2025年高考数学三轮复习之圆与方程

第29页（共29页）2025年高考数学三轮复习之圆与方程一．选择题（共8小题）1．（2024秋•滨州期末）与圆（x+4）2+y2＝4及圆x2+y2﹣8x+15＝0都内切的圆的圆心在（）A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．抛物线上2．（2024秋•安徽期末）已知圆C：x2+y2﹣2x+2y﹣4＝0，则圆C的圆心到坐标原点的距离为（）A．1 B．2 C．6 D．23．（2024秋•信阳期末）圆x2+y2﹣4mx+2y+3m2+2m+4＝0的圆心在第三象限，则m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，0） C．（﹣1，3） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）4．（2025•洮北区校级一模）已知圆C：x2+y2﹣2x＝0，过圆C外一点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，三角形PAB的面积为312，则PCA．33 B．233 C．3 5．（2025•洮北区校级一模）单位圆O：x2+y2＝1上有两个动点M（x1，y1），N（x2，y2），且满足x1x2+y1y2=12，则xA．[2-1，2+1] B．[3-6．（2024秋•山西期末）已知曲线C：x2+（y﹣1）2＝4（y≥1）和直线l：y﹣1＝k（x+3）有且仅有一个公共点，则直线l的斜率为（）A．±255 B．-255 7．（2024秋•洪雅县期末）已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2＝1与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y+5﹣a2＝0（a＞0）外切，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2024秋•拱墅区校级期末）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝8，直线l：mx+y﹣m﹣3＝0，若直线l被圆C截得的弦长的最大值为a，最小值为b，则a+b＝（）A．42+23 B．22+43 C二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•潍坊模拟）已知点P（2，2），圆C：x2+y2＝18，则（）A．点P在C内 B．点P与C上的点之间的最大距离为62C．以点P为中点的弦所在直线的方程为x+y﹣4＝0 D．过点P的直线被C截得弦长的最小值为10（多选）10．（2024秋•广东校级期末）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，则下列命题中正确的有（）A．直线l恒过定点（3，1） B．圆C被y轴截得的弦长为46C．直线l与圆C恒相交 D．当直线l被圆C截得的弦长最小时，直线l的方程为2x﹣y+5＝0（多选）11．（2024秋•龙岗区校级期末）已知直线l：x+y+1＝0，点P为⊙M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2上一点，则（）A．直线l与⊙M相离 B．点P到直线l距离的最小值为22 C．与⊙M关于直线l对称的圆的方程为（x+3）2+（y+2）2＝2 D．平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为2x+2y+1＝0和2x+2y﹣5＝0（多选）12．（2025•常德校级一模）已知圆C：（x+2）2+y2＝4，直线l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），则（）A．直线l恒过定点（﹣1，1） B．当m＝0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．直线l与圆C可能相切 D．若圆C与圆x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三条公切线，则a＝8三．填空题（共4小题）13．（2024秋•河南期末）若圆x2+y2＝1与圆x2+y2﹣6x﹣8y﹣2m+1＝0恰有一个公共点，则m的值为．14．（2024秋•广东校级期末）若圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣6＝0关于直线2ax+by﹣2＝0（ab＞0）对称，则2a+1b的最小值是15．（2024秋•安徽期末）已知过点P（﹣2，0）有两条直线l1，l2与圆C：x2+（y﹣2）2＝5相切，切点分别为M，N，则tan∠MPN＝．16．（2025•永州二模）在平面直角坐标系xOy中，射线l1：y＝x（x≥0），l2：y＝0（x≥0），半圆C：y=1-(x-4)2．现从点A（1，0）向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线l1，l2时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k四．