2024-2025学年北京市顺义一中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市顺义一中高二（下）月考数学试卷（3月份）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在等差数列{an}中，a1=3，a7A.14 B.13 C.122.下列导数公式错误的是(

)A.(sinx)′=−cosx B.(lnx)′=1x C.(13.已知等差数列{an}中，a3+a8=−6，Sn是数列A.−60 B.−30 C.30 D.604.函数f(x)=x在点(1,f(1))处的切线方程为(

)A.y=12x+12 B.y=−x+2 5.一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论：

①汽车在[0,t1]时间段内每一时刻的瞬时速度相同；

②汽车在[t1,t2]时间段内不断加速行驶；

③汽车在[t2,t3A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.已知x=1函数f(x)=x3−3ax+3的极小值点，那么函数f(x)的极大值为A.2 B.3 C.4 D.57.若f(x)=sin2x−ax在[0,π6]上是单调递增的，则a的取值范围是A.(−∞,3) B.(−∞,1) C.(−∞,1]8.设等比数列{an}的前n项和为Sn，则“对任意n∈N∗，都有aA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知{an}是无穷等比数列，其前n项和为Sn，a1=2，S2=1.若对任意正整数nA.[−2,32) B.[−43,1)10.已知函数f(x)=xlnx,x>0,xex,x≤0.有下列说法

①f(x)的递增区间是(−1,0)和(1e,+∞)；

②f(x)有三个零点；

③不等式f(x)≥−1e的解集为R；

④关于x的不等式f(x)≥kx−1(k∈R)A.①② B.①②③ C.②③④ D.①③④二、填空题：本题共5小题，共25分。11.2和6的等差中项是______．12.“藻井”又称“绮井”“天井”是中国建筑中一种顶部装饰手法，将建筑物顶棚向上凹进如井状，四壁饰有藻饰花纹.藻井最上面的顶心放置明镜或者雕刻蟠龙，所以近代“藻井”也称为“龙井”．

为了更好的传播我国的建筑文化，北京建筑博物馆制作了“藻井冰箱贴”，“藻井”是由五片圆形四周带有“宫殿”的大小相同的强磁金属片重叠摆放构成，每个金属片上的宫殿个数成等比数列，冰箱贴的最下面一层为“明镜”没有宫殿，第二层有4个宫殿，第三层有8个宫殿，则冰箱贴的最上一层有______个宫殿，一套冰箱贴中共有______个宫殿．13.已知一个物体在运动过程中，其位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y=t2+1，则物体在0s到1s这段时间里的平均速度为______m/s：物体在1s时的瞬时速度为______m/s14.已知函数f(x)=2xx2+4，f(x)的单调递增区间为______，则15.已知数列{an}满足：a1=a，an+1=an4+3an(n∈N∗)有下列结论：

①∃a>0，使得数列{an}为等比数列；

②∃a<0，∀n∈N∗，有a三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

已知{an}为等差数列，且a2=4，a6+a5=−6．

(1)求{an}17.(本小题14分)

已知函数f(x)=13x3−x2−3x+9．

(1)求f(x)18.(本小题14分)

两个数列{an}，{bn}，a1=b1=1，已知数列{an}为等比数列且a4=8，数列{bn}的前n项和为Sn，又满足_____在①Sn=n2(n≥2)19.(本小题14分)

已知函数f(x)=(x2−2x)ex．

(1)求函数f(x)的极值；

(2)20.(本小题15分)

已知函数f(x)=lnx+x22．

(1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；

(2)设函数F(x)=f(x)−ax(a>0)，求函数F(x)的单调区间；

(3)在(2)的条件下，若函数y=F(x)(x>1)的图象恒在直线y=−321.(本小题15分)

若有穷正整数数列A：a1=2，a2，a3，…，a2n(n≥3)满足如下两个性质，则称数列A为T数列：①a2i−1+a2i=2i(i=1,2,3,…,n)；②对任意的i∈{1,2,3,…,2n−1}，都存在正整数j≤i，使得ai+1=aj+aj+1+aj+2+…+aj+(i−j)．

(1)判断数列A：1，1，2，2，4，4和数列B：1，1，1，3，3，5是否为T数列，说明理由；

(2)已知数列A：a1参考答案1.C

2.A

3.B

4.A

5.C

6.D

7.C

8.D

9.B

10.D

11.4

12.32

60

13.1

2

14.(−2,2)

