2024北京汇文中学高二（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京汇文中学高二（下）期中数学本试卷共6页，试卷分值为150分.考试时长为120分钟.请考生务必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分.1.集合，，则（）A. B. C. D.2.如图，曲线在点处的切线l过点，且，则的值为（）A. B.1 C.2 D.33.下列函数中，的最小值是2的是（）A. B.C. D.4.已知，，，则（）A. B. C. D.5.已知函数，则（）A.是奇函数，且在上是增函数B.是奇函数，且在上是减函数C.是偶函数，且在上是增函数D.是偶函数，且在上是减函数6.7张卡片上分别写有数字1234567从中随机取出2张，记事件A＝“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件B＝“所取2张卡片上的数字之和小于8”，则＝（）A. B. C. D.7.小明家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果邻居记得浇水，那么花存活的概率为，如果邻居忘记浇水，那么花存活的概率为.已知邻居记得浇水的概率为，忘记浇水的概率为，那么李老师回来后发现花还存活的概率为（）A. B. C. D.8.被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为Hz；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（）A. B. C. D.9.已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件10.设函数的定义域为，如果，，使得成立，则称函数为“函数”.给出下列四个函数：①；②；③；④，则其中“函数”共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分.11.函数的定义域是____________．12.已知函数则________；的值域为_______．13.若函数存在极值点，则实数a的取值范围为________．14.甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率是______________．15.如图，将一边长为的正方形铁皮四角各截去一个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起，得到一个无盖长方体容器，若要求所得容器的容积最大，则截去的小正方形边长为___________.16.已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：①对于任意，函数存在最小值；②对于任意，函数是上的减函数；③存在，使得对于任意的，都有成立；④存在，使得函数有两个零点.其中正确命题的序号是______.三、解答题：本题共5个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数（1）求函数在上的最大值和最小值；（2）求证：当时，函数的图象在的下方．18.某学校食堂为了解师生对某种新推出的菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了20人，得到师生对该菜品的满意度评分如下：教师：6063656769757777797982838687899293969696学生：4749525455576365666674747577808283849596根据师生对该菜品的满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的概率．（1）设数据中教师和学生评分的平均值分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（结论不要求证明）；（2）从全校教师中随机抽取3人，设X为3人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；（3）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率．19.网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下：A组：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30B组：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.（1）从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；（2）从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为，估计的数学期望；（3）从组和组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小.（结论不要求证明）20.已知函数.（1）若曲线在处的切线方程为，（ⅰ）求和的值；（ⅱ）求函数的单调区间和极值；（2）当时，求函数的极值点的个数.21.由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合满足：对任意的正整数，都存在集合的两个子集，使得成立，则称集合为“满集”.（1）分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由；（2）若集合为“满集”，求的值；（3）若是首项为，公比为的等比数列，判断集合是否为“满集”，并说明理由.

参考答案一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分.1.【答案】D【分析】先求得集合，再根据补集及并集的定义即可求解.【详解】由题意，解得集合，又因为集合，所以，所以.故选：D.2.【答案】C【分析】利用已知条件求出切线方程，然后利用切点既在曲线上又在切线上，将代入切线方程可求得．【详解】由题意可得在处的切线方程为：因为切点在曲线上也在切线上，所以本题正确选项：【点睛】本题考查曲线的切线方程的求法与应用，是基本知识的考查，关键是明确切点既在切线上又在曲线上．3.【答案】C【分析】对于A：取特殊值，代入后否定结论；对于B：取特殊值，代入后否定结论；对于C：利用导数判断单调性，求出最小值；对于D：根据基本不等式利用的条件“一正二定三相等”进行判断.【详解】对于A：的定义域为.取特殊值，代入得y=-2<2.故A错误；对于B：的定义域为.取特殊值，代入得y=e-1<2.故B错；对于C：的定义域为R..令，解得；令，解得；所以在上单减，在上单增，所以当时，y取得最小值2.故C正确；对于D：.令，则.所以，当，记时取最小值，但是，所以的最小值不能取得.故D错误.故选：C4.【答案】A【分析】利用指数函数和对数函数的单调性以及它们经过的定点，就可以作出判断.【详解】由指数函数的单调性可知：，且，再由对数函数的单调性可知：，由此可知，故选：A.5.【答案】C【分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用复合函数单调性法则判断单调性，结合选项可得结果.【详解】，是偶函数；当时，，设，则在上单增，又为增函数，所以在上单增，是偶函数，且在上是增函数.故选：C.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（为偶函数，为奇函数）.6.【答案】A【分析】可将事件A＝“所取2张卡片上的数字之和为偶数”的所有情况全部列出来，再找出其中满足事件B＝“所取2张卡片上的数字之和小于8”的数目，然后求出概率.【详解】解：所取2张卡片上的数字之和小于8的情况有（1,3）、（1,5）、（1,7）、（3,5）、（3,7）、（5,7）、（2,4）、（2,6）、（4,6），共9种，其中和小于8的情况有（1,3）、（1,5）、（2,4），共3种所以故选A.