2024-2025学年深圳某中学东校区九年级下学期开学考试 数学试卷（学生版+解析版）

2024-2025学年深圳高级中学东校区九年级下学期开学考试

数学试卷

一、选择题(共8小题，共计24分)

1.如图1,古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具.如图2,是它的几何示

意图，下列图形是“斗”的俯视图的是()

3.将抛物线y=2(x+3y+l向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐

标是()

A.(5,-2)B.(1,-2)C.(-1,4)D.(-5,-2)

4.关于尤的方程x(x—1)=3(X—1),下列解法完全正确的是()

①两边同时除以(%―1)得x=3；

②整理得尤2—4x=—3，/?=—4,c=—3,b1—4tzc=28>x=—2±V?；

2

2

③整理得V—4x=—3，配方得了2一4%+2=—1，(x-2)=-1,x-2=±l,%!=1,x2=3；

④移项得：=0,，x—3=0或x-l=O,，玉=1,x2=3.

A.①B.②C.@D.③④

5.在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木,

出南门十回步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何.”大意是：如图，。瓦G是一座正方形

小城，北门8位于。G中点，南门K位于所的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到

C,向西行1775步到8处正好看到A处的树木（即点O在直线A3上），小城的边长为多少步，若设小城

的边长为x步，则可列方程为（）

1

20x

A_____=_____B.202”

'x+141775

20+X+14-1775

1

20x

C.20_2%D.=-------------------

x+14-177520+X+141775

6.函数>=依2-。与丁=办；+〃（存0）在同一坐标系中的图象可能是（）

7.某光敏电阻因光电效应使其阻值R与所受光照的强弱E（即光强，国际单位cd）之间成反比例关系,

其函数图象如图1所示，小明用它设计了一个简易烟雾报警控制器，工作电路如图2所示，激光发生器发

出的激光强度恒定不变，当烟雾浓度增大时，光敏电阻R上的光照强度减小，己知电源电压

U=8V,凡=20。.当闭合开关S时，下列说法错误的是（）

图1图2

信息框

1.欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比.

2.串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和.

3.当电路中的电流达到Q1A时，报警控制器控制的报警器（图中没有画出）报警.

A.当E=40cd时，7?=15QB.光照强度越大，电路中的电流越大

C.当报警器报警时，光照强度为15〃D.烟雾浓度越大，光敏电阻阻值越大

8.已知：菱形ABCD中，AB=5AC=2,AC与3D交于点。，点E为05上一点，以AE为对称

轴，折叠AABE,使点8的对应点E恰好落在边CD上，则BE的长为（）

A372R72「6n

A.------D.U.U.----------

4224

二、填空题（共3小题，共计15分）

9.若仅是一元二次方程f+3%_2=0的两个根，则a+〃=

10.一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球

摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于

0.8,估计箱子里白球的个数为个.

11.如图，WVABCA3边与刻度尺的边缘重合，点4D,2分别对应刻度尺上的整数刻度.已知

DE//AC,EF//AB，AF=1.8cm,则AC=.

c

12.如图，在平面直角坐标系中，直线丁=丘+6与y轴交于点C,与反比例函数y=—在第一象限内的图

x

象交于点8,连接05,若&°BC=9,tanZBOC=1,则相的值是.

13.如图，VA3C为等腰三角形，AB=AC=5,BC=8,以AB为斜边作RtaAT>2,ZADB=90°,

tanZABD=-,连接CD,交AB于点E,则跖=

2

三、解答题(共7小题，共计61分)

3

14.计算：2cos450——tan30ocos30°+sin260°.

2

15.甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根

脉.小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片(这四张卡片分别用字母表示，正面

文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同)，现将四张卡片背面朝上，洗匀放

好.

AA]®BHCED

(1)小明从中随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的文字是“文”的概率为_____；

(2)小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，

求两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率.

16.综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔A6前有一座高为的观景台，已知

CD=6m,CD的坡度为i=l：、冷，点E,C,A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔

顶部B的仰角为45°,在观景台。处测得塔顶部B的仰角为27°.

（1）求的长；

（2）求塔A3的高度.（结果保留个位）

（参考数据：tan27°M0.5,&1.7）

（1）请你用无刻度的直尺和圆规，作线段AC的垂直平分线，分别交AO、BC于点M、N,交AC于点

。（不写作法、保留作图痕迹）;

（2）判断四边形AMCN的形状，并说明理由;

（3）若BC^IO,则四边形AMCN的周长为

18.根据以下素材，完成探索任务.