解答题（共4小题）17．（2024秋•山西期末）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣3＝0，直线l：3x﹣4y﹣18＝0．（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）求圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值；（3）圆心为C1（﹣2，4）的圆与圆C相切，求圆C1的方程．18．（2024秋•信阳期末）已知A（0，﹣2），B（2，2），过A，B两点的圆的圆心为M，且M在y轴上．（1）求线段AB垂直平分线方程和⊙M的方程；（2）设P为y轴正半轴上的点，过P作⊙M的两条切线PC，PD，C，D为切点，当∠CPD＝60°时，求点P的坐标．19．（2024秋•汉中期末）已知圆C过点（0，4），（2，2），（0，0）．（1）求圆C的标准方程；（2）已知直线l过原点，倾斜角为60°，求直线l被圆C截得的弦长．20．（2024秋•洪雅县期末）已知圆M的圆心在直线y＝﹣2x上，且圆M与直线x﹣y﹣5＝0相切于点P（2，﹣3）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程．

2025年高考数学三轮复习之圆与方程参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BBABDCBA二．多选题（共4小题）题号9101112答案ACABCACAD一．选择题（共8小题）1．（2024秋•滨州期末）与圆（x+4）2+y2＝4及圆x2+y2﹣8x+15＝0都内切的圆的圆心在（）A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．抛物线上【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】对应思想；数形结合法；直线与圆；运算求解．【答案】B【分析】设所求圆的圆心为P，半径为r，根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义可得出结论．【解答】解：如下图所示：设所求圆的圆心为P，半径为r，由圆（x+4）2+y2＝4，可得圆心为F1（﹣4，0），半径为r1＝2，由圆x2+y2﹣8x+15＝0的标准方程为（x﹣4）2+y2＝1，可得圆心为F2（4，0），半径为r2＝1，根据内切两圆的性质，可得|PF1|＝r﹣2，|PF2|＝r﹣1，得|PF2|﹣|PF1|＝1＜|F1F2|＝4，则圆心P的轨迹是以F1、F2分别为左、右焦点的双曲线的左支上．故选：B．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．2．（2024秋•安徽期末）已知圆C：x2+y2﹣2x+2y﹣4＝0，则圆C的圆心到坐标原点的距离为（）A．1 B．2 C．6 D．2【考点】圆的一般方程．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】B【分析】首先转化为圆的标准方程，求圆心，再求两点间距离．【解答】解：根据题意，圆的方程可化为（x﹣1）2+（y+1）2＝6，所以圆心为（1，﹣1），所以圆心到坐标原点的距离为(1-故选：B．【点评】本题主要考查圆的方程，属于基础题．3．（2024秋•信阳期末）圆x2+y2﹣4mx+2y+3m2+2m+4＝0的圆心在第三象限，则m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，0） C．（﹣1，3） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【考点】由圆的一般式方程求圆的几何属性．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】A【分析】先将圆方程化为标准方程，根据圆心所在象限以及半径为正列出不等式组，求解即可．【解答】解：由题可得：圆的方程为：（x﹣2m）2+（y+1）2＝m2﹣2m﹣3，圆心坐标为（2m，﹣1）．因为圆心在第三象限，所以2m＜0m2故选：A．【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程的相互转化，属于基础题．4．（2025•洮北区校级一模）已知圆C：x2+y2﹣2x＝0，过圆C外一点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，三角形PAB的面积为312，则PCA．33 B．233 C．