2025年高考数学三轮复习之空间直角坐标系

第24页（共24页）2025年高考数学三轮复习之空间直角坐标系一．选择题（共8小题）1．（2024秋•安徽期末）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，满足∠BB1A1＝∠BB1C1＝60°，∠A1B1C1＝90°，BB1＝4，A1B1＝B1C1＝2．若CC1的中点为E，则A1E的长度为（）A．2 B．22 C．23 D2．（2024秋•杭州校级期末）空间一点P在xOy平面上的射影为M（2，4，0），在xOz平面上的射影为N（2，0，7），则P在yOz平面上的射影Q的坐标为（）A．（2，4，7） B．（0，0，7） C．（0，4，7） D．（0，2，7）3．（2024秋•洪雅县期末）若点M（2，5，4）关于平面Oxz和x轴对称的点分别为（a，b，c），（d，e，f），则b+f＝（）A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．94．（2024秋•山西期末）已知点M是点N（6，7，8）在坐标平面Oxz内的射影，则|OMA．85 B．10 C．113 D．1005．（2024秋•沧州期末）已知点M是点N（2，1，1）在坐标平面Oxy内的射影，则|OMA．5 B．6 C．2 D．56．（2024秋•枣庄期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点P（﹣2，3，1）到x轴的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．107．（2024秋•绵阳期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，3，﹣1）关于平面xOy的对称点B为（）A．（﹣2，3，﹣1） B．（2，3，1） C．（2，﹣3，1） D．（﹣2，3，1）8．（2025•湖北模拟）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，BB1＝1，点M是平面B1CD内的动点，且MA⊥MC，则|MC|的最大值为（）A．255 B．355 C．4二．多选题（共4小题）（多选）9．（2024秋•渭南校级期末）下列关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P（1，2，3）的说法正确的有（）A．线段OP的中点的坐标为(1B．点P关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3） C．点P关于坐标原点对称的点的坐标为（1，2，﹣3） D．点P关于Oxy平面对称的点的坐标为（1，2，﹣3）（多选）10．（2024秋•水城区期中）如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB⊥BC，|BA|＝|BC|＝|BB1|＝2，F是棱CC1的中点，则（）A．A（2，0，0） B．C（2，0，0） C．C1（2，0，0） D．F（0，2，1）（多选）11．（2024秋•梅县区校级期中）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（）A．点P（1，﹣1，0）与点Q（1，1，0）关于z轴对称 B．点A（﹣3，﹣1，4）与点B（3，﹣1，﹣4）关于y轴对称 C．点A（﹣3，﹣1，4）与点B（3，﹣1，﹣4）关于平面xOz对称 D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分（多选）12．（2024秋•四川期中）在空间直角坐标系O﹣xyz中，下列叙述正确的是（）A．点（1，﹣1，0）与点（1，1，0）关于x轴对称 B．点（﹣3，﹣1，6）与点（3，﹣1，6）关于z轴对称 C．点（2，5，7）与点（2，5，﹣7）关于平面xOy对称 D．坐标轴两两确定的平面把空间分为12个部分三．填空题（共4小题）13．（2024秋•徐汇区校级期末）空间直角坐标系中有一条线段，这条线段在xOy平面，yOz平面，xOz平面上的射影长分别为5，41，34，则这条线段的长为14．（2024秋•梅河口市校级期末）在空间直角坐标系Oxyz中，点P（a，0，2b﹣3）与Q（a，0，b）关于原点O对称，则点Q的坐标为．15．（2024秋•宝山区校级期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点P（1，2，4）关于Ox轴的对称点Q的坐标为．16．（2024秋•浦东新区校级期末）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，AA1＝2，O为底面ABCD的中心，点P为D1B1上的动点（包括端点），则当△PA1O的面积最小时，线段DP的长为．四．解答题（共4小题）17．（2024秋•潮阳区期末）“出租车几何或曼哈顿距离（ManhattanDistance）”是由十九世纪赫尔曼﹣闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）之间的曼哈顿距离为d（A，B）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|+|z2﹣z1|．