探索果园土地规划和销售利润问题

某农户承包了一块长方形果园A3CD,图1是果园

平面图，其中A5=200米，3c=300米.准备

素在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为

材2尤米，左右两条纵向道路的宽度都为无米，中间部

1分种植水果.

出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12

（图1）

米，且不小于5米.

该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场

调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销

素售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草

材莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定

2降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可号，，

多销售500平方米草莓.果园每月的承包费为2万

图⑵

元.

问题解决

（1）请直接写出纵向道路宽度X的1双值范

任

围.

务解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响.

（2）若中间种植的面积是44800m：,则路

1

面设置的宽度是否符合要求.

任（3）若农户预期一个月的总利润为52万

解决果园种植的预期利润问题.

务元，则从购买草莓客户的角度应该馋£价多少

（总利润=销售利润-承包费）

2元？

19.请阅读信息，并解决问题:

问题芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品

深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥一芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的

一个拱，其外形酷似竖琴.桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆

查询信（俗称“琴弦”）此段桥长120米,拱高25米.

息

WK

CEHDB

如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，A,8分别表示是桥的起点和终点，桥

处理信拱可看成抛物线，拱的两端C,。位于线段A5上，且4。=班）.一根琴

息弦固定在拱的对称轴OH处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8

根.记离拱端C最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3

根，…OH为第9根，…

测得上桥起点A与拱端C水平距离为20米，最靠近拱端C的“琴弦”EF

测量数

高9米，斯与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为

据

机米.

解决问任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线解析式；

题

任务2：求琴弦所与拱端C的水平距离CE及机的值.

任务3：若需要在琴弦所与3之间垂直安装一个如图所示高为17m的高

音谱号艺术品，艺术品底部在桥面A5上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该

4艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？

20.【教材呈现［（1）如图1,在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，

点A为公共顶点，N5AC=，G=90°,若AABC固定不动，将A4FG绕点A旋转，边AF,AG与边

分别交于点。，E（点。不与点8重合，点E不与点C重合），则结论648=AB?是否成立_

（填“成立”或“不成立”）；

【类比引申】（2）如图2,在正方形ABCD中，NE4F为NB4D内的一个动角，两边分别与BD,

BC交于点E,F,且满足N£AF=/4DB,求证：

【拓展延伸】（3）如图3,菱形ABCD的边长为12cm,，B4D=120。，NK4F的两边分别与30,

相交于点E,F,且满足ZE4尸若班'=9cm,则线段OE的长为cm.

2024-2025学年深圳高级中学东校区九年级下学期开学考试

数学试卷

一、选择题（共8小题，共计24分）

1.如图1,古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备粮食度量用具.如图2,是它的几何示

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟知三视图的特点是解答的关键.根据简单几何体的俯视图解答

即可.

【详解】解：该几何体的俯视图如图所示：

故选：C.

2.如图，在矩形A5CD中，AB=5,对角线AC与5。相交于点O,AE垂直平分。8于点E,则

A.5B.572C.5逐D.10

【答案】C

【解析】

【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质可证VAOB是等边三角形，可得的C=60。，进而得到

ZACB=30°,求出AC=2AB=10,利用勾股定理即可求解.

【详解】解：：四边形ABCD是矩形，

AO=BO=CO=DO,

・・・垂直平分OB,

AB=AO,

AB=AO=BO,

・•・VAO5是等边三角形，

・・・ZBAC=60°,

/.ZACB=3Q°,

：.AC=2AB=10,

BC=7AC2-AB2=5y/3；

故选：C.

【点睛】此题考查了矩形性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌

握矩形的性质等相关知识是解决问题的关键.

3.将抛物线y=2(x+3『+l向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐

标是()

A.(5,—2)B.(1,—2)C.(―1,4)D.(―5,—2)

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律先求出平移后

的解析式，再根据平移后的解析式求出平移后的顶点坐标即可.

【详解】解：将抛物线丁=2(尤+3丫+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后的抛物线解

析式为y=2(x+3+2)2+1—3,即y=2(x+5『-2,

移后抛物线的顶点坐标是(-5,-2),

故选：D.