【点睛】本题主要考查条件概率的求法，事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率公式为，不过对于一些情况总数不多的情况采用穷举法更加方便.7.【答案】C【分析】由全概率公式即可得到答案.【详解】设事件：邻居记得浇水，事件：邻居忘记浇水，事件：花存活，则有，，，，由全概率公式可得，故选：C.8.【答案】D【分析】根据定义，代入数据分别求和，再根据换底公式计算的值.【详解】由条件可知，，.故选：D9.【答案】A【分析】对求导，分a＝0和a≠0讨论的单调性，即可求出a≠0时，在x＝－1处取得极小值，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】.①当a＝0时，，故在R上单调递增，无最小值.②当a≠0时，令，得x＝－1或.又，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.故在x＝－1处取得极小值.综上，函数在x＝－1处取得极小值.所以“”是“函数在x＝－1处取得极小值”的充分不必要条件.故选：A。10.【答案】D【分析】利用已知条件可知满足“函数”的条件是值域关于原点对称，从而研究四个基本函数的值域就可以作出判断.【详解】由函数的定义域为，如果，，使得成立，可知：“函数”的值域关于原点对称，由于的定义域为，值域为，所以它是“函数”；由于的定义域为，值域为，所以它是“函数”；由于的定义域为，值域为，所以它是“函数”；由于的定义域为，值域为，所以它是“函数”；故选：D.二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分.11.【答案】【分析】由被开方数大于等于0与对数真数大于0即可得到结果.【详解】要使函数有意义，则满足：，解得：所以函数的定义域为故答案为：12.【答案】①.1②.【分析】第一空直接代入即可；第二空需分情况讨论（1）求当时的值域，（2）求当时的值域，最后取两值域的并集即可．【详解】解：；当时，，当时，，所以的值域为故答案为：1；．13.【答案】【分析】求导，根据题意知方程有两个不等的实根，可得出，从而得解.【详解】因为，可得，因为函数存在极值点，所以有两不等实根，则，解得或，所以的取值范围是.故答案为：.14.【答案】【分析】判断甲获胜的情况为前两局胜或第一局胜第二局输第三局胜或第一局输第二局胜第三局胜，根据互斥事件的概率加法公式即可求得答案.【详解】因为乒乓球比赛的规则是三局两胜制（无平局），由题意知甲每局比赛获胜的概率都为，因此甲获胜的情况为前两局胜或第一局胜第二局输第三局胜或第一局输第二局胜第三局胜，所以最后甲获胜的概率,故答案为：15.【答案】1【分析】根据题意先设小正方形边长为x，计算出容器体积的函数解析式，再利用导数研究此函数的单调性，进而求得此函数的最大值即可.【详解】设剪去小正方形的边长为x，则容器的容积为：，.令，则(舍去)，.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时铁盒的容积最大，故截去的小正方形边长为1m.故答案为：1.16.【答案】①④【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调性与最值，从而判断即可；【详解】解：定义域为，．当时单调递增，值域为R，所以存在，使，当时，时，所以在上单调递减，在上单调递增，则为函数的最小值，故①正确；若最小值，即，又，即，即时函数有两个零点，令，则，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以存在使得，即存在，使得函数有两个零点，故④正确.当时，恒成立，故是上的增函数，故②错误；因为，当时，当时，则，且当时，所以不存在，使得对于任意的，都有成立，故③错误；故答案为：①④．三、解答题：本题共5个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【答案】（1）的最小值是，最大值是；（2）证明详见解析.【详解】试题分析：（1）先求导数，确定导函数恒大于零，即得函数单调递增，最后根据单调性确定最值，（2）先作差函数，利用导数研究函数单调性，再根据单调性去掉函数最值，根据最大值小于零得证结论.试题解析：(1)因为f(x)＝x2＋lnx，所以因为x>1时，f′(x)>0，所以f(x)在[1，e]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.(2)证明：令，所以因为x>1，所以F′(x)<0，所以F(x)在(1，＋∞)上是减函数，所以.所以f(x)<g(x)．所以当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在的下方．18.【答案】（1）>，<；（2）分布列见解析，数学期望；（3）.【分析】（1）直接判断>，<；（2）经分析X服从二项分布，利用公式求出概率，写出分布列，计算数学期望即可；（3）利用相互独立事件的概率计算公式进行计算.【详解】（1）>，<，，.（2）教师对菜品满意的概率,则随机变量X服从二项分布，即X可取0,1,2,3，且，所以，，，，所以分布列为：X0123P所以数学期望,即数学期望为.（3）记事件C:教师的满意度等级高于学生的满意度等级，用A1、A2、A3分别表示教师对该菜品“不满意”、“满意”、“非常满意”，用B1、B2、B3分别表示学生对该菜品“不满意”、“满意”、“非常满意”，且A1、A2、A3、B1、B2、B3相互独立，则所以.即教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率为.【点睛】(1)求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：①明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；③）按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验.(2)求离散型随机变量的分布列时，要特别注意.随机变量是否服从二项分布、超几何分布等特殊的分布.19.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；（2）由题可知，X的可能取值为0，1，2，再分别求出对应的概率，由期望公式即可求出；（3）根据方差公式计算可知，．【小问1详解】设“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20”为事件，在组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则.【小问2详解】由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为，二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为，可知：X的可能取值为0，1，2，则有：，，，所以．【小问3详解】依题可知，，的可能取值为0，1，2，且，服从超几何分布，，，，，，，因为，，可得，，所以．20.【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）答案见详解（2）答案见详解【分析】（1）（ⅰ）求导，结合导数的几何意义列式求解即可；（ⅱ）求导，利用导数判断的单调性和极值；（2）分和两种情况，令整理可得，构建，利用导数分析的单调性，结合的图象分析的极值点的个数.【小问1详解】因为函数的定义域为，且，（ⅰ）由题意可知：，解得，（ⅱ）此时，，若，则，可得，可知在内单调递减；若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增；综上所述：的单调递减区间为，，单调递增区间为，极小值为，无极大值.【小问2详解】由（1）可知：函数的定义域为，且，若，则，可知在内单调递减，无极值点；若，令