2025年高考数学三轮复习之幂函数、指数函数、对数函数

第35页（共35页）2025年高考数学三轮复习之幂函数、指数函数、对数函数一．选择题（共8小题）1．（2024秋•景德镇期末）函数f(A．（1，2） B．（0，2] C．（1，+∞） D．（1，2]2．（2024秋•蚌埠期末）已知a＝log34，b=4-A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a3．（2024秋•景德镇期末）幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm在（0，+∞）上单调递增，则g（x）＝ax﹣m+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（）A．（2，1） B．（2，2） C．（﹣1，1） D．（﹣1，2）4．（2024秋•景德镇期末）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知lg2≈0.301，则2.51000的估算值为（）A．10365 B．10379 C．10389 D．103985．（2024秋•邵阳期末）已知函数f（x）＝log3|ax﹣1|（a≠0）的图象关于直线x＝2对称，则a＝（）A．2 B．1 C．13 D．6．（2024秋•师宗县校级期末）下列大小关系，正确的是（）A．0.983＞0.993 B．log20.98＞log20.99 C．1.80.3＞0.993 D．（﹣2）5＞（﹣3）37．（2024秋•蚌埠期末）函数：①y＝log2|x﹣1|；②y＝|log2（x﹣1）|；③y＝log0.5|x﹣1|；④y＝log0.5（|x|﹣1）的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号是（）A．①④③② B．①④②③ C．④①②③ D．③④②①8．（2024秋•铜陵期末）高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：a↑b=a⋅a⋅a⋅⋯⋅a︸b个aA．102025 B．102055 C．102105 D．102125二．多选题（共4小题）（多选）9．（2024秋•上城区校级期末）下列运算正确的有（）A．lg3+lg4＝lg7 B．log2100＝10log210 C．4log45=5 D．log34•（多选）10．（2024秋•铜陵期末）已知幂函数f（x）＝xα，则下列结论正确的是（）A．函数y＝f（x）的图象都经过点（0，0），（1，1） B．函数y＝f（x）的图象不经过第四象限 C．若α＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增 D．若α＝2，则对任意实数x1，x2，有f（多选）11．（2024秋•上城区校级期末）若f（x）＝3x+1，则下列结论正确的是（）A．f（x）在[﹣1，1]上单调递增 B．y＝3x+1与y=(13)x+1的C．f（x）的图象过点（0，1） D．f（x）的值域为[1，+∞）（多选）12．（2024秋•广东校级期末）已知x＞y＞0，则下列结论一定正确的是（）A．1x＜1y B．x+yxy＞2 C．三．填空题（共4小题）13．（2025•南宁模拟）已知a＞0且a≠1，b＞0，函数f（x）＝logax，若f(b4)+f(b)=3，则log14．（2024秋•景德镇期末）已知函数y＝loga（x+1），它的反函数y＝f（x）经过点（2，3），则a＝．15．（2024秋•铜陵期末）计算：log35+8-16．（2024秋•蚌埠期末）函数f（x）＝lnx+ln（4﹣x）的单调递增区间是．四．解答题（共4小题）17．（2024秋•铜陵期末）已知集合A={（1）若0∈B，3∉B，求实数a的取值范围；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．18．（2024秋•双清区校级期末）已知函数f（x）＝log3x．（1）作出函数f（x）的图象；（2）由图象观察当x＞1时，函数的值域．19．（2024秋•天津期末）已知函数f（x）＝loga（x+1）（a＞0，且a≠1）的图象经过点(-12，1)，函数g（x）＝xm的图象经过点（2，8（1）求2a+m的值；（2）解不等式f（2x﹣2）≥g（0）．20．（2024秋•威海期末）已知函数f（x）＝4x﹣2x﹣6．（1）若f（x）＜0，求x的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）＝m有两个不相等的实数根，设为x1，x2．（i）求m的取值范围；（ii）证明：x1+x2＜﹣2．