3 【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】B【分析】设∠APC＝α，S△PAB=12|PA|2sin2α=312，进而由已知可得|PA|=1【解答】解：设∠APC＝α，S△PAB=12|PA|2sin2由圆C：x2+y2﹣2x＝0，可得圆C：（x﹣1）2+y2＝1，所以半径为1，在直角三角形APC中，tanα=|AC||PA|所以12•1tan2α•sin2α=312所以1tan2整理可得：tan所以（tanα-3）（tan2α+3tanα+3）+（tan-3所以（tanα-3）（tan2α+3tanα+4）＝0，所以所以α=π3，因此|PC故选：B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想，属中档题．5．（2025•洮北区校级一模）单位圆O：x2+y2＝1上有两个动点M（x1，y1），N（x2，y2），且满足x1x2+y1y2=12，则xA．[2-1，2+1] B．[3-【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；直线与圆；运算求解．【答案】D【分析】根据题意可得∠MON=π3，从而设M（cosθ，sinθ），N(cos(θ+π3)，sin(θ+π3))，【解答】解：连接OM，ON，因为x1x2+y设M（cosθ，sinθ），则N(cos(θ+π3可得x1+x2+y1+y2＝cosθ+cos（θ+π3）+sinθ+sin（θ+π3）=3+32cosθ+3-32sinθ=6（sin5π12结合正弦函数的性质，可得-6故选：D．【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、三角恒等变换公式、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．6．（2024秋•山西期末）已知曲线C：x2+（y﹣1）2＝4（y≥1）和直线l：y﹣1＝k（x+3）有且仅有一个公共点，则直线l的斜率为（）A．±255 B．-255 【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数．【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维．【答案】C【分析】由圆心到直线的距离等于半径即可求解．【解答】解：易知，直线l过定点M（﹣3，1），曲线C表示圆心为（0，1），半径为2的上半圆，定点M（﹣3，1）在半圆所在的圆外．由C与l有且仅有一个公共点时，l与半圆C相切，此时圆心（0，1）到直线l的距离d=|-1+3k+1|k故选：C．【点评】本题考查直线与圆的综合应用，属于简单题．7．（2024秋•洪雅县期末）已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2＝1与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y+5﹣a2＝0（a＞0）外切，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】B【分析】两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和．我们先求出两圆的圆心坐标和半径，再根据两圆外切的性质列出等式求解a的值．【解答】解：圆C1：(x+1)2+(y-1)2圆C2：(x-2)2+(y-1)2=a2因为两圆外切，所以两圆的圆心距等于两圆半径之和．两圆的圆心距d=则有3＝1+a，解得a＝2．故选：B．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题．8．（2024秋•拱墅区校级期末）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝8，直线l：mx+y﹣m﹣3＝0，若直线l被圆C截得的弦长的最大值为a，最小值为b，则a+b＝（）A．42+23 B．22+43 C【考点】直线与圆相交的性质．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】A【分析】先求出直线l过定点A（1，3），再根据点在圆内结合几何性质求出最短弦和最长弦即可得解．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝8，直线l：mx+y﹣m﹣3＝0，因为直线l可化为m（x﹣1）+y﹣3＝0，则直线l过定点A（1，3），点A（1，3）代入圆C中：（1﹣3）2+（3﹣4）2＜8，所以点A在圆C内，当AC⊥l时，直线l被圆C截得的弦长最短，即b=2当直线l过圆心C时，直线l被圆C截得的弦长最长，即a=2所以a+故选：A．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，考查计算能力，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•潍坊模拟）已知点P（2，2），圆C：x2+y2＝18，则（）A．点P在C内 B．点P与C上的点之间的最大距离为62C．以点P为中点的弦所在直线的方程为x+y﹣4＝0 D．过点P的直线被C截得弦长的最小值为10【考点】直线与圆相交的性质；点与圆的位置关系．