2025年高考数学三轮复习之直线与方程VIP

第28页（共28页）2025年高考数学三轮复习之直线与方程一．选择题（共8小题）1．（2025•玄武区校级模拟）曼哈顿距离（或出租车几何）是由十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．例如，在平面上，点P（x1，y1）和点Q（x2，y2）的曼哈顿距离为LPQ＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若点P（x，y）为C：x2+y2＝1上的一动点，Q（2，﹣1），则LPQ的取值范围为（）A．[2，4] B．[1，5] C．[3-22，2．（2024秋•信阳期末）“a＝1”是“直线x+ay﹣1＝0与ax﹣y+5＝0垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件3．（2024秋•环县校级期末）直线x+A．30° B．45° C．60° D．135°4．（2024秋•滨州期末）过点P（2，2）且与直线x+2y+1＝0平行的直线的方程为（）A．2x+y﹣6＝0 B．2x+y+6＝0 C．x+2y﹣6＝0 D．x+2y+6＝05．（2024秋•拱墅区校级期末）已知平行四边形ABCD的顶点A（0，1），边AB所在直线方程是x﹣y+1＝0，对角线的交点为M（2，2），边CD所在直线方程为（）A．x﹣y﹣1＝0 B．x﹣y+2＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x+y﹣3＝06．（2024秋•安徽期末）若直线l的一个方向向量为(3，-3)A．π6 B．π3 C．2π37．（2024秋•颍州区校级期末）设直线l：x﹣2y+2＝0的倾斜角为α，则cosα的值为（）A．55 B．-55 C．258．（2024秋•四川期末）已知直线x+y+m﹣1＝0与直线3x+（m+2）y+3＝0平行，则m＝（）A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣1二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•重庆模拟）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是（）A．若DP∥平面CEF，则点P的轨迹长度为22B．若AP=17，则点P的轨迹长度为C．若P是正方形A1B1C1D1的中心，Q在线段EF上，则PQ+CQ的最小值为52D．若P是棱A1B1的中点，三棱锥P﹣CEF的外接球球心为O，则平面A1BCD1截球O所得截面的面积为81（多选）10．（2024秋•上城区校级期末）下列说法正确的有（）A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点P（x1，y1），Q（x2，y2）的直线方程是x-C．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线x2-y3（多选）11．（2024秋•宁城县期末）下列说法正确的是（）A．直线l：mx+y+2﹣m＝0恒过定点（1，﹣2） B．如果AB＜0，BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不经过第四象限 C．已知直线l过点P（2，3），且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y﹣5＝0 D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为-（多选）12．（2024秋•安阳期末）已知直线l1：x+ay﹣a＝0和直线l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0，下列说法正确的是（）A．l2始终过定点(2B．若l1∥l2，则a＝1 C．若l1⊥l2，则a＝0或2 D．当a＞0时，l1始终不过第三象限三．填空题（共4小题）13．（2024秋•山西期末）一条光线从点A（3，﹣2）出发射到直线y＝﹣x上的点B，经直线y＝﹣x反射后，反射光线恰好经过点C（5，1），则入射光线所在直线的斜率为．14．（2025•南通模拟）已知点A在直线x﹣y+1＝0上，AB→=(2，0)，则原点O与B的最短距离为15．（2024秋•廊坊期末）已知直线l经过点（3，2），且与直线x+2y﹣4＝0平行，则直线l的方程为．16．（2024秋•裕安区校级期末）直线l1：ax+y+1＝0与直线l2：ax﹣y+1＝0垂直，则实数a＝．四．解答题（共4小题）17．（2024秋•裕安区校级期末）已知△ABC顶点A（1，2），B（﹣3，﹣1），C（3，﹣3）．（1）求边BC上的高所在直线的方程；（2）若直线l过点A，且l的纵截距是横截距的2倍，求直线l的方程．18．（2024秋•广南县校级期末）已知直线l：（2a+3）x+（1﹣a）y+7+3a＝0，a∈R．（1）求l恒过的定点A的坐标；（2）若l经过点B（0，1），求直线l的方程．19．（2024秋•咸阳期末）已知直线l1：ax+2y+3a＝0和直线l2：x﹣y﹣1＝0．（1）若直线l1在两坐标轴上的截距相等，求实数a的值；（2）若l1∥l2，求直线l1与l2之间的距离．20．（2025•榆次区校级学业考试）如图，已知椭圆C：x2a2+y2＝1（a＞1）的上顶点为A，离心率为63，若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标．

