江西省景德镇市2025届高三第二次质量检测二模数学试题

江西省景德镇市2025届高三第二次质量检测二模数学试题考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三试卷标题：江西省景德镇市2025届高三第二次质量检测二模数学试题。一、选择题（共10题，每题5分，共50分）要求：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数$f(x)=\lnx+ax^2$，其中$a$为常数，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，则$a$的取值范围是（）A.$a>0$B.$a\geq0$C.$a<0$D.$a\leq0$例：$f(x)=\lnx+ax^2$，$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax$，要使$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，则$f'(x)\geq0$，即$\frac{1}{x}+2ax\geq0$，解得$a\geq-\frac{1}{2x^2}$。因为$x>0$，所以$a\geq0$。2.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_4=20$，$S_7=56$，则该数列的公差为（）A.2B.3C.4D.5例：等差数列的前$n$项和公式为$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，所以$S_4=\frac{4(a_1+a_4)}{2}=2(a_1+a_4)=20$，$S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}=3.5(a_1+a_7)=56$，联立方程组$\begin{cases}2(a_1+a_4)=20\\3.5(a_1+a_7)=56\end{cases}$，解得$a_1=2$，$a_4=18$，所以公差$d=a_4-a_1=16$。3.已知圆$C:x^2+y^2=16$，点$P(2,2)$，则过点$P$的圆$C$的切线方程为（）A.$x+y=4$B.$x-y=0$C.$x+y=0$D.$x-y=4$例：圆的切线方程可表示为$x_0x+y_0y=r^2$，其中$(x_0,y_0)$为切点坐标，$r$为圆的半径。因为点$P(2,2)$在圆$C$上，所以切线方程为$2x+2y=16$，化简得$x+y=4$。4.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，则$f'(x)$的零点为（）A.$x=1$B.$x=2$C.$x=3$D.$x=4$例：$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，$x=2$，$x=4$，其中$x=1$为$f(x)$的极大值点，$x=2$为$f(x)$的极小值点，$x=4$为$f(x)$的拐点。5.已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为（）A.$a_n=\sqrt{n}$B.$a_n=\sqrt{n+1}$C.$a_n=\sqrt{n-1}$D.$a_n=\sqrt{n^2-1}$例：$a_2=a_1+\frac{1}{a_1}=1+\frac{1}{1}=2$，$a_3=a_2+\frac{1}{a_2}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$a_4=a_3+\frac{1}{a_3}=\frac{5}{2}+\frac{2}{5}=\frac{29}{10}$，根据通项公式$a_n=\sqrt{n^2-1}$，可知$a_4=\sqrt{4^2-1}=\frac{29}{10}$。6.已知函数$f(x)=\lnx+ax$，其中$a$为常数，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，则$a$的取值范围是（）A.$a>0$B.$a\geq0$C.$a<0$D.$a\leq0$例：$f'(x)=\frac{1}{x}+a$，要使$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，则$f'(x)\geq0$，即$\frac{1}{x}+a\geq0$，解得$a\geq-\frac{1}{x^2}$。因为$x>0$，所以$a\geq0$。7.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_4=20$，$S_7=56$，则该数列的公差为（）A.2B.3C.4D.5例：等差数列的前$n$项和公式为$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，所以$S_4=\frac{4(a_1+a_4)}{2}=2(a_1+a_4)=20$，$S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}=3.5(a_1+a_7)=56$，联立方程组$\begin{cases}2(a_1+a_4)=20\\3.5(a_1+a_7)=56\end{cases}$，解得$a_1=2$，$a_4=18$，所以公差$d=a_4-a_1=16$。8.已知圆$C:x^2+y^2=16$，点$P(2,2)$，则过点$P$的圆$C$的切线方程为（）A.$x+y=4$B.$x-y=0$C.$x+y=0$D.$x-y=4$例：圆的切线方程可表示为$x_0x+y_0y=r^2$，其中$(x_0,y_0)$为切点坐标，$r$为圆的半径。因为点$P(2,2)$在圆$C$上，所以切线方程为$2x+2y=16$，化简得$x+y=4$。9.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，则$f'(x)$的零点为（）A.$x=1$B.$x=2$C.$x=3$D.$x=4$例：$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，$x=2$，$x=4$，其中$x=1$为$f(x)$的极大值点，$x=2$为$f(x)$的极小值点，$x=4$为$f(x)$的拐点。10.已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为（）A.$a_n=\sqrt{n}$B.$a_n=\sqrt{n+1}$C.$a_n=\sqrt{n-1}$D.$a_n=\sqrt{n^2-1}$例：$a_2=a_1+\frac{1}{a_1}=1+\frac{1}{1}=2$，$a_3=a_2+\frac{1}{a_2}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$a_4=a_3+\frac{1}{a_3}=\frac{5}{2}+\frac{2}{5}=\frac{29}{10}$，根据通项公式$a_n=\sqrt{n^2-1}$，可知$a_4=\sqrt{4^2-1}=\frac{29}{10}$。二、填空题（共5题，每题10分，共50分）要求：直接写出答案。11.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_5=50$，$S_8=120$，则该数列的公差为______。12.已知函数$f(x)=\lnx+ax$，其中$a$为常数，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，则$a$的取值范围为______。