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】AC【分析】将点P的坐标代入圆C的方程，判断出点P在圆C内部，判断出A的真假；求出圆上的点到点P的距离的范围，进而求出距离的最大值，判断出B的真假；求出CP→的坐标，由点法式方程，可得点P为中点的线所在的直线方程，判断出C的真假；当CP垂直于点P的直线时，则圆心C到直线的距离的最大值，由弦长公式可得过点P【解答】解：将点P（2，2）的坐标代入圆C的方程：x2+y2＝18中，可得：22+22＝8＜18，A中，可得点P在圆C内部，所以A正确；B中，点P到圆上的点之间距离的范围为[|PC|﹣r，|PC|+r]，所以点P与C上的点之间的最大距离为|PC|+r=22+22+3C中，因为CP→=（2，2），所以以点P为中点的弦所在直线的点法式方程为2（x﹣2）+2（y﹣2）＝即x+y﹣4＝0，所以C正确；D中，因为过点P的弦长＝2r2-d2≥2r2-故选：AC．【点评】本题考查点与圆的位置关系的判断及直线与圆的综合应用，属于中档题．（多选）10．（2024秋•广东校级期末）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，则下列命题中正确的有（）A．直线l恒过定点（3，1） B．圆C被y轴截得的弦长为46C．直线l与圆C恒相交 D．当直线l被圆C截得的弦长最小时，直线l的方程为2x﹣y+5＝0【考点】直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长；恒过定点的直线．【专题】方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】ABC【分析】将直线方程化为l：m（2x+y﹣7）+x+y﹣4＝0，可求得定点坐标；将x＝0代入圆的方程，即可求得两交点纵坐标，即可得到弦长；求出圆心C（1，2）到定点（3，1）的距离，即可判断C项；由题意知，当圆心C（1，2）与定点（3，1）的连线恰好与l垂直时，弦长最短，可求出直线的斜率，代入点斜式方程即可求得．【解答】解：由已知可得，圆心C（1，2），半径r＝5．直线方程可化为l：m（2x+y﹣7）+x+y﹣4＝0，解可得，所以直线l恒过定点（3，1），故A选项正确；将x＝0代入圆的方程有1+（y﹣2）2＝25，解得y1=2-26，y2=2+2因为点（3，1）到圆心C（1，2）的距离为(1-3)2+(2-1)2=当圆心C（1，2）与定点（3，1）的连线恰好与l垂直时，圆心到直线的距离最大，直线l被圆C截得的弦长最小．则l的斜率k应满足1-23-1k=-1，所以k＝2，代入点斜式方程有y﹣1＝2（x﹣3），整理可得，2x﹣y﹣5＝0故选：ABC．【点评】本题考查l恒过定点的直线，考查直线与圆的位置关系，是基础题．（多选）11．（2024秋•龙岗区校级期末）已知直线l：x+y+1＝0，点P为⊙M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2上一点，则（）A．直线l与⊙M相离 B．点P到直线l距离的最小值为22 C．与⊙M关于直线l对称的圆的方程为（x+3）2+（y+2）2＝2 D．平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为2x+2y+1＝0和2x+2y﹣5＝0【考点】关于点、直线对称的圆的方程；点到直线的距离公式．【专题】方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】AC【分析】利用圆心M（1，2）到直线l的距离d与半径r=2的关系可以判断A正确；点P到直线l距离的最小值为d﹣r，判断B错误；求出圆心M（1，2）关于直线l对称点N（﹣3，﹣2），进而求出圆的方程，判断C正确；利用圆心M（1，2）到直线的距离d＝r，求出其切线方程，判断【解答】解：∵⊙M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，∴圆心M（1，2），半径r=∴圆心M（1，2）到直线l：x+y+1＝0的距离为：d=|1+2+1|12+12=2∵点P到直线l距离的最小值为d-r=2设圆心M（1，2）关于直线l对称点为N（x0，y0），则x0+12+y0+1∴与⊙M关于直线l对称的圆的方程为（x+3）2+（y+2）2＝2，故C正确；设平行于l且与⊙M相切的直线方程为x+y+c＝0，∴d=|1+2+c|12+12∴平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为x+y﹣1＝0和x+y﹣5＝0，故D错误．故选：AC．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程的求解，属中档题．（多选）12．（2025•常德校级一模）已知圆C：（x+2）2+y2＝4，直线l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），则（）A．直线l恒过定点（﹣1，1） B．当m＝0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．直线l与圆C可能相切 D．