2025年高考数学三轮复习之幂函数、指数函数、对数函数参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案AABDDCBC二．多选题（共4小题）题号9101112答案CDBCDABAB一．选择题（共8小题）1．（2024秋•景德镇期末）函数f(A．（1，2） B．（0，2] C．（1，+∞） D．（1，2]【考点】求对数函数的定义域．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】A【分析】根据函数解析式的形式，列出满足函数定义域的不等式，即可求解．【解答】解：由题意可知，2-x＞0x-1所以函数的定义域是（1，2）．故选：A．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．2．（2024秋•蚌埠期末）已知a＝log34，b=4-A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】A【分析】利用对数函数和指数函数的单调性比较．【解答】解：因为a＝log34＞1，b=4-23∈（0，所以a＞b＞c．故选：A．【点评】本题主要考查了函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．3．（2024秋•景德镇期末）幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm在（0，+∞）上单调递增，则g（x）＝ax﹣m+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（）A．（2，1） B．（2，2） C．（﹣1，1） D．（﹣1，2）【考点】由幂函数的单调性求解参数．【答案】B【分析】利用幂函数的定义和性质，求得m的值，再利用指数函数的图象过定点问题，得出结论．【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣m﹣1＝1，且m＞0，解得m＝2，故g（x）＝ax﹣m+1＝ax﹣2+1，令x﹣2＝0，求得x＝2，g（2）＝2，可得g（x）的图象过定点（2，2）．故选：B．【点评】本题主要考查了幂函数单调性的应用，属于基础题．4．（2024秋•景德镇期末）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知lg2≈0.301，则2.51000的估算值为（）A．10365 B．10379 C．10389 D．10398【考点】指数式与对数式的互化；对数运算求值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】D【分析】首先计算lg2.51000，再根据指对运算公式即可求解．【解答】解：lg2.51000＝1000lg2.5＝1000（1﹣2lg2）≈1000×（1﹣0.602）＝398，所以2.51000≈10398．故选：D．【点评】本题考查了对数的运算性质，是基础题．5．（2024秋•邵阳期末）已知函数f（x）＝log3|ax﹣1|（a≠0）的图象关于直线x＝2对称，则a＝（）A．2 B．1 C．13 D．【考点】对数函数及对数型复合函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】D【分析】根据给定条件，利用图象变换，结合偶函数的性质求出a值．【解答】解：因为log3|a（﹣x）|＝log3|ax|，所以函数y＝log3|ax|是偶函数，其图象关于直线x＝0对称，函数f(x)=log3|a(x-1a)|的图象可看作函数y＝log3|ax|因此函数f（x）＝log3|ax﹣1|的图象对称轴为x=1a，所以1故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与对称性，属于中档题．6．（2024秋•师宗县校级期末）下列大小关系，正确的是（）A．0.983＞0.993 B．log20.98＞log20.99 C．1.80.3＞0.993 D．（﹣2）5＞（﹣3）3【考点】指数函数的单调性与最值；对数值大小的比较．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】应用幂函数，指数函数及对数函数单调性判断各个选项即可．【解答】解：因为y＝x3是增函数，所以0.983＜0.993，A错误；因为y＝log2x是增函数，所以log20.98＜log20.99，B错误；因为1.80.3＞1＞0.993，C选项正确；因为（﹣2）5＝﹣32＜（﹣3）3＝﹣27，D选项错误．故选：C．【点评】本题主要考查了函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．7．（2024秋•蚌埠期末）函数：①y＝log2|x﹣1|；②y＝|log2（x﹣1）|；③y＝log0.5|x﹣1|；④y＝log0.5（|x|﹣1）的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号是（）A．①④③② B．①④②③ C．④①②③ D．③④②①【考点】对数函数的图象；对数函数图象特征与底数的关系；函数图象的简单变换．【专题】对应思想；数形结合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】B【分析】将函数写成分段函数，结合函数定义域，单调性作出判断，得到答案．【解答】解：已知函数：①y＝log2|x﹣1|；②y＝|log2（x﹣1）|；③y＝log0.5|x﹣1|；④y＝log0.5（|x|﹣1），由①y=log由②令x﹣1＞0，得x＞1，故y＝|log2（x﹣1）|定义域为（1，+∞），且y=对应的图象为从左到右第三个，由③y=log令|x|﹣1＞0，解得x＞1或x＜﹣1，故y＝log0.5（|x|﹣1）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），由④y=由复合函数可知，y＝log0.5（x﹣1）在（1，+∞）上单调递减，y＝log0.5（﹣x﹣1）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，对应的图象为从左到右第二个，按照从左到右图象对应的函数序号是①④②③．