2024北京大峪中学高二（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京大峪中学高二（下）期中数学2024.04考生须知1．本试卷共4页，共三道大题，21个小题．满分150分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校和姓名，并将条形码粘贴在答题卡相应位置处．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题（共40分）一、选择题共10小题，每小题4分、共40分．在每小题四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.数列的前四项依次是4，44，444，4444，则数列的通项公式可以是（）A. B. C. D.2.若，则是“a,b,c,d依次成等差数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为A.24 B.18 C.12 D.64.数列的前n项和为（）A. B. C. D.5.二项式的展开式中含项的系数是A.21 B.35 C.84 D.2806.随机变量的分布列如下表所示：12340.10.3则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.47.在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回的从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（）A. B. C. D.8.下述三个命题中，真命题有（）命题：若数列的前项和，则数列是等比数列；命题：若数列的前项和，则数列是等差数列；命题：若数列的前项和，则数列既是等差数列，又是等比数列．A.个 B.个 C.个 D.个9.对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的.若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论正确的是（）A.若，则数列是无界的 B.若，则数列是有界的C.若，则数列是有界的 D.若，则数列是有界的10.设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的A.充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件第二部分非选择题（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.2和4的等差中项为__________，等比中项为__________．12.随机变量的分布列如下，若，则的值是_______.-10113.为了响应政府推进菜篮子工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地．第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元，每年销售蔬菜的收入为26万元．设表示前n年的纯利润（前n年的总收入前n年的总费用支出投资额），则__________（用n表示）；从第__________年开始盈利．14.已知数列的通项公式为，若对任意的都有，则实数c的取值范围是______．15.已知数列满足，．给出下列四个结论：①数列每一项都满足；②数列是递减数列；③数列的前n项和；④数列每一项都满足成立．其中，所有正确结论的序号是__________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在10件产品中，有3件次品，从中任取5件：（1）恰有2件次品的抽法有多少种？（2）至多有2件次品的抽法有多少种？（3）至少有1件次品的抽法有多少种？（4）至少有2件次品，2件正品的抽法有多少种？17.已知数列是公比为3的等比数列，且是和的等差中项.（1）求的通项公式（2）设，求数列的前n项和.18.某同学参加冬奥会知识有奖问答竞赛，竞赛共设置A，B，C三道题目．已知该同学答对题的概率为，答对题的概率为，答对题的概率为．假设他回答每道题目正确与否是相互独立的．（1）求该同学所有题目都答对的概率；（2）设该同学答对题目总数为X，求随机变量X的分布列与数学期望；（3）若答对，，三题分别得1分，2分，3分，答错均不得分，求该同学总分为3分的概率．19.数列的前n项和记为，已知．（1）求数列的通项公式；（2）求的和．（3）若，则为__________（等差/等比）数列，并证明你的结论．20.为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的抽样调查数据．其中两地区林下灌木层获得数据如表1，表2所示：表1：老山油松人工林林下灌木层植物名称植物类型株数酸枣灌木28荆条灌木41孩儿拳头灌木22河朔荛花灌木4臭椿乔木幼苗1黑枣乔木幼苗1构树乔木幼苗2元宝槭乔木幼苗1表2：妙峰山油松次生林林下灌木层植物名称植物类型株数黄栌乔木幼苗6朴树乔木幼苗7栾树乔木幼苗4鹅耳枥乔木幼苗7葎叶蛇葡萄木质藤本8毛樱桃灌木9三裂绣线菊灌木11胡枝子灌木10大花溲疏灌木10丁香灌木8（1）从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株，求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率；（2）以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株（假设每次抽取的结果互不影响），记这3株植物的植物类型是灌木的株数为，求的分布列和数学期望；（3）从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为．请直接写出与大小关系．（结论不要求证明）21.已知数表中的项互不相同，且满足下列条件：①；②.则称这样的数表具有性质.（1）若数表具有性质，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值；（2）对于具有性质的数表，当取最大值时，求证：存在正整数，使得.