若圆C与圆x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三条公切线，则a＝8【考点】直线与圆的位置关系；两圆的公切线条数及方程的确定；恒过定点的直线．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】AD【分析】A选项，将直线变形，即可得到直线过的定点．B选项，结合点到直线的距离公式，可得到结果．C选项，由定点在圆内，即可求解．D选项，由公切线条数可确定两圆位置关系，根据圆心距与两圆半径之间的关系来求解．【解答】解：对于选项A，直线l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），所以m（x+1）+x+2y﹣1＝0令x+1=0x+2y-1=0，解得x=对于选项B，当m＝0时，直线l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R）为：x+2y﹣1＝0，则圆心C（﹣2，0）到直线l的距离为d=所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故选项B错误；对于选项C，因为直线过定点（﹣1，1），所以（﹣1+2）2+12＜4，所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点．直线l与圆C一定相交．故选项C错误；对于选项D，由圆的方程x2+y2﹣2x+8y+a＝0可得，（x﹣1）2+（y+4）2＝17﹣a，所以圆心为（1，﹣4），半径为17-因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，则(1+2)2+(0+4)2=5=2+17-a故选：AD．【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2024秋•河南期末）若圆x2+y2＝1与圆x2+y2﹣6x﹣8y﹣2m+1＝0恰有一个公共点，则m的值为﹣4或6．【考点】根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】﹣4或6．【分析】根据两圆的方程，先得到圆心坐标和半径，由两圆相切，讨论内切和外切两种情况，即可得出结果．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣8y﹣2m+1＝0，该圆的圆心坐标为（3，4），半径r2=24+2m（而圆x2+y2＝1的圆心坐标为（0，0），半径r1＝1，根据两点间距离公式，两圆的圆心距d=因为两圆恰有一个公共点，所以两圆内切或外切，当两圆外切时，d＝r1+r2，可得1+24+2m=5，解得m当两圆内切时，d＝|r2﹣r1|，可得|24+2m-1|=5，解得故m的值为﹣4或6．故答案为：﹣4或6．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查运算求解能力，是基础题．14．（2024秋•广东校级期末）若圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣6＝0关于直线2ax+by﹣2＝0（ab＞0）对称，则2a+1b的最小值是【考点】关于点、直线对称的圆的方程；运用“1”的代换构造基本不等式．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】3+22【分析】根据题意直线2ax+by﹣2＝0过圆心C（1，2），进而有2a+2b＝2，应用基本不等式“1”的代换求最小值．【解答】解：由题意圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣6＝0关于直线2ax+by﹣2＝0（ab＞0）对称，可得直线2ax+by﹣2＝0（ab＞0）过圆心C（1，2），则2a+2b＝2⇒a+b＝1，且ab＞0，所以a＞0，b＞0，所以2a当且仅当a=2-2，b故答案为：3+22【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，基本不等式的运用，是中档题．15．（2024秋•安徽期末）已知过点P（﹣2，0）有两条直线l1，l2与圆C：x2+（y﹣2）2＝5相切，切点分别为M，N，则tan∠MPN＝-15【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】-15【分析】由切线的性质及正切的二倍角公式即可求解；【解答】解：根据圆C：x2+（y﹣2）2＝5，圆心C（0，2），半径为5，设直线l1，l2与圆C相切于点M，N，如图，易知∠MPC＝∠NPC，|PC|=22所以tan∠则tan∠故答案为：-15【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，三角函数的应用，是中档题．16．（2025•永州二模）在平面直角坐标系xOy中，射线l1：y＝x（x≥0），l2：y＝0（x≥0），半圆C：y=1-(x-4)2．