故选：B．【点评】本题考查对数型函数的图象相关知识，属于中档题．8．（2024秋•铜陵期末）高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：a↑b=a⋅a⋅a⋅⋯⋅a︸b个A．102025 B．102055 C．102105 D．102125【考点】对数运算求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解；新定义类．【答案】C【分析】先得到5↑↑3＝53125，利用对数运算法则计算出lg5↑↑3【解答】解：定义：a↑所以：5↑↑则lg5↑↑3T≈lg5312510所以5↑↑3T故选：C．【点评】本题考查的知识点：定义性问题的应用，对数的运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2024秋•上城区校级期末）下列运算正确的有（）A．lg3+lg4＝lg7 B．log2100＝10log210 C．4log45=5 D．log34•【考点】对数运算求值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】CD【分析】根据对数的运算性质判断ABC，利用换底公式判断D．【解答】解：对于A，lg3+lg4＝lg（3×4）＝lg12，故A错误；对于B，log2100=对于C，令log45＝t，则4t＝5，即4log4对于D，log34⋅故选：CD．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．（多选）10．（2024秋•铜陵期末）已知幂函数f（x）＝xα，则下列结论正确的是（）A．函数y＝f（x）的图象都经过点（0，0），（1，1） B．函数y＝f（x）的图象不经过第四象限 C．若α＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增 D．若α＝2，则对任意实数x1，x2，有f【考点】求幂函数及幂函数型复合函数的单调性；定义法求解函数的单调性；求幂函数的解析式．【专题】函数思想；作差法；定义法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】BCD【分析】A选项，举出反例；B选项，x＞0时，xα＞0，B正确；C选项，根据幂函数性质得到C正确；D选项，作差法比较出大小．【解答】解：对于A，当α＝﹣1时，f（x）=1x，不经过原点，选项对于B，当x＞0时，xα＞0，幂函数f（x）的图象不经过第四象限，选项B正确；对于C，若α＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，选项C正确；对于D，α＝2时f（x）＝x2，则f（x1+xf(所以f（x1+x当且仅当x1＝x2时，等号成立，所以f(x1故选：BCD．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质应用问题，是中档题．（多选）11．（2024秋•上城区校级期末）若f（x）＝3x+1，则下列结论正确的是（）A．f（x）在[﹣1，1]上单调递增 B．y＝3x+1与y=(13)x+1的C．f（x）的图象过点（0，1） D．f（x）的值域为[1，+∞）【考点】指数函数的值域；函数的单调性．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．【答案】AB【分析】利用指数函数的性质进行判断求解即可【解答】解：因为函数f（x）＝3x+1在R上单调递增，所以选项A正确；函数y=(13)x+1＝3﹣x+1，所以函数y＝3x+1与y=(1由f（0）＝30+1＝2，得f（x）的图象过点（0，2），选项C错误；由3x＞0，可得f（x）＞1，f（x）的值域是（1，+∞），选项D错误．故选：AB．【点评】本题考查了指数函数的图象与性质应用问题，是基础题．（多选）12．（2024秋•广东校级期末）已知x＞y＞0，则下列结论一定正确的是（）A．1x＜1y B．x+yxy＞2 C．【考点】指数函数图象特征与底数的关系；等式与不等式的性质；运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维．【答案】AB【分析】利用不等式性质判断A；利用基本不等式判断B；利用指数函数的性质判断C；利用特殊值法判断D．【解答】解：对于A，∵x＞y＞0，∴1x＜1对于B，∵x＞y＞0，∴x+yxy＞对于C，∵x＞y＞0，y＝0.2x是减函数，∴0.2x＜0.2y，故C错误；对于D，取x＝10，y=110，满足x＞y＞0，但此时1lnx故选：AB．【点评】本题考查不等式性质、基本不等式、指数函数的性质、特殊值法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三．填空题（共4小题）13．（2025•南宁模拟）已知a＞0且a≠1，b＞0，函数f（x）＝logax，若f(b4)+f(b)=3，则log【考点】对数的运算性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】23【分析】利用对数的性质将给定的条件简化，进而求出logab的值．