4.关于x的方程1)=3(%—1),下列解法完全正确的是()

①两边同时除以(X—1)得x=3；

②整理得%2-4%=-3,・.•a=1,b=—4,。=-3,b2—4ac=28，x=4±=2±近；

2

2

③整理得x—4x=—3,配方得x?—4x+2=—1>••(x—2)=-1,x~2=±1,•-x1=1,x2=3；

④移项得：(x—3)(x—1)=0,x—3=0或x—1=0,；.%=1,x2=3.

A.①B.②C.@D.③④

【答案】C

【解析】

【分析】①不能两边同时除以(％-1),会漏根；②化为一般式，利用公式法解答；③利用配方法解答；④

利用因式分解法解答.

【详解】解：①不能两边同时除以(l-1),会漏根，故错误；

②化为一般式，a=l,b=-4,c=3,故错误；

③利用配方法解答，整理得V—4%=—3,配方得，X2-4X+22=1，故错误；

④利用因式分解法解答，完全正确，

故选C.

【点睛】本题考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等知识，是重要考点，掌握相关知

识是解题关键.

5.在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木,

出南门十回步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何.”大意是：如图，DEFG是一座正方形

小城，北门”位于DG的中点，南门K位于跖的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到

C,向西行1775步到8处正好看到A处的树木(即点。在直线A5上)，小城的边长为多少步，若设小城

的边长为x步，则可列方程为()

1

20x

A_____=_____B.20_

,x+141775

20+X+14—1775

1

20%

C.20_D.---------------=--------

x+14-177520+X+141775

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查相似三角形的实际运用，设小城的边长为x步，利用可得比例关

AHDH

系:77=二二，代入相关数据即可计算—

ACBC

【详解】解：设小城的边长为尤步，根据题意，ZAHD=ZACB=90。，

则DH||BC,

RtAAHEK^RtAACB,

.AHDH

,AC-BC'

■：DH=-DG=-x,AH=2Q,AC=AH+HK+CK^20+x+14,BC=1775,

22

1

20_2X,

20+X+14—1775

故选：B.

6.函数>=加-〃与（存0）在同一坐标系中的图象可能是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据题目中的函数解析式、二次函数的性质和一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到函

数,=五_〃与>=（〃#0）在同一坐标系中的图象可能是哪个选项中的图象.

【详解】解：当4>0时，函数〃的图象开口向上，顶点坐标为（o,-a）,y=ax+a（存0）的图

象经过第一、二、三象限，故选项A、。错误；

当〃V0时，函数。的图象开口向下，顶点坐标为（0,-a'）,y=ax+a（存0）的图象经过第二、

三、四象限，故选项8错误，选项。正确;

故选：c.

【点睛】此题主要考查二次函数与一次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数图像与系数的关系.

7.某光敏电阻因光电效应使其阻值R与所受光照的强弱£（即光强，国际单位cd）之间成反比例关系，

其函数图象如图1所示，小明用它设计了一个简易烟雾报警控制器，工作电路如图2所示，激光发生器发

出的激光强度恒定不变，当烟雾浓度增大时，光敏电阻R上的光照强度减小，已知电源电压

U=8V,凡=20。.当闭合开关S时，下列说法错误的是（）

图1图2

信息框

1.欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比.

2.串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和.

3.当电路中的电流达到Q1A时，报警控制器控制的报警器（图中没有画出）报警.

A.当E=40cd时，R=15QB.光照强度越大，电路中的电流越大

C.当报警器报警时，光照强度为15cdD.烟雾浓度越大，光敏电阻的阻值越大

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质是解题的关

键.

根据图示，运用待定系数法可得反比例函数解析式，由此可判定A,B选项，根据阻值R与所受光照的强

弱E（即光强，国际单位cd）之间成反比例关系，当电路中的电流达到0.1A时，报警控制器控制的报警

器报警，运用电路中电压、电流、电阻的关系可判定C选项；根据题意判定D选项即可求解.

【详解】解：设R=人/0）,点（30,20）在反比例函数图象上，

E

解得，左二600,

.・风叫

E

・・・当E=40cd时，氏=眄=15（。），故A正确，不符合题意；

4017

根据反比例函数图象可得，当光照强度越大，电路中电阻R的值越小，

•••导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，

••・光照强度越大，电路中电流越大，故B正确，不符合题意；

当电路中的电流达到0.1A时，报警控制器控制的报警器报警，

Q

R+RQ==80（Q）,

・.H=80-6=60（Q）,

—=10（cJ）,故C选项错误，符合题意；

6017

烟雾浓度越大，£越小，则R越大，即光敏电阻的阻值越大，故D选项正确，不符合题意;

故选：C.

