高中数学分层练习（中档题）06：三角函数与解三角形（30题）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page66页，共=sectionpages66页三角函数与解三角形一、单选题1．若锐角满足，则的值为（

）A． B． C． D．2．已知，且，则A． B．C． D．3．函数的图象与直线的交点个数为（

）A．1 B． C．5 D．4．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（

）A． B． C．1 D．05．已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（

）A．B．关于点对称C．在区间上的最大值为D．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称6．已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（

）A． B． C． D．7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（

）A．3 B．C． D．38．已知函数的定义域为，且满足恒成立，若，则的值可能是（

）A．6 B．7 C．8 D．99．已知，且，则（

）A． B．2 C． D．或210．已知，若满足，则（

）A． B． C． D．二、多选题11．函数的最小正周期为，则（

）A．的值为2B．是函数图象的一条对称轴C．函数在单调递减D．当时，方程存在两个根，则12．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的最小正周期为B．图象的一个对称中心为C．的单调递增区间是D．把函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得到函数的图象13．在中，，，，的角平分线交于，则（

）A．是钝角三角形 B．C． D．14．已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．在上单调递增B．关于的方程在上有2个相异实根C．的图象关于点对称D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数15．对于函数和，下列说法中正确的有（

）A．与有相同的最小正周期B．图象可由图象向左平移个单位得到C．与存在相同的零点D．与的图象存在相同的对称轴16．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为2B．函数的图象可以关于点对称C．函数的图象可以关于直线对称D．若函数在区间上存在两个零点，则17．如图，直线与函数的部分图象交于三点（点在轴上），若，则下列说法正确的是（

）

A．B．C．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象D．当时，18．已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（