现从点A（1，0）向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线l1，l2时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】求出光线与（x﹣4）2+y2＝1（y≥0），（x+4）2+y2＝1（y≥0），x2+（y﹣4）2＝1相切时的斜率，数形结合即可得解．【解答】解：将半圆依次沿着y＝x，x＝0，y＝﹣x作对称，如图所示：光线在镜面发生反射可以等效处理为：光线进入了镜子后的空间，因此问题就转化为光线如何与镜子内外的圆没有交点，光线变化的范围如图所示，当光线与（x﹣4）2+y2＝1（y≥0）相切时，光线所在直线斜率为k1由对称性可知当光线遇射线l1时反射光线若与（x﹣4）2+y2＝1（y≥0）相切，则入射光线所在直线为x＝1与圆x2+（y﹣4）2＝1相切，当光线与圆x2+（y﹣4）2＝1相切但遇射线l1时反射光线不与（x﹣4）2+y2＝1（y≥0）相切时，此时tanθ=14当光线与（x+4）2+y2＝1（y≥0）相切时，光线斜率为k3所以由图可知k的取值范围是(-故答案为：(-【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．（2024秋•山西期末）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣3＝0，直线l：3x﹣4y﹣18＝0．（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）求圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值；（3）圆心为C1（﹣2，4）的圆与圆C相切，求圆C1的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】（1）相离．（2）最大值为5，最小值为1．（3）（x+2）2+（y﹣4）2＝9或（x+2）2+（y﹣4）2＝49．【分析】（1）判断圆心到直线的距离与半径的大小即可；（2）由（1）可知直线与圆相离，此时圆上的点到直线的距离的最大值为d+r，最小值为d﹣r，利用公式即可求解；（3）圆C1与圆C相切，分为内切和外切两种情况去求出半径，再写出圆C1的标准方程即可．【解答】（1）解：圆C：x2+y2﹣2x﹣3＝0，化为（x﹣1）2+y2＝4，圆的半径r＝2，圆的圆心为C（1，0），∴圆心C（1，0）到直线l：3x﹣4y﹣18＝0的距离d=∴直线l与圆C相离．（2）由（1）可知圆心C（1，0）到直线l：3x﹣4y﹣18＝0的距离d＝3，∴圆C上的点到直线l距离的最大值为d+r＝3+2＝5，最小值为d﹣r＝3﹣2＝1．（3）圆心为C1（﹣2，4），设圆C1的半径为r1，∵C，C1两圆相切，且|C∴当圆C1与圆C外切时，r1＝5﹣2＝3，当圆C1与圆C内切时，r1＝5+2＝7，如图，∵圆心为C1（﹣2，4），∴圆C1的方程为（x+2）2+（y﹣4）2＝9或（x+2）2+（y﹣4）2＝49．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是基础题．18．（2024秋•信阳期末）已知A（0，﹣2），B（2，2），过A，B两点的圆的圆心为M，且M在y轴上．（1）求线段AB垂直平分线方程和⊙M的方程；（2）设P为y轴正半轴上的点，过P作⊙M的两条切线PC，PD，C，D为切点，当∠CPD＝60°时，求点P的坐标．【考点】根据圆的几何属性求圆的标准方程；直线与圆相交的性质．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】（1）y=-1（2）P(0【分析】（1）根据两直线的位置关系求出线段AB垂直平分线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求出垂直平分线方程；利用待定系数法计算即可求出圆的方程；（2）如图，求得|PM|＝5，即可求解．【解答】解：（1）A（0，﹣2），B（2，2），过A，B两点的圆的圆心为M，且M在y轴上．故直线AB的斜率为k=所以线段AB垂直平分线的斜率为-1因为AB中点坐标为（1，0），所以线段AB的垂直平分线方程为y-0=-设M（0，a），则|AM|＝|a+2|，圆M的标准方程为x2+（y﹣a）2＝|a+2|2，有02+(-2-a所以圆M的标准方程为x2（2）如图，CM⊥则|PM|＝5，所以|OP|=5+1【点评】本题主要考查圆的方程求解，考查计算能力，属于中档题．19．（2024秋•汉中期末）已知圆C过点（0，4），（2，2），（0，0）．（1）求圆C的标准方程；（2）已知直线l过原点，倾斜角为60°，求直线l被圆C截得的弦长．【考点】直线与圆的位置关系；根据圆的几何属性求圆的标准方程；经过三点的圆的方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】（1）x2+（y﹣2）2＝4；（2）23【分析】（1）利用待定系数法求圆的一般方程，再化为标准方程；（2）利用几何法求圆的弦长．