【解答】解：函数f（x）＝logax，则f（b4）+f（b）=log所以logab=2故答案为：23【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．14．（2024秋•景德镇期末）已知函数y＝loga（x+1），它的反函数y＝f（x）经过点（2，3），则a＝2．【考点】反函数．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】2．【分析】由反函数的性质得函数y＝loga（x+1）过点（3，2），将点（3，2）代入函数式求解即可．【解答】解：∵函数y＝loga（x+1）的反函数y＝f（x）经过点（2，3），∴函数y＝loga（x+1）经过点（3，2），∴loga（3+1）＝2，即a2＝4，又a＞0且a≠1，∴a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了互为反函数的两函数图象与性质应用问题，是基础题．15．（2024秋•铜陵期末）计算：log35+8-【考点】对数运算求值．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】54【分析】利用指数和对数运算法则计算出答案．【解答】解：log35+8-＝﹣1+2﹣2+2=5故答案为：54【点评】本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题．16．（2024秋•蚌埠期末）函数f（x）＝lnx+ln（4﹣x）的单调递增区间是（0，2）．【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（0，2）．【分析】先求函数f（x）的定义域，根据复合函数单调性分析求解．【解答】解：令x＞04-x＞0，解得因为f（x）＝lnx+ln（4﹣x）＝ln（4x﹣x2），且u＝4x﹣x2在（0，2）内单调递增，在（2，4）内单调递减，y＝lnu在定义域内单调递增，可知函数f（x）在（0，2）内单调递增，在（2，4）内单调递减，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，2）．故答案为：（0，2）．【点评】本题主要考查了复合函数单调性的应用，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2024秋•铜陵期末）已知集合A={（1）若0∈B，3∉B，求实数a的取值范围；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．【考点】求对数函数的定义域；集合交集关系的应用．【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．【答案】（1）a∈[1，2）；（2）a∈（0，2）．【分析】（1）根据0∈B，3∉B得到不等式，求出答案；（2）解不等式，得到A，B，根据交集结果得到B⊆A，从而得到不等式，求出答案．【解答】解：（1）由题可得：a＞解得a∈[1，2）；（2）由题意得3-xx+1＞0，解得﹣1x2﹣2x+1﹣a2≤0，a＞0，解得1﹣a≤x≤1+a，故A＝（﹣1，3），B＝[1﹣a，1+a]，又A∩B＝B，则B⊆A，则a＞01-a＞-11+【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．18．（2024秋•双清区校级期末）已知函数f（x）＝log3x．（1）作出函数f（x）的图象；（2）由图象观察当x＞1时，函数的值域．【考点】对数函数的图象；函数的图象与图象的变换．【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维．【答案】（1）图象见解析；（2）（0，+∞）．【分析】（1）直接画出对数函数图象即可；（2）根据函数图象直接写出x＞1时，函数的值域．【解答】解：（1）由对数函数的图象可知，函数f（x）＝log3x的图象如下图：（2）当x＞1时，f（x）＞0，故当x＞1时，函数的值域为（0，+∞）．【点评】本题主要考查对数函数的图象和取值，属于基础题．19．（2024秋•天津期末）已知函数f（x）＝loga（x+1）（a＞0，且a≠1）的图象经过点(-12，1)，函数g（x）＝xm的图象经过点（2，8（1）求2a+m的值；（2）解不等式f（2x﹣2）≥g（0）．【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性；对数函数的定义域．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）4；（2）{x|0＜x≤1}．【分析】（1）由已知点的坐标代入函数解析式即可分别求出a，m，进而可求；（2）结合对数函数的性质即可求解不等式．【解答】解：（1）因为f（x）＝loga（x+1）的图象经过点(-所以loga12=1，即a因为函数g（x）＝xm的图象经过点（2，8），所以2m＝8，即m＝3，故2a+m＝4；（2）由不等式f（2x﹣2）≥g（0）可得log12（2x﹣1）≥所以0＜2x﹣1≤1，解得0＜x≤1，故不等式的解集为{x|0＜x≤1}．【点评】本题主要考查了对数函数性质的应用，属于基础题．20．（2024秋•威海期末）已知函数f（x）＝4x﹣2x﹣6．（1）若f（x）＜0，求x的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）＝m有两个不相等的实数根，设为x1，x2．