的余弦值为-1对于D，若向量m→=（2，0，0）＝xa→+yb→则（2，0，0）＝（x，x，﹣x）+（y，﹣y，y）＝（x+y，x﹣y，﹣x+y），∴x＝y＝1，∴xy＝1，故D错误．故选：BC．【点评】本题考查命题真假的判断，考查向量平行、向量的模、夹角公式、向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．（多选）12．（2024秋•江西校级期末）给出下列命题，其中正确的有（）A．若非零空间向量a→，b→，c→满足a→⊥B．若三个非零向量a→，b→，c→不能构成空间的一个基底，则a→，bC．若两个非零向量a→，b→与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a→，D．已知{a→，【考点】空间向量的共线与共面；空间向量基本定理及空间向量的基底．【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；逻辑思维．【答案】BCD【分析】举反例否定选项A；利用空间向量基底定义判断选项B，C，D．【解答】解：当非零空间向量满足a→⊥b→，b→⊥c由基底的概念可知，若三个非零向量a→，b→，则它们必共面，故B正确；能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的三个向量，由于非零向量a→，b即向量a→，b→与任何一个向量均共面，则a→，b若c→，a→+b→可知a→，b→，c→故c→，a故选：BCD．【点评】本题考查空间向量的共面与共线定理，属基础题．三．填空题（共4小题）13．（2024秋•上海校级期末）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，任选2个顶点作为起点和终点所成的向量m→，与向量CC1→的数量积CC1【考点】空间向量的数量积运算．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】3．【分析】讨论当m→的起点和终点分别为正方体上相邻的两个顶点、正方体侧面上对角的两个顶点、正方体底面上对角的两个顶点、正方体体对角线的两端点时，C【解答】解：①当m→|m→|=1，C若CC1→∥m→，且则CC若CC1→∥m→，且则CC若CC1→则CC②当m→|m→|=2，CC1→若CC1→与m→的夹角为则CC若CC1→与m→的夹角为则CC③当m→|m→|=2，CC则CC④当m→|m→|=3，若cos〈CC则CC若cos〈CC则CC综上：m→与向量CC1→的数量积CC1→⋅m故答案为：3．【点评】本题考查空间向量数量积的运算，属中档题．14．（2024秋•青海期末）在空间四边形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，且AM→=2【考点】空间向量及其线性运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】45【分析】根据向量减法的几何意义和向量的数乘运算即可得解．【解答】解：∵AM→=2MC∴OM→∵ON→=4NB∴ON→∴MN→故答案为：45【点评】本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，是基础题．15．（2025•湖北一模）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP→=34OA→+18OB→+tOC→，若【考点】空间向量的共线与共面．【专题】计算题；对应思想；定义法；平面向量及应用；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．【解答】解：由题意得，OP→=34OA→+18∴34+1∴t=1故答案为：18【点评】本题考查空间向量基本定理，考查用向量表示四点共面的条件，属于简单题．16．（2024秋•辽宁期末）已知e1→，e2→是空间单位向量，e1→⋅e2→=12．若空间向量b→满足b→⋅e1→【考点】空间向量的数量积运算．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】2；22【分析】由题意可得|b→-(xe1→+ye2→【解答】解：已知e1又e1由于0≤〈所以〈e对于任意x，y∈R，|b即|b→-(xe1→+ye2→又|=|=|=|=|=|则x0解得x0故答案为：2；22【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了含有多个平方的代数式的最小值问题，属中档题．四．解答题（共4小题）17．（2024秋•河池期末）如图，在正四面体OABC中，点D为BC的中点，2AE→=ED→，设OA（1）试用向量a→，b→，c→（2）若AB＝2，求OE→【考点】空间向量的数量积运算；空间向量基底表示空间向量．【专题】计算题；整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】（1）OE→（2）﹣1．【分析】（1）由2AE→=ED→得AE（2）由（1）得OE→=23a→+16b→+16c→，AC→=OC→-【解答】解：（1）在正四面体OABC中，点D为BC的中点，2AE→=ED→，设OA因为点D为BC的中点，所以OD→因为2AE→=则OE→所以OE→（2）由（1）得OE→AC→由正四面体OABC可知∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，OA＝OB＝OC＝AB＝2，根据平面向量数量积公式，可得OE=2=1=1=1-＝﹣1，所以可得OE→⋅AC【点评】本题考查了空间向量数量积的计算，属于中档题．18．（2024秋•景洪市校级期末）已知向量a→=(2，（1）求|a（2）求向量a→+2b【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）9；（2）-3【分析】（1）根据a→⊥b→，可得m＝（2）结合（1）可得a→-b【解答】（1）解：因为a→所以a→⋅b→=2-4+所以a→则a→所以|a（2）解：向量a→|a(a设向量a→+2b→与所以cosθ=所以向量a→+2b→与【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的坐标运算，向量的数量积运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．19．（2024秋•徐汇区校级期末）已知空间中三点A（2，0，﹣2）、B（1，﹣1，﹣2）、C（3，0，﹣4），设a→=AB（1）若|c→|＝3，且c→∥BC→（2）求以a→、b→为一组邻边的平行四边形的面积【考点】空间向量的共线与共面．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题意，求出BC→的坐标，由向量平行的坐标表示方法，可以设c→=tBC→=（2t，t，﹣（2）根据题意，求出AB→、AC→的坐标，由数量积的计算公式可得cosA，进而求出sinA，又由S＝|AB→||AC→|【解答】解：（1）根据题意，B（1，﹣1，﹣2）、C（3，0，﹣4），则BC→=（2，1，﹣若c→∥BC→，设c→=tBC→=（2t又由|c→|＝3，则4t2+t2+4t2＝9t2＝9，解可得t＝±1故c→=（2，1，﹣2）或（﹣2，﹣1，（2）根据题意，a→=AB→=（﹣1，﹣1，0），b→=则|AB→|=1+1+0=2，|AC→|=1+4则cosA＝cos＜AB→，AC→＞=故S＝|AB→||AC→|×sinA=【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及空间向量的平行，属于基础题．20．（2024秋•七里河区校级期末）已知向量a→=（2，﹣1，﹣2），b→=（1，（1）计算2a→-3b→和|2a→（2）求＜a→【考点】空间向量的数量积运算．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用．【答案】（1）310；（2）π4【分析】（1）利用向量的坐标运算性质、模的计算公式即可得出．（2）利用向量夹角公式即可得出．【解答】解：（1）2a→-3b→=2（2，﹣1，﹣2）﹣3（1，1，﹣4）＝（4，﹣2，﹣4）﹣（3，3，﹣12）＝（1，﹣|2a→-3b→|=（2）∵cos＜a→，＜a→，b→＞∈[0∴＜a→，【点评】本题考查了向量的坐标运算性质、模的计算公式、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