【解答】解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），又圆C过点（0，4），（2，2），（0，0），则16+4E解得D=0所以圆C的方程为x2+y2﹣4y＝0，即x2+（y﹣2）2＝4；（2）由题意可知：直线l的方程为3x圆x2+（y﹣2）2＝22的圆心坐标C：（0，2），半径r＝2，设圆心C到直线的距离为d，则d＝1，故直线被圆截得的弦长=2r【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．20．（2024秋•洪雅县期末）已知圆M的圆心在直线y＝﹣2x上，且圆M与直线x﹣y﹣5＝0相切于点P（2，﹣3）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系；根据圆的几何属性求圆的标准方程；直线与圆相交的性质．【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】（1）（x﹣1）2+（y+2）2＝2；（2）x+y＝0或7x+y＝0．【分析】（1）根据直线与圆的相切的关系得出圆心与切点连线方程，联立方程组计算可得圆心坐标，根据两点距离公式计算半径即可得圆M的标准方程；（2）根据弦长公式可得圆心M到直线l的距离，分类讨论直线斜率是否存在，利用点到直线的距离公式计算斜率即可．【解答】解：（1）已知圆M的圆心在直线y＝﹣2x上，且圆M与直线x﹣y﹣5＝0相切于点P（2，﹣3），易知过点P（2，﹣3）且与直线x﹣y﹣5＝0垂直的直线斜率为1，故圆心M与切点连线方程为x+y+1＝0，联立x+y+1=0所以圆M的圆心坐标为（1，﹣2），所以圆M的半径为|MP则圆M的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝2；（2）如图，由（1）可知圆M的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝2，因为过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，所以圆心M到直线l的距离为d=若直线l的斜率不存在，则方程为x＝0，此时圆心到直线的距离为1，不符合题意；若直线l的斜率存在，设方程为y＝kx，则d=|k+2|k2+1=22，即k2+8k+7＝所以直线l的方程为x+y＝0或7x+y＝0．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．

考点卡片1．运用“1”的代换构造基本不等式【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2【解题方法点拨】在一些复杂的代数式问题中，结合已知条件中的和或积为常熟，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而构造均值不等式，简化问题．【命题方向】运用“1”的代换构造均值不等式时，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而应用均值不等式．已知实数x，y∈R+，且x+y＝4，求1x解：∵x＞0，y＞0，x+y＝4，∴1x+3y=∴1x+3故答案为：1+32．恒过定点的直线【知识点的认识】﹣定点：直线总是通过一个固定的点（x1，y1）的方程形式为：a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0其中a和b是直线的方向向量分量．【解题方法点拨】﹣求方程：1．已知定点：将定点（x1，y1）代入直线方程．2．确定直线：确定直线方向向量，代入标准方程形式．3．标准方程：得到直线方程如：a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0【命题方向】﹣定点直线：考查如何找到所有恒过一个定点的直线方程，通常涉及固定点和直线方程的转换．3．点到直线的距离公式【知识点的认识】﹣点到直线距离：点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离为：d=【解题方法点拨】﹣计算距离：1．代入直线方程：将点的坐标代入直线方程．2．计算绝对值：计算Ax0+By0+C的绝对值．3．计算模：计算法向量的模A24．求解距离：将绝对值与模相除，即得距离．【命题方向】﹣距离计算：考查点到直线的距离计算，可能涉及多种坐标系变换或应用．4．根据圆的几何属性求圆的标准方程【知识点的认识】1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．2．圆的标准方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2．其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．【解题方法点拨】已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．【命题方向】﹣标准方程推导：考查如何从几何属性推导圆的标准方程，通常涉及基本的几何知识和代数运算．5．圆的一般方程【知识点的认识】1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．