（i）求m的取值范围；（ii）证明：x1+x2＜﹣2．【考点】求指数函数及指数型复合函数的单调性．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）（﹣∞，log23）；（2）（i）（-254，﹣（ii）见解析．【分析】（1）利用换元法可解；（2）（i）根据题意可得f（t）与y＝m有两个不相同的横坐标大于0的交点，利用二次函数单调性可解；（ii）由题意可得f（t）＝m有两个不相等的正实数根，利用韦达定理可表示x1+x2，结合m的取值范围从而可证．【解答】解：（1）已知函数f（x）＝4x﹣2x﹣6，令2x＝t＞0，则f（t）＝t2﹣t﹣6，若f（x）＜0，即t2﹣t﹣6＜0，得0＜t＜3，即0＜2x＜3，则x＜log23，则x的取值范围为（﹣∞，log23）；（2）（i）若关于x的方程f（x）＝m有两个不相等的实数根，即f（t）＝m有两个不相等的正实数根，可得f（t）与y＝m有两个不相同的横坐标大于0的交点，由二次函数性质得g（t）在（0，12）上单调递减，在（1而g（0）＝﹣6，g（t）的最小值为g（12）=-254，故m∈（（ii）证明：因为f（t）＝m有两个不相等的正实数根，所以t2﹣t﹣6﹣m＝0的两个根t1=2x1，t由韦达定理可得t1t2＝﹣6﹣m，即2x1×，2x结合m∈（-254，﹣6），可得﹣6﹣m∈（0，即2x1+x2∈（0，14），解得x1【点评】本题考查指数型复合函数以及二次函数相关性质，属于中档题．

考点卡片1．集合交集关系的应用【知识点的认识】两个或两个以上的集合中，元素含有待确定的变量，需要通过集合的子集、相等、交集、并集、补集等关系求出变量的取值等问题．【解题方法点拨】求参数的取值或取值范围的关健，是转化条件得到相应参数的方程或不等式．本题根据元素与集合之间的从属关系得到参数的方程，然后通过解方程求解．求解中需注意两个方面：一是考虑集合元素的无序性，由此按分类讨论解答，二是涉及其它知识点例如函数与方程的思想，函数的零点，恒成立问题等等．【命题方向】集合中的参数取值范围问题，一般难度比较大，几乎与高中数学的所以知识相联系，特别是与函数问题结合的题目，涉及恒成立，函数的导数等知识命题，值得重视．2．等式与不等式的性质【知识点的认识】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒na＞nb（n∈N，且3．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2从而得出最小值为2【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则a+1+b解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则a+1当且仅当a＝b=1故答案为：6．4．函数的图象与图象的变换【知识点的认识】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．图象的变换1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换：y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．（2）伸缩变换：y＝f（x）y＝f（ωx）；y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．（3）对称变换：y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．（4）翻折变换：y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．【解题方法点拨】1、画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法（1）知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．（2）知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．3、（1）利有函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．（2）利用函数的图象研究方程根的个数有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．【命题方向】（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：①正确求出函数的定义域；②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．（3）3种方法﹣﹣识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．5．函数图象的简单变换【知识点的认识】图象变换（1）平移变换：y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．（2）伸缩变换：y＝f（x）y＝f（ωx）；y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．（3）对称变换：y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．