2025年高考数学三轮复习之直线与方程参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DADCADCA二．多选题（共4小题）题号9101112答案ABDCDABDACD一．选择题（共8小题）1．（2025•玄武区校级模拟）曼哈顿距离（或出租车几何）是由十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．例如，在平面上，点P（x1，y1）和点Q（x2，y2）的曼哈顿距离为LPQ＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若点P（x，y）为C：x2+y2＝1上的一动点，Q（2，﹣1），则LPQ的取值范围为（）A．[2，4] B．[1，5] C．[3-22，【考点】两点间的距离公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解；新定义类．【答案】D【分析】设P（cosθ，sinθ），结合已知条件和三角恒等变换及三角函数的性质求解即可．【解答】解：由题意可设P（cosθ，sinθ），则LPQ因为-2≤2即LPQ的取值范围为[3-故选：D．【点评】本题主要考查新定义问题，考查运算求解能力，属于中档题．2．（2024秋•信阳期末）“a＝1”是“直线x+ay﹣1＝0与ax﹣y+5＝0垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；充分条件必要条件的判断．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】A【分析】分析可得两直线垂直恒成立，结合充分条件与必要条件的定义可确定选项．【解答】解：∵对于任意a∈R，1•a+a•（﹣1）＝0恒成立，∴直线x+ay﹣1＝0与ax﹣y+5＝0垂直恒成立，当a＝1能推出直线x+ay﹣1＝0与ax﹣y+5＝0垂直，充分性成立，但直线x+ay﹣1＝0与ax﹣y+5＝0垂直不能推出a＝1，必要性不成立，∴“a＝1”是“直线x+ay﹣1＝0与ax﹣y+5＝0垂直”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．3．（2024秋•环县校级期末）直线x+A．30° B．45° C．60° D．135°【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题．【答案】D【分析】求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角．【解答】解：直线x+y-3=0故选：D．【点评】本题是基础题，考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查计算能力．4．（2024秋•滨州期末）过点P（2，2）且与直线x+2y+1＝0平行的直线的方程为（）A．2x+y﹣6＝0 B．2x+y+6＝0 C．x+2y﹣6＝0 D．x+2y+6＝0【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】C【分析】设出直线方程再将点P（2，2），即可求得结果．【解答】解：由题意可设所求的直线的方程为：x+2y+C＝0，所求直线过点P（2，2），则2+2×2+C＝0，解得C＝﹣6，故直线方程为x+2y﹣6＝0．故选：C．【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．5．（2024秋•拱墅区校级期末）已知平行四边形ABCD的顶点A（0，1），边AB所在直线方程是x﹣y+1＝0，对角线的交点为M（2，2），边CD所在直线方程为（）A．x﹣y﹣1＝0 B．x﹣y+2＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x+y﹣3＝0【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】A【分析】根据题意AB∥CD且A，C关于M对称，可得点C的坐标，设CD：x﹣y+m＝0，将点C代入进而求参数，即可得直线方程．【解答】解：由题意知AB∥CD，边AB所在直线方程是x﹣y+1＝0，可设CD：x﹣y+m＝0且m≠1，又对角线的交点为M（2，2），A，C关于M对称，即点M为A，C的中点，则C（4，3），由点C在直线CD：x﹣y+m＝0上，可得4﹣3+m＝0，解得m＝﹣1，所以CD：x﹣y﹣1＝0．故选：A．【点评】本题考查点关于点的对称点的求法及两条直线平行的性质的应用，属于基础题．