8.已知：菱形ABCD中，AB=5AC=2,AC与3。交于点。，点E为05上一点，以AE为对称

轴，折叠AABE,使点B的对应点E恰好落在边CD上，则BE的长为（）

A.B.—C.—D,

4224

【答案】A

【解析】

【分析】欲求班的长，需要找出与跖相关联的AABE（或转化为求03-OE）.经过观察发现

△ABEs^BA.则需二器，只需求出皿长即可进一步解出国的长度.

【详解】•.•ABCD是菱形，

■.AOLBD,AO^-AC=l

2

AB=6,

:.OB=yjAB^OA2=-F=拒，

BD=2OB=272

由拆叠可知AP=AB=AZ）,

:.ZADC=ZAFD

\-AB\\CD,ZBAE=ZFAE,

ZBAE=-ZBAF=-ZAFD=-ZADC=ZADB

222

-.ZABD=ZABD,

:.△ABESADBA，

BEAB

,AB-fiD'

BE_6

"73-2A/2'

372

BR7E7=-----

4

故选A.

【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称图形的性质、三角形相似的判定及性质，找到已知线段长与所求线

段长的比例关系是解本题的关键.

二、填空题（共3小题，共计15分）

9.若a,夕是一元二次方程/+3%—2=0的两个根，则l+4=.

【答案】-3

【解析】

【分析】本题考查是一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），掌握一元二次方程的根与系数的关

系是解题的关键.

对于一■兀二次方程+Zzx+c=0（aw0）,两根与和x。有这样的关系：x+x=—,x1/=—，按题

12aa

意代入即可.

【详解】解：对于d+3%—2=0,系数a为1,b为3,

1••«,夕是一元二次方程为2+3x—2=0的两个根，

b

••a/3=———3.

a

故答案为：-3.

10.一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球

摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于

0.8,估计箱子里白球的个数为个.

【答案】16

【解析】

【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，

并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近

似值就是这个事件的概率.设白球有X个，利用概率公式列出关于X的分式方程，解分式方程即可求解.

【详解】解：•..通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.8,

...估计摸到白球的概率为0.8,

设白球有％个，根据题意，

得：-^=0.8,

4+x

解得x=16,

经检验x=16是分式方程的解，

...估计箱子里白色小球的个数为16.

故答案为：16.

11.如图，将VA3C的A3边与刻度尺的边缘重合，点A，D,8分别对应刻度尺上的整数刻度.已知

DE//AC,EF//AB，AF=1.8cm,则AC=.

【解析】

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，先读数得到

AD=4cm,AB=10cm,BD=6cm,再证明四边形ADEF是平行四边形，得到EF=AD=4cm,

ioA

DE==1.8cm,证明利用相似三角形的性质得到一：一=一，解方程即可

1.8+CF10

得到答案.

【详解】解：由题意得，AD=4cm,AB=10cm,BD=6cm,

•••DE//AC,EF//AB，

•••四边形ADEF是平行四边形，

EF=AD=4cm,DE=AF=1.8cm,

,/DE//AC,

：.Z\BDES&BAC,

,DEBD1.86

.•---=----,即on---------=—,

ACAB1.8+CF10

解得CF=L2,

经检验，CE=1.2是原方程的解，

AC-CF+AF-3cm,

故答案为：3cm.

VY1

12.如图，在平面直角坐标系中，直线丁=履+6与y轴交于点C,与反比例函数y=—在第一象限内的图

X

象交于点2,连接05,若S«OBC=9,tanZBOC=1,则相的值是.

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，正切的含义，解题的关键是作辅助线构造直角二

角形.先根据直线求得点C的坐标，然后根据JOBC=9求得比）=3,然后利用正切的定义求得

OD=9,从而求得点B的坐标，求得结论即可.

【详解】解：：直线，=区+6与＞轴交于点C,当x=0时，y=6,

...点C的坐标为（0,6）,

OC-6,

过3作瓦）_Ly轴于

：s△C即7oC7=9,

BD-3,

tanZBOC=-,

3

・BD_l

••=一，

OD3

OD=9,

...点B的坐标为（3,9）,

VY1

・・,反比例函数y=一,在第一象限内的图象经过点b

x

m=3x9=27.

