《高考备考指南 理科数学》课件-第11章 第3讲_第1页
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第十一章第3讲[A级基础达标]1.(2016年沈阳校级测试)若(1+x+x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,x3)))n(n∈N*)的展开式中没有常数项,则n的可能取值是()A.7 B.8C.9 D.10【答案】C【解析】若(1+x+x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,x3)))n(n∈N*)的展开式中没有常数项,可得(x+x-3)n的展开式中没有常数项,且没有x-1项,且没有x-2项.而(x+x-3)n的展开式的通项公式为Tr+1=Ceq\o\al(r,n)·xn-r·x-3r=Ceq\o\al(r,n)·xn-4r,故n-4r=0无解,且n-4r=-1无解,且n-4r=-2无解.结合所给的选项可得,n=9,故选C.2.在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为()A.30 B.20C.15 D.10【答案】C【解析】只需求(1+x)6的展开式中含x2项的系数即可,而含x2项的系数为Ceq\o\al(2,6)=15.3.(2016年漳州模拟)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)-\f(1,\r(3,x))))n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式的常数项为()A.-7 B.7C.-28 D.28【答案】B【解析】依题意,eq\f(n,2)+1=5,∴n=8.二项式为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)-\f(1,\r(3,x))))8,其展开式的通项Tk+1=(-1)keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8-kCeq\o\al(k,8)x8-eq\f(4k,3)令8-eq\f(4k,3)=0,解得k=6,故常数项为(-1)6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8-6Ceq\o\al(6,8)=7.故选B.4.(2017年廊坊校级模拟)(x2+x+y)5的展开式中,x7y的系数为()A.10 B.20C.30 D.60【答案】B【解析】∵(x2+x+y)5表示5个因式(x2+x+y)的乘积,当只有一个因式取y,一个因式取x,其余的3个因式都取x2,即可得到含x7y的项.故x7y的系数为Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,3)=20,故选B.5.(2015年湖北)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.29 B.210C.211 D.212【答案】A【解析】由Ceq\o\al(3,n)=Ceq\o\al(7,n),得n=10,故奇数项的二项式系数和为29.6.已知2Ceq\o\al(1,n)+22Ceq\o\al(2,n)+…+2n-1Ceq\o\al(n-1,n)+2n=80,则n=________.【答案】4【解析】因为1+2Ceq\o\al(1,n)+22Ceq\o\al(2,n)+…+2n-1Ceq\o\al(n-1,n)+2n=(1+2)n=80+1=81,所以3n=81,解得n=4.7.(2016年河南校级二模)二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)-\f(1,\r(x))))6展开式中含x2项的系数是________.【答案】-192【解析】由题意可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)-\f(1,\r(x))))6的展开式的通项为Tr+1=Ceq\o\al(r,6)(2eq\r(x))6-req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,\r(x))))r=(-1)r26-rCeq\o\al(r,6)x3-r,令3-r=2,得r=1,故展开式中x2项的系数是-25Ceq\o\al(1,6)=-192.8.若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=________.【答案】10【解析】设1+x=t,则x=t-1,因此有(t-1)5=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5,则a3=Ceq\o\al(2,5)(-1)2=10.9.已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(2,3)+3x2))n的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大992,求:(1)展开式中二项式系数最大的项;(2)展开式中系数最大的项.【解析】(1)由题意可得4n-2n=992,求得2n=32,∴n=5.故展开式中二项式系数最大的项为第三项或第四项,即T3=Ceq\o\al(2,5)·9·x6=90x6或T4=Ceq\o\al(3,5)·27·xeq\f(22,3)=270xeq\f(22,3).(2)由于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(2,3)+3x2))5的展开式的通项公式为Tr+1=Ceq\o\al(r,5)·3r·xeq\f(10+4r,3),故第r+1项的系数为3r·Ceq\o\al(r,5),r=0,1,2,3,4,5,故当r=4时,该项的系数最大,即第5项的系数最大,该项为T5=Ceq\o\al(4,5)·81·xeq\f(26,3)=405xeq\f(26,3).10.