6．（2024秋•安徽期末）若直线l的一个方向向量为(3，-3)A．π6 B．π3 C．2π3【考点】直线的倾斜角．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】D【分析】根据方向向量求斜率，再求倾斜角．【解答】解：因为直线l的一个方向向量为(3，-可得向量(3，-3)设直线l的倾斜角为θ，则tanθ=所以直线的倾斜角为5π故选：D．【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．7．（2024秋•颍州区校级期末）设直线l：x﹣2y+2＝0的倾斜角为α，则cosα的值为（）A．55 B．-55 C．25【考点】直线的倾斜角．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】C【分析】根据直线方程可得k=【解答】解：由题可知：直线l：x﹣2y+2＝0的斜率k=则tanα=sinαcosα=12＞又因为sin2α+cos2α＝1，可得cosα=由α∈(0，π2)可知cos故选：C．【点评】本题主要考查直线的倾斜角，考查计算能力，属于基础题．8．（2024秋•四川期末）已知直线x+y+m﹣1＝0与直线3x+（m+2）y+3＝0平行，则m＝（）A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣1【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】A【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．【解答】解：直线x+y+m﹣1＝0与直线3x+（m+2）y+3＝0平行，则1•（m+2）＝3×1，解得m＝1，经检验，当m＝1时，两直线不重合，符合题意，故m＝1．故选：A．【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•重庆模拟）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是（）A．若DP∥平面CEF，则点P的轨迹长度为22B．若AP=17，则点P的轨迹长度为C．若P是正方形A1B1C1D1的中心，Q在线段EF上，则PQ+CQ的最小值为52D．若P是棱A1B1的中点，三棱锥P﹣CEF的外接球球心为O，则平面A1BCD1截球O所得截面的面积为81【考点】与直线有关的动点轨迹方程；直线与平面平行．【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】ABD【分析】作出相应图形，先证明平面BDNM∥平面CEF，再结合给定条件确定动点轨迹，求出长度即可判断A；建立空间直角坐标系，根据题意确定动点轨迹，求解长度即可判断B，将平面CEF翻折到与平面A1B1C1D1共面，连接PC，与EF交于点Q，此时PQ+CQ取到最小值，利用勾股定理求出PQ，CQ即可判断C，先找到球心，利用勾股定理得出半径，进而可判断D．【解答】解：如图，取A1D1，A1B1的中点为N，M，则MN∥B1D1，又E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，所以EF∥B1D1，所以MN∥EF，又MN⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，所以MN∥平面CEF，又NECD，且NE＝CD，所以四边形CDNE为平行四边形，所以ND∥∥CE，又ND⊄平面CEF，CE⊂平面CEF，所以ND∥平面CEF，又MN∩ND＝N，所以平面BDNM∥平面CEF，点P是正方形A1B1C1D1内的动点，且DP∥平面CEF，所以点P的轨迹为线段MN，又MN=22如建系如图：则A（0，0，0），设P（x，y，4），则AP=所以x2+y2＝1，所以点P的轨迹为A1为圆心，半径为1的14个所以点P的轨迹长度为14⋅2如图，将平面CEF翻折到与平面A1B1C1D1共面，连接PC，与EF交于点Q，此时PQ+CQ取到最小值，因为CE=CF=22+4所以点Q为EF的中点，所以PQ=所以CQ=即PQ+CQ的最小值为42，所以C如图，连接PF，交B1D1于点O1，设三棱锥P﹣CEF的外接球的半径为R，若P是棱A1B1的中点，则∠FEP＝90°，所以FP是△PEF外接圆的一条直径，所以O1是△PEF外接圆的圆心，过点O1作平面ABCD的垂线，则三棱锥P﹣CEF的外接球的球心O一定在该垂线上，设OO1＝t，则22+t2＝R2，12AC=所以22+t所以R2点O1到平面A1BCD1的距离为14所以球心O到平面A1BCD1的距离为24所以截面圆的半径为414所以截面的面积为81π8，所以故选：ABD．【点评】本题考查立体几何的综合应用，属难题．（多选）10．（2024秋•上城区校级期末）下列说法正确的有（）A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点P（x1，y1），Q（x2，y2）的直线方程是x-C．