）A． B． C． D．19．已知，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则20．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的图象关于直线对称 B．的周期为C．是的一个对称中心 D．在区间上单调递减三、填空题21．已知函数关于点中心对称，则．22．已知函数，有两个不同的零点，则m的最大值为.23．已知向量，则的最大值为.24．已知函数的部分图象如图所示，则正确的有．①的最小正周期为②当时，的值域为③将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象④将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称25．已知，.求.26．已知，则.27．已知，则.28．已知，且满足，则．29．已知，则函数的最小值为．30．已知函数的部分图象，如图所示，其中，若，则.关注公众号《品数学》，获取更多实用性资料！答案第=page2323页，共=sectionpages1717页《三角函数与解三角形》参考答案题号12345678910答案ADCBDACBBC题号11121314151617181920答案ADABCBCABABABDADACBCABD1．A【分析】应用同角三角函数关系结合二倍角正弦得出，再应用二倍角余弦公式得出，最后得出正切即可.【解析】且平方得，又，故选：A．2．D【分析】首先利用三角函数正切函数的和差公式计算判定BD，再运用正切函数性质，放缩判定AC.【解析】，则，则，整理得到.因此.故B错误，D正确.，则，.则.且.解得.同理得，则，因此得，则.故AC错误.故选：D.3．C【分析】应用题意计算得，再结合正弦函数的性质判断即可.【解析】求函数的图象与直线的交点，可得，，即得，令,根据正弦函数的性质得有1个解，有2个解，有2个解，所以共有5个解，函数的图象与直线的交点个数为5.故选：C.4．B【分析】根据图象求出的解析式，再由图象平移确定的解析式，进而求函数值.【解析】由图知，则，由，则，可得，又，则，故，由题意，故.故选：B5．D【分析】A选项，利用辅助角公式化简，然后利用周期公式求；B选项，利用代入检验法判断；C选项，利用换元法求最值；D选项，根据图象的平移得到平移后的解析式，然后判断即可.【解析】对A，，因为的最小正周期为，所以，解得，故A错；对B，，所以不关于对称，故B错；对C，，则，所以当时取得最大值，最大值为2，故C错；对D，平移后的解析式为，关于轴对称，故D正确.故选：D.6．A【分析】由幂函数的单调性结合不等式求出，再由同角的三角函数和二倍角的正弦计算即可；【解析】由题意可得，解得，又，所以，所以，，所以，所以，所以，即，因为，，所以，所以，所以.故选：A.7．C【分析】由向量平行的坐标表示结合余弦定理可得，再由三角形的面积公式求解即可；【解析】因，，且，所以，化为.所以，解得.所以.故选：C.8．B【分析】先使成立，那么满足及在处单调递减的函数即为可能的，先作出、及的图象观察，总结出在上的单调区间个数即为的值，的首个单调区间和最后一个单调区间均为单调递增区间，位于单调递减区间内，分别画出四个选项的图象，得到答案.【解析】为便于讨论，我们先使成立，那么满足及在处单调递减的函数即为可能的，可以先作出、及的图象观察，其中和无法满足所有条件，满足条件．进一步的，可以发现，在上的单调区间个数即为的值，相邻单调区间的单调性相反，且满足的首个单调区间和最后一个单调区间均为单调递增区间，位于单调递减区间内．故时，图象如下：显然不满足，时，图象如下：满足要求，时，图象如下：显然，不满足要求，时，如图如下：显然不满足要求，故选：B9．B【分析】由二倍角公式和两角差的正弦公式得，再根据同角三角函数的平方关系和的范围，分别求出和，再由商数关系得到.【解析】由二倍角公式得，由两角差的正弦公式得，因为，所以，又因为，所以，所以，联立得或，因为，所以，所以，所以.故选：B.10．C【分析】先确定和的零点，使两者的零点重合，通过比较系数，可令，进而可求得的值，然后再验证即可.【解析】令，解得，令，解得，为了使，的零点应该与零点重合，所以，令，可得，因为，所以可取或，当时，，因为，所以明显在同区间内，除零点外两者同号，舍去；当时，，因为，所以明显在同区间内，除零点外两者异号，符合题意.所以.故选：C11．AD【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，根据最小正周期为可得选项A正确；根据可得选项B错误；令，分析函数的单调性可得选项C错误；把问题转化为直线与函数图象交点个数问题可得选项D正确.【解析】A.由题意得，，由得，，A正确；B.由A得，，故，∴不是函数图象的一条对称轴，B错误；C.令，当时，，根据函数在上不是单调递减函数，可得C错误.D.令，由得，，由得，，问题转化为直线与函数的图象在区间上有两个交点，结合图象可得，故，即，D正确.故选：AD.12．ABC【分析】利用正弦函数的周期公式判断A；求出对称中心判断B；求出单调递增区间判断C；利用三角函数图象的变换规则判断D.【解析】对于A：因为，所以周期，故A正确；对于B：令，得，时可得该函数图象的一个对称中心为，故B正确；对于C：由，解得，的单调递增区间为，故C正确；对于D：把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得到，故D错误，故选：ABC．13．BC【分析】根据三角形内角和为可求出角，即可判断选项A，根据正弦定理可判断B和D，根据三角形的角度可到选项C.【解析】对于A，因为，，所以，三个角度都小于，所以是锐角三角形，选项A错误；对于B，根据正弦定理，因为，，，得，选项B正确；对于C，因为的角平分线交于，，所以，由选项A可得，则，因为，所以，选项C正确；对于D，在中，根据正弦定理可得，因为，，，，所以，故选项D错误.故选：BC.14．AB【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可.【解析】由的图象得，，解得，所以，又，所以，解得，又，所以，所以，由，解得，即的单调递增区间为，令得，又，所以在上单调递增，故A正确；当，则，令，即，所以在上单调递增，且，所以；令，即，所以在上单调递减，且；所以当时，在上有两个不相等的实根，故B正确；因为，所以的图象关于直线对称，故C错误；将的图象向左平移个单位长度，得的图象，显然为奇函数，故D错误．故选：AB15．AB【分析】对于，分别求解与的最小正周期即可判断；对于，将图象向左平移个单位得到函数解析式即可判断；对于，求解的零点代入即可判断；对于，求出的对称轴方程代入即可判断.【解析】对于，的最小正周期为，的最小正周期为，所以与有相同的最小正周期，故正确；对于，图象向左平移个单位，可得，故正确；对于，令，，则，，所以的零点为，，，故错误；对于，的对称轴方程为，，所以，，所以，故错误.故选：.16．ABD【分析】对A，根据辅助角公式化简判断即可；对B，根据对称点公式求解即可；对C，根据对称轴公式求解即可；对D，令，可得，再结合区间求解即可.【解析】对于A，，所以的最大值为2，故A正确．对于B，若的图象关于点对称，则，得，当时，，符合，故B正确．对于C，若的图象关于直线对称，则，得，易知当时，，当时，，与不符，则C错误．对于D，令，则由，得，由，得，由，得，所以，解得，又，所以，故D正确．故选：ABD17．AD【分析】对A，根据过判断即可；对B，由相邻可得，，再根据求解；对C，由的函数解析式与平移变化分析即可；对D，根据正弦函数的值域判断即可.【解析】对A，由过可得，即，由图结合可得，故A正确；对B，由可得，即或，由相邻可得，，故，又，则，可得，故B错误；对C，由AB可得，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，故C错误；对D，当时，，故，则，故D正确.故选：AD18．AC【分析】由已知可得，进而利用三角恒等变换可得，分，两种情况讨论，结合三角形的面积公式即可求解．【解析】，且，，即，又，，即．当时，可得，；当时，，由正弦定理可知，为等腰三角形，又．．综上可知，的面积为或．故选：AC.19．BC【分析】根据正弦函数单调性判断A，根据余弦函数单调性判断B，根据诱导公式及同角三角函数关系判断C，根据诱导公式判断D.【解析】因为在上不单调，所以，则不成立，故A错误；因为在上单调递减，所以，则成立，故B正确；因为，所以，故C正确；因为，，所以或，即或，故D错误.故选：BC20．ABD【分析】先用倍角公式合并，再作出图象，利用图象性质进行判断.【解析】，画出函数图象，如图所示：

