2025版高考数学大一轮复习第八章立体几何第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图分层演练理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．下列说法正确的有()①两个面平行且相像，其余各面都是梯形的多面体是棱台；②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；③各侧面都是正方形的四棱柱肯定是正方体；④圆锥的轴截面是等腰三角形．A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：选A.①中若两个底面平行且相像，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以①不正确；②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有多数个，所以②不正确；③中底面不肯定是正方形，所以③不正确；很明显④是正确的．2.如图所示是水平放置的三角形的直观图，点D是△ABC的BC边的中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则在原图中三条线段AB，AD，AC中()A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是AD解析：选B.由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB<AD<AC.3．如图所示，上面的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是()A．①② B．②③C．③④ D．①⑤解析：选D.圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件；故截面图形可能是①⑤.4．(2024·惠州市第三次调研考试)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长棱的棱长为()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：选C.依据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V­ABCD，其中VB⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝eq\r(2)，在Rt△VBD中，VD＝eq\r(VB2＋BD2)＝eq\r(3).5．(2024·高考全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10 B．12C．14 D．16解析：选B.由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为eq\f(（2＋4）×2,2)×2＝12，故选B.6．有一个长为5cm，宽为4cm的矩形，则其直观图的面积为________．解析：由于该矩形的面积S＝5×4＝20(cm2)，所以其直观图的面积S′＝eq\f(\r(2),4)S＝5eq\r(2)(cm2)．答案：5eq\r(2)cm27．如图所示的Rt△ABC围着它的斜边AB旋转一周得到的图形是________．解析：过Rt△ABC的顶点C作线段CD⊥AB，垂足为D，所以Rt△ABC围着它的斜边AB旋转一周后应得到是以CD作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体．答案：两个圆锥的组合体8．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有________个．解析：由三视图知该几何体是一个四棱锥，它的一个侧面与底面垂直，且此侧面的顶点在底面上的射影为对应底边的中点，易知其有两个侧面是直角三角形．答案：29.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形．(1)依据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA.解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6cm的正方形，如图，其面积为36cm2.(2)由侧视图可求得PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2)cm.由正视图可知AD＝6cm，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝eq\r(（6\r(2)）2＋62)＝6eq\r(3)(cm)．10.如图所示，在侧棱长为2eq\r(3)的正三棱锥V­ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求△AEF周长的最小值．解：如图，将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面绽开平铺在一个平面上，则线段AA1的长即为所求△AEF的周长的最小值．取AA1的中点D，连接VD，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°.在Rt△VAD中，AD＝VA·sin60°＝3，所以AA1＝2AD＝6，即△AEF周长的最小值为6.1．某几何体的正视图和侧视图如图(1)，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，如图(2)，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为()A．48 B．64C．96 D．128解析：选C.由题图(2)及斜二测画法可知原俯视图为如图所示的平行四边形OABC，设CB与y轴的交点为D，则易知CD＝2，OD＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)，所以CO＝eq\r(CD2＋OD2)＝6＝OA，所以俯视图是以6为边长的菱形，由三视图知几何体为一个直四棱柱，其高为4，所以该几何体的侧面积为4×6×4＝96.故选C.2．一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为()解析：选D.由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.3．(2024·福建泉州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是()A．圆弧 B．抛物线的一部分C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分解析：选D.依据几何体的三视图可得，侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.4．(2024·广东文静中学、江西南昌二中联考)某四面体的三视图如图所示，在该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是()A．2B．4C．2＋eq\r(5)D．4＋2eq\r(5)解析：选C.由三视图可得原几何体如图所示，由三视图知该几何体的高PO＝2，底面ABC是边长为2的等腰直角三角形，平面PAC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，则BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以直角三角形有△PBC和△ACB，易求得PC＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，又BC＝2，所以S△PBC＝eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝eq\r(5)，又S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2＝2，所以该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为2＋eq\r(5)，故选C.5．某几何体的三视图如图所示．(1)推断该几何体是什么几何体？(2)画出该几何体的直观图．解：(1)该几何体是一个正方体切掉两个eq\f(1,4)圆柱后得到的几何体．(2)直观图如图所示．6．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试推断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面