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线x2-y3【考点】直线的截距式方程；直线的两点式方程．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】CD【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得选项A错误；根据直线两点式方程的限制条件可得选项B错误；计算直线过原点和不过原点时的直线方程可得选项C正确；根据截距的概念可得选项D正确．【解答】解：A．当直线倾斜角为钝角时，直线斜率k＜0，当直线倾斜角为锐角时，直线斜率k＞0，故A错误．B．当x1≠x2，y1≠y2时，过点P（x1，y1），Q（x2，y2）的直线方程是x-x1C．当直线不过原点时，设直线方程为xa把点（1，1）代入直线方程得1a+1a=1，解得a＝2，故直线方程为x+y当直线过原点时，由直线过点（1，1）可得直线斜率k＝1，故直线方程为y＝x．综上得，经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，故C正确．D．对于直线x2-y3=1，令x＝0，得y＝﹣3，故直线x2-故选：CD．【点评】本题主要考查直线的相关知识，属于基础题．（多选）11．（2024秋•宁城县期末）下列说法正确的是（）A．直线l：mx+y+2﹣m＝0恒过定点（1，﹣2） B．如果AB＜0，BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不经过第四象限 C．已知直线l过点P（2，3），且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y﹣5＝0 D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为-【考点】恒过定点的直线；直线的截距式方程．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】ABD【分析】将直线化为l：m（x﹣1）+y+2＝0确定定点判断A；由-AB＞0，-CB＞0，直线为y=-ABx-CB判定B；注意直线过原点的情况判断C；根据平移得a（x+3）+b（y【解答】解：对于选项A，由l：m（x﹣1）+y+2＝0，可得m（x﹣1）＝﹣y﹣2，令x-1=0-所以直线恒过（1，﹣2），故A正确；对于选项B，由AB＜0，BC＜0，则-A而直线可化为y=-A对于选项C，若直线过原点时，直线l为y=32x，即l：3x﹣2y＝对于选项D，令原直线为ax+by+c＝0，根据平移有a（x+3）+b（y﹣2）+c＝0，所以ax+by+3a﹣2b+c＝0与ax+by+c＝0为同一直线，所以3a﹣2b+c＝c，即-ab=-故选：ABD．【点评】本题主要考查了直线的一般方程，考查了直线过定点问题，属于基础题．（多选）12．（2024秋•安阳期末）已知直线l1：x+ay﹣a＝0和直线l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0，下列说法正确的是（）A．l2始终过定点(2B．若l1∥l2，则a＝1 C．若l1⊥l2，则a＝0或2 D．当a＞0时，l1始终不过第三象限【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；恒过定点的直线；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】ACD【分析】根据定点判断A，根据直线垂直及重合求参判断B，结合直线的定点及斜率判断D．【解答】解：l2：a（x﹣2y）+3y﹣1＝0过定点(23，当a＝1时，l1：x+y﹣1＝0，l2：x+y﹣1＝0，故l1，l2重合，故选项B错误；由1×a+a×（3﹣2a）＝0，得a＝0或2，故选项C正确；当a＞0时，l1：y=-1ax故选：ACD．【点评】本题主要考查直线平行、垂直的性质，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．（2024秋•山西期末）一条光线从点A（3，﹣2）出发射到直线y＝﹣x上的点B，经直线y＝﹣x反射后，反射光线恰好经过点C（5，1），则入射光线所在直线的斜率为34【考点】直线的斜率．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】34【分析】由对称性，求得C（5，1）关于y＝﹣x的对称点，即可求解．【解答】解：光线从点A（3，﹣2）出发，光线从点A（3，﹣2）出发，因为点C（5，1）关于直线y＝﹣x的对称点为C′（﹣1，﹣5），由题知，入射光线所在的直线经过点A（3，﹣2）和点C′（﹣1，﹣5），且kAC即入射光线所在直线的斜率为34故答案为：34【点评】本题主要考查直线的斜率，属于基础题．14．（2025•南通模拟）已知点A在直线x﹣y+1＝0上，AB→=(2，0)，则原点O与B的最短距离为【考点】两点间的距离公式．