2．圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）其中圆心坐标为（-D2，-E23．圆的一般方程的特点：（1）x2和y2系数相同，且不等于0；（2）没有xy这样的二次项．以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件．6．由圆的一般式方程求圆的几何属性【知识点的认识】﹣几何属性提取：从一般式方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0提取圆心和半径，需要完成以下步骤：1．配方：将方程化为标准形式．2．圆心和半径：从配方后的标准形式中提取圆心（h，k）和半径r．【解题方法点拨】﹣步骤：1．配方：将x和y的平方项配方，得到圆心坐标和半径．2．计算圆心和半径：通过配方得到圆心坐标h和k，然后计算半径r．【命题方向】﹣几何属性提取：考查如何从一般式方程中提取圆的几何属性，通常涉及方程的配方和化简．7．经过三点的圆的方程【知识点的认识】﹣三点确定圆：给定三个不共线的点，圆的方程可以通过解方程组得到．【解题方法点拨】﹣步骤：1．设圆的方程：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0．2．代入点坐标：将三个点坐标代入方程得到线性方程组．3．解方程组：解方程组得到D，E，F的值，从而得到圆的方程．【命题方向】﹣三点确定圆：考查如何通过已知的三点计算圆的方程，通常涉及线性方程组的解法．8．点与圆的位置关系【知识点的认识】点与圆的位置关系分为在园内，在圆上和在圆外，判断的方法就是该点到圆心的距离和圆半径的大小之间的比较．①当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；②当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；③当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外．9．关于点、直线对称的圆的方程【知识点的认识】（1）已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可．（2）若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标．10．圆的切线方程【知识点的认识】圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．圆的切线方程的类型：（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．【解题方法点拨】例1：已知圆：（x﹣1）2+y2＝2，则过点（2，1）作该圆的切线方程为．解：圆：（x﹣1）2+y2＝2，的圆心为C（1，0），半径r=2①当直线l经过点P（2，1）与x轴垂直时，方程为x＝2，∵圆心到直线x＝2的距离等于1≠2，∴直线l与圆不相切，即x＝2②当直线l经过点P（2，1）与x轴不垂直时，设方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0．∵直线l与圆：（x﹣1）2+y2＝2相切，∴圆心到直线l的距离等于半径，即d=|k+1-2k|因此直线l的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），化简得x+y﹣3＝0．综上所述，可得所求切线方程为x+y﹣3＝0．这里讨论第一种情况是因为k不一定存在，所以单独讨论，用的解题思想就是我上面所说，大家可以对照着看就是．例2：从点P（4，5）向圆（x﹣2）2+y2＝4引切线，则圆的切线方程为．解：由圆（x﹣2）2+y2＝4，得到圆心坐标为（2，0），半径r＝2，当过P的切线斜率不存在时，直线x＝4满足题意；当过P的切线斜率存在时，设为k，由P坐标为（4，5），可得切线方程为y﹣5＝k（x﹣4），即kx﹣y+5﹣4k＝0，∴圆心到切线的距离d＝r，即|5-2k|解得：k=21此时切线的方程为y﹣5=2120（x﹣4），即21x﹣20y+16＝综上，圆的切线方程为x＝4或21x﹣20y+16＝0．这个例题用的方法也是前面所说，但告诉我们一个基本性质，即圆外的点是可以做两条切线的，所以以后解题只求出一条的时候就要想是不是少写了一种．【命题方向】本考点也是比较重要的一个知识点，但解题方法很死板，希望大家都能准确的掌握，确保不丢分．11．直线与圆相交的性质【知识点的认识】直线与圆的关系分为相交、相切、相离．判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径谁大谁小：①当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；③当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．【解题方法点拨】例：写出直线y＝x+m与圆x2+y2＝1相交的一个必要不充分条件：解：直线x﹣y+m＝0若与圆x2+y2＝1相交，则圆心（0，0）