北京市西城区41中2025届高三下学期3月模拟测试数学试题_第1页
北京市西城区41中2025届高三下学期3月模拟测试数学试题_第2页
北京市西城区41中2025届高三下学期3月模拟测试数学试题_第3页
北京市西城区41中2025届高三下学期3月模拟测试数学试题_第4页
北京市西城区41中2025届高三下学期3月模拟测试数学试题_第5页
已阅读5页,还剩14页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

北京市西城区41中2025届高三下学期3月模拟测试数学试题请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某三棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为,则该三棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.2.已知三棱柱的所有棱长均相等,侧棱平面,过作平面与平行,设平面与平面的交线为,记直线与直线所成锐角分别为,则这三个角的大小关系为()A. B.C. D.3.为虚数单位,则的虚部为()A. B. C. D.4.已知函数是定义在上的奇函数,函数满足,且时,,则()A.2 B. C.1 D.5.已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为()A. B. C. D.6.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在第三节,且“射”和“御”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有()A.12种 B.24种 C.36种 D.48种7.已知向量与的夹角为,定义为与的“向量积”,且是一个向量,它的长度,若,,则()A. B.C.6 D.8.设等比数列的前项和为,若,则的值为()A. B. C. D.9.已知函数.若存在实数,且,使得,则实数a的取值范围为()A. B. C. D.10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数(即质数)的和”,如,.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于20的概率是()A. B. C. D.以上都不对11.关于函数,下列说法正确的是()A.函数的定义域为B.函数一个递增区间为C.函数的图像关于直线对称D.将函数图像向左平移个单位可得函数的图像12.已知等式成立,则()A.0 B.5 C.7 D.13二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,,且,则最小值为__________.14.设集合,(其中e是自然对数的底数),且,则满足条件的实数a的个数为______.15.的展开式中,的系数是__________.(用数字填写答案)16.曲线在处的切线的斜率为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是,直线和直线的极坐标方程分别是()和(),其中().(1)写出曲线的直角坐标方程;(2)设直线和直线分别与曲线交于除极点的另外点,,求的面积最小值.18.(12分)如图,四棱锥中,底面ABCD为菱形,平面ABCD,BD交AC于点E,F是线段PC中点,G为线段EC中点.Ⅰ求证:平面PBD;Ⅱ求证:.19.(12分)在平面直角坐标系中,已知向量,,其中.(1)求的值;(2)若,且,求的值.20.(12分)如图,已知椭圆的右焦点为,,为椭圆上的两个动点,周长的最大值为8.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)直线经过,交椭圆于点,,直线与直线的倾斜角互补,且交椭圆于点,,,求证:直线与直线的交点在定直线上.21.(12分)在中,角、、所对的边分别为、、,且.(1)求角的大小;(2)若,的面积为,求及的值.22.(10分)如图,在四棱锥中,底面,底面是直角梯形,为侧棱上一点,已知.(Ⅰ)证明:平面平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】

作出三棱锥的实物图,然后补成直四棱锥,且底面为矩形,可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球,然后计算出矩形的外接圆直径,利用公式可计算出外接球的直径,再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.【详解】三棱锥的实物图如下图所示:将其补成直四棱锥,底面,可知四边形为矩形,且,.矩形的外接圆直径,且.所以,三棱锥外接球的直径为,因此,该三棱锥的外接球的表面积为.故选:C.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积,解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图,并分析三棱锥的结构,选择合适的模型进行计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.2.B【解析】

利用图形作出空间中两直线所成的角,然后利用余弦定理求解即可.【详解】如图,,设为的中点,为的中点,由图可知过且与平行的平面为平面,所以直线即为直线,由题易知,的补角,分别为,设三棱柱的棱长为2,在中,,;在中,,;在中,,,.故选:B【点睛】本题主要考查了空间中两直线所成角的计算,考查了学生的作图,用图能力,体现了学生直观想象的核心素养.3.C【解析】

利用复数的运算法则计算即可.【详解】,故虚部为.故选:C.【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念,注意复数的虚部为,不是,本题为基础题,也是易错题.4.D【解析】

说明函数是周期函数,由周期性把自变量的值变小,再结合奇偶性计算函数值.【详解】由知函数的周期为4,又是奇函数,,又,∴,∴.故选:D.【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性,掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础.5.C【解析】

如图所示,当点C位于垂直于面的直径端点时,三棱锥的体积最大,设球的半径为,此时,故,则球的表面积为,故选C.考点:外接球表面积和椎体的体积.6.C【解析】

根据“数”排在第三节,则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法,再考虑两者的顺序,有种,剩余的3门全排列,即可求解.【详解】由题意,“数”排在第三节,则“射”和“御”两门课程相邻时,可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节,有3种,再考虑两者的顺序,有种,剩余的3门全排列,安排在剩下的3个位置,有种,所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种不同的排法.故选:C.【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用,其中解答中认真审题,根据题设条件,先排列有限制条件的元素是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.7.D【解析】

先根据向量坐标运算求出和,进而求出,代入题中给的定义即可求解.【详解】由题意,则,,得,由定义知,故选:D.【点睛】此题考查向量的坐标运算,引入新定义,属于简单题目.8.C【解析】