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】22【分析】设A，B的坐标，由向量可得A，B的坐标的关系，将点A的坐标代入直线的方程，可得点B的横纵坐标的关系，求出|OB|2的表达式，由二次函数的性质可得|OB|的最小值．【解答】解：A在直线x﹣y+1＝0上，AB→=(2，0)，设点B（x，y），A（x0可得x-x0=2y-y0=0，可得x0＝x﹣2，y0＝y所以x﹣2﹣y+1＝0，即y＝x﹣1，所以|OB|2＝x2+y2＝x2+（x﹣1）2＝2x2﹣2x+1＝2（x-12）2所以|OB|≥2即原点O与B的最短距离|OB|的最小值为22故答案为：22【点评】本题考查两点间的距离公式的应用，属于基础题．15．（2024秋•廊坊期末）已知直线l经过点（3，2），且与直线x+2y﹣4＝0平行，则直线l的方程为x+2y﹣7＝0．【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】x+2y﹣7＝0．【分析】法（i）设出直线l的方程，利用待定系数法求出方程；法（ii）由题意可得已知直线的斜率，设直线l的方程，将点（3，2）代入直线l的方程，可得参数的值，即求出直线l的方程．【解答】解：法（i）由直线l与直线x+2y﹣4＝0平行，设直线l的方程为x+2y﹣m＝0（m≠4），由直线l经过点（3，2），得3+2×2﹣m＝0，解得m＝7，所以直线l的方程为x+2y﹣7＝0．法（ii）因为直线x+2y﹣4＝0的斜率为-1所以设与直线x+2y﹣4＝0平行的直线l的方程为y=-12x将点（3，2）代入直线l的方程为：2=-12×3+b＝0即直线l的方程为y=-12即x+2y﹣7＝0．故答案为：x+2y﹣7＝0．【点评】本题考查与已知直线平行的直线方程的求法，属于基础题．16．（2024秋•裕安区校级期末）直线l1：ax+y+1＝0与直线l2：ax﹣y+1＝0垂直，则实数a＝±1．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】方程思想；定义法；直线与圆；运算求解．【答案】±1．【分析】根据已知条件，结合两直线垂直的性质，即可求解．【解答】解：∵直线l1：ax+y+1＝0与直线l2：ax﹣y+1＝0垂直，∴a×a+1×（﹣1）＝0，解得a＝±1．故答案为：±1．【点评】本题主要考查两直线垂直的性质，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2024秋•裕安区校级期末）已知△ABC顶点A（1，2），B（﹣3，﹣1），C（3，﹣3）．（1）求边BC上的高所在直线的方程；（2）若直线l过点A，且l的纵截距是横截距的2倍，求直线l的方程．【考点】直线的截距式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】（1）3x﹣y﹣1＝0；（2）y＝2x或2x+y﹣4＝0．【分析】（1）根据B（﹣3，﹣1）、C（3，﹣3），即可得BC中点及斜率，进而可得其高线方程；（2）当直线l过坐标原点时可得直线方程；当直线l不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解．【解答】解：（1）由△ABC顶点A（1，2），B（﹣3，﹣1），C（3，﹣3），可得kBC所以其高线斜率满足kl•kBC＝﹣1，即kl＝3，所以边BC的高所在直线的方程为y﹣2＝3（x﹣1），即3x﹣y﹣1＝0；（2）由直线l过点A，且l的纵截距是横截距的2倍，可分为两种情况讨论：当直线l过坐标原点时，k=21=2，此时直线l：y当直线l不过坐标原点时，由题意设直线方程为xa由l过点A（1，2），则1a+22a所以直线l方程为x2+y4=1，即2x+y综上所述，直线l的方程为y＝2x或2x+y﹣4＝0．【点评】本题考查了直线的方程，是基础题．18．（2024秋•广南县校级期末）已知直线l：（2a+3）x+（1﹣a）y+7+3a＝0，a∈R．（1）求l恒过的定点A的坐标；（2）若l经过点B（0，1），求直线l的方程．【考点】恒过定点的直线；直线的一般式方程与直线的性质．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】（1）A（﹣2，﹣1）；（2）x﹣y+1＝0．【分析】（1）整理直线方程，得到关于实数x，y的方程组，求解方程组即可；（2）根据直线过点，将点代入直线方程，求出a，得到直线方程．【解答】解：（1）由l：（2a+3）x+（1﹣a）y+7+3a＝0，a∈R可得a（2x﹣y+3）+3x+y+7＝0，由2x-y+3=03x+y+7=0解得x（2）若l经过点B（0，1），直线l：（2a+3）x+（1﹣a）y+7+3a＝0，a∈R，所以1﹣a+7+3a＝0，解得a＝﹣4，所以直线l的方程为x﹣y+1＝0．【点评】本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．19．（2024秋•咸阳期末）已知直线l1：ax+2y+3a＝0和直线l2：x﹣y﹣1＝0．（1）若直线l1在两坐标轴上的截距相等，求实数a的值；（2）若l1∥l2，求直线l1与l2之间的距离．