（1）在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，记d（M，l）为点M与直线l上的所有点的曼哈顿距离的最小值．（i）已知点M（1，﹣1），求d（M，O）；（ii）已知点M（x0，y0），直线l：Ax+By+C＝0（A2+B2≠0），求证：d(（2）在空间直角坐标系中，已知点O为坐标原点，动点P满足d（O，P）＝1，求动点P围成的几何体的体积．18．（2024秋•广州期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，PC→=4PE→，（1）设平面ABE与棱PD相交于点G．（i）求证：EG∥CD；（ii）求截面ABEG的面积；（2）设平面BEF与棱PD相交于点H，求FH的长．19．（2023秋•梅州期末）在空间直角坐标系中，A（1，0，1），B（﹣1，2，0），C（0，﹣1，2）．（1）求∠BAC的余弦值；（2）求△ABC的面积．20．（2023秋•潮州期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，△ABC是直角三角形，三个顶点的坐标分别为A（t，﹣t，3），B（2t，t，4），C（3t，t+1，1），求实数t的值．

2025年高考数学三轮复习之空间直角坐标系参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CCABADBD二．多选题（共4小题）题号9101112答案ADADBDAC一．选择题（共8小题）1．（2024秋•安徽期末）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，满足∠BB1A1＝∠BB1C1＝60°，∠A1B1C1＝90°，BB1＝4，A1B1＝B1C1＝2．若CC1的中点为E，则A1E的长度为（）A．2 B．22 C．23 D【考点】空间两点间的距离公式；空间向量的数量积运算．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】以B1A1→，B1C1→，【解答】解：根据题意可知，∠BB1A1＝∠BB1C1＝60°，∠A1B1C1＝90°，BB1＝4，A1B1＝B1C1＝2，以B1A1→，所以A1(A所以(A可得|A1E→|=23，所以故选：C．【点评】本题考查了空间向量，属于基础题．2．（2024秋•杭州校级期末）空间一点P在xOy平面上的射影为M（2，4，0），在xOz平面上的射影为N（2，0，7），则P在yOz平面上的射影Q的坐标为（）A．（2，4，7） B．（0，0，7） C．（0，4，7） D．（0，2，7）【考点】空间直角坐标系．【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】C【分析】根据射影的概念，可得答案．【解答】解：点P在xOy平面上的射影为M（2，4，0），在xOz平面上的射影为N（2，0，7），则点P的坐标为（2，4，7），则点P在yOz平面上的射影Q的坐标为（0，4，7）．故选：C．【点评】本题主要考查射影的概念，属于基础题．3．（2024秋•洪雅县期末）若点M（2，5，4）关于平面Oxz和x轴对称的点分别为（a，b，c），（d，e，f），则b+f＝（）A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．9【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】A【分析】根据已知条件，结合空间点对称的性质，即可求解．【解答】解：点M（2，5，4）关于平面Oxz对称的点为（2，﹣5，4），点M（2，5，4）关于x轴对称的点为（2，﹣5，﹣4），所以b＝﹣5，f＝﹣4，故b+f＝﹣9．故选：A．【点评】本题主要考查空间点对称的性质，属于基础题．4．（2024秋•山西期末）已知点M是点N（6，7，8）在坐标平面Oxz内的射影，则|OMA．85 B．10 C．113 D．100【考点】空间中的点在坐标平面内的射影；空间两点间的距离公式．【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】B【分析】根据已知条件，结合射影的定义，以及空间两点之间的距公式，即可求解．【解答】解：点M是点N（6，7，8）在坐标平面Oxz内的射影，则M（6，0，8），故|OM故选：B．【点评】本题主要考查空间两点之间的距公式，属于基础题．5．（2024秋•沧州期末）已知点M是点N（2，1，1）在坐标平面Oxy内的射影，则|OMA．5 B．6 C．2 D．5【考点】空间中的点在坐标平面内的射影；空间两点间的距离公式．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【答案】A【分析】结合射影的定义，求出点M，再结合向量模公式，即可求解．【解答】解：点M是点N（2，1，1）在坐标平面Oxy内的射影，则M（2，1，0），故OM→所以|OM故选：A．【点评】本题主要考查向量模公式，属于基础题．6．（2024秋•枣庄期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点P（﹣2，3，1）到x轴的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．