（4）翻折变换：y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．【解题方法点拨】画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．【命题方向】图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．正确作出函数图象的三个关键点为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：①正确求出函数的定义域；②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．将函数y＝2（x﹣1）2+3的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位长度，所得的函数图象对应的解析式为（）解：函数y＝2（x﹣1）2+3的图象向左平移1个单位得到y＝2x2+3，再向下平移3个单位长度得到y＝2x2．6．函数的单调性【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①f(x1)-f(x2)x1f(x1)-f(x2)x1②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．7．定义法求解函数的单调性【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①f(x1)-f(x2)x1f(x1)-f(x2)x1②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．已知函数f(x)=x2（1）求实数m的值；（2）判断f（x）在区间(2解：（1）因为f（x）是奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x）．所以有x2+2-x+m=-x2解得m＝0．（2）函数f（x）在区间(2证明：由于m＝0，所以f(设∀x1，x2∈(2则f(由x1，x所以x1x2＞2，x1x2﹣2＞0．又由x1＜x2，得x1﹣x2＜0，于是(x1-x2)x1x2(所以函数f（x）在区间(28．求幂函数的解析式【知识点的认识】幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a＝1，2，3，12，﹣1【解题方法点拨】﹣根据已知条件设定幂函数的形式，代入已知条件，求解指数a．﹣写出幂函数的解析式，验证解析式的正确性．【命题方向】题目包括辨识幂函数的形式，分析幂函数的特征及应用题．若幂函数y＝f（x）的图像过点(22，2)，则函数y＝f（解：幂函数y＝f（x）＝xα的图像过点(2∴（22）α＝2解得α＝﹣2，则函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝x﹣2．故答案为：f（x）＝x﹣2．9．求幂函数及幂函数型复合函数的单调性【知识点的认识】幂函数及其复合函数的单调性反映了函数在某一区间内的增减情况，是分析函数性质的重要内容．五个常用幂函数的图象和性质（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y=x12；（5）y＝y＝xy＝x2y＝x3y=y＝x﹣1定义域RRR[0，+∞）{x|x≠0}值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，+∞）时，增x∈（﹣∞，0]时，减增增x∈（0，+∞）时，减x∈（﹣∞，0）时，减公共点（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）﹣【解题方法点拨】﹣分析幂函数的解析式，确定其单调性：当a＞0时，幂函数单调递增；当a＜0时，幂函数单调递减．﹣对于复合函数，分析内层函数的单调性，再结合外层幂函数的单调性，确定复合函数的整体单调性．﹣验证单调性的准确性．【命题方向】题目通常涉及分析幂函数及其复合函数的单调性，结合解析式和实际问题确定函数的单调区间及性质．10．由幂函数的单调性求解参数【知识点的认识】通过已知幂函数的单调性，反向求解函数的参数值，要求学生理解单调性与参数的关系．五个常用幂函数的图象和性质（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y=x12；（5）y＝y＝xy＝x2y＝x3y=y＝x﹣1定义域RRR[0，+∞）{x|x≠0}值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，+∞）时，增x∈（﹣∞，0]时，减增增x∈（0，+∞）时，减x∈（﹣∞，0）时，减公共点（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）﹣【解题方法点拨】﹣分析已知单调性条件，设定幂函数的形式．﹣利用单调性条件，求解幂函数的参数．﹣验证求解结果的正确性．【命题方向】题目通常包括通过单调性反求幂函数的参数，结合解析式和实际问题分析单调性及其应用．11．指数函数的值域【知识点的认识】指数函数的解析式、定义、定义域、值域1、指数函数的定义：一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝ax（a＞0，且a≠1）3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：①因为a＞0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．