参考答案第一部分选择题（共40分）一、选择题共10小题，每小题4分、共40分．在每小题四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】C【分析】根据题意，分析可得数列的前四项与的关系，综合即可得答案．【详解】根据题意，数列的前四项依次是：4，44，444，4444，则有，，，，则数列的通项公式可以是，故选：C．2.【答案】B【详解】若依次成等差数列，则，即必要性成立若，满足，但依次成等差数列错误，即充分性不成立故选3.【答案】B【详解】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况．4.【答案】A【分析】先将化为，再利用裂项相消法求出它的前项和．【详解】由题意得，，所以数列的前项和，故选：A．5.【答案】C【详解】的系数为：，故选C．6.【答案】C【分析】利用分布列的性质求出的值，然后由概率的分布列求解概率即可．【详解】解：由分布列的性质可得，，可得，所以．故选：C．7.【答案】D【分析】根据古典概型概率公式直接计算可得.【详解】当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，所以第二次抽到次品的概率为.故选：D8.【答案】A【分析】利用与的关系、等差和等比数列定义，结合反例可依次说明各命题的正误.【详解】对于命题，当时，；当且时，，那么当时，数列为，不是等比数列，命题错误；对于命题，当时，；当且时，，此时；那么当时，，数列不是等差数列，命题错误；对于命题，当时，；当且时，；那么当时，数列为，是等差数列，但不是等比数列，命题错误.故选：A.9.【答案】C【分析】根据可知A错误；由可知不存在最大值，即数列无界；分别在为偶数和为奇数的情况下得到，由此可确定，知C正确；采用放缩法可求得，由可知D错误.【详解】对于A，恒成立，存在正数，使得恒成立，数列是有界的，A错误；对于B，，，，即随着的增大，不存在正数，使得恒成立，数列是无界的，B错误；对于C，当为偶数时，；当为奇数时，；，存在正数，使得恒成立，数列是有界的，C正确；对于D，，；在上单调递增，，不存在正数，使得恒成立，数列是无界的，D错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的新定义问题，解题关键是理解数列有界的本质是对于数列中的最值的求解，进而可以通过对于数列单调性的分析来确定数列是否有界.10.【答案】C【详解】试题分析：由题意得，，故是必要不充分条件，故选C.【考点】充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：①定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．②等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．③集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．第二部分非选择题（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】①.3②.【分析】根据等比中项以及等差中项的定义即可求解.【详解】2和4的等差中项为，2和4的等比中项为，故答案为：3，12.【答案】【分析】由离散型随机变量分布列的性质，结合，可以求出，最后利用方差的计算公式求出的值.【详解】由离散型随机变量分布列的性质可知中：，因为，所以有，联立（1）（2），可得：，所以.【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质、离散型随机变量的数学期望和方差的计算公式，考查了数学运算能力.13.【答案】①.②.5【分析】根据题意结合等差数列前项和公式写出的表达式即可，再令即可得解.【详解】由题意可得第年的支出费用为万元，则前n年的总支出费用为，所以，令，解得，又，所以从第年开始盈利．故答案为：；.14.【答案】【分析】将转化为对任意的都成立，分类讨论后可求的取值范围.【详解】由题设可得对任意的都成立，整理得到：对任意的都成立，当时，有，故，当时，有，故，当时，有恒成立，故，故，故答案为：.15.【答案】①②④【分析】利用数学归纳法判断①，通过递推公式，判断出数列单调性，根据取值范围对判断②④，算出即可判断③．【详解】对于①，，，当时，，所以，假设当时，；则当时，，综上，，故①正确；对于②，由，可得数列是递减数列，故②正确；对于③，，，，，，故③错误；对于④，，所以，累加得，所以，，所以，又，故成立，④正确．故答案为：①②④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.【答案】（1）105（2）231（3）231（4）126【分析】（1）利用组合法进行求解；（2）利用分类讨论思想进行求解；（3）利用间接法进行求解；（4）利用分类讨论思想进行求解；【小问1详解】恰有2件次品的抽法有种.【小问2详解】若一件次品都没有则，若只有1件次品，有，恰有2件次品的抽法有种，则至多有2件次品的抽法有种.【小问3详解】若一件次品都没有，则，则至少有1件次品的抽法有种.【小问4详解】若恰有2件次品的抽法有种，若恰有3件次品的抽法有种，则至少有2件次品，2件正品的抽法有种.17.【答案】（1）（2）【分析】（1）由等差中项定义和等比数列的基本量法求得的首项得通项公式；（2）用分组求和法求得和．【小问1详解】是和的等差中项，，数列是公比为3的等比数列，，即，解得，【小问2详解】，.18.【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）.【分析】（1）由独立事件同时发生的概率公式即可求解；（2）可能的取值为，分别求出对应的概率，即可得分布列和数学期望；（3）由独立事件同时发生的概率公式以及互斥事件的概率公式即可求解.【详解】（1）该同学所有题目都答对的概率为，（2）由题意可得：可能的取值为，，，所以X的分布列为：，（3）该同学总分为分得情况为：只答对或只答对，所以该同学总分为3分的概率：.19.【答案】（1）（2）（3）等差，证明见解析【分析】（1）根据的关系即可作差得为等比数列，且公比为，即可利用等比通项求解，（2）根据等比数列求和公式即可求解，（3）根据等差数列的定义即可求解.【小问1详解】由可得，两式相减可得，进而可得，又，解得，故数列为等比数列，且公比为，所以【小问2详解】，所以【小问3详解】，为等差数列，证明如下：为常数，故为等差数列，且公差为20.【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望（3）【分析】（1）根据古典概型概率公式，以及组合数公式，即可求解；（2）根据二项分布概率公式，即可求解；（3）根据两个表格中的植物类型分布的数据，即可求解.【小问1详解】表1中的灌木有株，乔木幼苗有株，共有100株，所以，所以求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率为；【小问2详解】表2中的灌木有株，乔木幼苗有株，木质藤本有8株，抽取1株是灌木的概率为，由题意可知，,，，，，分布列如下，0123；【小问3详解】表1中植物间的数量差距较大，表2中每种植物的数量差不多，所以选出来不同种类，表2的概率更大，所以.21.【答案】（1）满足条件的数表为，的值分别为4，5，5（2）证明见解析【分析】（1）设，确定，且，，列举得到答案.（2）利用反证法，假设存在，使得，考虑和两种情况，推导出最值的矛盾，得到证明.【小问1详解