【考点】两条平行直线间的距离．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】（1）a＝2；（2）22【分析】（1）求出l1在x轴和y轴的截距，利用截距相等构造方程求得结果；（2）由l1∥l2求出a＝﹣2，再由两平行线的距离求解即可．【解答】解：（1）因为直线l1在两坐标轴上的截距相等，所以a≠0，直线l1在x轴的截距为﹣3，在y轴的截距为-3则-3=解得a＝2；（2）若l1∥l2，则-a2=1，得a此时直线l1：﹣2x+2y﹣6＝0，即x﹣y+3＝0，又直线l2：x﹣y﹣1＝0，所以直线l1与l2之间的距离d=【点评】本题主要考查了直线的截距的定义，考查了平行线间的距离公式，属于基础题．20．（2025•榆次区校级学业考试）如图，已知椭圆C：x2a2+y2＝1（a＞1）的上顶点为A，离心率为63，若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标．【考点】恒过定点的直线；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）由椭圆的解析式得到b＝1，再利用椭圆的性质a2+b2＝c2列出关系式，与e=ca=63（Ⅱ）由AP→•AQ→=0，利用平面斜率数量积为0时两向量垂直得到AP与AQ垂直，可得出AP与坐标轴不垂直，由A的坐标设出直线AP的方程为y＝kx+1，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1表示出直线AQ的方程，将y＝kx+1代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，求出方程的解得到x的值，表示出P的坐标，将直线AQ方程代入椭圆方程，同理表示出Q的坐标，由P与Q的坐标，表示出直线l的两点式方程，整理后可得出直线l恒过定点N（0【解答】解（Ⅰ）依题意有：e=ca=63①，a2﹣c2＝b联立①②解得：a=3，c=则椭圆C的方程为x23+y2（Ⅱ）证明：由AP→•AQ→=0，得到AP⊥AQ由A（0，1）可设直线AP的方程为y＝kx+1，得到直线AQ的方程为y=-1kx+1（k将y＝kx+1代入椭圆C的方程x23+y2＝1中，并整理得：（1+3k2）x2+6kx解得：x＝0或x=-∴P的坐标为（-6k1+3k2，-6将上式中的k换成-1k，同理可得Q（6k∴直线l的方程为y=k2-3k2整理得：直线l的方程为y=k2-则直线l过定点N（0，-1【点评】此题考查了恒过定点的方程，以及椭圆的标准方程，涉及的知识有：椭圆的基本性质，平面向量的数量积运算，以及直线的两点式方程，其计算性较大，是一道综合性较强的试题．

考点卡片1．充分条件必要条件的判断【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．直线与平面平行【知识点的认识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．1、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．2、直线和平面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．3．直线的倾斜角【知识点的认识】1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．2．范围：[0，π）（特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°）3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度．4．斜率与倾斜角的区别和联系（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．（2）联系：①当a≠π2时，k＝tanα；当α②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，π2）时，k＞0且tanα随α的增大而增大，当α∈（π2，π）时，k＜0且tanα随【解题方法点拨】直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．【命题方向】（1）直接根据直线斜率求倾斜角例：直线3x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．解答：因为直线3x+y﹣1＝0的斜率为：-3直线的倾斜角为：α．所以tanα=-α＝120°故选C．点评：本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．（2）通过条件转换求直线倾斜角例：若直线经过A（0，1），B（3，4）两点，则直线AB的倾斜角为（）A．30°B.45°C．60°D．120°分析：由直线经过A（0，1），B（3，4）两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角．