根据图象，过最值点和零点的垂线都是对称轴，，所以的图象关于直线对称，故A正确；函数周期，故B正确；，则是的一个对称轴，无对称中心，故C错误；当时，，此时，且单调递减，故D正确.故选：ABD.21．【分析】由对称中心求得，再通过诱导公式可求的值.【解析】令，可得：，结合，令，可得，得，解得，所以，所以.故答案为：.22．【分析】令，化简，由求出，分别求出和在上的前两个根，作出图像，结合图像即可得出答案.【解析】令，因为，所以，所以，所以，所以，令，解得：或，如图所示，

因为在上的前两个根分别为，在上的前两个根分别为，因为函数在有两个不同的零点，所以，所以m的最大值为.故答案为：.23．【分析】首先表示出的坐标，再根据向量模的坐标表示、三角恒等变换公式及余弦函数的性质计算可得.【解析】因为，所以，所以，所以当，即时取得最大值，且.故答案为：24．①④【分析】由图象及三角函数的性质可得函数的解析式，进而判断出所给命题的真假．【解析】对于①：由图可知：，故①正确；由，知，因为，所以，所以，即，，又因为，所以，所以函数为；对于②：当时，，所以，故②错误；对于③，由题意得到的图象，故③错误；对于④：由题意得到的图象，因为当时，，可得到的图象关于点对称，故④正确．故选：①④．25．【分析】构造函数，根据函数的奇偶性求出即可得解.【解析】令，则的定义域为，因为，所以为奇函数，从而，即，因为，所以.答案：.26．【分析】利用正弦函数的和角公式以及辅助角公式，整理化简等式，再利用诱导公式以及余弦的二倍角公式，可得答案.【解析】因为，即，所以.故答案为：27．/【分析】利用诱导公式，即可求出答案.【解析】因为，所以.故答案为：.28．【分析】应用同角三角函数关系结合两角差