已知(1+meq\r(x))n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256,展开式中含x项的系数为112.(1)求m,n的值;(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和;(3)求(1+meq\r(x))n(1-x)的展开式中含x2项的系数.【解析】(1)由题意可得2n=256,解得n=8.含x项的系数为Ceq\o\al(2,8)m2=112,解得m=2或m=-2(舍去).故m,n的值分别为2,8.(2)展开式中奇数项的二项式系数之和为Ceq\o\al(0,8)+Ceq\o\al(2,8)+Ceq\o\al(4,8)+Ceq\o\al(6,8)+Ceq\o\al(8,8)=28-1=128.(3)(1+2eq\r(x))8(1-x)=(1+2eq\r(x))8-x(1+2eq\r(x))8,所以含x2的系数为Ceq\o\al(4,8)24-Ceq\o\al(2,8)22=1008.[B级能力提升]11.(2016年泰安二模)在二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2-\f(1,x)))n的展开式中,所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为()A.-32 B.0C.32 D.1【答案】C【解析】二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2-\f(1,x)))n的展开式中,所有二项式系数的和是32,∴2n=32,解得n=5.令x=1,可得展开式中各项系数的和为(3×12-1)5=32.故选C.12.(2016年四川模拟)设函数f(x)=(m+nx)3=a0+a1x+a2x2+a3x3,mn≠0,则eq\f(a0a3,a1a2)的值为()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,3) D.1【答案】A【解析】由已知a0=m3,a3=n3,a1=m2n×3,a2=mn2×3,所以eq\f(a0a3,a1a2)=eq\f(m3n3,9m3n3)=eq\f(1,9).故选A.13.若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x+\f(1,x)))n(n∈N*)的展开式中各项系数的和为P,所有二项式系数的和为S,若P+S=272,则函数f(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x+\f(1,x)))n在(0,+∞)上的最小值为()A.144 B.256C.24eq\r(3) D.64eq\r(3)【答案】A【解析】由题意可得P=4n,S=2n,∴P+S=4n+2n=272,解得2n=16,∴n=4,在(0,+∞)上,函数f(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x+\f(1,x)))n=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x+\f(1,x)))4≥(2eq\r(3))4=144,当且仅当x=eq\f(\r(3),3)时,等号成立,故函数f(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x+\f(1,x)))n在(0,+∞)上的最小值为144,故选A.14.若(x2+ax+1)6(a>0)的展开式中x2的系数是66,则eq\i\in(0,a,)sinxdx的值为________.【答案】1-cos2【解析】由题意可得(x2+ax+1)6的展开式中x2的系数为Ceq\o\al(1,6)+Ceq\o\al(2,6)a2,故Ceq\o\al(1,6)+Ceq\o\al(2,6)a2=66,∴a=2或a=-2(舍去).故eq\i\in(0,a,)sinxdx=eq\i\in(0,2,)sinxdx(-cosx)eq\o\al(2,0)=1-cos2.15.(2016年辽宁校级模拟)在(a+b)n的二项展开式中,若奇数项的二项式系数的和为128,则二项式系数的最大值为________.(结果用数字作答)【答案】70【解析】在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,∴2n=256,解得n=8,展开式共n+1=8+1=9项,据中间项的二项式系数最大,故展开式中二项式系数最大的项是第5项,最大值为Ceq\o\al(4,8)=70.16.已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值;(2)当x2的系数取得最小值时,求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.【解析】(1)由已知得Ceq\o\al(1,m)+2Ceq\o\al(1,n)=11,∴m+2n=11.x2的系数为Ceq\o\al(2,m)+22Ceq\o\al(2,n)=eq\f(mm-1,2)+2n(n-1)=eq\f(m2-m,2)+(11-m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11-m,2)-1))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m-\f(2

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