专题5　二次函数综合题

数学

贵州专版2025第二部分

贵州中考专题突破专题五二次函数综合题栏目导航二次函数性质综合题类型一二次函数几何综合题类型二二次函数性质综合题(8年2考：2022·24，2019·24)类型一例1如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴相交于点C.(1)求此抛物线的表达式；典例精析典例精析解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，∴y＝a(x－1)(x－3)＝ax2－4ax＋3a.∴3a＝3，即a＝1.∴抛物线表达式为y＝x2－4x＋3.已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过点A(1，0)和点B(3，0)，代入即可求解.(2)若P是直线BC下方的抛物线上一动点(不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m.①用含有m的代数式表示线段PD的长；

∴直线BC表达式为：yBC＝－x＋3.设P(m，m2－4m＋3)，∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，∴D(m，－m＋3).∴PD＝(－m＋3)－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m.②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标.

①求出点C坐标及BC表达式，根据过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，即可用含m的代数式表示出点P和D的坐标，进而求解；②用含m的代数式表示出△PBC的面积，可得S是关于m的二次函数，即可求解.1.(2024毕节三模)如图1，是一间学校体育场的遮阳棚截面图，某校数学兴趣小组学习二次函数后，受到该图启示设计了一个遮阳棚截面模型，它的截面图是抛物线的一部分(如图2所示)，抛物线的顶点在C处，对称轴OC与横梁AB相互垂直，且CO＝5，AB＝10.针对训练(1)建立如图2平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；

(2)若为了使遮阳棚更加牢固，在遮阳棚内部设计了一个矩形框架(如图2所示)，且DE∶EF＝4∶3，求EF的长；

(3)根据(1)中求解得到的函数表达式，若当p≤x≤p＋1时，函数的最大值与最小值的差为1，求p的值.

角度1

特殊三角形存在性问题1.求二次函数与等腰三角形(含等边三角形)存在性问题中的动点坐标二次函数几何综合题(8年2考：2018·25，2017·25)类型二核心技法题目类型典型问题基本模型(找点)基本方法两定一动已知点A，点B坐标，在x轴上取点C，使得△ABC是等腰三角形两圆一线1.两圆：分别以点A，B为圆心，以线段AB为半径作圆，与x轴交点即为满足条件的点C，有AB＝AC，BA＝BC2.一线：作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA＝CB代数法几何法设点C坐标(m，0)，利用两点间的距离公式表示三边，借助三边两两相等，分情况：①AB＝BC，②AB＝AC，③BC＝AC，列方程计算即可注意：需排除三点共线的情况构造直角三角形，利用勾股定理求解

注意：需排除三点共线的情况一定两动先分析完整的动态过程，再抓住固定的角，在每一个象限内分情况讨论，一种情况是定角作为底角，一种情况是定角作为顶角2.求二次函数与直角三角形存在性问题中的动点坐标题目类型典型问题基本模型(找点)基本方法两定一动已知点A，点B的坐标，在x轴上找一点C，使得△ABC是直角三角形一圆两线1.两线：分别过点A，B作AB的垂线，垂线与x轴的交点即为所求的点C2.一圆：以线段AB为直径作圆，圆与x轴的交点即为所求的点C代数法几何法设点C的坐标为(m，0)，利用两点间的距离公式表示三边，借助勾股定理，分情况：①AB2＝AC2＋BC2，②AC2＝AB2＋BC2，③BC2＝AB2＋AC2，列方程，计算即可过锐角顶点向直角顶点所在的直线作垂线，构造相似或全等的直角三角形

两动一定利用垂直构造直角三角形，找到固定的角，然后根据直角顶点或斜边分类讨论例2(2024眉山)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－3，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，点D在抛物线上.(1)求该抛物线的表达式；

把A(－3，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c求解即可.(2)当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标；

(3)在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

第一步：求出A(－3，0)，B(1，0)，直线BC表达式为y＝－3x＋3；第二步：设P(m，－3m＋3)，D(n，－n2－2n＋3)，过点P作PN⊥y轴于点N，过点D作DM⊥y轴于点M；第三步：分情况分别画出图形，根据等腰直角三角形性质和全等三角形判定与性质解答即可.2.(2024达州)如图1，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点.(1)求抛物线的表达式；针对训练解：由题意，得y＝a(x＋3)(x－1)＝a(x2＋2x－3)＝ax2＋bx－3，解得a＝1，b＝2，∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3.(2)如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标；解：由抛物线的表达式知，点C(0，－3)，D(－1，－4)，抛物线的对称轴为直线x＝－1，过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线LP∥AC交抛物线于点P，则点P为所求点，如图，由点A，C坐标，得直线AC的表达式为y＝－x－3.∵DG∥AC，∴直线DG的表达式为y＝－(x＋1)－4.∴点G(0，－5)，则CG＝5－3＝2，则CL＝4.∴点L的坐标为(0，1).∴直线LP的表达式为y＝－x＋1.联立上式和抛物线的表达式，得x2＋2x－3＝－x＋1，解得x＝1或x＝－4.即点P(1，0)或(－4，5).(3)若N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