10【考点】空间两点间的距离公式．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】根据空间点线的位置关系，将点P到x轴的距离转化为到点（﹣2，0，0）的距离进行计算即可．【解答】解：由题意，点P（﹣2，3，1）到x轴的距离即为点P到点（﹣2，0，0）的距离，则d=32+12=10，即点P（﹣2，3故选：D．【点评】本题考查空间两点间的距离公式，属基础题．7．（2024秋•绵阳期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，3，﹣1）关于平面xOy的对称点B为（）A．（﹣2，3，﹣1） B．（2，3，1） C．（2，﹣3，1） D．（﹣2，3，1）【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】根据关于面xOy对称的点的特征求解即可．【解答】解：在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，3，﹣1）关于平面xOy的对称点B为（2，3，1）．故选：B．【点评】本题主要考查了空间直角坐标系中点的坐标，属于基础题．8．（2025•湖北模拟）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，BB1＝1，点M是平面B1CD内的动点，且MA⊥MC，则|MC|的最大值为（）A．255 B．355 C．4【考点】空间两点间的距离公式．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】D【分析】先确定点M的截面圆，通过面面垂直找到球心到截面的距离，进而求出椭面圆半径，再结合点C与截面的位置关系，求出|MC|的最大值．【解答】解：M点在以AC的中点O为球心，半径为2的球面上，又点M在平面B1CD上，点M在平面B1CD与球的一个截面圆上，取CD的中点E，AB1的中点G，连接EG，FG，∵CD⊥平面EFG，∴面B1CD⊥面EFG，面B1CD∩面EFG＝GE，作OO1⊥GE于O1，∴OO1⊥面B1CD，由相似三角形性质得OO1GF=OEO1M=2-(点M在以O1为圆心，35∵CO1＝O1M，∴C在该圆上，则|MC|的最大值为65故选：D．【点评】本题考查面面垂直、球心到截面的距离、椭面圆半径、点与截面的位置关等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2024秋•渭南校级期末）下列关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P（1，2，3）的说法正确的有（）A．线段OP的中点的坐标为(1B．点P关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3） C．点P关于坐标原点对称的点的坐标为（1，2，﹣3） D．点P关于Oxy平面对称的点的坐标为（1，2，﹣3）【考点】空间中两点中点坐标及点关于点对称点坐标．【专题】对应思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】AD【分析】根据空间坐标系中点的对称性的相关性质分别判断即可．【解答】解：由题意可知线段OP的中点的坐标为(12，点P关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2，﹣3），所以B中说法错误；点P关于坐标原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3），所以C中说法错误；点P关于Oxy平面对称的点的坐标为（1，2，﹣3），所以D中说法正确．故选：AD．【点评】本题考查空间直角坐标系，属于基础题．（多选）10．（2024秋•水城区期中）如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB⊥BC，|BA|＝|BC|＝|BB1|＝2，F是棱CC1的中点，则（）A．A（2，0，0） B．C（2，0，0） C．C1（2，0，0） D．F（0，2，1）【考点】空间中的点的坐标．【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】AD【分析】结合空间直角坐标系中各条边的长度，即可求解．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB⊥BC，|BA|＝|BC|＝|BB1|＝2，F是棱CC1的中点，则A（2，0，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），F（0，2，1），A，D正确，B，C错误．故选：AD．【点评】本题主要考查空间点坐标的求解，属于基础题．（多选）11．（2024秋•梅县区校级期中）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（）A．点P（1，﹣1，0）与点Q（1，1，0）关于z轴对称 B．点A（﹣3，﹣1，4）与点B（3，﹣1，﹣4）关于y轴对称 C．