解答：∵直线经过A（0，1），B（3，4）两点，∴直线AB的斜率k=4-13-0∴直线AB的倾斜角α＝45°．故选B．点评：本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．4．直线的斜率【知识点的认识】1．定义：当直线倾斜角α≠π2时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tan2．斜率的求法（1）定义：k＝tanα（α≠π（2）斜率公式：k=y3．斜率与倾斜角的区别和联系（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．（2）联系：①当α≠π2时，k＝tanα；当α②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，π2）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（π2，π）时，k＜0且随【解题方法点拨】直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．【命题方向】（1）已知倾斜角范围求斜率的范围；（2）已知斜率求倾斜角的问题．（3）斜率在数形结合中的应用．5．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【知识点的认识】两直线平行与倾斜角、斜率的关系：①如果两条直线的斜率存在，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则有：两直线平行⇔倾斜角α1＝α2⇔斜率k1＝k2②如果两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线的倾斜角都为90°，这两条直线平行．6．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【知识点的认识】在同一个平面中，直线的关系可能是相交、平行、重合；这个知识点中我们探讨的是相交直线的一个特例，直线垂直．顾名思义，直线垂直就是两条直线的夹角为90°．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系：①当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，这两条直线互相垂直；②当两条直线的斜率都存在时，设斜率分别为k1，k2，若两条直线互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，若两条直线的斜率互为负倒数，则它们互相垂直．l1⊥l2⇔k2=-1k1⇔k1•k【解题方法点拨】例：设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x﹣2y+1＝0，则直线PB的方程是．解：根据|PA|＝|PB|得到点P一定在线段AB的垂直平分线上，根据x﹣2y+1＝0求出点A的坐标为（﹣1，0），由P的横坐标是2代入x﹣2y+1＝0求得纵坐标为32，则P（2，32），P在x轴上的投影为Q（2，0），又因为Q为A与B的中点，所以得到B（5，0），所以直线PB的方程为：y﹣0=32-02-5（x﹣5）化简后为故答案为：x+2y﹣5＝0．7．直线的两点式方程【知识点的认识】直线的两点式方程：经过直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式．y-y1y2-y1=x-x1#注意：两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线．特别地：①当x1＝x2时，直线l的方程为x＝x1；②当y1＝y2时，直线l的方程为y＝y1．8．直线的截距式方程【知识点的认识】直线的截距式方程：若直线l与x轴交点为（a，0），与y轴交点为（0，b），其中a≠0，b≠0，a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距，由两点式：y-0b#注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线．9．直线的一般式方程与直线的性质【知识点的认识】直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0．1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y=-ABx-CB，表示斜率为-（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔A1A2=B1B2≠C1C2；l1与l210．直线的一般式方程与直线的垂直关系【知识点的认识】1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1∥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一