故答案为：27.

13.如图，VABC为等腰三角形，AB=AC=5,BC=8,以AB为斜边作RtaADB,ZADB=90°,

tanZABD=-,连接。，交AB于点E,则跖=.

2

【解析】

【分析】先求解BD=2亚，如图，过A作AM,3c于M，过。作于E，过C

作CGLAB于G,求解£>[="*=解BF=4,AF=5-4=1,证明8扬=。以=4,求解

AB

AM=V52-42=3>CG=^,进一步求解尸G=AF+AG=1+Z=U,证明

AB555

△DFEs^CGE,再利用相似三角形的性质解答即可.

【详解】解：：NAZ)5=90。，tanZABD=-

2

AD:5D:AB=1:2：A/5.

,：AB=5,

:.AD=5BD=2A/5，

如图，过A作AM,5c于M,过。作OF_LAB于E,过C作CGLA6于G,

...DF="郊。=，义;4=2，跖=J(2扃—22=4,AF=5-4=1,

"：AB=AC=5,BC=8,AMYBC,

,•BM=CM=4,AA/=-\/52-42=3,

_BCAM24

-—AB_-y

712

...FG=AF+AG=l+-=—,

55

,：ZDFE=ZCGE=90°,ZDEF=ZCEG,

ADFESACGE,

EFDF_2_5

EG-CG24-12-

T

512

...EF=—FG=—,

1717

12QQ

/.BE=BF+EF=4+—=—；

1717

QQ

故答案为：—

17

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与

性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.

三、解答题（共7小题，共计61分）

3

14.计算：2cos45。tan30°cos30°4-sin260°.

2

【答案】行

【解析】

【分析】将特殊角的三角函数值代入求解.

【详解】解：原式=2义*言

si3

4

=A/2•

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值.

15.甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根

脉.小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母表示，正面

文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放

好.

ABCD

（1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的文字是“文”的概率为；

（2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，

求两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率.

【答案】⑴！

⑵-

6

【解析】

【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：

（1）根据概率计算公式求解即可；

（2）先列表或画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果

数，最后依据概率计算公式求解即可.

【小问1详解】

解：•.•一共有4张卡片，卡片上的文字是“文”的卡片有1张，且每张卡片被抽到的概率相同,

，小明从中随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的文字是“文”的概率为

故答案为：—

4

【小问2详解】

解：解法一：画树状图下：

开始

由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种,

21

P（两人抽取卡片恰好组成“文明”一词）=—=—.

126

解法二：列表如下:

文明自由

文（文，明）（文，自）（文，由）

明（明，文）（明，自）（明，由）

自（自，文）（自,明）（自，由）

由（由，文）（由，明）（由，自）

由表可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，P（两人抽取

的卡片恰好组成“文明”一词）=2=」.

126

16.综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知

CD=6m,CD的坡度为i=1：6,点E,C,A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔

顶部B的仰角为45°,在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°.

（1）求DE的长；

（2）求塔A3的高度.（结果保留个位）

（参考数据：tan27°n0.5,6~1.7）

【答案】（1）3m

（2）11m

【解析】

【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三

角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键.

（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；

（2）设A5=/z,分别在RtVDCE和Rt^C4中，利用锐角三角函数定义求得EC=3JLCA=h,

过点。作垂足为可证明四边形OE4F是矩形，得到=E4=（/z+3j，）m,

FA=DE=3m.在RtABZ加中，利用锐角三角函数定义得到5尸=OFtanN5£）产，然后求解即可.

【小问1详解】

解：在RtVDCE中，CD的坡度为，=1：、回，CD=6m,

:.ZDCE=30°,

.•.DE」CD=3.

2

即DE的长为3m.

【小问2详解】

解：设AB=/z,

在RtVQCE中，cosZDCE=—

CD

•••EC=CD•cosNDCE=6xcos30°=3也■

AB

在RJ5C4中，由tanZBCA=——，AB=h,ZBG4=45°,

CA

则C4=AB=h

tan45°

•••EA=C4+EC=〃+3技

即E4的长为,+38)m.

如图，过点。作DFLAB,垂足为F.

B

ECA

根据题意，ZAED=AFAE=ADFA=90°,

••・四边形DEAF是矩形.

DF=EA={h+3^/3jm,FA=DE=3m.

可得&=AB_E4=(/z_3)m.