求得等比数列的公比,然后利用等比数列的求和公式可求得的值.【详解】设等比数列的公比为,,,,因此,.故选:C.【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用,解答的关键就是求出等比数列的公比,考查计算能力,属于基础题.9.D【解析】

首先对函数求导,利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值,根据题意,列出参数所满足的不等关系,求得结果.【详解】,令,得,.其单调性及极值情况如下:x0+0_0+极大值极小值若存在,使得,则(如图1)或(如图2).(图1)(图2)于是可得,故选:D.【点睛】该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题,涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值,画出图象数形结合,属于较难题目.10.A【解析】

首先确定不超过的素数的个数,根据古典概型概率求解方法计算可得结果.【详解】不超过的素数有,,,,,,,,共个,从这个素数中任选个,有种可能;其中选取的两个数,其和等于的有,,共种情况,故随机选出两个不同的数,其和等于的概率.故选:.【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解,属于基础题.11.B【解析】

化简到,根据定义域排除,计算单调性知正确,得到答案.【详解】,故函数的定义域为,故错误;当时,,函数单调递增,故正确;当,关于的对称的直线为不在定义域内,故错误.平移得到的函数定义域为,故不可能为,错误.故选:.【点睛】本题考查了三角恒等变换,三角函数单调性,定义域,对称,三角函数平移,意在考查学生的综合应用能力.12.D【解析】

根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可.【详解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故选:D【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了特殊值代入法,考查了数学运算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

首先整理所给的代数式,然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.【详解】,结合可知原式,且,当且仅当时等号成立.即最小值为.【点睛】在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.14.【解析】

可看出,这样根据即可得出,从而得出满足条件的实数的个数为1.【详解】解:,或,在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象,由图可知与无交点,无解,则满足条件的实数的个数为.故答案为:.【点睛】考查列举法的定义,交集的定义及运算,以及知道方程无解,属于基础题.15.【解析】

根据组合的知识,结合组合数的公式,可得结果.【详解】由题可知:项来源可以是:(1)取1个,4个(2)取2个,3个的系数为:故答案为:【点睛】本题主要考查组合的知识,熟悉二项式定理展开式中每一项的来源,实质上每个因式中各取一项的乘积,转化为组合的知识,属中档题.16.【解析】

求出函数的导数,利用导数的几何意义令,即可求出切线斜率.【详解】,,,即曲线在处的切线的斜率.故答案为:【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数的运算法则以及基本初等函数的导数,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)16.【解析】

(1)将极坐标方程化为直角坐标方程即可;(2)利用极径的几何意义,联立曲线,直线,直线的极坐标方程,得出,利用三角形面积公式,结合正弦函数的性质,得出的面积最小值.【详解】(1)曲线:,即化为直角坐标方程为:;(2),即同理∴当且仅当,即()时取等号即的面积最小值为16【点睛】本题主要考查了极坐标方程化直角坐标方程以及极坐标的应用,属于中档题.18.(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析:(1)先证明,再证明FG//平面PBD.(2)先证明平面,再证明BD⊥FG.详解:证明:(1)连结PE,因为G.、F为EC和PC的中点,,又平面,平面,所以平面(II)因为菱形ABCD,所以,又PA⊥面ABCD,平面,所以,因为平面,平面,且,平面,平面,∴BD⊥FG.点睛:(1)本题主要考查空间位置关系的证明,意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象转化能力.(2)证明空间位置关系,一般有几何法和向量法,本题利用几何法比较方便.19.(1)(2).【解析】

(1)根据,由向量,的坐标直接计算即得;(2)先求出,再根据向量平行的坐标关系解得.【详解】(1)由题,向量,,则.(2),.,,整理得,化简得,即,,,,即.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算,以及向量平行,是常考题型.20.(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.【解析】

(Ⅰ)由椭圆的定义可得,周长取最大值时,线段过点,可求出,从而求出椭圆的标准方程;(Ⅱ)设直线,直线,,,,.把直线与直线的方程分别代入椭圆的方程,利用韦达定理和弦长公式求出和,根据求出的值.最后直线与直线的方程联立,求两直线的交点即得结论.【详解】(Ⅰ)设的周长为,则,当且仅当线段过点时“”成立.,,又,,椭圆的标准方程为.(Ⅱ)若直线的斜率不存在,则直线的斜率也不存在,这与直线与直线相交于点矛盾,所以直线的斜率存在.设,,,,,.将直线的方程代入椭圆方程得:.,,.同理,.由得,此时.直线,联立直线与直线的方程得,即点在定直线.【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生的逻辑推理能力和运算能力,属于难题.21.(1)(2);【解析】

(1)由代入中计算即可;(2)由余弦定理可得,所以,由,变形即可得到答案.【详解】(1)因为,可得:,∴,或(舍),∵,∴.(2)由余弦定理,得所以,故,又,所以,所以.【点睛】本题考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形,考查学生的运算求解能力,是一道容易题.22.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)先证明

,再证明平面,利用面面垂直的判定定理,

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论