13.已知圆$C:x^2+y^2=16$，点$P(2,2)$，则过点$P$的圆$C$的切线方程为______。14.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，则$f'(x)$的零点为______。15.已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为______。三、解答题（共5题，共50分）要求：写出解答过程，并化简结果。16.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求$f(x)$的导数$f'(x)$，并求$f'(x)$的零点。17.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_5=50$，$S_8=120$，求该数列的公差和首项。18.已知圆$C:x^2+y^2=16$，点$P(2,2)$，求过点$P$的圆$C$的切线方程。19.已知函数$f(x)=\lnx+ax$，其中$a$为常数，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，求$a$的取值范围。20.已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，求该数列的通项公式。本次试卷答案如下：一、选择题（共10题，每题5分，共50分）1.答案：B解析：由题意知，$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，即$f'(x)\geq0$，即$\frac{1}{x}+2ax\geq0$，解得$a\geq-\frac{1}{2x^2}$。因为$x>0$，所以$a\geq0$。2.答案：A解析：由等差数列前$n$项和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，可得$2(a_1+a_4)=20$，$3.5(a_1+a_7)=56$，解得$a_1=2$，$a_4=18$，所以公差$d=a_4-a_1=16$。3.答案：A解析：圆的切线方程可表示为$x_0x+y_0y=r^2$，代入点$P(2,2)$和圆$C:x^2+y^2=16$，得$2x+2y=16$，化简得$x+y=4$。4.答案：C解析：$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，$x=2$，$x=4$，其中$x=1$为$f(x)$的极大值点，$x=2$为$f(x)$的极小值点，$x=4$为$f(x)$的拐点。5.答案：D解析：$a_2=a_1+\frac{1}{a_1}=1+\frac{1}{1}=2$，$a_3=a_2+\frac{1}{a_2}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$a_4=a_3+\frac{1}{a_3}=\frac{5}{2}+\frac{2}{5}=\frac{29}{10}$，根据通项公式$a_n=\sqrt{n^2-1}$，可知$a_4=\sqrt{4^2-1}=\frac{29}{10}$。6.答案：B解析：$f'(x)=\frac{1}{x}+a$，要使$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，则$f'(x)\geq0$，即$\frac{1}{x}+a\geq0$，解得$a\geq-\frac{1}{x^2}$。因为$x>0$，所以$a\geq0$。7.答案：D解析：等差数列的前$n$项和公式为$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，所以$S_4=\frac{4(a_1+a_4)}{2}=2(a_1+a_4)=20$，$S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}=3.5(a_1+a_7)=56$，联立方程组$\begin{cases}2(a_1+a_4)=20\\3.5(a_1+a_7)=56\end{cases}$，解得$a_1=2$，$a_4=18$，所以公差$d=a_4-a_1=16$。8.答案：A解析：圆的切线方程可表示为$x_0x+y_0y=r^2$，代入点$P(2,2)$和圆$C:x^2+y^2=16$，得$2x+2y=16$，化简得$x+y=4$。9.答案：C解析：$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，$x=2$，$x=4$，其中$x=1$为$f(x)$的极大值点，$x=2$为$f(x)$的极小值点，$x=4$为$f(x)$的拐点。10.答案：D解析：$a_2=a_1+\frac{1}{a_1}=1+\frac{1}{1}=2$，$a_3=a_2+\frac{1}{a_2}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$a_4=a_3+\frac{1}{a_3}=\frac{5}{2}+\frac{2}{5}=\frac{29}{10}$，根据通项公式$a_n=\sqrt{n^2-1}$，可知$a_4=\sqrt{4^2-1}=\frac{29}{10}$。二、填空题（共5题，每题10分，共50分）11.答案：16解析：由等差数列前$n$项和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，可得$2(a_1+a_4)=20$，$3.5(a_1+a_7)=56$，解得$a_1=2$，$a_4=18$，所以公差$d=a_4-a_1=16$。12.答案：$a\geq0$解析：$f'(x)=\frac{1}{x}+a$，要使$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，则$f'(x)\geq0$，即$\frac{1}{x}+a\geq0$，解得$a\geq-\frac{1}{x^2}$。因为$x>0$，所以$a\geq0$。13.答案：$x+y=4$解析：圆的切线方程可表示为$x_0x+y_0y=r^2$，代入点$P(2,2)$和圆$C:x^2+y^2=16$，得$2x+2y=16$，化简得$x+y=4$。14.答案：$x=1$，$x=2$，$x=4$解析：$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，$x=2$，$x=4$，其中$x=1$为$f(x)$的极大值点，$x=2$为$f(x)$的极小值点，$x=4$为$f(x)$的拐点。15.答案：$a_n=\sqrt{n^2-1}$解析：$a_2=a_1+\frac{1}{a_1}=1+\frac{1}{1}=2$，$a_3=a_2+\frac{1}{a_2}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$a_4=a_3+\frac{1}{a_3}=\frac{5}{2}+\frac{2}{5}=\frac{29}{10}$，根据通项公式$a_n=\sqrt{n^2-1}$，可知$a_4=\sqrt{4^2-1}=\frac{29}{10}$。三、解答题（共5题，共50分）16.答案：$f'(x)=3x^2-6x+4$，$f'(x)$的零点为$x=1$，$x=2$，$x=4$。解析：对$f(x)=x^3-3x^2+4x$求导得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x