点A（﹣3，﹣1，4）与点B（3，﹣1，﹣4）关于平面xOz对称 D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【答案】BD【分析】结合空间直角坐标系的概念对选项逐一分析即可．【解答】解：点P（1，﹣1，0）与点Q（1，1，0）关于x轴对称，故A错误；点A（﹣3，﹣1，4）与B（3，﹣1，﹣4）关于y轴对称，故B正确；点A（﹣3，﹣1，4）与B（3，﹣1，﹣4）不关于平面xOz对称，故C错误；空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，故D正确．故选：BD．【点评】本题主要考查空间点对称的性，属于基础题．（多选）12．（2024秋•四川期中）在空间直角坐标系O﹣xyz中，下列叙述正确的是（）A．点（1，﹣1，0）与点（1，1，0）关于x轴对称 B．点（﹣3，﹣1，6）与点（3，﹣1，6）关于z轴对称 C．点（2，5，7）与点（2，5，﹣7）关于平面xOy对称 D．坐标轴两两确定的平面把空间分为12个部分【考点】空间中的点的坐标．【专题】整体思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．【答案】AC【分析】ABC选项，根据空间直角坐标系内点的坐标特征得到AC正确，B错误；D选项，坐标轴确定的平面把空间分为8个部分．【解答】解：（1，﹣1，0）与（1，1，0）关于x轴对称，A正确；（﹣3，﹣1，6）关于z轴的对称点是（3，1，6），B错误；（2，5，7）与（2，5，﹣7）关于平面xOy对称，C正确；坐标轴两两确定的平面分空间为8个部分，D错误．故选：AC．【点评】本题考查空间中的点的应用，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．（2024秋•徐汇区校级期末）空间直角坐标系中有一条线段，这条线段在xOy平面，yOz平面，xOz平面上的射影长分别为5，41，34，则这条线段的长为【考点】空间中的点在坐标平面内的射影．【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】52【分析】将原问题转化为求长方体的体对角线长度，即可求解．【解答】解：由题意可知，这条线段可看作长方体的体对角线，这个长方体的同一个顶点外的三个表面的面对角线为5，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则a2故这条线段的长为a2故答案为：52【点评】本题主要考查空间中的点在坐标平面内的射影，属于基础题．14．（2024秋•梅河口市校级期末）在空间直角坐标系Oxyz中，点P（a，0，2b﹣3）与Q（a，0，b）关于原点O对称，则点Q的坐标为（0，0，1）．【考点】空间中两点中点坐标及点关于点对称点坐标．【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】（0，0，1）．【分析】根据给定条件，利用对称性列式计算得解．【解答】解：点P（a，0，2b﹣3）与Q（a，0，b）关于原点O对称，则2a＝0，3b﹣3＝0，解得a＝0，b＝1，所以点Q的坐标为（0，0，1）．故答案为：（0，0，1）．【点评】本题主要考查空间点对称的性质，属于基础题．15．（2024秋•宝山区校级期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点P（1，2，4）关于Ox轴的对称点Q的坐标为（1，﹣2，﹣4）．【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】（1，﹣2，﹣4）．【分析】利用空间直角坐标系中，点关于坐标轴对称特征求出点Q的坐标．【解答】解：由空间点对称的定义可知，点P（1，2，4）关于Ox轴的对称点Q的坐标为（1，﹣2，﹣4）．故答案为：（1，﹣2，﹣4）【点评】本题主要考查空间点对称的定义，属于基础题．16．（2024秋•浦东新区校级期末）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，AA1＝2，O为底面ABCD的中心，点P为D1B1上的动点（包括端点），则当△PA1O的面积最小时，线段DP的长为694【考点】空间两点间的距离公式．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；直观想象；运算求解．【答案】694【分析】如图以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，根据题意设P（a，2a，2），然后利用空间向量求出点P到A1O的最小距离，从而可求出点P的坐标，进而可求出DP的长．【解答】解：如图以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，2)，O(12，则A1设P（a，b，2），则D1因为D1P→∥D1B1所以P（a，2a，2）（0≤a≤1），则A1设点P到A1O的距离为d，则d=5a=96根据二次函数的性质可知，当a=14时，d取得最小值，此时△PA1所以P(14，12，2)，D（故答案为：694【点评】本题主要考查了空间向量在空间距离求解中的应用，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．