角度2

相似三角形的存在性问题核心技法题目类型典型问题基本方法“两个定三角形”判定相似

设A(xA，yA)B(xByB)，C(xC，yC)已知一角相等，证相似等角分显性和隐性，方法如下：①运用两点间的距离公式求出已知角的两条边，若是“相似”，对应边成比例有两种情况，分类求解；②利用定角定比结论，即确定的角，其三角函数值确定，巧用三角函数求解没有角相等，证相似运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长，看是否成比例.若成比例则相似，否则不相似题目类型典型问题基本方法“一定一动”两三角形相似如图，在抛物线上是否存在点P，使△AOC与△ACP相似

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，P(m，n)已知有一个角相等的情形①把动点坐标表示出来(用字母表示)；②让形成相等的夹角的那两边对应成比例；③列出方程；④解方程，去掉不合题意的点未知是否有一角相等的情形①找特殊角：在定三角形中，先用观察法得出某一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角三角形，用锐角三角函数的方法得出特殊角的度数；②求(动)点坐标：在动点坐标用字母表示后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等，借助特殊角为动点寻找一个直角三角形，求出动点坐标；③再验证：验证已知角的两边是否成比例例3如图，二次函数y＝ax2＋bx＋4交x轴于点A(－1，0)和B(4，0)，交y轴于点C.(1)求二次函数的表达式；典例精析典例精析

把A(－1，0)和B(4，0)代入抛物线表达式得出二元一次方程组求出a，b的值，即可得出二次函数的表达式.

证明△CBN∽△OBM，根据相似三角形的性质求解即可.(3)对称轴交抛物线于点D，交BC交于点E，在对称轴的右侧有一动直线l垂直于x轴，交线段BC于点F，交抛物线于点P，动直线在沿x轴正方向移动到点B的过程中，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

3.(2024内江)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E.针对训练(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；

(2)是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；解：存在点D，使得△BDE和△ACE相似，设点D(t，－t2＋t＋6)，则E(t，－2t＋6)，C(t，0).∴EC＝－2t＋6，AC＝3－t.∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC，∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE.①如答图1，当△ACE∽△BDE时，∠BDE＝∠ACE＝90°，∴BD∥AC.∴点D纵坐标为6.∴－t2＋t＋6＝6.解得t＝0(舍去)或t＝1.∴D(1，6)；

(3)F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合)，过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标.

角度3

特殊四边形存在性问题核心技法题目类型典型问题基本模型基本方法三定一动已知平面内不共线的三点A，B，C(三定)，求一点D(一动)，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形分别过点A，B，C作对边的平行线，三条平行线的交点均为所求点D1.以AC为对角线，平移BA至CD1，确定点D的坐标.2.以AB为对角线，平移CB至AD3确定点D的坐标.3.以BC为对角线，平移AC至BD2确定点D的坐标题目类型典型问题基本模型基本方法两定两动已知平面内的两点A，B(两定)，求坐标轴上的两点C，D(两动)，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形已知两点A，B，求两点C，D，题目中的C，D两动点位置受特殊四边形的条件约束.分两种情况：如图1，若以AB为一边，根据题目约束条件，可将AB进行上下左右平移，找到适合条件的两个点的坐标；如图2，若以AB为对角线，找出AB的中点，旋转AB寻找适合条件的两个点的坐标1.利用平行四边形对边平行且相等，构造全等三角形解决.2.设点C(x，0)，点D(0，y)，利用平行四边形对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等，列方程组解决注意：①探究菱形存在性问题时，一般会用到菱形对角线互相垂直平分、四边相等的性质列关系式；②探究矩形存在性问题时，一般会用到对边相等、对角线相等列关系式求解；或根据邻边互相垂直，利用勾股定理列关系式求解；③探究正方形存在性问题时，一般会用到正方形对角线互相垂直平分且相等的性质列式计算.例4(2024广元)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y＝－x2＋bx＋c经过点A(－3，－1)，与y轴交于点B(0，2).典例精析典例精析(1)求抛物线的函数表达式；

用待定系数法求函数的表达式即可.

(3)作抛物线F关于直线y＝－1上一点的对称图象F'，抛物线F与F'只有一个公共点E(点E在y轴右侧)，G为直线AB上一点，H为抛物线F'对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标.解：由中心对称可知，抛物线F与F'的公共点E为直线y＝－1与抛物线F的右交点，当－x2－2x＋2＝－1时，解得x＝－3(舍去)或x＝1.∴E(1，－1).∵抛物线F：y＝－x2－2x＋2的顶点坐标为(－1，3)，∴抛物线F'的顶点坐标为(3，－5).设G(m，m＋2)，当BE为平行四边形的对角线时，m＋3＝1，解得m＝－2，∴G(－2，0)；当BG为平行四边形的对角线时，m＝3＋1＝4，∴G(4，6)；当BH为平行四边形的对角线时，m＋1＝3，解得m＝2，∴G(2，4)；综上所述，G点坐标为(－2，0)或(4，6)或(2，4).第一步：由中心对称可知，抛物线F与F'的公共点E为直线y＝－1与抛物线F的右交点，求出E(1，－1)，抛物线F'的顶点坐标为(3，－5)；第二步：设G(m，m＋2)，当BE为平行四边形的对角线时，G(－2，0)；