②规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x=14，x=1如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．12．指数函数图象特征与底数的关系【知识点的认识】1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y＝axa＞10＜a＜1图象指数函数的图象特征与其底数a有关，不同底数的指数函数图象形态不同．【解题方法点拨】﹣当0＜a＜1时，指数函数单调递减，图象从左上到右下．﹣当a＞1时，指数函数单调递增，图象从左下到右上．﹣分析底数a的取值，确定图象特征．【命题方向】题目通常涉及指数函数图象特征与底数的关系，结合具体问题分析函数图象及其应用．如图是指数函数①y＝ax（a＞0，且a≠1），②y＝bx（b＞0，且b≠1），③y＝cx（c＞0，且c≠1），④y＝dx（d＞0，且d≠1）的图像，则a，b，c，d与1的大小关系为（）A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜dD．a＜b＜1＜d＜c解：结合指数函数的性质可知，c＞d＞1＞a＞b＞0．故选：B．13．指数函数的单调性与最值【知识点的认识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝ax如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．14．求指数函数及指数型复合函数的单调性【知识点的认识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝ax如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．【解题方法点拨】指数函数及其复合函数的单调性反映了函数在某一区间内的增减情况，是分析函数性质的重要内容．﹣分析指数函数的解析式，确定其单调性：当a＞1时，指数函数单调递增；当0＜a＜1时，指数函数单调递减．﹣对于复合函数，分析内层函数的单调性，再结合外层指数函数确定复合函数的整体单调性．﹣验证单调性的准确性．【命题方向】题目通常涉及分析指数函数及其复合函数的单调性，结合解析式和实际问题确定函数的单调区间及性质．y=ex2解：根据题意，设t＝x2﹣5x+6，则y＝et，t＝x2﹣5x+6是二次函数，其对称轴x=52，在（﹣∞，52]上为减函数，在[5y＝et是指数函数，在R上为增函数，故y=ex2-5x故答案为：[52，+15．指数式与对数式的互化【知识点的认识】ab＝N⇔logaN＝b；alogaN＝N；logaaN＝N指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）af（x）＝b⇔f（x）＝logab；logaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法）（2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）logma＝g（x）logmb；（两边取对数法）（4）logaf（x）＝logbg（x）⇔logaf（x）=1（5）\;Alog4{a}^{2}$x+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝logax或t＝ax）（换元法）16．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①alogaN=N；②logaaN＝N（a＞0loga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n17．对数运算求值【知识点的认识】对数的性质：①alogaN=N；②logaaN＝N（a＞0loga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n【解题方法点拨】﹣利用对数定义直接求值．﹣利用换底公式log﹣结合对数运算性质，如loga（mn）＝logam+logan、loga(【命题方向】常见题型包括计算对数值、简化复杂对数表达式、利用对数性质解决实际问题．计算：14lg解：原式＝lg2﹣1+33×23+lg50＝lg（2×50）﹣1+32＝lg100﹣1+9＝2故答案为：10．18．对数函数的定义域【知识点的认识】一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．19．求对数函数的定义域【知识点的认识】对数函数的定义域是使对数有意义的自变量取值范围，对于y＝logax，定义域为x＞0．【解题方法点拨】﹣分析对数函数的形式，确定自变量x的取值范围．﹣确保对数运算中底数a满足a＞0且a≠1．﹣验证定义域的准确性．【命题方向】常见题型包括直接求解对数函数的定义域、结合具体题目条件分析定义域．函数y＝lg（x﹣1）的定义域为_____．解：∵x﹣1＞0，∴x＞1，（1，+∞）20．对数函数的图象【知识点的认识】21．对数函数图象特征与底数的关系【知识点的认识】对数函数的图象特征与其底数a有关，不同底数的对数函数图象形态