考点卡片1．异面直线及其所成的角【知识点的认识】1、异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，π2]．当θ＝902、求异面直线所成的角的方法：求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：2．直线与平面平行【知识点的认识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．1、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．2、直线和平面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．3．空间向量及其线性运算【知识点的认识】1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为|AB→|，|a特别地：①规定长度为0的向量为零向量，记作0→②模为1的向量叫做单位向量；3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如a→的相反向量记为-5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，规定0→②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小．1．加减法的定义：空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．2．加法运算律：空间向量的加法满足交换律及结合律．（1）交换律：a（2）结合律：(a3．推广：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：A1（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量A11．空间向量的数乘运算实数λ与空间向量a→的乘积λ①当λ＞0时，λa→与②当λ＜0时，λa→与③当λ＝0时，λa④|λa→|＝|λ|•|aλa→的长度是a→的长度的|λ2．运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律．（1）分配律：①λ②（λ+μ）a（2）结合律：λ注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±4．空间向量的共线与共面【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a→∥b（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理对于空间任意两个向量a→、b→（b→≠0），a→（2）共面向量定理如果两个向量a→、b→不共线，则向量p→与向量a→、b→共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x【解题方法点拨】空间向量共线问题：（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a→=λb→（2）a→∥b→表示空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使MP→=xMA→+yMB→证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．【命题方向】1，考查空间向量共线问题例：若a→=（2x，1，3），b→=（1，﹣2y，9），如果A．x＝1，y＝1B．x=12，y=-12C．x=16，y=-分析：利用共线向量的条件b→=λa→解答：∵a→=（2x，1，3）与b→=（1，﹣2故有2x∴x=16，y故选C．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．2．考查空间向量共面问题例：已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）A．OM→=OA→+OB→+OC→B分析：根据共面向量定理OM→=m⋅OA→+n⋅解答：由共面向量定理OM→说明M、A、B、C共面，可以判断A、B、C都是错误的，则D正确．故选D．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．5．空间向量的数量积运算【知识点的认识】1．空间向量的夹角已知两个非零向量a→、b→，在空间中任取一点O，作OA→=a→，OB→=b→，则∠2．空间向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量a→、b→，则|a→||b→|cos＜a→，b→＞叫做向量a→与b→的数量积，记作a→•b→（2）几何意义：a→与b→的数量积等于a→的长度|a→|与b→在a→的方向上的投影|b→|cosθ的乘积，或b→的长度|b→|与3．空间向量的数量积运算律空间向量的数量积满足交换律和分配律．（1）交换律：(λa→)⋅b→=λa（2）分配律：a→4．数量积的理解（1）书写向量的数量积时，只能用符号a→⋅b→（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）当a→≠0→时，由a→⋅b→=0不能推出【解题方法点拨】利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：利用数量积求两点间的距离：利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a→|=利用数量积证明垂直关系：（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断a→⊥b→时，须指明（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量a→，b→，c→【命题方向】求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用．例：已知2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0，2，﹣1分析：通过2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0解答：∵2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=∴a→=（1，﹣3，∴a→•b→=1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1故答案为：﹣7．点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题．6．空间向量的夹角与距离求解公式【知识点的认识】1．空间向量的夹角公式设空间向量a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2cos＜注意：（1）当cos＜a→，b→＞（2）当cos＜a→，b→＞（3）当cos＜a→，b→＞2．空间两点的距离公式设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则AB→dA，B＝|AB→|=【解题思路点拨】1．求空间两条直线的夹角建系→写