微专题 二次函数的最值与取值范围问题

数学

贵州专版2025第三章函数微专题二次函数的最值与取值范围问题(8年4考：2023·24(2)(3)，2022·24(3)，2021·24(3)，2019·24(3))栏目导航对称轴确定时的最值问题类型一对称轴不确定时的最值问题类型二考向1

不限定自变量范围求最值例1关于二次函数y＝x2＋4x－7的最大(小)值，叙述正确的是(

)A.当x＝2时，函数有最大值B.当x＝2时，函数有最小值C.当x＝－1时，函数有最大值D.当x＝－2时，函数有最小值典例精析典例精析对称轴确定时的最值问题类型一D对二次函数表达式进行配方，根据二次函数的性质求解.例2二次函数y＝－(x－2)2－3，当x＝____时有最____值______.观察其表达式，根据二次函数的性质求解.2大－3考向2

限定自变量范围求最值或函数取值范围例3已知函数y＝－x2－2x＋5，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值和最小值，并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量x的值：(1)x≤－2；解：根据题意，画出y＝－x2－2x＋5的简图如图所示.∵y＝－x2－2x＋5＝－(x＋1)2＋6，∴当x＝－1时，函数y最大等于6.∵x＜－1时，y随x的增大而增大，∴x≤－2时，在x＝－2处取最大值y＝－(－2)2－2×(－2)＋5＝5.(2)x≤2；解：当x≤2时，则x＝－1时有最大值y＝6.(3)－2≤x≤1；解：当－2≤x≤1时，则x＝－1时有最大值y＝6；x＝1时有最小值y＝2.(4)0≤x≤3.解：当0≤x≤3，则x＝0时有最大值y＝5；x＝3时有最小值y＝－10.1.画简图.2.观察图象，描出最高点和最低点.考向3

限定自变量范围求参数的值或取值范围例4二次函数y＝－x2－2x＋c在－3≤x≤2的范围内有最小值－5，则c的值是_______.二次函数对称轴为x＝－1，a＜0，x的值离对称轴越远，y的值越小.3例5当m≤x≤m＋1，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则m的值为_______.－1或2利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当m≤x≤m＋1时函数有最小值1，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论.1.当0≤x≤m时，函数y＝－x2＋4x－3的最小值为－3，最大值为1，则m的取值范围是(

)A.0≤m≤2

B.0≤m＜4

C.2≤m≤4

D.m≥22.已知关于x的二次函数y＝x2－4x＋m在－1≤x≤3的取值范围内最大值为7，则该二次函数的最小值是_________.对应练习C－2方法指导位置a＞0a＜0范围在对称轴左侧

最大值为ym，最小值为yn

最大值为yn，最小值为ym范围跨越对称轴

在对称轴处取得最小值，m和n中距离对称轴较远处取得最大值在对称轴处取得最大值，m和n中距离对称轴较远处取得最小值方法指导范围在对称轴右侧最大值为yn，最小值为ym最大值为ym，最小值为yn考向1

已知开口方向型例6已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数).(1)当b＝2，c＝－3时，求二次函数的最小值；典例精析典例精析对称轴不确定时的最值问题类型二解：当b＝2，c＝－3时，二次函数的表达式为y＝x2＋2x－3，即y＝(x＋1)2－4，∴当x＝－1时，y有最小值－4.(1)利用配方法得到y＝(x＋1)2－4，然后根据二次函数的性质解决问题；(2)当c＝5时，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为－5，求b的值.

(1)由配方法可求顶点坐标；(2)判断该二次函数图象与x轴交点的个数，并说明理由；解：当a＝1时，有1个交点；当a≠1时，有2个交点.理由：∵Δ＝(a＋1)2－4a×1＝(a－1)2≥0，∴当a＝1时，有1个交点；当a≠1时，有2个交点.(2)由根的判别式可求解；

(3)分a＞0或a＜0两种情况讨论，结合离对称轴的远近可求解.1.这种形式的二次函数的对称轴是变动的，而自变量的取值范围是固定的，要求其最值，需要讨论对