BF

在RtABD尸中，tanZBDF=——,ZBDF=27°,

DF

BF=DF-tanZBDF.即/z—3=(//+373)-tan27°.

_3+3y/3xtan2703+3x1.7x0.5口伍)

1—tan27。1-0.5

答：塔AB的高度约为11m.

（1）请你用无刻度的直尺和圆规，作线段AC的垂直平分线，分别交ADBC于点、M、N,交AC于点

0(不写作法、保留作图痕迹)；

(2)判断四边形AMQV的形状，并说明理由；

(3)若AC，A3,BC=10,则四边形AMCN的周长为.

【答案】(1)见解析(2)四边形AMCN是菱形，理由见解析

(3)20

【解析】

【分析】(1)分别以4C为圆心，大于长为半径作弧，在线段AC两侧分别得到一个交点，连接

2

两个交点，交A。、5C于点M、N,AC交于点。即可；

(2)四边形AMCN是菱形，连接AN,CM,根据平行四边形的性质结合，是AC的垂直平分线，

证明△AOMgACON(AAS),得到。0=ON,即可证明；

(3)证明△ABCSAONC,求出CN=^3C=5,再根据四边形AMCN是菱形，即可解答.

2

【小问1详解】

连接AN,CM,

•••四边形ABCD是平行四边形,

：.AD//BC,

：.ZAMO=ZCNO,ZCAM=ZACN,

•••MN是AC的垂直平分线，

OA-OC,

△AOM^ACCW(AAS),

...OM=ON,

•:ACLMN,

四边形AMCN是菱形；

【小问3详解】

解：;ACAC±MN,

.\AB\\MN,

.AABC^^ONC,

BCAC

"GV-OC)

OA=OC,5c=10,

BCACc

•——2，

CNOC

.CN=LBC=5,

2

四边形AMQV是菱形，

.四边形AMCN的周长为4x5=20.

【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及三角形相似的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性

质，三角形全等的判定与性质，垂直平分线的作法及性质，熟练掌握菱形的判定与平行四边形的性质是解

题的关键.

18.根据以下素材，完成探索任务.

探索果园土地规划和销售利润问题

某农户承包了一块长方形果园ABCD,图1是果园

的平面图，其中A5=200米，3c=300米.准备

素在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为

材2尤米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部

1分种植水果.

出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12

(图D

米，且不小于5米.

该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场

调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销

素售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草

材莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定

2降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可

多销售500平方米草莓.果园每月的承包费为2万

图⑵

元.

问题解决

（1）请直接写出纵向道路宽度X的取值范

任

围.

务解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响.

（2）若中间种植的面积是44800m2,则路

1

面设置的宽度是否符合要求.

任（3）若农户预期一个月的总利润为52万

解决果园种植的预期利润问题.

务元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少

（总利润=销售利润-承包费）

2元？

【答案】（1）5<x<12；（2）符合要求；（3）40元

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键

（1）由“道路宽度x不超过12米，且不小于5米”，可得出x的取值范围；

（2）根据中间种植的面积是44800m2,可列出关于尤的一元二次方程，解之可得出x的值，结合（1）的

结论，即可得出路面设置的宽度符合要求；

（3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为（100-y）元，每月可售出

5000+]x500=（5000+100y）平方米草莓，再根据总利润=销售利润-承包费列出方程求解即可.

【详解】解：（1）根据题意得：5<x<12；

（2）根据题意得：（300-2x）（200-2x2x）=448。。，

整理得：%2-200%+1900=0-

解得：%=10,x2=190(不符合题意，舍去)，

V5<%<12,

路面设置的宽度符合要求；

(3)设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为(100-y)元，每月可售出

5000+1x500=(5000+100y)平方米草莓，

根据题意得：(100-y)(5000+100y)-20000=520000,

整理得：/—50y+400=0,

解得：％=1°，%=4°,

又•.•要让利于顾客,

y=40.

答：每平方米草莓平均利润下调40元.

19.请阅读信息，并解决问题:

问题芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品

深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥一芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的

一个拱，其外形酷似竖琴.桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆

查询信(俗称“琴弦”)此段桥长120米，拱高25米.

息

WK

CEHDB

如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，A,8分别表示是桥的起点和终点，桥

拱可看成抛物线，拱的两端C,。位于线段A3上，且AC=50.一根琴

处理信

弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在08两侧，每侧各8

息

根.记离拱端C最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3

根，…07/为第9根，…