（2024秋•潮阳区期末）“出租车几何或曼哈顿距离（ManhattanDistance）”是由十九世纪赫尔曼﹣闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）之间的曼哈顿距离为d（A，B）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|+|z2﹣z1|．（1）在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，记d（M，l）为点M与直线l上的所有点的曼哈顿距离的最小值．（i）已知点M（1，﹣1），求d（M，O）；（ii）已知点M（x0，y0），直线l：Ax+By+C＝0（A2+B2≠0），求证：d(（2）在空间直角坐标系中，已知点O为坐标原点，动点P满足d（O，P）＝1，求动点P围成的几何体的体积．【考点】空间两点间的距离公式．【专题】分类讨论；转化思想；定义法；平面向量及应用；运算求解；新定义类．【答案】（1）（i）2；（ii）证明见解析；（2）43【分析】（1）（i）利用曼哈顿距离的定义计算得解；（ii）在直线l上取点，按AB≠0与A，B之一为0分类，利用曼哈顿距离的定义，借助不等式性质求出最小值即可．（2）设P（x，y，z），利用用曼哈顿距离的定义列式，考查x≥0，y≥0，z≥0时点P所围图形，再利用对称性即得几何体，由等体积法求出体积．【解答】解：（1）（i）因为M（1，﹣1），O（0，0），由曼哈顿距离的定义，d（M，O）＝|1﹣0|+|﹣1﹣0|＝2；（ii）证明：当AB≠0时，设直线l上任意一点N（t-CAd（M，N）＝|t-CA-x0|+|-≥|因此d（M，l）＝d（M，N）min=|当A＝0，B≠0时，设N（x，-C则d（M，N）＝|x﹣x0|+|-CB-y0因此d（M，l）＝d（M，N）min=|当A≠0，B＝0时，同理d（M，l）＝d（M，N）min=|所以d（M，l）=|（2）设P（x，y，z），依题意，d（O，P）＝|x|+|y|+|z|＝1，当0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1时，设M1（1，0，0），M2（0，1，0），M3（0，0，1），则M1P→=（x﹣1，y，z）＝（﹣y﹣z，y，z），M1M2→=（﹣1，1，0所以M1P→=yM1M2→+zM1M3点P围成的图形是边长为2的正三角形及内部，由对称性知，动点P围成的几何体是正八面体，每个面都是边长为2的正三角形，其体积等于8个与三棱锥M3﹣M1M2O全等的三棱锥体积之和，所以动点P围成的几何体的体积为V＝8VO-M1M2M3=8V【点评】本题考查了新定义的距离计算问题，也考查了转化思想，是中档题．18．（2024秋•广州期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，PC→=4PE→，（1）设平面ABE与棱PD相交于点G．（i）求证：EG∥CD；（ii）求截面ABEG的面积；（2）设平面BEF与棱PD相交于点H，求FH的长．【考点】空间两点间的距离公式；直线与平面平行．【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；逻辑思维；空间想象．【答案】（1）（i）证明详见解析；（ii）截面ABEG的面积为510（2）FH=2【分析】（1）（i）根据线面平行的性质定理进行证明；（ii）结合（i）的结论作出截面，根据条件证明其为直角梯形，从而求出面积；（2）建立空间直角坐标系，利用向量共线求出H的坐标，从而求出FH的距离．【解答】解：（1）（i）证明：因为底面ABCD是正方形，所以CD∥AB，因为CD⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，所以CD∥平面ABE，因为CD⊂平面PCD，平面PCD∩平面ABE＝EG，所以EG∥CD；（ii）如图，因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，因为AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，因为AG⊂平面PAD，所以AB⊥AG，因为PC→=4PE→，EG∥CD，CD所以PG=14PD，EG∥AB且EG=14所以四边形ABEG为直角梯形，其中EG＝1，AB＝4，因为PA＝AB＝AD，PA⊥AD，所以∠APG＝45°，则AG2＝PA2+PG2﹣2PA•PG＝16+2﹣2×4×2×cos45°＝AG=10所以直角梯形ABEG的面积为12×（1+4）×10=5（2）如图，延长BF交CD于点Q，连接EQ，则EQ与PD交点即为点H，因为AD→=2AF→，所以F又因为AB∥CD，所以△ABF≌△DQF，所以DQ＝AB＝CD，以A为原点建立空间直角坐标系如图，则P（0，0，4），Q（﹣4，4，0），F（0，2，0），E（1，1，3），设点H（0，a，4﹣a），则EH→=（﹣1，a﹣1，1﹣a），EQ→=（﹣5，因为EH→∥EQ→，所以-1-所以H（0，85，125），FH【点评】本题主要考查线面平行的判定定理和性质定理以及空间中点的距离的计算，属于中档题．19．