1215.①③④

16.解：(1)设数列{an}的公差为d，

则a2=a1+d=4，a6+a5=2a1+9d=−6，解得a1=6，d=−2，

则数列{an}的通项公式为an=8−2n；

(2)Sn=(a1+an)n2=(6+8−2n)n2=(7−n)n，

根据二次函数的性质可得，Sn的最大值为S3=S4=12．

17.解：(1)对函数f(x)求导可得：导函数f′(x)=x2−2x−3，

令导函数f′(x)=0，那么(x−3)(x+1)=0，解得x=3或x=−1；

当f′(x)<0时，则(x−3)(x+1)<0，即−1<x<3，

所以f(x)在(−1,3)上单调递减；

f′(x)>0时，则(x−3)(x+1)>0，解得x<−1或x>3，

所以f(x)在(−∞,−1)，(3,+∞)上单调递增．

所以函数f(x)的单调递减区间为(−1,3)，单调递增区间为(−∞,−1)和(3,+∞)．

(2)由(1)可知x=−1和x=3为函数f(x)的极值点；

f(−1)=13×(−1)3−(−1)2−3×(−1)+9=323，

f(3)=13×33−32−3×3+9=0，

f(−3)=13×(−3)3−(−3)2−3×(−3)+9=0，

f(4)=13×43−42−3×4+9=73，

所以f(x)在[−3,4]上的最大值为323，最小值为0．

18.解：(1)设数列{an}的公比为q，则a4=a1q3=q3=8，得q=2，

则an=2n−1,n∈N∗；

选①：n≥2时，Sn=n2，又因S1=b1=1满足上式，故Sn=n2,n∈N∗，

当n≥2时，Sn−1=(n−1)2，则bn=Sn−Sn−1=2n−1，又b1=1满足上述，故bn=2n−1；

选②：已知b1=1，b3=5无法确定数列{bn}.

选③：bn−bn−1=2(n≥2)可知数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，则bn=2n−1,n∈N∗

(2)cn=an+bn=2n−1+2n−1，则Tn=c1+c2+⋯+cn=(a1+a2+⋯+an)+(b1+b2+⋯+bn)=(20+21+⋯+2n−1)+(1+3+⋯+2n−1)=2n−12−1+1+2n−12⋅n=2n+n2−1．

19.解：(1)已知函数f(x)=(x2−2x)ex．

f′(x)=(2x−2)ex+(x2−2x)ex=(x2−2)ex，x∈R，

令f′(x)=0⇒x=±2，

所以当x∈(−2,2)时，f′(x)<0，f(x)为单调递减函数；

当x∈(−∞,−2)时，f′(x)>0，f(x)为单调递增函数；

当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)为单调递增函数，

所以f(x)的极大值为f(−2)=(2+22)e−2，极小值为f(2)=(2−22)e2．

(2)g(x)=f(x)−a(a∈R)的零点个数即为y=f(x)与y=a的交点个数，

由f(x)=(x2−2x)ex，可得f(0)=0，f(2)=0，

x<0时f(x)>0；0<x<2时f(x)<0；x>2时f(x)>0，

结合(1)画出f(x)图象如下：

所以，当a<(2−22)e2时，函数g(x)无零点；

当a=(2−22)e2或a>(2+22)e−2，函数g(x)有一个零点；

当(2−22)e2<a≤0或a=(2+22)e−2时，函数g(x)有两个零点；

当0<a<(2+22)e−2时，若g(x)=f(x)−a(a∈R)，函数g(x)有三个零点．

20.解：(1)已知函数f(x)=lnx+x22(x>0)，则f′(x)=1x+x，

将x=1代入f(x)可得f(1)=ln1+122=12，所以切点为(1,12)，

将x=1代入f′(x)可得f′(1)=11+1=2，可得切线斜率k=2，

则由直线的点斜式方程可得切线方程为y−12=2(x−1)，整理得4x−2y−3=0；

(2)已知F(x)=f(x)−ax=lnx+x22−ax(a>0)，其定义域为(0,+∞)．F′(x)=1x+x−a=x2−ax+1x，

令g(x)=x2−ax+1，Δ=a2−4，

当Δ≤0，即0<a≤2时，g(x)≥0恒成立(因为二次函数g(x)开口向上)，

则F′(x)≥0恒成立，所以F(x)在(0,+∞)上单调递增；

当Δ>0，即a>2时，由g(x)=0，根据求根公式可得x1=a−a2−42，x2=a+a2−42；

则在(0,a−a2−42)和(a+a2−42,+∞)上，g(x)>0，F′(x)>0，F(x)单调递增；

在(a−a2−42,a+a2−42)上，g(x)<0，F′(x)<0，F(x)单调递减；

综上，当0<a≤2时，F(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无减区间；

当a>2时，F(x)的

单

调

递

增

区

间

为

(0,a−a2−42)和

(a+a2−42,+∞)，

单

调

递

减

区

间

为

(a−a2−42,a+a2−42)．

(3)由题意若函数y=F(x)(x>1)的图象恒在直线y=−32的图象的上方，

可知F(x)>−32在(1,+∞)上恒成立，即lnx+x22−ax>−32在(1,+∞)上恒成立，

等价于a<lnx+x22+32x在(1,+∞)上恒成立，

令ℎ(x)=lnx+x22+32x(x>1)，则a<ℎ(x)恒成立，

对ℎ(x)进行求导，ℎ′(