（2023秋•梅州期末）在空间直角坐标系中，A（1，0，1），B（﹣1，2，0），C（0，﹣1，2）．（1）求∠BAC的余弦值；（2）求△ABC的面积．【考点】空间两点间的距离公式．【答案】（1）-39；（2）【分析】（1）利用空间两点间的距离，求出|AB|，|AC|，|BC|的长，再利用余弦定理能求出结果．（2）根据（1）中结果，求出sin∠BAC，|AB|，|AC|，|BC|，利用三角形面积公式能求出结果．【解答】解：（1）在空间直角坐标系中，A（1，0，1），B（﹣1，2，0），C（0，﹣1，2），∴|AB|=(-1-1)|AC|=(0-1|BC|=(0+1∴∠BAC的余弦值为cos∠BAC=|（2）由（1）知sin∠BAC=1-∴△ABC的面积为S△ABC=1【点评】本题考查空间直角坐标系中对称点的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20．（2023秋•潮州期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，△ABC是直角三角形，三个顶点的坐标分别为A（t，﹣t，3），B（2t，t，4），C（3t，t+1，1），求实数t的值．【考点】空间中的点的坐标．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【答案】-1-136或-1+136【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，并分类讨论，即可求解．【解答】解：A（t，﹣t，3），B（2t，t，4），C（3t，t+1，1），则AB→=(tAC→=(2tCB→=(-t当A=π2时，AB→⋅AC→=0，即3t2+t﹣1＝当B=π2时，BA→⋅BC→=0，即t2+2t﹣3＝0，解得t当C=π2时，CA→⋅CB→=0，即2t综上所述，t的值为-1-136或-1+136【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．

考点卡片1．直线与平面平行【知识点的认识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．1、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．2、直线和平面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．2．空间直角坐标系【知识点的认识】1、右手直角坐标系①右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指；②已知点的坐标P（x，y，z），作点的方法与步骤（路径法）：沿x轴正方向（x＞0时）或负方向（x＜0时）移动|x|个单位，再沿y轴正方向（y＞0时）或负方向（y＜0时）移动|y|个单位，最后沿z轴正方向（z＞0时）或负方向（z＜0时）移动|z|个单位，即可作出点③已知点的位置求坐标的方法：过P作三个平面分别与x轴、y轴、z轴垂直于A，B，C，点A，B，C在x轴、y轴、z轴的坐标分别是a，b，c，则（a，b，c）就是点P的坐标．2、在x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．3．空间中的点的坐标【知识点的认识】1、在x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．2、点P（a，b，c）关于x轴的对称点的坐标为（a，﹣b，﹣c，）点P（a，b，c）关于y轴的对称点的坐标为（﹣a，b，﹣c，）；点P（a，b，c）关于z轴的对称点的坐标为（﹣a，﹣b，c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为（a，b，﹣c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面xOz的对称点为（a，﹣b，c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面yOz的对称点为（﹣a，b，c，）；点P（a，b，c）关于原点的对称点（﹣a，﹣b，﹣c，）．3、已知空间两点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）则线段P1P2的中点坐标为（x14．空间两点间的距离公式【知识点的认识】空间两点间的距离公式：已知空间两点P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2），则两点的距离为，特殊地，点A（x，y，z）到原点O的距离为．5．空间中两点中点坐标及点关于点对称点坐标【知识点的认识】﹣两点中点坐标：给定空间中两点A（x1，y1，z1）和B（x2，y2，z2），它们的中点M坐标为：M=(﹣点关于点对称点坐标：点P（x1，y1，z1）关于点O（x0，y0，z0）对称的点P'坐标为：P'＝（2x0﹣x1，2y0﹣y1，2z0﹣z1）【解题方法点拨】﹣计算中点：代入两点坐标，应用中点坐标公式．﹣计算对称点：代入点和对称中心坐标，应用对称点公式．【命题方向】﹣中点计算：考查如何计算空间中两点的中点坐标．﹣对称点计算：考查如何计算